BAZY DANYCH

algebra relacyjna

Opracował:

dr inż. Piotr Suchomski

Wprowadzenie

Algebra relacyjna składa się z prostych, ale

mocnych mechanizmów tworzenia nowych

relacji na podstawie danych relacji. Hdy relacja

występuje w postaci przechowywanych w bazie

danych, to tworzone relacje mogą być

interpretowane jako odpowiedzi na zapytania o

te dane.

Pierwszy algebrę zbiorów kotek (relacji)

zaproponował Codd. W skład tej algebry

wchodziło 5 operatorów działań na zbiorach:

suma, iloczyn kartezjański, różnica oraz selekcja

i rzutowanie (projekcja).

Algebra relacji - podział

Operacje teoriomnogościowe na zbiorach

(suma, iloczyn, różnica),

Operacje zawężania relacji: selekcja wybiera

pewne wiersze, a projekcja wybiera kolumny.

Operacje komponowania krotek z innych krotek,

pochodzących z innych relacji. Przykładem

może być iloczyn kartezjański lub złączenie.

Operacje „przemianowania”, które nie zmieniają

krotek relacji, ale jej schemat (np. zmiana nazw

atrybutów itp.)

Algebra relacji Algebra relacji jest domknięta, ponieważ

wynikiem każdego operatora relacji jest relacja.

Umożliwia to budowę dowolnie zagnieżdzonych

wyrażeń relacyjnych. Można wykonać np.

projekcję sumy, selekcję złączenia itp.

Operatory zbiorów Specjalne operatory relacyjne

suma (unia)

różnica

Iloczyn (przecięcie)

produkt kartezjański

selekcja (wybór)

projekcja (rzutowanie)

złączenie

Suma relacji Dwie relacje są zgodne (kompatybilne jeśli maja

taką samą liczbę atrybutów i odpowiadające

sobie atrybuty mają tą samą dziedzinę.

R S – zbiór wszystkich krotek, które należą do

R lub S.

RS

R – zbiór znajomych Jarka.

S – zbiór znajomych Joli

R S – zbiór osób, które są znajomymi Jarka i/lub Joli

Różnica relacji Relacje muszą być kompatybilne.

R – S – zbiór wszystkich krotek, które należą do

zbioru R i jednocześnie nie należą do zbioru S.

RS

R – zbiór znajomych Jarka.

S – zbiór znajomych Joli

R -S – zbiór osób, które są znajomymi Jarka ale nie są znajomymi Joli

Iloczyn relacji Relacje muszą być kompatybilne.

R S – zbiór krotek, które należą zarówno do

zbioru R i do zbioru S.

Iloczyn relacji nie jest operacją prymitywną, bo

RS = R-(R-S)=S-(S-R)

RS

R – zbiór znajomych Jarka.

S – zbiór znajomych Joli

R -S – zbiór tylko tychosób, które są znajomymi Jarka i jednocześnie Joli

Iloczyn kartezjański R x S – zbiór wszystkich krotek t takich, że t jest

konkatenacją krotki rR i krotki s S

Stopień relacji będącej wynikiem iloczynu

kartezjańskiego jest równy stopniom relacji

składowych.

a b

c d

e f

xX

Y

a b X

a b Y

c d X

c d Y

e f X

e f Y

Iloczyn kartezjański – cd. Ponieważ w dwóch różnych relacjach mogą

występować atrybuty o takich samych nazwach

to może powodować niejednoznaczności w

relacji będącej wynikiem ich iloczynu

kartezjańskiego.Student(PESEL, Rok, Miasto)

Nauczyciel(PESEL, Tytuł, Specjalizacja, Miasto)

Aby uniknąć niejednoznaczności należy użyć

kwalifikacji.Student x Nauczyciel = S_N

S_N(Student.PESEL, Rok, Student.Miasto,

Nauczyciel.PESEL, Tytuł, Specjalizacja,

Nauczyciel.Miasto)

Specjalne operatory - rzutowanie Rzutowanie (projekcja) relacji R polega na

przepisaniu tej relacji względem wybranych jej

atrybutów w zadanej kolejności.

Niech A1, A2,…,An są atrybutami relacji R.

PROJECT R OVER A1, A2,…,An to zbiór

wszystkich krotek (a1, a2,…,an) takich, że w R

istnieje krotka t, której atrybut A1 ma wartość a1,

atrybut A2 ma wartość a2, …, An ma wartość an.

Ponieważ w definicji jest mowa, że wynikiem

projekcji jest zbiór stąd wynika, że w wyniku

projekcji usuwane są powtórzenia.

Rzutowanie (projekcja) Upraszczając można powiedzieć, że rzutowanie

polega na wyborze określonych kolumn z relacji

R.

A B C D E

123 Alicja Gdańsk TAK 100

34 Bartosz Gdańsk NIE 200

-15 Sylwia Wrocław TAK 150

B C E

Alicja Gdańsk 100

Bartosz Gdańsk 200

Sylwia Wrocław 150

PROJECT R OVER B, C, E

C

Gdańsk

Wrocław

PROJECT R OVER C

Operator specjalny - selekcja Operator selekcji pozwala wybrać z relacji tylko

te krotki (wiersze) , które spełniają określony

warunek.

SELECT FROM R WHERE warunek: to zbiór

wszystkich krotek t relacji R takich, że dla każdej

krotki t warunek przyjmuje wartość TRUE.

A B C D

11 0 4 10

-18 1 4 5

30 3 5 98

2 4 4 120

-5 5 5 110

A B C D

11 0 4 10

30 3 5 98

SELECT FROM R WHERE A>0 AND D < 100

Złączenie Znacznie częściej niż iloczyn karetzjański w

algebrze relacji przydaje się operacja złączenia

(JOIN), która polega na łączeniu par krotek,

które w jakiś sposób sobie odpowiadają.

Najprostszy sposób polega na wykonaniu

operacji naturalnego złączenia dwóch relacji R i

S, która polega na połączeniu w pary tych krotek

z relacji R i S, które mają identyczne wartości

dla określonych atrybutów.

Wynikowa krotka nazywa się krotką złączoną i

posiada atrybuty powstałe w wyniku sumowania

relacji R i S.

Złączenie – cd. Krotka złączona ma takie same wartości

składowych co krotka r dla atrybutów ze

schematu R oraz takie same jak krotka s dla

atrybutów ze schematu S. Ponieważ ta nowa

krotka została utworzona w wyniku złączenia,

więc dla atrybutów, które występują w obu

schematach R i S, wartości krotek r i s muszą

być takie same.

A B

2 2

3 4

B C D

2 8 9

5 1 2

4 7 5

7 3 4

A B C D

2 2 8 9

3 4 7 5

Złączenie – cd. Złączenia mogą dotyczyć wielu schematów

relacji naraz.

Często wraz z operacją złączenia wykonywana

jest operacja projekcji, dzięki temu można

wyeliminować kolumny, w których dane z punktu

widzenia danego złączenia są nie istotne, a

wręcz przeszkadzają.

Teta- złączenie Warunkiem złączenia naturalnego jest

zgodność wartości określonych atrybutów w

łączonych relacjach. Zdarza się jednak, że

istnieje potrzeba łączenia w oparciu o innaczej

zdefiniowany warunek niż równośc wartości

określonych atrybutów. Takie złączenie

nazywane jest złączeniem teta (teta określa

zadany warunek).

Teta-złączenie polega na:

– Utworzeniu iloczynu kartezjańskiego relacji R i S,

– Selekcji tylko tych krotek, dla których warunek teta

jest spełniony.

Teta-złączenie – cd.R JOIN S WHERE A < C

A B

2 2

3 4

B C D

2 8 9

5 1 2

4 7 5

7 3 4R x S

A R.B S.B C D

2 2 2 8 9

2 2 5 1 2

2 2 4 7 5

2 2 7 3 4

3 4 2 8 9

3 4 5 1 2

3 4 4 7 5

3 4 7 3 4

A R.B S.B C D

2 2 2 8 9

2 2 4 7 5

2 2 7 3 4

3 4 2 8 9

3 4 4 7 5

SELECT FROM RS

WHERE A < C

Wyrażenia złożone Algebra relacyjna, tak jak inne algebry,

umożliwia tworzenie dowolnie złożonych

wyrażeń przez zastosowanie operatorów albo

do danych relacji, albo do wyników otrzymanych

z zastosowania jednego lub wielu operatorów

do jednej lub wielu relacji.

W wyrażeniach algebry relacyjnej można

grupować operacje przez umieszczanie

nawiasów, które oddzielają podwyrażenia oraz

umożliwiają bardziej precyzyjne okreSienie

kolejności wykonywania poszczegóhych

operacji.

Wyrażenia złożone - przykładSELECT

(PROJECT

{R JOIN S WHERE A < C)

OVER A, C, D)

WHERE D = 9

A B

2 2

3 4

B C D

2 8 9

5 1 2

4 7 5

7 3 4

A C D

2 8 9

3 8 9

Przemianowania W przypadku złożonych operacji na wielu

relacjach przydatna jest operacja

przemianowania, która pozwala na zmianę

nazw poszczególnych atrybutów lub nazw

całych relacji (unikanie nieporozumień).

W wyniku przemianowania otrzymuje się

relację, do której należą te same krotki co do

relacji R, ale nazwą nowej relacji jest S.

Atrybuty otrzymują nazwy: A1,A2,…,An. A ich

porządek jest zachowany z relacji oryginalnej.

Równoważność wyrażeń W algebrze relacji osiągnięcie celu może zostać

zrealizowane za pomocą wielu równoważnych

wyrażeń.

Wybór najlepszego wyrażenia jest istotny z

punktu widzenia szybkości realizowanych

operacji (ich wymagań co do złożoności

obliczeniowej, pamięciowej itp.).

Wielozbiory W rzeczywistości w komercyjnych systemach

baz danych rzadko do reprezentacji danych

wykorzystuje się zbiory, które z definicji mogą

zawierać pojedyncze wystąpienie każdego

elementów. W praktyce dopuszcza się istnienie

kilku takich samych krotek.

„Zbiór” w którym elementy mogą się powtarzać

nazywa się wielozbiorem.

Wielozbiory w teori relacyjnych baz danych

występują jako struktury, które umożliwiają

przyspieszenie wykonywania operacji na

relacjach.

Wielozbiory – suma, iloczyn Suma wielozbiorów daje inny wynik niż suma

zbiorów. Jeśli jakaś krotka t w relacji R

występuje m razy a w relacji S n razy, to w

relacji będącej wynikiem sumy R i S krotka ta

wystąpi m + n razy.

Przecięcie wielozbiorów (iloczyn). Jeśli jakaś

krotka t w relacji R występuje m razy a w relacji

S n razy, to w relacji będącej wynikiem iloczynu

R i S krotka ta wystąpi min(m,n) razy.

Wielozbiór - różnica W przypadku różnicy wielozbiorów R i S (R – S)

krotka t w relacji wyjściowej wystąpi max(0, n –

m). Jeśli w relacji R krotka t występuje częściej

niż w S to w wynikowej relacji krotka ta wystąpi

n-m razy (każde wystąpienie krotki t w

wielozbiorze S „kasuje” jedno jej wystąpienie w

wielozbiorze R).

W przypadku gdy wystąpień krotki t w

wielozbiorze S jest więcej niż w R to w wyniku

różnicy tych wielozbiorów krotka t nie wystąpi.

Wielozbiory – rzutowanie i selekcja Jeśli usuwanie jednego lub więcej atrybutów w

trakcie rzutowania powoduje, że ta sama krotka

będzie utworzona z kilku krotek, to kopia tej

krotki nie zostanie usunięta z wyniku rzutowania

wielozbiorów.

Operacja selekcji na wielozbiorze wykonywana

jest niezależnie dla każdej krotki, a powstające

w jej wyniku ewentualne kopie krotki nie są z

wyjściowego wielozbioru usuwane.

Wielozbiór – iloczyn kartezjański,

złączenie Zarówno w przypadku iloczynu kartezjańskiego

jak i złączenia wielozbiorów obowiązują te same

zasady jak w przypadku zbiorów, z tą różnicą,

że powstające ewentualne kopie krotek nie są

usuwane.

Rozszerzone operatory Ze wzgledów praktycznych (wykorzystanie w

językach zapytań) algebra relacji została

rozszerzona o kilka przydatnych operacji:

– Operator eliminowania duplikatów (przekształcenie

wielozbioru w zbiór),

– Operatory agregowania (np. suma, średnia),

– Operator grupowania krotek według wartości jednego

lub wielu atrybutów,

– Operator sortowania –przekształca relację w listę

krotek uporządkowanych według wartości jednego

lub wielu atrybutów (zawsze jako ostatnia operacja),

– Rozszerzone rzutowanie,

– Operator złączenia zewnętrznego.

Operatory agregowania Kilka operatorów stosuje się do zbiorów lub

wielozbiorów wartości atomowych. Służą one do

sumowania lub tworzenia „agregatów” wartości z

jednej kolumny relacji i są nazywane

operatorami agregowania. Standardowe

operatory tego typu to:

– SUM – tworzy sumę wartości z kolumny typu

numerycznego,

– AVG – oblicza wartość średniej arytmetycznej z

wartości numerycznych danej kolumny,

– MIN, MAX – wyznaczają najmniejszy/największy

element w danej kolumnie,

– COUNT – podaje liczbę krotek w danej relacji.

Grupowanie

Często zdarza się, że nie wystarcza agregacja

wartości całej kolumny, ale należy rozważać

krotki relacji w grupach, które zależą od wartości

z innych kolumn.

Jeśli występuje grupowanie to agregowanie

występuje wewnątrz poszczególnych grup.

Grupowanie - cd Relację, która jest wynikiem grupowania tworzy

się:

– Dzieli się krotki relacji R na grupy. Każda grupa

składa się ze wszystkich krotek, z konkretnymi

wartościami atrybutów grupowanych z listy L. Jeśli

grupowanie nie występuje, to całą relacje R traktuje

się jak jedną grupę.

– W każdej grupie tworzy się jedną krotkę złożoną z:

wartości atrybutów grupujących dla tej grupy i

agregacji utworzonych z wszystkich elementów danej

grupy, które są określone przez atrybuty agregowane

zawarte w liście L.

Rzutowanie rozszerzone

W rzutowaniu rozszerzonym dopuszcza się

tworzenie nowych atrybutów (kolumn), których

wartości powstają w wyniku różnych operacji

arytmetycznych, logicznych itp. dokonanych na

wskazanych atrybutach składowych relacji.

Wynik rzutowania wylicza się, sprawdzając po

kolei każdą krotkę relacji R. Wartości nowej

krotki obliczane są według zapisu atrybutów z

listy L W wyniku powstaje relacja, której

schemat jest opisany listą L, z zastosowaniem

opisanych tam przemianowań. Z każdej krotki

relacji R powstaje jedna krotka wyniku.

Sortowanie Sortowanie jest przydatne w czasie

prezentowania danych. Ponieważ wynikiem

sortowania jest lista, a algebra relacji dotyczy

zbiorów lub wielozbiorów, dlatego sortowanie

nie może być składową innych wyrażeń w

algebrze relacji, zawsze powinno być operacją

końcową.

Sortowanie odbywa się według podanej listy

atrybutów. W czasie sortowania brane są pod

uwagę atrybuty z tej listy w kolejności, w jakiej

zostały na niej umieszczone.

Złączenie zewnętrzne W złączeniu naturalnym nie są uwzględniane

krotki, których nie można dopasować do krotek

drugiej relacji. Te niedopasowane krotki to są

tzw. krotki wiszące, które w złączeniu

naturalnym nie są uwzględniane.

W przypadku złączenia zewnętrznego brakujące

(nieokreślone) wartości uzupełnia się wartością

NULL.

Więzy Więzami określa się pewne reguły, które

opisują dane, a nie da się ich bezpośrednio

zamodelować za pomocą zbiorów encji,

związków czy relacji.

Powszechnie stosowane więzy to:

– Klucze – żeby określić, które atrybuty mogą tworzyć

klucz trzeba znać zasady dotyczące zakresu zmian

wartości tych atrybutów,

– Więzy jednoznaczności – wymagają aby wartość w

pewnym kontekście była unikatowa,

– Więzy integralności referencyjnej – wymagają aby

wartość, na która wskazuje jakiś obiekt faktycznie

znajdowała się w bazie,

Więzy – cd.– Więzy domenowe - określają zbiór

dopuszczalnych wartości lub zakres

zmienności tych wartości,

– Więzy zasadnicze – są to zasady, które są

arbitralnie narzucone i muszą być

bezwzględnie przestrzegany w czasie

wprowadzania danych.

Więzy relacji W algebrze relacyjnej istnieją dwa sposoby

określania więzów:

– Jeśli R jest pewnym wyrażeniem algebry relacyjnej,

to równanie R = Ø stanowi więzy, które można

interpretować w znaczeniu „relacja R jest pusta” albo

jako „w relacji R nie występują żadne krotki”.

– Jeśli R I S są wyrażeniami algebry relacyjnej, to RS

stanowi więzy. Można je przeczytać jako „każda

krotka R jest także krotką S”. W relacji S oczywiście

mogą występować poza tymi jeszcze inne krotki.

Oba zapisy są sobie równoważne i w zależności

od wygody można używać je zamiennie.