1. INTERPOLACJA1. INTERPOLACJA

2. APROKSYMACJA2. APROKSYMACJA

3. EKSTRAPOLACJA3. EKSTRAPOLACJA

1. INTERPOLACJA1. INTERPOLACJA

� na przedziale [a ; b] danych jest n+1 róŜnych punktów x0, x1, ..., xn, które nazywamy węzłami interpolacji oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach f(x0) = y0, f(x1) = y1, ..., f(xn) = yn.

� zadaniem interpolacjiinterpolacji jest wyznaczenie przybliŜonych wartościprzybliŜonych wartościfunkcji w punktach nie będących węzłami oraz oszacowanie błęduoszacowanie błędutych przybliŜonych wartości.

Zagadnienie interpolacji moŜna sformułować następująco:

� W tym celu naleŜy

znaleźć funkcję W(x),

zwaną funkcj ą interpoluj ącą, która w

węzłach interpolacji

przyjmuje takie same

wartości co funkcja

y=f(x).

� Interpolacja jest w pewnym sensie zadaniem odwrotnym dotablicowania funkcji. Przy tablicowaniu mając analityczną postaćfunkcji budujemy tablicę wartości, przy interpolacji natomiast napodstawie tablicy wartości funkcji określamy jej postać analityczną.

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji

- interpolacja funkcj ą liniową między punktami

y2 = a x2 + by1 = a x1 + b

naleŜy wyznaczyć współczynniki a oraz b

Sformułowanie zadania interpolacji z wykorzystaniem funkcji bazowych ϕϕϕϕ(x)

0

! w dwóch ostatnich równaniach brakuje na początku członu(x – x0)

! w równaniu na an brakuje w mianowniku na początku członu(xn – x0)

X * A = Y

ϕ0(x0) 0 0 a0 y0

0 ϕ1(x1) 0 * a1 = y1

0 0 ϕ2(x2) a2 y2

0 0

( )( ) ( )

( )

n ni

i i ii i i i

xW x a x y

x

ϕϕϕ= =

= =∑ ∑

naleŜy tylko pamiętać, iŜ w mianowniku nie moŜe być członu ( xi - xi )

Interpolacja sześciennymi

funkcjami sklejanymi

a=x0 x1 x2 xn-1 xn=b x

y

(x0,y0)

(x1,y1)

(x2,y2)(xn-1,yn-1)

(xn,yn)

S0(x)

S1(x)S2(x)

Sn-1(x)

3 2( ) 0, 1i i i i iS x a x b x c x d i n= + + + = −

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Dane jest n+1 punktów węzłowych, które tworzą n przedziałów. W kaŜdym przedziale konstruujemy funkcję interpolującą Si(x)

Interpolacja funkcjami sklejanymi

1. funkcja S(x) jest klasy C2 w [a,b]

2. funkcja S(x) jest wielomianem trzeciego stopnia w kaŜdym podprzedziale [xi,xi+1], i=0,1,...,n-1

3. funkcja S(x) interpoluje f(x), tj. S(xi)=yi, i=0,1,...,n

4.Dla x<a i x>b funkcja S(x) jest reprezentowana przez styczną do S(x) w punktach odpowiednio x=a i x=b (czyli druga pochodna poza przedziałem interpolacji znika - jest równa zero); są to tzw. naturalne funkcje sklejane.

Funkcje sklejane stopnia trzeciego spełniaj ą nast ępujące zało Ŝenia:

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Warunki wynikające z załoŜeń:

nixSxS

nixSxS

nixSxS

niyxS

iiii

iiii

iiii

iii

,...,1,0),()(

,...,1,0),()(

,...,1,0),()(

,...,1,0,)(

''1

''

'1

'

1

==

==

====

−

−

−

Ogólna postać funkcji sklejanych stopnia trzeciego

1,...,1,0],,[

)()()()()(

1

32

−=∈−+−+−+=≡

+ nixxx

xxdxxcxxbaxSxS

ii

iiiiiiii

- równość funkcji interpolujących

- równość pierwszych pochodnych

- równość drugich pochodnych

- pierwszy opis sklejki

Interpolacja funkcjami sklejanymi

- drugi opis sklejki

MATLABAMATLABA

Zestawienie funkcji interpolujących w Zestawienie funkcji interpolujących w MatlabieMatlabie

Zwraca macierz zi, zawierającą wartości

funkcji 2 zmiennychz = f(x,y) w punktach

określonych wektorami xi, yi ;

węzły interpolacji określają macierze x, y, z.

zi = interp2(x, y, z, xi, yi, ’metoda’)

Zwraca wektor yi, będący wartościami

funkcji 1 zmiennejy = f(x) w punktach

określonych wektorem xi;

węzły interpolacji określają wektory x i y;

’metoda’ - nazwa metody interpolacji.

yi = interp1(x, y, xi, ’metoda’)

Interpolacja funkcją n zmiennych, analogicznie jak interp2.

vi = interpn (x1, x2, x3,...,v, y1,y2,y3,...)

Interpolacja funkcją 3 zmiennych, analogicznie jak interp2.

vi = interp3(x, y, z, v, xi, yi, zi, ’metoda’)

2. Aproksymacja2. Aproksymacja

� Jest to zagadnienie bardziej ogólne od interpolacji albowiem funkcja

dana w postaci tabeli i funkcja szukananie muszą przyjmować tych

samych wartości w punktach węzłowych.

�Funkcję f(x) , znaną lub

określoną tablicą wartości,

będziemy aproksymować

(zastępować) inną funkcją

F(x), zwaną funkcją

aproksymującą lub

przybliŜeniem funkcji f(x).

Definicja aproksymacji

Błąd aproksymacji średniokwadratowej

( )2

0

( ) ( )n

sk i ii

B F x f x=

= −∑

Wykres aproksymacji funkcją liniowąWykres aproksymacji wielomianem

3 stopnia

3. Ekstrapolacja3. Ekstrapolacja