• Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich

• Ciągiem skończonym k-wyrazowym nazywamy funkcję, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych liczb naturalnych 1,2,3,…, k. Jeżeli wartości tej funkcji są liczbami, to taki ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.

W każdym z ciągów kolejne elementy powstają według

pewnej ustalonej reguły, np.:

itd…

Ciągi monotoniczne to ciągi, które są albo

rosnące, albo malejące, albo stałe.

Ciąg (an ) nazywamy rosnącym wtedy i

tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz oprócz pierwszego jest większy od wyrazu go

poprzedzającego, czyli gdy każdej dodatniej liczb naturalnej n spełniona jest nie równość:

an 1 an

Ciąg (an ) nazywamy malejącym wtedy i tylko

wtedy, gdy każdy jego wyraz oprócz pierwszego jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, czyli gdy dla każdej dodatniej liczby naturalnej n spełniona jest nierówność:

a n 1 a n

Ciąg (an ) nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy,

gdy każdy jego wyraz oprócz pierwszego jest równy wyrazowi, który go poprzedza, czyli dla każdej dodatniej liczby naturalnej n spełniona jest równość:

a n 1 a n

W celu zbadania monotoniczności ciągu (an ) wyznaczamy różnicę: an+1 –an i

badamy jej znak.

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, otrzymujemy przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby r. Oznacza to, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:

a n 1 a n rLiczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Ciąg arytmetyczny o różnicy r:• 1) jest rosnący, gdy r > 0• 2) jest malejący, gdy r < 0• 3) jest stały, gdy r = 0

Jeżeli (an ) ciąg jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:

r a n 1 a nKażdy wyraz nieskończonego wyrazu ciągu arytmetycznego (oprócz wyrazu pierwszego) jest średnią arytmetyczną jego dwóch sąsiednich wyrazów (poprzedniego i następnego).

Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to dla każdej dodatniej liczby

naturalnej n zachodzi :

a n a 1 n 1 r

Niech dany będzie ciąg (an) o wyrazach:

,...,,,...,,, 21321 nnn aaaaaa

Symbolem Sn oznaczamy n-tą sumę częściową ciągu (an), czyli sumę wszystkich wyrazów tego ciągu od wyrazu pierwszego do n-tego włącznie.

Zatem:

wyrazówndodajemy

aaaaS

aaaaS

aaaS

aaS

aS

nn

__

_____________________

...

...

,

,

,

,

.321

43214

3213

212

11

Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, to suma n początkowych jego wyrazów wyraża się wzorem:

2

)( 1 naaS nn

Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o wyrazie początkowym a1 i różnicy r, to suma n początkowych

jego wyrazów wyraża się wzorem:

2

])1(2[ 1 nrna Sn =

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez pomnożenie wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego przez tę samą liczbę q. Oznacza to, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:

a n 1 a n qLiczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Ciąg geometryczny o wyrazie początkowym a1 i ilorazie q jest:

1) naprzemienny, gdy:

2) stały, gdy:

3) rosnący, gdy:

4) malejący, gdy:

a 1 0 i q 0

q 1 lub a 1 0

a 1 0 i q 1 lub a 1 0 i 0 q 1

a 1 0 i 0 q 1 lub a 1 0 i q 1

Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q i wyrazach różnych od zera, to dla każdej dodatniej

liczby naturalnej n zachodzi:

n

n

a

aq 1

Zatem aby stwierdzić, czy dany ciąg o wyrazach różnych od zera jest geometryczny,

należy sprawdzić, czy iloraz jego kolejnych wyrazów jest stały.

Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to dla każdej dodatniej liczby

naturalnej n zachodzi:

11

nn qaa

Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, to suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem:

1,1

11,

1

1

qgdyq

qa

qgdyanS nn