1

BUDOWNICTWO LĄDOWE

Zadania z fizyki dla 1,4,5 i 8 grupy BL semestr I

Zadania opracowano na podstawie: 1. Zbiór zadań z fizyki ; pod redakcją I.W. Sawiejlewa 2. Fizyka w przykładach ; pod kierunkiem prof. dr Wladimir Hajko 3. Zadania z fizyki ; pod redakcją M.S. Cedrika

Wybrał dr J. Walocha

2

TERMODYNAMIKA

Niektóre oznaczenia: =Cp /Cv

1. W zamkniętym naczyniu objętości V0 znajduje się wodór w temperaturze t0 pod

ciśnieniem p0. Wodór oziębia się do temperatury t1. Wyznaczyć:

a) ilość ciepła Q oddanego przez gaz

b) zmianę energii wewnętrznej ΔU

Odpowiedź: 0 01 0

0

( )2

p v iQ T T U

T

2. Jeden kilomol gazu ogrzewa się w przemianie izobarycznej od t1 do t2 pobierając

przy tym ciepło Q. Znaleźć:

a) liczbę stopni swobody i cząsteczki gazu

b) pracę W wykonaną przez gaz

Odpowiedź:

2 1

22

( )

Qi

mR T T

; 2 1( )2

m iU R T T

; W = Q – Δ U

3. Gaz wieloatomowy rozszerzając się wykonuje pracę W=245J. Jaką ilość ciepła

otrzymał gaz, jeżeli była to przemiana: a) izobaryczna, b) izotermiczna?

Odpowiedź: a) Q = W(1+ ) = 980 J ; b) Q = W = 245 J

4. W cylindrze o średnicy d=40cm znajduje się gaz dwuatomowy o objętości

V=0,08m3. Do jakiej wartości należy zwiększać dodatkowe obciążenie tłoka

cylindra podczas dostarczania Q=84J ciepła, aby tłok pozostał nieruchomy?

Uwaga: dodatkową siłę nacisku należy wyrazić poprzez wzrost ciśnienia,

również ciepło pobrane podczas przemiany wyrazić przez wzrost ciśnienia

Odpowiedź: F= gdzie i jest liczbą stopni swobody cząsteczek gazu.

3

5. Jaka część ciepła otrzymanego przez gaz doskonały podczas przemiany

izobarycznej, wydatkowana jest na wzrost energii wewnętrznej gazu, a jaka na

pracę rozszerzania w przypadku gazów jednoatomowych, dwuatomowych

i wieloatomowych?

Uwaga: Skorzystaj z I zasady termodynamiki oraz ze związków między

ciepłami molowymi.

Odpowiedź: = = ; = = =

6. Gaz doskonały rozszerza się adiabatycznie przy czym jego temperatura zmienia

się od T1 do T2. Znana jest masa gazu m i jego ciepło właściwe cv. Znaleźć pracę

W wykonaną przez gaz podczas rozszerzania.

Odpowiedź: W= m cv(T1- T2)

7. m kilogramów tlenku węgla (CO) sprężamy adiabatycznie w wyniku czego

temperatura gazu wzrasta od T1 do T2. Przedstaw ten proces we współrzędnych

p,V oraz wylicz:

a) zmianę energii wewnętrznej gazu ΔU

b) pracę W wykonaną przy sprężaniu gazu

c) ile razy zmniejszy się objętość gazu ?

Odpowiedź:

8. Dwuatomowy gaz doskonały sprężamy do objętości k razy mniejszej od objętości

początkowej czyli V1/V2 =k. Proces sprężania zachodzi w pierwszym przypadku

izotermicznie, a w drugim adiabatycznie. Podaj:

a) w którym przypadku i ile razy praca potrzebna do sprężenia gazu jest

większa – rozwiązać problem graficznie, a potem przy pomocy wzorów.

b) w którym przypadku i ile razy wzrośnie energia wewnętrzna gazu?

Odpowiedź: 1( 1)

2 ln

ad

iz

W i k

W k

; ΔUiz=0 ; ΔUad = – Wad

9. W wyniku przemiany politropowej ciśnienie powietrza wzrosło od p0=105 N/m

2

do p1=8x105

N/m2, a jego objętość zmniejszyła się k=6 razy tzn. p0/p1=k=6.

Objętość początkowa powietrza była równa V0=18 m3. Znajdź wykładnik

politropy n oraz pracę sprężania.

Uwaga: Przy obliczaniu pracy określ ciśnienie p w dowolnym momencie

przemiany z równania:

= p

4

natomiast pracę oblicz z zależności: W =

Odpowiedź: n = =

W =

10. Azot o masie m=1 kg znajduje się w temperaturze t0=7000C i pod ciśnieniem

p0=25x105 N/m

2. Poddany przemianie politropowej rozszerza się osiągając

ciśnienie końcowe p1=105N/m

2. Wyznacz temperaturę końcową oraz wykonaną

pracę, jeżeli wykładnik politropy n=1,18.

Uwaga: Przy obliczaniu pracy określ ciśnienie p w dowolnym momencie

przemiany z równania:

= p

natomiast pracę oblicz z zależności: W =

Odpowiedź: W= T1-T0)= 623 kJ

11. Pewna masa gazu rozszerza się tak, że proces ten na wykresie we współrzędnych

p,V przedstawiony jest linią prostą, przechodzącą przez początek układu. Znana

jest początkowa objętość gazu V0 oraz ciśnienie p0 a także stosunek χ = Cp/Cv

dla tego gazu. W stanie końcowym objętość gazu wzrosła k-krotnie, czyli

V1/V0=k. Znaleźć:

a) wykładnik politropy n

b) zmianę energii wewnętrznej ΔU

c) pracę W wykonaną przez gaz

d) ciepło molowe Cx gazu w tym procesie

Uwaga: Zapisz równanie opisujące omawianą przemianę w postaci: p1V1n = p 2V2

n

Odpowiedź: n = –1 ; 20 0 ( 1)v

p vU c k

R gdzie

1v

Rc

;

20 0 ( 1)2

p vW k ;

1

1xC R

5

12. W pewnym procesie ciepło molowe gazu zmienia się zgodnie z równaniem C=α/T

gdzie α jest stałą. Znaleźć pracę wykonaną przez kilomol gazu przy zmianie

temperatury od T1 do T2.

Uwaga: Wyznacz najpierw (znając zależność opisującą ciepło molowe) ciepło

pobrane, następnie wyznacz zmianę energii wewnętrznej – wówczas pracę można

wyznaczyć korzystając z I zasady termodynamiki.

Odpowiedź: 22 1

1

( ln ( ))2

Tm iRW T T

T

13. Kilomol jednoatomowego gazu znajdującego się w temperaturze T1 ochładza się

izochorycznie w wyniku czego jego ciśnienie zmniejsza się k-krotnie, czyli

k=p1/p2. Następnie gaz rozszerza się izobarycznie przy czym jego temperatura

wzrasta do temperatury początkowej. Przedstaw ten proces we współrzędnych

p,V i wyznacz:

a) ciepło Q pobrane przez gaz

b) pracę W wykonaną przez gaz

c) zmianę energii wewnętrznej gazu ΔU

Odpowiedź: Q = Q1+Q2 1 2( )m

R T T

, gdzie 2 12 1

1

p TT T

p k ;

2 1

1( 1)

mW W RT k

k

14. Azot o masie m rozszerza się adiabatycznie, tak że jego ciśnienie zmniejsza się k

razy czyli p1/p2=k, a następnie spręża się izotermicznie do ciśnienia

początkowego. Temperatura gazu w stanie początkowym jest T1. Przedstaw

wykres tego procesu we współrzędnych p,V i wyznacz:

a) temperaturę końcową T2

b) ciepło Q oddane przez gaz

c) zmianę energii wewnętrznej ΔU

d) pracę W wykonaną przez gaz

6

Odpowiedzi:

11

22 1

1

( )p

T Tp

; Q = Wiz = - m/μ RT2 ln k ;

ΔU= ΔUad =m/μ cv(T2 – T1);

iz adW W W

)(ln 12

1

22 TTc

p

pRT

mUW adiz

15. Silnik cieplny pracuje na dwutlenku węgla według cyklu Carnota, między

temperaturami 27˚C i 327˚C. Stosunek ciśnienia maksymalnego i minimalnego

w tym cyklu równy jest k=20. Masa gazu m=1 kmol. Obliczyć:

a) sprawność η tego silnika

b) ilość ciepła Q1 pobranego ze źródła w czasie jednego cyklu

c) ilość ciepła Q2 oddanego chłodnicy czasie jednego cyklu

d) pracę W wykonaną przez gaz w ciągu jednego cyklu.

Odpowiedzi: η = 1/2 ; 121 1

1

ln ( )Tm

Q RT kT

;

2 1(1 )Q Q ; 1 2 1W Q Q Q

7

HYDRODYNAMIKA

Niektóre oznaczenia: η współczynnik lepkości

1. Przez poziomą rurę o zmiennym przekroju przepływa woda (rys. poniżej). W miejscach o

przekrojach S1 i S2 wstawiono rurki manometryczne. Znaleźć objętość Q wody

przepływającej w jednostce czasu przez rurę, jeżeli różnica poziomów wody w rurkach

manometrycznych jest Δh.

Uwaga: należy uzasadnić, stosując prawo Bernoulliego oraz prawo ciągłości strugi,

w której z rurek manometrycznych jest wyższy poziom wody.

Odpowiedź: 1 2 2 2

2 1

2g hV S S

S S

2. Jaką siłą należy działać na tłok poziomej strzykawki ,aby wypływający z niej strumień

wody miał szybkość v=10m/s? Promień tłoka R =2cm, tarcie zaniedbać.

Uwaga: Porównaj pracę wykonaną przez tłok przy przesunięciu się o odcinek

l z energią kinetyczną uzyskaną przez masę wody m zawartą w strzykawce

w objętości π l.

Odpowiedź:

3. Jaką siłą oporu działa strumień powietrza na przednią powierzchnię samochodu jadącego

z szybkością v jeżeli pole tej powierzchni jest S.

Odpowiedź:

8

4. Znaleźć moc strumienia powietrza „napływającego” na pociąg jadący z prędkością

v=100km/h, jeżeli efektywna powierzchnia czołowa pociągu jest S=10m2.

Uwaga: Skorzystaj ze wzoru na moc P=Fv oraz określ na podstawie równania

Bernoulliego ciśnienie, a następnie siłę z jaką powietrze działa na pociąg.

Odpowiedź: P =

5. Z jaką mocą pracuje silnik motocykla, jeżeli jedzie on z szybkością ,

a szybkość przeciwnego wiatru jest . Masa motocykla z kierowcą m=200kg,

a efektywny współczynnik tarcia o szosę k=0,2, ogólna powierzchnia czołowa pojazdu

S=1,2 m2.

Uwaga: Oblicz pracę na pokonanie siły tarcia o szosę oraz pracę na pokonanie oporu

powietrza (działanie ciśnienia dynamicznego na powierzchnię czołową pojazdu).

Odpowiedź: P=[mgk + ) = 21,8kW

gdzie ρ – gęstość powietrza.

6. Cylindryczne naczynie o wysokości H i powierzchni podstawy S2 napełniono wodą.

W dnie naczynia zrobiono otwór o powierzchni S1. Zaniedbując lepkość wody, określ

czas po którym cała woda wypłynie z naczynia, gdy: a) S1 ≈ S2 ; b) S1 << S2.

Uwaga: korzystając z r-nia Bernoulliego oraz prawa ciągłości strugi oblicz prędkość

V2 obniżania się powierzchni wody a następnie zakładając, że V2=dh/dt oblicz całkę:

dtSS

gS

h

dhtH

0

2

1

2

2

2

1

0

2.

Odpowiedź: dla S1 ≈ S2

g

H

S

St

21

2

1

2

;

dla S1 << S2 2

1

2S Ht

S g

9

7. Znaleźć maksymalną prędkość wody w rurce o średnicy d1=2cm, dla której przepływ

będzie jeszcze laminarny. Krytyczna wartość liczby Reynoldsa dla rury jest 3000.

Jaka będzie ta prędkość dla rurki d2 =0,1cm jeżeli: η=100,4∙10-5

kg/m sek., ρ=998 kg/m3

Odpowiedź: v= η Re/ ρ d ; v1 = 0,15m/s v2= 3,01m/s

8. Metoda wyznaczania lepkości polega na pomiarze prędkości opadania kulki

w walcowatym naczyniu z badaną cieczą i wyznaczeniu η ze wzoru Stokesa. Zakładając,

że dla kuli krytyczna wartość Re= 0,5 znajdź maksymalną wartość promienia r stalowej

kulki, którą można wykorzystać w wyznaczaniu współczynnika lepkości dla gliceryny.

Odpowiedź:

1

2 39Re

4 ( )c s c

rg

gdzie: ρs - gęstość stali , ρc - gęstość cieczy

9. Oblicz prędkość końcową kropli deszczu o promieniu r=1cm, jeżeli współczynnik

lepkości η =1,8 10-4

g/cmsek.

Odpowiedź:

2 22 ( ) 2

9 9

w p wgr gr

v

=121,1 m/sek.

gdzie: ρ p - gęstość powietrza, ρ w - gęstość wody

10

GRAWITACJA

Niektóre oznaczenia: γ stała grawitacji

1. Jaką poziomą prędkość należy nadać ciału znajdującemu się na wysokości h nad Ziemią,

aby poruszało się ono jako jej sztuczny satelita jeżeli promień Ziemi jest R?

Odpowiedź: g

v RR h

2. Na jakiej wysokości przyspieszenie ziemskie jest k = 2 razy mniejsze od jego wartości na

powierzchni Ziemi ?

Odpowiedź: h=R ( = 0,4142 R

3. Znaleźć prędkość postępowego ruchu Ziemi wokół Słońca w perihelium (punkt

przysłoneczny), jeżeli największa i najmniejsza odległość Ziemia–Słońce są odpowiednio

r1=147*108km i r2=152*10

8km, a średnia prędkość ruchu Ziemi po orbicie

vs=29,8*103m/sek.?

Odpowiedź: = = 30,3 km/sek.

4. Wyznaczyć energię kinetyczną E ciała o masie m tuż przy powierzchni Ziemi

spadającego swobodnie z dużej wysokości H, jeżeli promień Ziemi jest R. Jaka będzie ta

energia kiedy H ›› R (opory pomijamy)?

Odpowiedź: HR

E mgR H

dla H ›› R , E= mgR

5. Z powierzchni Ziemi wyrzucono pionowo do góry ciało o prędkości początkowej v0.

Na jaką wysokość wzniesie się to ciało i jaką powinno mieć prędkość początkową v0, aby

nie spadło na Ziemię (opory ruchu pomijamy).

Odpowiedź: a) h= R∙v02 /(2gR- v0

2) , b) v0 = (2gR)

1/2

11

6. Z jaką minimalną prędkością należy wystrzelić rakietę z Ziemi, aby doleciała do

Księżyca? Jaka będzie jej prędkość tuż przy powierzchni Księżyca? Odległość środków

Ziemi i Księżyca jest d=380000km promień Ziemi Rz=6370km, promień Księżyca

Rk=1/4 Rz zaś masa Księżyca Mk=1/81Mz.

Uwaga: Najpierw określ położenie punktu, w którym na odcinku Ziemia – Księżyc

zachodzi równowaga sił a następnie korzystając z pojęcia potencjału grawitacyjnego

napisz zasadę zachowania energii dla pierwszego a następnie drugiego pytania.

Odpowiedź:

1

21 1 1 12 ( ) 2 0,98

0,9 81( ) 81 0,1z z

z z

V M gRR d d R d

1

281 81 12 (1 )

0,9 0,1 18

k k k kk

k k

M R R RV

R d d d R

∙ 2 0,91zgR

7. Gwiazda podwójna to układ złożony z dwu gwiazd obracających się wokół swojego

środka masy. Znaleźć odległość między tymi gwiazdami, jeżeli całkowita masa układu

jest M, a okres obiegu wynosi T.

M = M1 +M2 d = r1 + r2

Uwaga: Siła grawitacji oraz siła odśrodkowa działająca na każdą masę muszą się

równoważyć.

Odpowiedź:

12

32

( )4

MTd

12

8. Obiekt kosmiczny A porusza się z prędkością v0 w kierunku Słońca. Parametr zderzenia

obiektu ze Słońcem jest L (najmniejsza odległość między środkiem Słońca a kierunkiem

ruchu obiektu przed pojawieniem się sił oddziaływania – rysunek). Znaleźć najmniejszą

odległość r0 na jaką obiekt zbliży się do Słońca?

Uwaga: Skorzystaj z zasady zachowania momentu pędu oraz z zasady zachowania

energii.

Odpowiedź: r0 2

220

2

0

1 1

( )

M L

Mv

v

gdzie M jest masą Słońca.

13

DYNAMIKA

1. Jednorodny walec o promieniu r i masie m stacza się bez poślizgu z równi pochyłej

o kącie nachylenia α. Wyznacz:

a) przyspieszenie jego środka ciężkości i porównaj z przyspieszeniem kuli oraz walca

cienkościennego.

b) przyspieszenie ciał zsuwających się z równi (przy braku tarcia)

Odpowiedź: a) a=mgsinα/(m+I/r2), gdzie I moment bezwładności

staczającego się ciała, b) a=gsinα.

2. Przez bloczek o masie M i promieniu r przerzucono nieważką nić na końcach której

zawieszono masy m1 i m2. Zakładając brak oporów ruchu wyznacz przyspieszenia tych

mas.

Uwaga: Niech np. m1›m2, dla takiego przypadku ułóż korzystając z II zasady

dynamiki Newtona, równania opisujące ruch każdej masy oraz równanie opisujące

ruch bloczka.

Odpowiedź: 1 2

1 2 2

m ma g

Im m

r

gdzie 21

2I Mr 21

2I Mr

3. Łyżwiarz wykonując piruet obraca się z częstotliwością n0 = 2 s-1

przy czym jego moment

bezwładności względem osi obrotu jest I0 = 2 kg m2. Jak zmieni się jego prędkość kątowa,

jeżeli przez rozstawienie rąk zwiększy on swój moment bezwładności do wartości

I1 =2,1 kg m2.

Odpowiedź: zmniejszy się o 00

1

2 (1 ) ~ 0,6 /I

n rad sekI

4. Wyznacz średnią siłę działającą na pocisk w lufie podczas wystrzału jeżeli prędkość

wylotowa pocisku jest v, jego masa m a długość lufy L.

Odpowiedź: F = mv2 /2 L