MMMMETODA ETODA ETODA ETODA CCCCLEBSCHA LEBSCHA LEBSCHA LEBSCHA

IIII

MMMMETODA ETODA ETODA ETODA MMMMOHRA OHRA OHRA OHRA (W(W(W(WERESZCZAGINAERESZCZAGINAERESZCZAGINAERESZCZAGINA))))

OOOOBLICZANIE UGICIA BEBLICZANIE UGICIA BEBLICZANIE UGICIA BEBLICZANIE UGICIA BELKILKILKILKI

Przykad 1

Wyznaczy metod Clebscha strzak ugicia ukadu jak na rysunku. Poprawno oblicze sprawdzi metod Mohra (Wereszczagina). Ugicie obliczy w punkcje L1.

L1L2

L

q [kN/m] M [kNm]

Rys.1 Ukad podstawowy. Dane do zadania: q = 3kN/m M = 30 kNm L = 8 m L1 = 4 m L2 = 6 m

Metoda Clebscha

Zadanie zaczynamy od obliczania reakcji (wystarczy obliczy jedn, poniewa bdziemy wchodzi z lewej strony belki).

M B 0

Vaq L1

L12

L L1( )+

M+

L:= Va 12.75 kN=

Nastpnie piszemy rwnanie momentw dla danej belki (wprowadzajc obcienie fikcyjne rwnowace obcienie rozoone cigle), czyli w naszym przypadku wyglda ono nastpujco:

L1L2

L

q [kN/m] M [kNm]

Rys.1.2 Belka z obcieniem fikcyjnym.

Kolejnym krokiem jest napisanie rwnania rniczkowego ugitej osi belki:

Po napisaniu rwnania dla kta obrotu i ugicia wprowadzamy kinematyczne warunki brzegowe dla belki swobodnie podpartej:

Po obliczeniu staych C i D wyznaczamy ugicie belki w L1 przyjmujc, e: x = L1 E = 210 GPa J = 0,00001 m4

Po podstawieniu wszystkich wartoci otrzymujemy ugicie w punkcie L1, ktre wynosi 8,095 cm.

Metoda Mohra (Wereszczagina)

Obliczamy wykresy momentw zginajcych od obcie zewntrznych.

2728,5

-1,5

Rys.1.3 Wykres momentw zginajcych od obcie zewntrznych [kNm].

Nastpnie sporzdzamy wykres momentw od siy jednostkowej, przyoonej w miejscu obliczania ugicia belki.

2

Rys.1.3 Wykres momentw zginajcych od siy jednostkowej [kNm].

Majc wykresy od obcie zewntrznych i wykres od siy jednostkowej przystpujemy do obliczania ugicia w poowie rozpitoci belki.

Wynik jest zgodny z metod Clebscha.

w1

E J12

27 kNm 4 m 23

2 m

23

4 m

3kNm

4 m( )28

12

2 m+

2 m 27 kNm 1 m 12

1 m+

12

2 m 1.5 kNm 1 m 13

1 m+

++

...

12

2 m 1.5 kNm( ) 23

1 m+

...

:=

w 8.095 cm=