Andrzej Lenda Wybrane Rozdziały Matematycznych Metod Fizyki

KU 0114 pozycja wydawnictw naukowychAkademii Grniczo-Hutniczej im. Stanisawa Staszica w Krakowie

c Wydawnictwa AGH, Krakw 2004ISBN 83-89388-86-3

Komitet Naukowy UWND AGH:prof. dr. hab. in. Janusz Kowal (przewodniczcy),prof. dr. hab. in. Tadeusz Banaszewski,prof. dr. hab. Bogdan Choczewski,dr. hab. Zdzisaw Ciciwa, prof. AGH,prof. dr. hab. in. Edward Fra,prof. dr. hab. in. Ryszard Uberman

Recenzent: prof. dr hab. Andrzej Maksymowicz

Druk ze skadu i materiaw dostarczonych przez Autorai na odpowiedzialnoc Autora

Redakcja Uczelnianych Wydawnictw Naukowo-Dydaktycznych AGHal.Mickiewicza 30, 30-059 Krakwtel. 012 617-32-38, tel./fax 012 636-40-38e-mail: [email protected]

BG A

GH

Spis treci

Przedmowa do pierwszego wydania A.D. 1994 . . . . . . . . . . . . . . . iiiPrzedmowa do drugiego wydania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Przedmowa do wydania elektronicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

1 Zastosowania funkcji zmiennej zespolonej 11.1 Obliczanie caek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Caki z funkcji wieloznacznych . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Wyznaczanie sum szeregw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Wektorowe pole paskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Odwzorowania konforemne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.2 Homografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Siatka konforemnie rwnowana . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.4 Potencja zespolony wektorowego pola paskiego . . . . . . 281.3.5 Wektorowe pole paskie i odwzorowania konforemne . . . . 31

1.4 Rozkad funkcji meromorficznej na uamki proste . . . . . . . . . . 351.4.1 Iloczyn nieskoczony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.5 Gamma Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.1 Podstawowe wasnoci (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.5.2 Reprezentacja cakowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.5.3 Funkcje niekompletne (a, x) i (a, x) . . . . . . . . . . 461.5.4 Funkcja beta Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.5.5 Troch fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.6 Odwzorowania konforemne w hydrodynamice . . . . . . . . . . . . 501.6.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.6.2 Cakowity opyw okrgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.6.3 Cakowity opyw profilu typu skrzydo . . . . . . . . . . 58

2 Rwnania rniczkowe drugiego rzdu 672.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

i

BG A

GH

2.2 Metoda separacji zmiennych w rwnaniu rniczkowym o pochod-nych czstkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3 Punkty osobliwe rwnania rniczkowego . . . . . . . . . . . . . . 762.4 Podstawowe rwnania rniczkowe zwyczajne drugiego rzdu . . . 792.5 Metoda Frobeniusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6 Rwnania klasy Fuchsa uwagi oglne . . . . . . . . . . . . . . . 882.7 Rwnania klasy Fuchsa formy kanoniczne . . . . . . . . . . . . . 912.8 Drugie rozwizanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.8.1 Metoda wariacji parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.8.2 Drugie rozwizanie Wroskian . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.9 Funkcja konfluentna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.9.1 Rwnanie Bessela a rwnanie konfluentne . . . . . . . . . . 1132.9.2 Reprezentacja cakowa funkcji konfluentnej;

Asymptotyka w nieskoczonoci . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.10 Rwnanie niejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.10.1 Metoda wariacji parametrw . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.10.2 Metoda funkcji Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.11 Przykady zastosowa:stacjonarne rwnanie Schrodingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.12 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3 Zagadnienie SturmaLiouvillea 1373.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.2 Rwnanie wasne operatora rniczkowego . . . . . . . . . . . . . . 1383.3 Operatory hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.4 Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513.5 Metoda ortogonalizacji Schmidta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.6 Klasyfikacja wielomianw ortogonalnych w problemie S-L . . . . . 1563.7 Wzr Rodriguesa. Funkcje tworzce. Reprezentacje cakowe . . . . 1633.8 Ortogonalne i zupene zbiory funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683.9 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4 Legendre, Bessel i troch fizyki 1774.1 Wielomiany Legendrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.1.1 Potencjay multipoli elektrycznych . . . . . . . . . . . . . . 1774.1.2 Funkcja tworzca i relacje rekurencyjne . . . . . . . . . . . 1814.1.3 Rozwijanie funkcji w szereg wielomianw Legendrea . . . . 1874.1.4 Drugie rozwizanie rwnania Legendrea . . . . . . . . . . . 192

4.2 Rwnanie Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.2.1 Funkcja tworzca; relacje rekurencyjne . . . . . . . . . . . . 201

BG A

GH

4.2.2 Rwnanie falowe w symetrii cylindrycznej . . . . . . . . . . 2064.2.3 Problem wasny i rwnanie Bessela . . . . . . . . . . . . . . 2094.2.4 Rwnania redukowalne do rwnania Bessela . . . . . . . . . 2154.2.5 Sferyczne funkcje Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4.3 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5 Wstp do rwna cakowych. Funkcje Greena 2275.1 Typy rwna cakowych; Pojcia podstawowe . . . . . . . . . . . . 2285.2 Szereg Neumanna

iteracyjna metoda rozwizywania rwna cakowych . . . . . . . . 2345.3 Jdra iterowane; rezolwenta rwnania cakowego . . . . . . . . . . 2385.4 Rwnania Fredholma dla specjalnych typw jder . . . . . . . . . . 242

5.4.1 Jdra separowalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.4.2 Wartoci i funkcje wasne rwnania jednorodnego . . . . . . 2455.4.3 Jdra symetryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5.5 Funkcja Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2545.5.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2545.5.2 Funkcja Greena jeden wymiar . . . . . . . . . . . . . . . 2565.5.3 Jednowymiarowa funkcja Greena a problem wasny . . . . . 2655.5.4 Funkcja Greena dla 2 i 3wymiarowego operatora Laplacea 2675.5.5 Funkcje Greena zalene od czasu . . . . . . . . . . . . . . . 270

5.6 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

6 Uzupenienia 287A Kilka sw o przestrzeniach wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . 287

A.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287A.2 Przestrzenie wektorowe i rachunek macierzowy . . . . . . . 291A.3 Operatory w przestrzeni wektorowej . . . . . . . . . . . . . 292A.4 Operator sprzony i samosprzony . . . . . . . . . . . . . 294A.5 Przestrzenie funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

B Kilka sw o ukadach wsprzdnych krzywoliniowych . . . . . . . 297B.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297B.2 Analiza wektorowa w ukadach wsprzdnych krzywolinio-

wych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301B.3 Ukady wsprzdnych sferycznych i cylindrycznych . . . . 305

BG A

GH

iv

BG A

GH

Przedmowa v

Przedmowa do pierwszego wydania, A.D. 1994

Niniejszy skrypt zawiera zagadnienia, ktre stanowiy w ostatnich kilku latachtrzon wykadu przedmiotu matematyczne metody fizyki dla studentw III rokukierunku Fizyka Techniczna na Wydziale Fizyki i Techniki Jdrowej AGH. Oprczzagadnie omwionych w skrypcie do programu wykadu naleay w zaleno-ci od wczeniejszego przygotowania matematycznego suchaczy takie zagad-nienia, jak: teoria funkcji zmiennej zespolonej (odwzorowanie konforemne, teoriapola paskiego, zastosowania rachunku residuw), transformaty cakowe (Lapla-cea, Fouriera) oraz wstp do rwna rniczkowych o pochodnych czstkowych.Z kolei w skrypcie omwione s: rwnania rniczkowe zwyczajne drugiego rzdu,rwnanie wasne operatora rniczkowego drugiego rzdu oraz podstawy rwnacakowych i funkcji Greena. Materia zawarty w pierwszych dwch, do oglniepotraktowanych hasach (i rozdziaach), jest potraktowany bardziej szczegowoi aplikacyjnie w trzecim rozdziale, traktujcym o wielomianach Legendrea i funk-cjach Bessela. Rozdzia ten zawiera kilka przykadw zastosowania tych funkcjispecjalnych do opisu konkretnych problemw fizyki.

Zdecydowaem si na taki wanie wybr zagadnie z dwch powodw. Popierwsze, wydaje mi si, e tworz one stosunkowo zwart i logiczn cao.W gruncie rzeczy, jak wynika z zamieszczonych przykadw, tematem nr.1 skryp-tu jest problem wasny, sformuowany bd to w jzyku rwnania rniczkowego(z warunkami brzegowymi), bd w jzyku rwnania cakowego. Metoda funkcjiGreena, bdca bardzo fizycznym spojrzeniem na problem rwnania niejedno-rodnego (niejednorodno rwnania utosamiana jest ze rdem pola) moe teby traktowana jako jeden ze sposobw przejcia pomidzy zespoem: rwnanierniczkowe + warunki brzegowe, a rwnaniem cakowym.

Drugim powodem, ktry skoni mnie do powicenia skryptu wyej wymienio-nym zagadnieniom, bya ch dostarczenia suchaczom wykadu pewnych wska-zwek dotyczcych dalszych studiw. Materia skryptu nie pretenduje do ory-ginalnoci mona go znale w wielu podrcznikach, zarwno par excellencematematycznych, jak i w monografiach matematycznych przeznaczonych dla fizy-kw, inynierw itp., a wic bardziej dla uytkownikw narzdzia ni ewentualnychkonstruktorw jego ulepszonych modeli. Dlatego te na kocu kadego rozdziaupodane jest krtkie podsumowanie. Powinno ono uwiadomi Czytelnikowi, codaa mu lektura rozdziau, a take wskaza podrczniki, w ktrych mona zna-le dane zagadnienia omwiony w sposb podobny (w mniejszym lub wikszymstopniu) albo ewentualnie poszerzony. Wydaje si, e obecna sytuacja na rynkuksiki naukowej w znacznym stopniu uzasadnia potrzeb wydania skryptu. Wy-dana prawie dwadziecia lat temu znakomita monografia Byrona i Fullera jestpraktycznie niedostpna (nawet w bibliotekach), a o wznowieniu nic nie sycha.

BG A

GH

vi Przedmowa

Nic te nie wskazuje na to, aby ktrakolwiek oficyna wydawnicza zaryzykowaanabycie praw autorskich, przetumaczenie i wydanie cytowanej w skrypcie ksi-ki Arfkena. A nawet gdyby tak si stao, to jej cena byaby mao adekwatna domoliwoci finansowych jej gwnych potencjalnych odbiorcw studentw.

Do pracy nad skryptem skoniy mnie take znakomite moliwoci, jakie ofe-ruje dzisiejsza typografia komputerowa. Skrypt zosta wyedytowany przez autora,ktry zdaje sobie spraw z tego, e nie unikn pewnych bdw typograficznychi z gry za nie Czytelnika przeprasza. Autor, recenzent skryptu, a take studencikorzystajcy z powstajcych brulionw skryptu wyeliminowali wiele chochlikwdrukarskich cho na pewno nie wszystkie. Dlatego, przepraszajc raz jeszcze autorprosi Czytelnikw o przekazywanie mu uwag na temat dostrzeonych usterek.

Przedsiwzicia takie jak skrypt rzadko s dzieami majcymi jednego tylkoautora. Za nazwiskiem wymienionym na karcie tytuowej kryj si zwykle i inneosoby, ktre w taki czy inny sposb (czasem i niewiadomy) miay swj udzia w re-alizacji projektu. Chciabym tu w pierwszym rzdzie wymieni p. doc. dr. hab.Zygmunta Chyliskiego (UJ), z ktrym miaem szczcie wsppracowa w dy-daktyce metod matematycznych w fizyce wiele lat temu. Jest rzecz oczywist,e to Jego wykady miay wpyw na uksztatowanie spojrzenia autora skryptu nawiele zagadnie w nim poruszanych. Dzikujc Mu za t wspprac, chciabymjednoczenie prosi Go o wyrozumiao z pewnoci nie potrafiem napisaskryptu tak dobrego jakim byby skrypt Jego autorstwa. Dzikuj take pp. prof.dr. hab. Bohdanowi Dziunikowskiemu i prof. dr. hab. Kazimierzowi Przewockie-mu z naszego Wydziau, za ktrych kadencji dziekaskiej powstaa idea skryptu.Ich yczliwy stosunek do pomysu, sowa zachty i cierpliwo w oczekiwaniuna realizacj przedsiwzicia zasuguj na gorce podzikowania. Dzikuj takerecenzentowi skryptu, p. prof. dr. hab. Andrzejowi Maksymowiczowi (wwczasInstytut Informatyki AGH) za przeczytanie skryptu, recenzj i zawarte w niej ko-mentarze i sugestie poprawek, ktre na pewno pozytywnie wpyny na ostatecznredakcj skryptu.

Czytelnikowi winien jestem jeszcze jedno ostrzeenie. Materia skryptu to kom-pendium opracowane na podstawie wielu podrcznikw i zredukowane do rozmia-rw adekwatnych (zdaniem autora) do potrzeb i moliwoci rednich studentw,bdcych w poowie studiw. Dla nich skrypt ma by pomoc w nauce przed-miotu, odbywajcej si na wykadzie i wiczeniach rachunkowych, a take pomo-c w przygotowaniu si do egzaminu. Jednak dla ambitnych i oddanych naucestudentw skrypt ten moe stanowi jedynie zacht do dalszych, gbszych stu-diw. Im wiksza liczba uytkownikw skryptu po jego lekturze signie po ktrz cytowanych w nim pozycji bibliograficznych (albo po inn ksik o podobnejtematyce), tym wiksza bdzie satysfakcja autora.

BG A

GH

Przedmowa vii

Przedmowa do drugiego wydania

Pierwsze wydanie, o ktrym mowa w poprzedniej przedmowie, zostao uzupe-nione o rozdzia (pierwszy), powicony praktycznym aspektom rachunku funkcjizmiennej zespolonej. Rozdzia ten nie stanowi waciwego wykadu o funkcjachzmiennej zespolonej zakadam, e Czytelnik pozna ten materia na wykadziez matematyki. Jeeli Twoje wiadomoci Czytelniku s (wydaj si) nie na pozio-mie to, aby korzysta w peni z tego rozdziau, musisz sign po notatki z wy-kadw, lub po jedn z ksiek, ktrych spis zamieszczam na kocu rozdziau.Pozostae rozdziay (od drugiego do pitego) to w zasadzie rozdziay 14 po-przedniego skryptu, w ktrych usunito dostrzeone bdy i ktre uzupeniono okilka rysunkw. Uzupenienia stay si rozdziaem szstym.

W przygotowaniu pierwszego (dodatkowego) rozdziau bardzo pomoga mi pa-ni Anna Kocur, studentka 3. roku fizyki technicznej AGH (w roku akad. 2002/03),ktra skrupulatnie przeczytaa ten rozdzia i zwrcia mi uwag na liczne bdytypograficzne i niektre niezbyt szczliwe sformuowania. Dziki jej zaangaowa-niu obecna wersja jest znacznie lepsza. Pani Anna wykrya jeszcze kilka bdww nastpnych rozdziaach. Serdecznie Jej dzikuj w imieniu swoim, a takewszystkich uytkownikw.

W przyszoci przewiduj wydanie zbioru problemw, w wikszoci z rozwi-zaniami jako zrozumiaego uzupenienia ksiki.

Przedmowa do wydania elektronicznego

W wydaniu elektronicznym usunito jeszcze kilka dostrzeonych bdw, a takedodano moliwo nawigacji kliknicie (lewym klawiszem myszki) na nume-rze wzoru (rysunku) przenosi Czytelnika do danego wzoru (rysunku), lub (prawyklawisz) otwiera dany fragment tekstu w nowym oknie). Nie oznacza to, e pre-zentowany tekst jest ju na pewno pozbawiony usterek z gry dzikuj zawszelkie komentarze: mailto:[email protected].

Wspomniany w przedmowie zbir problemw ukaza si w 2006 roku.Przy jego opracowaniu miaem wielk przyjemno i satysfakcj wsppracowaz p. dr. Bartkiem Spisakiem.

BG A

GH

viii

BG A

GH

Rozdzia 1

Niektre zastosowania funkcjizmiennej zespolonej

1.1 Obliczanie caek

Caki typu

f(x)dx

Jeli f(z) jest funkcj regularn na osi rzeczywistej i w grnej ppaszczynie,za wyjtkiem skoczonej liczby izolowanych punktw osobliwych zk,k = 1, . . . , n (=(zk) > 0), to na mocy twierdzenia o residuach mamy +R

Rf(x)dx+

CR

f()d = 2piink=1

Res[f(z); z = zk], (1.1)

przy czym R > max (|z1|, . . . , |zn|). JeeliCR 0 przy R +, to w granicy

mamy +

f(x)dx = 2piink=1

Res[f(z); z = zk]. (1.2)

Innymi sowy, kontur cakowania por. rys.1.1 skada si z podstawy (osi rzeczy-wistej) i grnego pokrgu, przy czym zachowanie si funkcji f(z), przedueniaanalitycznego f(x) na grn ppaszczyzn, musi by takie, aby przyczynek docaki od grnego pokrgu zmierza do zera, przy pokrgu rozszerzajcym sido nieskoczonoci. Oczywiste jest, e tak bdzie dla funkcji typu

f(z) 1z1+

; > 0.

1

BG A

GH

2 Niektre zastosowania funkcji zmiennej zespolonej

Rysunek 1.1: Kontur cakowania: symetryczny segment osi rzeczywistej i grnepkole o promieniu R

Prostym przykadem bdzie obliczenie caki

I = +

dx

(x2 + a2)3; a > 0.

Przeduenie analityczne funkcji podcakowej na grn ppaszczyzn to funkcja

1(z2 + a2)3

;

cakujemy j po konturze przedstawionym na rysunku 1.1. Punkt z = ai jestbiegunem trzeciego rzdu, z residuum

c1 =12!

limzai

d2

dz2

[(z ai)3(z2 + a2)3

]= . . . =

316a5i

.

Czytelnik sam przeprowadzi szacowanie caki po grnym pokrgu; nietrudnowykaza, e

CR

f()d MR5 .

Podstawiajc do (1.2) otrzymujemy +

dx

(x2 + a2)3=

3pi8a5

.

BG A

GH

obliczanie caek 3

Caki typu

f(x)

{sinxcosx

}dx.

Cakami, w ktrych funkcja podcakowa ma ogln posta +

f(x)eix; > 0 (1.3)

rzdzi lemat Jordana. Jego sformuowanie to:Niech f(z) bdzie funkcj regularn w grnej ppaszczynie zespolonej, z wy-

jtkiem skoczonej liczby izolowanych osobliwoci biegunowych, i niech f(z)0dla wszystkich 0 arg z pi, przy |z| . Wwczas, dla > 0 zachodzi

limR

CR

f()eid = 0 (1.4)

(Caka po grnym pokrgu znika, przy promieniu pokrgu zmierzajcym donieskoczonoci). Dowd lematu jest prosty i pouczajcy. Jeeli f(z) 0, to dla

Rysunek 1.2: Pomocniczy rysunek dla dowodu lematu Jordana

|z| = R funkcja jest ograniczona i |f(z)| < R, dla |z| = R. Kadc = Reii zauwaajc, e w pierwszej wiartce (por. rys.1.2), dla kadego 0 pi/2,mamy sin 2pi, otrzymujemy oszacowanie przy R

CR

f()eid R R pi

0

ei d = R R pi0eR sind

= 2RR pi/2

0eR sin d < 2RR

pi/20

e2Rpid

=pi

R(1 eR) 0.

BG A

GH


W tym kontekcie oczywisty staje si wniosek:dla funkcji speniajcej warunki lematu Jordana mamy +

eixf(x)dx = 2pii

mk=1

Res[eizf(z); z = zk

], (1.5)

przy czym sumujemy po wszystkich osobliwociach f(z), lecych w grnej p-paszczynie1.

Przykad:Caka

I = +

cosxx2 + a2

dx = 0,

0

cosmxdx(x2 + a2)2

=pi

4a3(1 + am)eam; m, a > 0,

0

cosxdx(1 + x2)3

=716pi

e.

W powyszych przykadach zastrzegalimy si, aby osobliwoci biegunowe le-ay w grnej ppaszczynie. Nie jest to bezwzgldnie konieczne. Rozwamycak

1Gdyby wystpujca w wykadniku funkcji eksponencjalnej staa bya ujemna, to ana-logiczny lemat moemy sformuowa, ale dla konturu, ktrego pkole znajduje si w dolnejppaszczynie; dla czysto urojonego , tzn. = i, > 0, moliwe s sytuacje, w ktrychpkole konturu cakowania ley bd w prawej (+), bd lewej ppaszczynie (), a gwnecakowanie odbywa si wzdu osi urojonej.

BG A

GH

obliczanie caek 5

I =

0

sinxx

dx =12={ +

eix

xdx

} 1

2={I 1}. (1.6)

Rozszerzona analitycznie funkcja podcakowa w I 1 nie ma osobliwoci w obszarzeograniczonym przez kontur cakowania z rys.1.1, ale ma biegun pierwszego rzduna konturze, w punkcie z = 0. Jedyna rada, to modyfikacja konturu, tak jakpokazane jest to na rysunku 1.3. W przypadku konturu 1.3(a) mamy

Rysunek 1.3: Zmodyfikowany kontur cakowania: symetryczny segment osi rzeczy-wistej i due pkole o promieniu R zostay uzupenione o maepkole, po ktrym obchodzimy punkt z = 0

f()d =

R

eix

xdx+

+R+

eix

xdx+

C

ei

d +

CR

ei

d = 0 (1.7)

(brak przyczynkw od jakichkolwiek biegunw).Przy R i 0 dwie pierwsze caki skadaj si na cak I 1; ostatnia

caka dy do zera (lemat Jordana), natomiast przedostatnia toC

ei

d

= . . . = ei; d = ieid . . .

= i 0piei(cos +i sin )d = . . . 0 . . . = i

0pid = ipi.

Tak wic

I 1 = ipi; I = pi2 .Dla konturu 1.3(b) zmienia si kierunek obchodzenia punktu zero kt zmie-

nia si od pi do 2pi, tak e cakowanie po maym pkolu daje przyczynek rwny

BG A

GH


+ipi. Z kolei, po prawej stronie (1.7) pojawia si 2piiRes[eiz/z; z = 0] = 2pii.Daje to oczywicie ten sam wynik.

Caki typu 2pi

0R(cos , sin ) d

Przyjmijmy, e R(cos , sin ) d jest wymiern funkcj sinusa i kosinusa kta .Stosujemy podstawienie

z = ei; dz = ieid (1.8)

i konsekwentnie

cos =12

(z +

1z

); sin =

12i

(z 1

z

).

Przy takich podstawieniach 2pi0

R(cos , sin ) d I = 1i

|z|=1

R

(z +

1z, z 1

z

)dz

z. (1.9)

Konturem cakowania jest koo jednostkowe |z| = 1. Funkcja podcakowa pozo-staje w dalszym cigu funkcj wymiern, ale ju zmiennej z i zgodnie z definicjfunkcji wymiernej

R(z) = R(z +

1z, z 1

z

)1z

=a0 + a1z + anzn

b0 + b1z + amzm,

gdzie n i m to pewne (skoczone) liczby cakowite. Taka funkcja podcakowajest wewntrz koa jednostkowego analityczna wszdzie, poza skoczon liczb Npunktw, bdcych zerami mianownika (N m).Zgodnie z twierdzeniem o residuach

I = 1i

|z|=1

R(z)dz = 2piNk=1

Res[R(z); z = zk], (1.10)

gdzie zk to bieguny funkcji podcakowej.

Przykad:

I = 2pi

0

d

1 + a cos , |a| < 1.

Korzystamy z podstawienia (1.8). Caka przyjmuje posta

BG A

GH

obliczanie caek 7

I = 1i

|z|=1

1

1 +a

2

(z +

1z

) dzz

=2i

|z|=1

dz

az2 + 2z + a= . . .

Rozwizujemy rwnanie kwadratowe:

az2 + 2z + a = 0 = z1,2 = 1a

1a2 1.

Z postaci rwnania kwadratowego wynika, e z1 z2 = 1, a wic tylko jeden z bie-gunw ley wewntrz koa. Blisza analiza (warto j samemu przeprowadzi) wy-kazuje, e jest to z1 i ostatecznie

I = 4piRes[

1a(z z1)(z z2) ; z = z1

]= 4pi

1a(z1 z2) =

2pi1 a2 .

1.1.1 Caki z funkcji wieloznacznych

W powyszych przykadach obliczania caek korzystalimy z twierdzenia o resi-duach, ktre stosuje si do funkcji analitycznych jednoznacznych (funkcji regu-larnych). Jeeli przeduenie analityczne cakowanej (po osi 0x) funkcji f(x) napaszczyzn zespolon jest funkcj wieloznaczn, to musimy podda kontur cako-wania odpowiedniej modyfikacji tak, aby nie zawiera on punktw rozgazieniatakiej funkcji i rozwaa jedn ga funkcji f(z). Oprcz wynikw cakowaniatakie procedury pozwalaj nam lepiej zrozumie pojcia wieloznacznoci funkcjii jej gazi.

Jako przykad obliczmy cak

I =

0x1 f(x) dx, 0 < < 1. (1.11)

O funkcji f(z), stanowicej analityczne przeduenie f(x) na ca paszczyznCz, zakadamy, e jest ona analityczna wszdzie, z wyjtkiem skoczonej liczbyizolowanych punktw osobliwych biegunw: z = zk; k = 1, . . . , n, z ktrychaden nie jest dodatni liczb rzeczywist (a wic nie ley na dodatniej posi0x). Zakadamy te, e punkt w nieskoczonoci jest dla f(z) zerem przynajmniejpierwszego rzdu, natomiast punkt z = 0 jest usuwaln osobliwoci. Aby ob-liczy cak korzystamy z konturu (rys.1.4), na ktry skadaj si due kooCR i mae C, poczone dwoma segmentami cicia wzdu dodatniej posirzeczywistej. Na takim konturze cakujemy funkcj

(z) z1 f(z), (1.12)

BG A

GH


Rysunek 1.4: Kontur cakowania: due koo CR i mae C, poczone dwomasegmentami cicia wzdu dodatniej posi rzeczywistej

ktra na grnym brzegu cicia jest nasz funkcj podcakow ze wzoru (1.11).Z twierdzenia o residuach wynika

() d

= Rx1 f(x) dx+

CR+

1 f() d + R1 f() d +

C

1 f() d

= 2piink=1

Res [(z); z = zk] . (1.13)

(Znaki + i przy kolistych czciach konturu odnosz si do dodatniegoi ujemnego kierunku obiegu obszaru zawartego wewntrz konturu.) Dla drugiejcaki mamy oszacowanie

CR+

1 f() d

MR1 2piRR = 2piR1 0 przy R,bowiem zgodnie z zaoeniem o zachowaniu si f(z) w nieskoczonoci mamy, naduym kole o promieniu R,

|f(z)| < M|z| ; M pewna staa.

BG A

GH

obliczanie caek 9

Podobnie na maym kole, o promieniu ,C

1 f() d

M11 2pi 0 przy 0,co z kolei wynika z charakteru zera (usuwalna osobliwo) funkcja f(z) ma w jegookolicy ograniczenie M1.

Pozostaje caka R1 f() d

liczona wzdu dolnej krawdzi cicia. Na tej krawdzi arg = 2pi i dlatego mamy

= xei2pi = x; d = dx ei2pi = dx; 1 = x1ei2pi(1) = x1ei2pi.

Przy uwzgldnieniu zmiany kierunku cakowania, powysza caka przyjmuje po-sta

R1 f() d = ei2pi

Rx1 f(x) dx.

i wzr (1.13) daje nam (R, 0)

0x1 f(x) dx =

2pii1 ei2pi

nk=1

Res [(z); z = zk] . (1.14)

Przykadem zastosowania takiej metody moe by obliczenie caki

I =

0

x1

1 + xdx, 0 < < 1.

Jedyny biegun funkcji podcakowej to z = 1, z residuum rwnym eipi(1). Mamy

I = 2pii1 ei2pi e

ipi(1) = 2piieipi(1)1 ei2pi =

pi

sinpi.

Caki typu I =

0f(x) lnx dx.

Zakadamy, e mamy do czynienia z funkcjami parzystymi: f(x) = f(x),ktrych zachowanie si w nieskoczonoci to

f(z) 1z1+

; > 0.

BG A

GH


Funkcj f(x) przeduamy analitycznie na obszar grnej ppaszczyzny:f(x) lnx (z). Na osi rzeczywistej mamy, korzystajc z parzystoci f ,

x > 0; (z) = f(x) lnx;

x < 0; (z) = f(x) ln(xeipi) = f(x)[lnx+ ipi].

Cakujemy po konturze , jak na rys.1.3(a). Analogicznie jak w (1.7)

()d

= R

f(x)[lnx+ ipi] dx+ +R

+f(x) lnx dx+

Cf() ln d +

CR

f() ln d

= 2piink=1

Res[(z); z = zk], (1.15)

gdzie zk; k = 1, . . . , n to osobliwoci (z) w grnej ppaszczynie.Przy R i 0 obie caki po pokrgach znikaj, mamy bowiem

CR

f() ln d MR1+

pi0| ln |Rd Mpi

R

ln2R+ pi2 0 przy R

i podobnie dla maego pokrgu.Wzr (1.15) przybiera posta

f(x)[lnx+ipi

2] dx = 2pii

nk=1

Res [(z); z = zk], (1.16)

albo

0

f(x) lnx dx = piink=1

Res {[f(z)(ln z ipi/2)]; z = zk} . (1.17)

Opisany powyej schemat daje na przykad

0

lnx(1 + x2)2

dx = piiRes{[

1(1 + z2)2

(ln z ipi/2)]

; z = i}

= . . . = pi4.

BG A

GH

wyznaczanie sum szeregw 11

1.2 Wyznaczanie sum szeregw

Zamy, e mamy funkcj f(z), tak e

limz z f(z) = 0 (1.18)

i e funkcja ta ma, na paszczynie zespolonej Cz, skoczon liczb izolowanychpunktw osobliwych biegunw: z1, z2, . . . , zm. Dla (chwilowego) uatwienia przyj-mijmy, e adna z tych osobliwoci nie jest rzeczywist liczb cakowit: z 6= N .

Na paszczynie zespolonej konstruujemy kwadrat QN , pooony symetryczniewzgldem obu osi 0x i 0y, tak e wsprzdna x-owa jego prawego boku znajdujesi w rodku pomidzy x = N a x = N + 1 (por. rys.1.5, na ktrym okrelones wsprzdne czterech wierzchokw kwadratu.)

Rysunek 1.5: Kontur cakowania QN na paszczynie Cz

Wprowadzamy teraz funkcj

pif(z) ctg piz = pif(z)cospizsinpiz

(1.19)

iloczyn wprowadzonej wczeniej funkcji f(z) i kotangensa. Na bokach kwadratufunkcja ctg piz albo dla prostoty ctg z pozostaje ograniczona, bez wzgldu nawarto N . Mamy bowiem (pionowy bok, y > 0)

| ctg z| =cos zsin z

=eiz + eizeiz eiz

|eiz|+ |eiz||eiz| |eiz| . . .

BG A

GH


(modu z sumy nie jest wikszy od sumy moduw; modu z rnicy nie jestmniejszy od rnicy moduw); dla z = (N + 1/2) + iy

. . . =ey + ey

ey ey 1 przy y .

Jeeli tak to caka konturowaQN

pi ctg piz f(z)dz 0 przy N ,

bowiem dla dostatecznie duych NQN

ctg piz f(z)dz

QN

f(z)dz 0,

ze wzgldu na warunek (1.18). Z drugiej strony ta caka rwna jest z do-kadnoci do (mao istotnego w tym przypadku) czynnika 2pii sumie wszyst-kich residuw funkcji podcakowej, a wic tych liczonych w punktach osobli-wych f(z), jak i osobliwociach kotangensa biegunach pierwszego rzdu: z =0,1,2, . . . ,N, . . .. Te ostatnie to

Res {pi ctg piz f(z); z = N} = f(N).Mamy wic

0 = 2pii

N=+N=

Res[pi

cospizsinpiz

f(z); z = 0,1,2, . . . ,N, . . .]

+2pii

{mk=1

Res[pi

cospizsinpiz

f(z); z = z1, . . . , zk, . . . , zm

]}

albo

N=+N=

f(N) = pimk=1

Res[

cospizsinpiz

f(z); z = z1, . . . , zk, . . . , zm

]. (1.20)

(Jeeli zagldae kiedykolwiek Czytelniku do tablic sum szeregw, to z pew-noci zauwaye, jak wiele podanych tam wzorw zawiera w sobie liczb pi teraz rozumiemy ju dlaczego.)

Jako przykad rozwamy sum

n=1

1n4 + a4

; a4 6= 0,14,24, . . . . (1.21)

BG A

GH

wyznaczanie sum szeregw 13

Sum t moemy obliczy wedug zaprezentowanego wyej schematu, jeeli za-uwaymy, e

S

n=an = 2

n=1

an + a0 = 2n=1

an +1a4

;

stdn=1

an =S

2 1

2a4

(przez an oznaczylimy n-ty wyraz szeregu). Bieguny (pierwszego rzdu) funkcji(speniajcej warunek (1.18)!)

f(z) =1

z4 + a4,

to punkty speniajce rwnanie zr4 = a4:

zr = ia = a1 i

2; r = 1, 2, 3, 4,

a residua w nich to

res[f(z), z = zr] =1

4zr3=

zr4zr4

= zr4a4

.

Zgodnie z (1.20)

n=

1n4 + a4

=14pi

a4

4r=1

zr ctg pizr. (1.22)

Reszta to ju algebra; podstawiamy za zr i po odpowiednich przeksztaceniachotrzymujemy

n=1

1n4 + a4

=12

(pi

a3

2

sinpia

2 + sinhpia

2

coshpia

2 cospia2 1a4

). (1.23)

Rozumiemy teraz, dlaczego zastrzegalimy si e bieguny roboczej funkcji f(z)nie mog by liczbami cakowitymi chodzio o uniknicie kolizji osobliwoci obufunkcji: kotangensa piz i samej f . Ale nie jest to problem nie do ominicia. Naprzykad obliczenie szalenie czsto spotykanej sumy2

S n=1

1n2

(1.24)

2Przez okoo sto lat, na przeomie 17. i 18. wieku, wielcy matematycy Jan i Daniel Bernoulli,Stirling, Leibnitz prbowali obliczy t sum. Udao si dopiero Eulerowi, w 1735 r. Chceszwiedzie jak? Zagldnij na stron: http://www.ftj.agh.edu.pl/lenda/cicer/cyklop.htm.

BG A

GH

14 Zastosowania zmiennej zespolonej

po podstawieniu

f(z) =1z2

nie sprawia wikszych trudnoci. Jedyny biegun f(z), punkt z = 0, koincydujewprawdzie z biegunem kotangensa, ale nie przeszkadza to faktowi, e

n=1

1n2

+n=1

1n2

= 2S = piRes[

cospizsinpiz

1z2

; z = 0]. (1.25)

Dostajemy do policzenia residuum w biegunie 3. rzdu. Osobicie, zamiast liczydrug pochodn funkcji, wol liczy residuum z jego podstawowej definicji jakowspczynnik przy 1/z. Wystarczy wykona par pierwszych krokw dzielenia

cospizsinpiz

1z2

=1 (piz)22! + (piz)

4

4! . . .piz3

1! pi3z5

3! + . . .

=1piz3 1

3pi

1z

+ . . .

Dalsze rachunki nie s ju potrzebne; residuum wynosi 1/3pi, czyli zgodniez 1.25)

n=1

1n2

=pi2

6. (1.26)

Zaprezentowana, prosta w gruncie rzeczy, technika liczenia sum nieskoczo-nych opiera si fakcie, e residuum funkcji pi ctg piz dla z cakowitego rwne jestjednoci. Nietrudno zauway, e residuum funkcji

pi

sinpiz

dla z = n, to (1)n, a jeeli tak, to funkcja ta bdzie znakomitym narzdziem dosumowania szeregw przestpnych. Analogicznie do wzoru (1.20) bdziemy mie

n=+n=

(1)nf(n) = pimk=1

Res[

1sinpiz

f(z); z = zk

], (1.27)

przy czym f(z) i tym razem musi spenia warunek (1.18), a bieguny f(z) niepowinny koincydowa z biegunami sinpiz (N). Analiz zachowania si funkcji1/sinpiz na brzegu kwadratu pozostawiam Czytelnikowi; bardzo atwo mona wy-kaza, e na bokach kwadratu QN | sinpiz| 1.

BG A

GH

wektorowe pole paskie 15

1.3 Wektorowe pole paskie

Paszczyzna zespolona zbir liczb zespolonych moe by traktowana jako dwu-wymiarowa przestrze wektorowa. Cz rzeczywista liczby zespolonej to wsp-rzdna wektora na osi 0x; cz urojona jego wsprzdna na osi 0y. Zapis

z = x+ iy (1.28)

moe by traktowany jako przedstawienie wektora V

V = Vx + iVy. (1.29)

W fizyce, ktra rozgrywa si w normalnej trjwymiarowej przestrzeni, mamyczsto przypadki, kiedy rozpatrywane pola wektorowe s praktycznie dwu-, a nietrjwymiarowe. Pole elektryczne wytwarzane przez adunek rozcignity wzdujednego z trzech wymiarw, rozpatrywane niezbyt blisko kocw tego liniowegoadunku, jest do niego (praktycznie) prostopade, a wic do jego opisu wystarczdwie (a nie trzy) wsprzdne. Podobnie rzecz si ma w zjawiskach transportu masy (cieczy) lub ciepa kiedy pole prdkoci, z jak przemieszcza si mediumjest znowu w wyniku istnienia pewnych symetrii pozbawione zalenoci odjednej z trzech wsprzdnych.

To, e sigamy po przykady zjawisk fizycznych, opisywanych rwnaniem La-placea, nie jest przypadkowe. Przypomnijmy, e fundament analizy funkcji zmien-nej zespolonej warunki Cauchyego-Riemanna implikuj konieczno spenia-nia tego wanie rwnania przez cz rzeczywist i urojon funkcji f(z). Jeelifunkcja ma posta

f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = u(z) + iv(z), (1.30)

to z warunku analitycznoci w okrelonym punkcie z paszczyzny zespolonej,a wic warunku istnienia w tym punkcie pochodnej f (z) (t.j. granicy ilorazurnicowego limz0 f/z) wynikaj warunki Cauchyego-Riemanna, wiceze sob cz rzeczywist u(x, y) i urojon v(x, y) funkcji

u(x, y)x

=v(x, y)y

,

v(x, y)x

= u(x, y)y

.

(1.31)Rniczkujc pierwsze z powyszych rwna wzgldem x, drugie wzgldem yi dodajc stronami, otrzymujemy

2u

x 2+

2u

y 2= 0. (1.32)

BG A

GH

16 Zastosowania zmiennej zespolonej

(Analogiczny warunek dla v(x, y) otrzymamy, rniczkujc pierwsze z powyszychrwna wzgldem y, drugie wzgldem x i dodajc stronami.)

Cz rzeczywista i cz urojona funkcji analitycznej s funkcjami harmo-nicznymi. Harmoniczno spenianie przez funkcj rwnania Laplacea jestinherentnym atrybutem funkcji zmiennej zespolonej. Wanie ten fakt, w po-czeniu z traktowaniem paszczyzny zespolonej jako zbioru dwuwymiarowych wek-torw, stwarza bardzo skuteczne narzdzie rozwizywania problemw fizycznychopisanych rwnaniem Laplacea i pewnymi dodatkowymi warunkami brzegowy-mi. Narzdzie to formalnie oparte jest na odwzorowaniach konforemnych, to jestodwzorowaniach, jakie realizuje funkcja analityczna

w(z) = f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y). (1.33)

Funkcja ta odwzorowuje pewien obszar paszczyzny zespolonej Cz na pewien ob-szar paszczyzny zespolonej Cw. Zauwamy, e sytuacja jest znacznie bardziejskomplikowana ni w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej. Wtedy funkcjay = f(x) mwi nam o przyporzdkowaniu wartociom dziedziny punktom osi0x wartoci zbioru przeciwdziedziny punktw osi 0y. Wizualizacja takiegoprzyporzdkowania to wykres funkcji pewna krzywa na paszczynie 0xy. Abyzilustrowa odwzorowania realizowane przez funkcje zmiennej zespolonej, musi-my uy dwch, do zoonych, elementw: paszczyzny Cz (bd jej wybranegoobszaru) i paszczyzny zespolonej Cw, na ktrej powstaje obraz odwzorowania. Sy-tuacja ulega dalszej komplikacji, jeeli odwzorowanie nie jest jedno-jednoznaczne,to znaczy kiedy np. dwa (lub wicej) rne zbiory punktw paszczyzny Cz od-wzorowuj si w ten sam obszar Cw. Najprostszym przykadem jest funkcja

w = z2, (1.34)

ktra odwzorowuje zarwno grn, jak i doln ppaszczyzn C z;=(z) > 0 lub=(z) < 0 w t sam paszczyzn Cw, z wycit dodatni posi rzeczywist(por. podrozdzia 1.3.3). Funkcja odwrotna z =

w jest wwczas funkcj niejed-

noznaczn; moe zosta uczyniona jednoznaczn, jeeli jako jej dziedzin rozwaabdziemy nie jedn paszczyzn Cw, ale dwa identyczne paty Cw, zczone zesob wzdu linii cicia (np. dodatnich posi rzeczywistych) tzw. powierzchnieRiemanna funkcji pierwiastek (zespolony) z =

w. Funkcja w = z2 jest funkcj

wielowartociow (w tym wypadku wielo- to po prostu dwu-).Przykadem funkcji, ktra jest nieskoczenie wielowartociowa jest funkcja

w = ez = ex+iy = exeiy Rei. (1.35)Nietrudno zauway, e funkcja ta odwzorowuje pas paszczyzny Cz: < x =

odwzorowania konforemne 17

wicej, kady wyszy lub niszy poziomy pas Cz, o wysokoci 2pi, bdzieodwzorowany w Cw! Funkcja odwrotnaz = lnw = ln[Rei] = lnR+ i lnR+ i 2kpi; k = 0,1,2, . . . (1.36)

jest funkcj nieskoczenie wieloznaczn; jej powierzchnia Riemanna skada siz nieskoczonej liczby patw C , sklejanych wzdu linii cicia3.

1.3.1 Odwzorowania konforemne

Przypumy, e rozwaamy odwzorowanie pewnego obszaru Dz paszczyzny Cz,realizowane przez analityczn i jednoznaczn funkcj f(z). Obszar Dz ulega prze-obraeniu w obszar Dw. Analityczno f(z) oznacza, e dla dowolnego z0 Dzistnieje pochodna granica ilorazu rnicowego

f (z0) =dw

dz

z0

= limz 0

wz Kei, (1.37)

gdzie K to modu, a argument liczby zespolonej f (z0). Dodatkowo zamy,e pochodna f (z0) 6= 0. Odwzorowanie, realizowane przez tak funkcj f(z),nazywa bdziemy odwzorowaniem konforemnym.

Rysunek 1.6: Obliczanie pochodnej f(z) w punkcie z0

Znaczenie tego terminu jest nastpujce:Granic wystpujc w (1.37) moemy oblicza wzdu dowolnej krzywej prze-chodzcej przez z0, np. wzdu dwch krzywych 1 i 2 w Dz, ktrych obrazami

3Przypominam: ten rozdzia to nie jest wykad o funkcjach analitycznych. Korzystamy z poj,o ktrych Czytelnik powinien bd ju wiedzie, bd przyswoi je sobie, studiujc podstawowypodrcznik, traktujcy o funkcjach zmiennej zespolonej.

BG A

GH

18 Wektorowe pole paskie

na paszczynie Cw (w obszarze Dw) s 1 i 2 (rys.1.6). Wystpujce w licznikui mianowniku ilorazu rnicowego (1.37) przyrosty zmiennej (z) i funkcji (w)to wektory, stanowice segmenty siecznych przecinajcych krzywe 1 bd 2 (z)i 1 bd 2 (w). Sieczne te staj si w granicy z 0 stycznymi do krzywychi tworz z osiami rzeczywistymi odpowiednie kty; kty, ktre tworz styczne dokrzywych 1 i 2 oznaczmy odpowiednio przez 1 i 2, a styczne do ich obrazw krzywych 1 i 2 przez 1 i 2. Wprowadzony w (1.37) argument liczbyzespolonej w(z0) to

= arg f (z0) = limz 0

[arg w arg z] = 1 1 = 2 2, (1.38)

w zalenoci, czy wdrwka do punktu z0 odbywa si wzdu 1 czy 2.Mamy wic

1 1 = 2 2

albo

1 2 = 1 2 = ,

gdzie to kt, jaki tworz zarwno styczne do krzywych 1 i 2, jak i stycznedo ich obrazw krzywych 1 i 2. W przypadku odwzorowania konforemnego,kt midzy krzywymi zostaje zachowany. Zachowana jest nie tylko bezwzgldnawarto kta, ale i jego zwrot (znak).

Jeeli przeprowadzimy analogiczne rozumowanie dotyczce nie argumentu, leczmoduu liczby zespolonej, bdcej wartoci pochodnej f(z0), to wyniknie z niego,e wszystkie mae wektory te wok punktu z0, z, jak i te wok punktu w0,w powizane s zalenoci

|w| = K|z|,

gdzie przez K oznaczylimy modu liczby zespolonej w(z0).Wszystkie nieskoczenie mae wektory paszczyzny Cz, z okolicy punktu z0, w trak-cie konforemnego odwzorowania w wektory paszczyzny Cw doznaj identycznegorozcignicia bd kontrakcji.

Podkrelmy raz jeszcze waciwoci (zachowanie wartoci i znaku kta, tensam wspczynnik skalowania dugoci) wynikaj z analitycznoci funkcji, czyliistnienia jej pochodnej, a take rnej od zera wartoci tej pochodnej (dla wartocizerowej, wspczynnik skalowania byby rwny zeru!). Odwzorowanie, ktremuodpowiada funkcja f(z), nie bdzie konforemne w punkcie bdcym bd punktemosobliwym f , bd jej punktem zerowym.

BG A

GH

homografia 19

1.3.2 Homografia

Przykadem odwzorowania konforemnego jest odwzorowanie homograficzne:

w = f(z) =az + bcz + d

, (1.39)

gdzie: a, b, c, d to zespolone liczby, parametry homografii, speniajce oczywistywarunek

ac bd 6= 0. (1.40)Staa c te bdzie rna od zera (w przeciwnym wypadku mielibymy do czynieniaze zwyk funkcj liniow) i dlatego wzr (1.39) mona przeksztaci do postaci

w = f(z) =

a

cz +

b

c

z +d

c

=

a

c

(z +

b

a

)z +

d

c

pz + qz + r

, (1.41)

Trzy parametry: p = a/c, q = b/a, r = d/c okrelaj w peni odwzorowaniehomograficzne; funkcja (1.39), (1.41) jest jednoznaczn, analityczn funkcj nacaej paszczynie Cz, z wyjtkiem jednego punktu osobliwego, bieguna pierwszegorzdu: z0 = d/c = r. Funkcja odwrotna

z =pq rwp+ w (1.42)

jest take homografi, okrelon na caej paszczynie Cw, z wyjtkiem biegunaw0 = p = a/c. Zauwamy, punkt z0 = d/c = r odwzorowuje si w punktw =, a z = w w0 = p.

Pochodna funkcji (1.41) to

f (z) = pr q

(z + r)26= 0, (1.43)

(ze wzgldu na warunek (1.40)).Homografia jest wic odwzorowaniem konforemnym paszczyzny Cz na paszczyznCw.

Poniewa homografi okrelaj trzy parametry, to zadanie trzech odwzorowa trzech warunkw

f(z1) = w1, f(z2) = w2, f(z3) = w3, (1.44)

BG A

GH


okrela jednoznacznie odwzorowanie homograficzne. Obliczmy

w1 w3 = p(z1 z3)(r q)(r + z1)(r + z3) ,

w2 w3 = p(z2 z3)(r q)(r + z2)(r + z3) .

Dzielc powysze rwnania stronami, otrzymujemy

w1 w3w2 w3 =

z1 z3z2 z3

r + z2r + z1

. (1.45)

Powyszy zwizek mona zapisa dla dowolnego punktu w = w(z)

w1 ww2 w =

z1 zz2 z

r + z2r + z1

. (1.46)

Dzielc stronami (1.45) i (1.46), otrzymujemy

w1 ww2 w

w2 w3w1 w3 =

z1 zz2 z

z2 z3z1 z3 (1.47)

uwikan posta odwzorowania homograficznego, w ktrej wystpuj explicitewarunki (1.44). Wybr trzech punktw jest oczywicie dowolny, chocia istniejewyrniona triada: z = 0, z = 1 i z = zero (wybr pocztku ukadu i jednoczenie punktu w nieskoczonoci) oraz jednostka.

Aby okreli podstawowe wasnoci odwzorowania homograficznego przekszta-my raz jeszcze (1.41) do postaci

w = f(z) = p(q rr + z

+ 1). (1.48)

Homografi moemy traktowa jako zoenie trzech odwzorowa

z1 = r + z, z2 =1z1, z3 = p(q r)z2 + p.

Pierwsze i trzecie to odwzorowania realizowane przez funkcj liniow

w = az + b = (Aei)(rei) + b. (1.49)

W wyniku takiego odwzorowania liczby-wektory z zostaj obrcone (rotacja) o kt (argument liczby zespolonej a) i wyduone (lub skrcone dylatacja bdkontrakcja) o czynnik A (modu liczby zespolonej a), a nastpnie przesunite(translacja) o (stay) wektor-liczb b4.

4Wprowadzenie do algebry liczb zespolonych mona znale na stronie:http://www.ftj.agh.edu.pl/lenda/alg/pdfscr.pdf.

BG A

GH

homografia 21

Z kolei odwzorowanie w = 1/z to

w =1z

=1rei

=1rei Rei (1.50)

obraz punktu z = rei paszczyzny Cz to punkt paszczyzny Cw, ktregomodu R = 1/r, a argument = . Geometrycznie przedstawia to zoeniedwch operacji:

(a) Inwersji wzgldem okrgu jednostkowego; punkty A i A (koce odcinkwOA i OA) speniaj zaleno (por. rys.1.7(a))

OA OA = promie okrgu2 = 12 = 1.

Par punktw A i A nazywamy par symetryczn wzgldem okrgu. Jeeli promieokrgu nie jest jednostkowy, lecz jest rwny R0, to oczywicie

0A 0A = promie okrgu2 = R02.

(b) Operacji sprzenia zespolonego odbicia zwierciadlanego w osi rzeczywi-stej (por. rys.1.7(b)).

Rysunek 1.7: Odwzorowanie f = 1/z jako zoenie inwersji wzgldem okrgu jed-nostkowego (a) i odbicia w osi rzeczywistej (b)

Odwzorowania realizowane przez funkcje liniowe (rotacja + dylatacja/kontr-akcja + translacja) s trywialne; inwersja + odbicie w osi ju wprowadza cociekawszego. Wan cech homografii, wynikajc z wasnoci przeksztacenia re-alizowanego przez funkcj 1/z, jest niezmienniczo rwnania okrgu i (dowolnych)par punktw symetrycznych wzgldem niego.

BG A

GH


Homografia przeksztaca okrgi na paszczynie Cz w okrgi paszczyzny Cw;para punktw symetrycznych wzgldem okrgu na paszczynie Cz przechodzi w pa-r symetryczn wzgldem obrazu okrgu na paszczynie Cw.

atwo jest wykaza pierwsz cz tej wasnoci. Rwnanie okrgu na pasz-czynie Cz to

A(x2 + y2) +Bx+ Cy +D = 0, (1.51)

gdzie: A, B, C, D liczby rzeczywiste, przy czym A 0, B2 + C2 > 4AD. PrzyA = 0 okrg redukuje si do prostej (specjalny przypadek okrgu!); przy D = 0okrg przechodzi przez pocztek ukadu wsprzdnych (punkt z = 0). Wystarczyrozpatrzy, jak transformuje si rwnanie (1.51) przy transformacji w u+ iv =1/z. Mamy

z(x, y) x+ iy = 1w(x, y)

=1

u(x, y) + iv(x, y)=

u

u2 + v2+ i

vu2 + v2

(1.52)

albox =

u

u2 + v2, y =

vu2 + v2

.

Podstawiajc z powyszych rwna za x i y do (1.51) otrzymamy w jzykuzmiennych u i v paszczyzny Cw rwnanie

D(u2 + v2) +Bu Cv +A = 0, (1.53)a wic rwnanie analogiczne do (1.51)! Zauwamy, e dla D = 0 okrg (prze-chodzcy przez pocztek ukadu) przeobraa si w prost. Nie jest to zaskocze-niem. Obrazem punktu z = 0 w odwzorowaniu w = 1/z jest w = i viceversa: w() = 0. Okrg przechodzcy przez z = 0 odwzorowuje si w okrgprzechodzcy przez obraz tego punktu punkt w = . Zapamitajmy te para zero-nieskoczono jest par punktw symetrycznych wzgldem okrguo rodku w z = 0.

Dodajmy jeszcze, e homografia ta uproszczona, realizowana przez funk-cj 1/z jest na pewno odwzorowaniem konforemnym we wszystkich punktachCz, z wyjtkiem z = 0 i z = (w tych punktach nie jest okrelona pochodnafunkcji f(z) funkcja f (z) = 1/z2. Blisza analiza odwzorowania pozwala jed-nak stwierdzi, e podstawowe atrybuty odwzorowania konforemnego (zachowaniektw i stay wspczynnik wyduenia) s spenione take dla tych dwch szcze-glnych punktw. Dlatego, w peni poprawna charakterystyka homografii jakoodwzorowania bdzie miaa posta:

Kada funkcja homograficzna

w = f(z) =ac z +

bc

z + dc, ad bc 6= 0, (1.54)

BG A

GH

- siatka konforemnie rwnowana 23

przy czym w = dla z = d/c; w = a/c dla z = , okrela wzajemnie jedno-znaczne (jedno-jednoznaczne) odwzorowanie konforemne paszczyzny domknitejC z na paszczyzn domknit C w.

Przykad:Grn ppaszczyzn =(z) 0 chcemy przeksztaci w koo promieniu jed-

nostkowym, tak aby okrelony punkt ppaszczyzny z0 by rodkiem koa w = 0.Krzywa ograniczajca ppaszczyzn (brzeg obszaru Cz o rzeczywista) prze-chodzi przy tym w okrg, a w takim razie punkt z0, symetryczny do punktuz0 wzgldem osi rzeczywistej, powinien przej w punkt w = (symetryczny dopunktu w = 0 wzgldem okrgu |w| = 1.) Z tego wynika, e szukane odwzorowaniema posta

w = pz z0z z0 . (1.55)

Staa (zespolona) p jest jeszcze nieokrelona. Chcemy jednak, aby punkty osirzeczywistej z = x przechodziy w punkty okrgu |w| = 1. Podstawiajc z = x do(1.55) i biorc modu obu stron rwnania, mamy

|w| = |p|x z0x z0

= |p| = 1; (1.56)(|x z0| i |x z0| to odlegoci punktu z = x od punktu z0 i jego zwierciadlanegoodbicia w osi rzeczywistej). Tak wic |p| = 1, czyli p = ei moemy nasze kooobrci o dowolny kt , nie zmieniajc warunku zadania. Gdyby zamiast koajednostkowego chcielibymy uzyska koo |w| = R, to mielibymy p = Rei.

1.3.3 Siatka konforemnie rwnowana

Zacznijmy od banalnego stwierdzenia: na paszczynie Cz proste x = constansi y = constans przecinaj si pod ktem prostym. Proste te, reprezentuj rodzinykrzywych


Majc do czynienia z odwzorowaniem w = f(z), ktre spenia warunki konfo-remnoci w kadym punkcie obszaru zmiennej z Dz, mwimy o odwzorowaniukonforemnym w tym obszarze. Przypumy, e obrazem Dz (obszaru Cz) jest napaszczynie Cw obszar Dw. W tym ostatnim, rozpatrzmy siatk kartezjask,zbudowan z prostych o rwnaniach

u(x, y) = C1; v(x, y) = C2, (1.57)

przy czym odstpy pomidzy prostymi s stae i takie same dla obu rodzin pro-stych (c). Siatka ta dzieli obszar Dw na zbir elementarnych kwadratw o bokuc, tak jak pokazano na rysunku 1.8.

Rysunek 1.8: Prostoktna siatka kartezjaska na paszczynie zespolonej Cw

Przeciwobraz tej siatki na paszczynie Cz, na ktry skadaj si krzywe o rw-naniach (1.57), to wanie siatka konforemnie rwnowana kartezjaskiej siatcewsprzdnych (z paszczyzny Cw).

Na przykad, dla funkcji f(z) = z2 mamy

f(z) = (x+ iy)2 = x2 y2 + 2ixy; u(x, y) = x2 y2, v(x, y) = 2xy;(1.58)

dla funkcji f(z) = 1/z mamy (por.1.52)

f(z) =1

x+ iy=

x

x2 + y2+ i

yx2 + y2

; u(x, y) =x

x2 + y2, v(x, y) =

yx2 + y2

.

(1.59)Pierwsza z tych funkcji f(z) = z2 odwzorowuje w sposb jedno-jednoznaczny gr-n ppaszczyzn =(z) > 0 na paszczyzn bez posi rzeczywistej dodatniej (liniacicia). Odwzorowanie to jest konforemne w caej grnej ppaszczynie (dw/dzjest wszdzie rne od zera). Przeciwobraz prostoktnej siatki kartezjaskiej z Dw

BG A

GH

- siatka konforemnie rwnowana 25

na paszczynie D z w przypadku odwzorowania danego funkcj (1.58) to ro-dziny ortogonalnych hiperbol, okrelonych rwnaniami (1.58) i zilustrowanych narysunku 1.9.

Rysunek 1.9: Siatka konforemnie rwnowana siatce kartezjaskiej dla f(z) = z2

Dla funkcji (1.59) krzywe u = const 1/2C1 i v = const 1/2C2 zapisanew jzyku zmiennych x i y to okrgi

x

x2 + y2=

12C1

,y

x2 + y2=

12C2

, (1.60)

albo(x C1)2 + y2 = C21 , x2 + (y + C2)2 = C22 , (1.61)

a wic przeciwobrazami prostych u = const i v = const (dwie rodziny ortogo-nalnych okrgw, wzajemnie stycznych w w = ) s na paszczynie Cz ortogonalne rodziny okrgw, wzajemnie stycznych w przeciwobrazie nieskoczo-noci z Cw punkcie z = 0. Sytuacj ilustruje rysunek 1.10.

Reprezentacja kartezjaska liczby zespolonej (z = x+ iy) nie zawsze jest naj-wygodniejsza. W reprezentacji biegunowej (w = Rei) zamiast pary (u, v) posu-gujemy si par (R,). I w tym przypadku rodziny R = constans (okrgi wsp-rodkowe, o rodku w w = 0) oraz = constans (pk pprostych przechodzcychprzez pocztek ukadu) s wzajemnie ortogonalne (por. rys.1.11). Podobnie jakw przypadku siatki kartezjaskich, moemy te wprowadzi, na paszczynie Cz,pojcie siatki konforemnie rwnowanej biegunowej siatce wsprzdnych (z pasz-czyzny Cw).

BG A

GH


Rysunek 1.10: Siatka konformennie rwnowana siatce kartezjaskiej dla f(z) =1/z

Rysunek 1.11: Ortogonalna siatka biegunowa na paszczynie zespolonej Cw

Jako przykad zobaczmy jak wyglda taka siatka, w przypadku odwzorowaniapaszczyzny Cz funkcj homograficzn

w =z z , (1.62)

BG A

GH

- potencja zespolony wektorowego pola paskiego 27

gdzie i s dowolnymi punktami Cz. W wyniku odwzorowania punkty i przechodz odpowiednio w w = 0 i w =. Opierajc si na wasnoci homografii,moemy stwierdzi, e:(1) Okrgi przechodzce na paszczynie Cz przez i odwzorowuj si w okrgiprzechodzce na paszczynie Cw przez w() = 0 i w() = , a wic pprosteo rwnaniu arg(w) = = constans;(2) Okrgi z Cz, dla ktrych para i jest par punktw symetrycznych, prze-chodz, na paszczynie Cw, w okrgi, wzgldem ktrych symetryczne s w() = 0i w() =; bd to okrgi wsprodkowe, o rodku w w = 0 i rwnaniu

|w| =z z

= const.Okrgi takie, na paszczynie Cz, sa miejscami geometrycznymi punktw, dlaktrych stosunek odlegoci |z|/|z | jest wielkoci sta. S to tzw. okrgiApolloniusza.

Rysunek 1.12: Siatka konforemnie rwnowana siatce biegunowej dlaf(z) = (z )/(z )

Przeciwobraz siatki biegunowej z Dw na paszczynie Dz w przypadkuodwzorowania danego funkcj (1.59) to rodziny okrgw Apolloniusza i ortogo-nalnych do nich ukw opartych na punktach i , zilustrowane na rysunku 1.12.

BG A

GH


Rysunek 1.13: Elektryczne pole paskie nieskoczenie dugiej, jednorodnie naa-dowanej prostej. (a) Widok z boku; (b) widok w paszczynieprostopadej do prostej |E| 1/r

1.3.4 Potencja zespolony wektorowego pola paskiego

Przykadem wektorowego pola paskiego niech bdzie pole elektryczne, wytwa-rzane przez jednorodnie naadowan prost (gsto liniowa adunku ). Poletakie nazwiemy umownie polem adunku punktowego; pole to moemy rozpatry-wa w dowolnej paszczynie, prostopadej do prostej. Wektor pola, E, ley w tejpaszczynie (por. rys.1.13(a)). W jzyku zmiennej zespolonej moemy zapisa

E = Ex + iEy Vx i V

y, (1.63)

gdzie V = V (x, y) jest funkcj potencjau. Warto bezwzgldn wektora nate-nia pola znajdziemy natychmiast z prawa Gaussa: zamykajc jednostkow dugonaadowanej prostej cylindryczn powierzchni gaussowsk o promieniu r i przy-rwnujc strumie pola E do cakowitego adunku (w jednostkach 0) zawartegowewntrz cylindra mamy

2pir 1E = /0;

(por. rys.1.13(b)). Mamy wic E =

2pi0

1r

albo w jzyku wektorw-liczb zespolo-

nych

E =

2pi0

z

|z|2 =

2pi0

x

x2 + y2+ i

2pi0

y

x2 + y2. (1.64)

Zgodnie z rwnaniami (1.63) potencja takiego pola moemy obliczy na przykadwedug wzoru

V = 2pi0

xx0

x dx

x2 + y2=

4pi0ln(x2 + y2) + C =

2pi0ln

1|z| + C. (1.65)

BG A

GH

- potencja zespolony wektorowego pola paskiego 29

Staa C teoretycznie mogaby zalee od zmiennej y, ale symetria wyrae na Exi Ey (por.1.64) wyklucza tak moliwo. C jest wic zwyk sta, nie majcznaczenia w przypadku okrelania funkcji potencjau.

Warunki Cauchyego-Riemanna (por.1.31) narzucaj istnienie funkcji U(x, y)

U(x, y)x

=V (x, y)y

= Ey,U(x, y)y

= V (x, y)x

= Ex.

(1.66)Wykonujc rachunki, analogiczne do tych, jakie mielimy we wzorze (1.65) (caku-jc pierwsze z rwna (1.66)), otrzymujemy, znowu z dokadnoci do nieistotnejstaej C lub C

U = 2pi0

xx0

y dx

x2 + y2=

2pi0arctg

x

y+ C

= 2pi0

(pi

2 arctgy

x

)+ C =

2pi0arg z + C . (1.67)

Funkcja V (x, y) to, jak powiedzielimy, potencja naszego pola elektrycznego; izo-linie V = const (na paszczynie W = U + iV ) to linie ekwipotencjalne. Pro-stopade do nich izolinie U = const to linie si pola, tory po ktrych porusza siwprowadzony do niego prbny adunek. Funkcj

W (x, y) = U(x, y) + iV (x, y) (1.68)

nazywamy potencjaem zespolonym rozpatrywanego pola. W przypadku punkto-wego adunku

W (x, y) =

2pi0arg z + i

2pi0ln

1|z| =

i

2pi0

(ln

1|z| i arg z

)=

i

2pi0

(ln1z+ i arg 1z

)=

i

2pi0ln

1z. (1.69)

Zawarte s w nim linie ekwipotencjalne, linie si, a take natenie pola E. Mamybowiem

W (z) =U

x+ i

V

x=

V

y+ i

V

x= Ey iEx = i(Ex iEy). (1.70)

Aby otrzyma explicite wektor E, musimy wykona operacj sprzenia

E = Ex + iEy = iW (z). (1.71)

BG A

GH


Oczywicie warto bezwzgldna wektora E wynosi

E = |W (z)| =(

V

x

)2+(V

y

)2. (1.72)

Potencja zespolony przedstawia przeksztacenie paszczyzny Cz, w ktrej roz-patrujemy nasze pole wektorowe, na paszczyzn Cw, konforemne we wszystkichpunktach obszaru Dz , w ktrych natenie nie jest rwne zeru. Linie si wektorwE i linie ekwipotencjalne na paszczynie Dz to przeciwobrazy (siatka konforem-nie rwnowana) rodzin prostych U = constans i V = constans na paszczynieCw5.

Funkcja okrelona we wzorze (1.69) to potencja zespolony pola, wytworzonegoprzez punktowy adunek, umieszczony w punkcie z = 0. Jeeli adunek znajdujesi nie w pocztku ukadu, ale w punkcie z = z0, to potencja zespolony bdziemia posta

W =i

2pi0ln

1z z0 . (1.73)

Jeeli rozpatrzy dwa, rnoimienne adunki, + i , umieszczone odpowiedniow punktach i paszczyzny z, to potencja zespolony ukadu wynosi

W =i

2pi0ln

1z

i

2pi0ln

1z =

i

2pi0lnz z . (1.74)

Linie ekwipotencjalne s okrelone rwnaniem

=(W ) = 2pi0

ln z z = constans,

albo prostszym z z = constans.

Powysze krzywe to znane nam ju okrgi Apolloniusza. Prostopade do nichlinie si to uki okrgw, oparte na punktach i . Na rysunku 1.12 ogldamyobraz linii si pola i krzywych ekwipotencjalnych dla ukadu dwch, rwnych cowartoci bezwzgldnej, rnoimiennych adunkw liniowych.

5Sytuacja z punktu widzenia formalnego jest nieco bardziej skomplikowana. Konforemnowymaga w zasadzie jednoznacznoci odwzorowania, podczas gdy w opisanym powyej przykadziemamy do czynienia z funkcj nieskoczenie wieloznaczn. Naleaoby wic sprecyzowa, z jakimigaziami tej funkcji mamy do czynienia, wprowadzajc ewentualnie odpowiednie linie cicia.Niemniej jednak, z pragmatycznego punktu widzenia, nie jest to konieczne. Pochodna takiejnieskoczenie wieloznacznej funkcji jest ju funkcj jednoznaczn, a to wanie pochodna okrelanasze pole.

BG A

GH

i odwzorowania konforemne 31

I jeszcze jeden, ju ostatni, przykad. Dwm rnoimiennym adunkom ,umieszczonym w punktach = 0 i = a odpowiada potencja zespolony

W =i

2pi0lnz + az

=i

2pi0ln(

1 +a

z

)=

ai

2pi0ln(

1 +a

z

)1/a mdi

2pi0ln(

1 +a

z

)1/a,

(1.75)gdzie wprowadzilimy moment dipolowy: md = a. Zgodnie z definicj dipola,przechodzimy teraz z odlegoci a do zera, powikszajc wartoci bezwzgldneadunkw, tak aby iloczyn a pozostawa stay. Potencja zespolony liniowegodipola to

W =mdi

2pi0lim

a0;a=constans

ln(

1 +a

z

)1/a=

mdi

2pi0ln(e1/z

)=

mdi

2pi0

1z

(1.76)

homografia omawiana w podrozdziale 1.3.3. Linie ekwipotencjalne i linie si przeciwobrazy kartezjaskiej siatki paszczyzny Cw to pki okrgw wzajemniestycznych w punkcie z = 0 (por. rys.1.10).

1.3.5 Wektorowe pole paskie i odwzorowania konforemne

Podane w poprzednim podrozdziale przykady uzmysawiaj nam, wspomnianju wczeniej, organiczn przydatno funkcji zmiennej zespolonej do rozwi-zywania problemw z elektrostatyki, hydrodynamiki, teorii transportu krtkomwic: problemw sformuowanych w jzyku rwnania Laplacea. Cz rzeczy-wista i urojona kadej funkcji analitycznej speniaj to rwnanie i jako takie mogreprezentowa bd to potencja pola, bd linie si. W praktyce, czsto mamy doczynienia z sytuacjami, w ktrych samo sformuowanie problemu sprowadza si dozadania okrelonych wartoci potencjau na pewnych obiektach, ktrych geome-tryczne wyobraenie stanowi pewne krzywe, nalece do okrelonego obszaru Dz. Niewtpliwie, najprociej taka sytuacja wyglda, jeeli krzywymi tymi s proste(prostoktna siatka kartezjaska) bd wsprodkowe okrgi i pk prostych (or-togonalna siatka biegunowa). Idea wykorzystania odwzorowa konforemnych dorozwizywania tego typu problemw sprowadza si do znalezienia odwzorowania,ktre przeksztaca rzeczywisty obraz krzywych rwnego potencjau, istniejcy napaszczynie Cz, w jeden z tych standardowych typw siatki na paszczynie Cwalbo, innymi sowy, znalezienia odwzorowania, w ktrym przeciwobrazem siatkiprostoktnej lub biegunowej z Cw siatk konforemnie rwnowan na paszczy-nie Cz jest rzeczywisty obraz krzywych rwnego potencjau i prostopadych donich linii si.

BG A

GH


PrzykadWyobramy sobie nieskoczenie dugi walec (pusty w rodku), o promieniu

jednostkowym, ktry zosta przecity na dwie identyczne powki paszczyzn,w ktrej ley o walca. Dwie powki zostay rozsunite na bardzo ma (nie-skoczenie ma) odlego i naadowane tak, e wytworzona rnica potencjaumidzy nimi jest rwna 2V . Sytuacja, ogldana w dowolnej paszczynie Cz, pro-stopadej do osi walca, jest zilustrowana na rysunku 1.14.

Rysunek 1.14: Dwa naadowane pwalce przewodzce na paszczynie Cz i ichobraz na paszczyznach C w1 i Cw

Interesuje nas znalezienie pola (potencjau) w dowolnym punkcie pomidzydwoma pwalcami. W tym celu, poszukujemy odwzorowania, ktre ten obszar,z paszczyzny Cz, przeksztaca w pas, o wysokoci 2V , na paszczynie Cw. Wie-my, e aby uzyska pas, powinnimy uy funkcji logarytmicznej (por. podrozdzia1.3, wzory (1.35) i (1.36)), ktra obszar, na przykad ppaszczyzny, przeksztacaw pas o szerokoci (wysokoci) pi. Poniewa, jak wynika z rysunku 1.14, punktyz = 1 i z = 1 s jedynymi punktami specjalnymi, rozwamy w pierwszej kolej-noci homografi6

w1 =1 + z1 z . (1.77)

Od razu widzimy, e w1(0) = 1. Punkty lece na okrgu jednostkowym, z = ei,

6Sztuka nieco ju zanikajca znajdowania odwzorowa konforemnych w duej mierzesprowadza si do technik heurystycznych, czyli tzw. metody prb i bdw. Zaproponowanahomografia mogaby by nieco inna na przykad z mianownikiem i licznikiem zamienionymimiejscami, lub jednym z nich pomnoonym przez 1. Warto sprawdzi Czytelniku, e te alter-natywne postacie te zaprowadz nas do waciwego wyniku kocowego.

BG A

GH


0 2pi transformuj si

1 + ei

1 ei = ei/2 + ei/2

ei/2 ei/2 = i ctg

2(1.78)

w o urojon paszczyzny C w1 . Poniewa w1 = 1 ley po prawej stronie osi urojo-nej, to odwzorowanie okrelone wzorem (1.77) odwzorowuje wntrze koa jednost-kowego na praw ppaszczyzn:


Rysunek 1.15: Dwie rury niewsprodkowe na paszczynie Cz i ich obraz napaszczynie C

pola w piercieniu, a wic w obszarze (zmiennej zespolonej ) ograniczonym dwo-ma wsprodkowymi powierzchniami walcowymi o promieniach r i R (r < R),z ktrych kada ma ustalon warto temperatury. Niewtpliwie izolinie tempe-ratury to okrgi o promieniach || = ; r R. Prostopade do nich prostearg = constans to linie, wzdu ktrych nastpuje przepyw ciepa (od tem-peratury wyszej do niszej). Sytuacja jest wic analogiczna do przypadku polapunktowego adunku; potencjaem zespolonym bdzie funkcja

W = Ki ln , (1.80)

gdzie K jest sta rzeczywist. Rzeczywicie, cz urojona V = K ln || wyraenia(1.80) przybiera na okrgach || = r i || = R wartoci stae; staa K zapewnianam odpowiedni rnic temperatur midzy dwoma granicznymi okrgami

K = (T2 T1)/ ln Rr.

Jeeli zamiast rnicy chcemy, tak jak w sformuowanym powyej problemie, ope-rowa dwoma okrelonymi wielkociami temperatury, powinnimy zmodyfikowafunkcj (1.80) poprzez dodanie do niej jeszcze jednej staej, czysto urojonej

W = Ki ln + iL. (1.81)

Dodanie staej w potencjale jest zawsze moliwe (rwnanie Laplacea w dalszymcigu pozostaje spenione), a cz urojona ma posta

V = K ln ||+ L (1.82)i waciwe dobranie staych K i L pozwala na uzyskanie V (r) = T1 i V (R) = T2.Pozostawiam Ci Czytelniku znalezienie odwzorowania = (z), ktre dwa okrgi

BG A

GH


z rysunku 1.15 przeprowadza w dwa okrgi wsprodkowe, o rodku w = 0.Jako wskazwk przypominam: dla tych ostatnich okrgw par punktw syme-trycznych s punkty = 0 i =.

Metoda odwzorowa konforemnych cechuje si du elegancj i skutecznoci,ale jej podstawow wad stanowi wymg dwuwymiarowoci problemu. Niewt-pliwie, w dobie szybkich komputerw i szalenie skutecznych metod numerycznych(metod rnicowych) rozwizywania rwnania Laplacea (nawet z mocno skom-plikowanymi warunkami brzegowymi) jej uyteczno nie jest ju taka, jak byakilkadziesit lat temu. Ale dla ambitnego Czytelnika mam propozycj, ktranie tylko stanowi ciekawy i cakiem praktyczny problem, ale w dodatku uzmy-sawia potg i elegancj metody odwzorowa konforemnych. Ot, wyobramysobie metalowy krek ( o zadanym promieniu), na ktrym zdeponowano adunekelektryczny Q. Interesuje nas gsto powierzchniowa adunku (w funkcji odlego-ci od rodka krka). W kontekcie metody potencjau zespolonego zagadnieniejest dwuwymiarowe (o symetrii krka niszczy jeden wymiar). Jeeli ju Czy-telniku znajdziesz odpowiednie odwzorowania, potencja i gsto powierzchnio-w adunku, to sprbuj rozwiza ten sam problem metod separacji zmiennychw rwnaniu Laplacea, zapisanym w odpowiednim dla symetrii problemu ukadziewsprzdnych (ukad wsprzdnych elipsoidalnych). I tu czeka Ci spora satys-fakcja, jeeli dobrniesz do koca rachunkw, ktre cho nie trudne wymagaj sporouwagi. Ich kocowy etap to rwnanie Legendrea dla funkcji argumentu czystourojonego. Odpowiednie warunki brzegowe (stao potencjau na brzegu krka)powinny da wynik pozostajcy w zgodzie z tym uzyskanym metod odwzorowakonforemnych. Ale bilans kosztw w tym przypadku preferuje bezwzgldnie tnieco ju staromodn metod!

1.4 Rozkad funkcji meromorficznej na uamki proste;iloczyny nieskoczone

Zamy, e mamy funkcj f(z), ktra jest regularna w caej paszczynie otwartej,z wyjtkiem izolowanych punktw osobliwych: z = z1, z2, . . . , zm . . .; limm zm = biegunw pierwszego rzdu8. Dla uatwienia przyjmijmy, e bieguny f(z) suszeregowane wedug rosncych moduw: |z1| |z2| . . . |zk| . . . |zm| . . ..Rozwamy cak

12pii

Km

f(z)z z0dz

12pii

Km

(z)dz. (1.83)

8Poniszy wywd moe zosta rozszerzony na przypadek, kiedy osobliwoci funkcji biegunowejs biegunami n-tego rzdu.

BG A

GH

36 Rozkad funkcji meromorficznej

Cakujemy po kole o rodku w z = 0 i promieniu Km na tyle duym, e mieci siw nim pierwsze m biegunw oraz punkt z0. Zgodnie z twierdzeniem o residuach,warto tej caki to suma residuw funkcji podcakowej (z), na ktr skadaj siresidua w z0 i z = zk, k = 1, . . . ,m. Pierwsze z nich to po prostu f(z0), pozostaeto

C1((z), z = zk) = limzzk

(z zk)f(z)z z0 =

c1(z = zk)zk z0 , (1.84)

gdzie c1(z = zk) to residuum f(z) w jej k-tym biegunie. Tak wiec caka (1.83)jest rwna

12pii

Km

f(z)z z0dz = f(z0) +

mk=1

c1(z = zk)zk z0 (1.85)

albo

f(z0) =1

2pii

Km

f(z)z z0dz +

mk=1

c1(z = zk)z0 zk . (1.86)

Zauwamy, e dla z0 = 0 rwnanie(1.85) to

12pii

Km

f(z)z

dz = f(0) +mk=1

c1(z = zk)zk

. (1.87)

Lew stron rwnania (1.85) moemy przetransformowa do postaci

12pii

Km

f(z)z z0dz =

12pii

Km

f(z)z

dz +1

2pii

Km

f(z)z0z(z z0)dz. (1.88)

Za pierwsz z caek wystpujcych po prawej stronie podstawiamy z rwnania(1.87). Wwczas rwnania (1.86), (1.88) i (1.87) daj

f(z0) = f(0) +mk=1

c1(z = zk)z0 zk +

mk=1

c1(z = zk)zk

+1

2pii

Km

f(z)z0z(z z0)dz.

(1.89)Jeeli mamy do czynienia z funkcj f(z), ktra przy z pozostaje ograniczona,albo ronie, ale tak, e

f(z)z2 1z1+

; > 0, (1.90)

to caka wystpujca w (1.89) przy z znika i otrzymujemy zgrabne wyra-enie funkcji f(z) (dla wybranego punktu z = z0) w postaci nieskoczonej sumyuamkw prostych

f(z0) = f(0) +k=1

c1(

1z0 zk +

1zk

). (1.91)

BG A

GH

na uamki proste 37

Tak jak wspomnielimy na wstpie, bieguny nie musz by biegunami pierwsze-go rzdu. Dla biegunw n-tego rzdu wzr ulega pewnej komplikacji, niemniejjednak podstawowy wniosek wywd pozostaje ten sam funkcja jest okrelonapoprzez swoje osobliwoci biegunowe (zk) i wartoci residuw w tych punktach.W przypadku kiedy bieguny s biegunami 1. rzdu, to wzr (1.91) nazywa si roz-winiciem Cauchyego; dla biegunw ntego rzdu mwi si o rozwiniciu (postanieco bardziej skomplikowana) Mittaga-Leera.

Sympatycznym przykadem bdzie dobrze nam znana funkcja ctg z. Poniewajednak ctg 0 jest nieokrelony, bdziemy rozwaa funkcj

f(z) = ctg z 1z. (1.92)

W zerze f(0) = 0; a (pozostae) bieguny kotangensa to zk = pi,2pi, . . .. Zgodniez (1.91)

ctg z 1z

=k 6=0

(1

z kpi +1kpi

). (1.93)

(Sumujemy po wszystkich wartociach dodatnich i ujemnych wskanika k,z wyjtkiem k = 0.) Oglny wyraz szeregu (1.93), w kole o skoczonym (dowolnieduym) promieniu R, dla |z| R spenia z(z kpi)kpi

= 1k2 |z|pi pi zk 1k2

R

pi(pi Rk

) , (1.94)czyli dla odpowiednio duego k majorant dla szeregu (1.93) jest (zbieny jedno-stajnie i bezwzgldnie w dowolnym kole |z| R) szereg +1/k2. Dlatego te,dla dowolnej, skoczonej wartoci z moemy w (1.93) zmieni porzdek wyrazw;czc parami wyrazy o przeciwnych znakach wskanika k, otrzymujemy

ctg z =1z

+k=1

2zz2 k2pi2 (1.95)

albo dla funkcji ctg piz

pi ctg piz =1z

+k=1

2zz2 k2 . (1.96)

Tego typu rozwini mona utworzy wiele. Poniej podajemy kilka z nich weryfikacja tych wzorw odbywa si dokadnie wedug zaprezentowanego wcze-niej schematu. Jedyna (niewielka) trudno to poprawne zlokalizowanie biegunw

BG A

GH

38 Rozkad funkcji meromorficznej na uamki proste

i obliczenie w nich residuw funkcji.

pi

sinpiz=

1z

+ 2z=1

(1)n+1n2 z2 , z 6= 0,1,2, . . . ,

pi

cospiz= 2

=1

(1)n(n+ 12)(n+ 12)

2 z2 , z 6=12,3

2,5

2, . . . ,

pitg piz = 2z=1

1(n+ 12)

2 z2 , z 6=12,3

2,5

2, . . . ,

1sin z sinh z

=1z2

+m=1

(1)m4mpiz2sinhmpi(z4 m4pi4) , z 6= ?

Sprbuj Czytelniku wyprowadzi sam rozwinicia analogiczne do pierwszychtrzech dla funkcji hiperbolicznych: 1/ sinhpiz, 1/ coshpiz, pi tghpiz.

1.4.1 Iloczyn nieskoczony

Dyskutowana powyej funkcja ctg z ma t sympatyczn wasno, e residualiczone w osobliwociach biegunowych zk = kpi, k 6= 0 s rwne 1, co wynikaoczywicie z faktu, e kotangens to stosunek dwch funkcji (kosinusa i sinusa),z ktrych pierwsza jest pochodn drugiej. Zobaczmy, jakie treci kryje w sobiewzr (1.91), jeeli funkcj f(z) moemy zapisa w postaci

f(z) =g(z)g(z)

, (1.97)

gdzie funkcja g(z) ma w punktach zk, k = 1, . . . , zera pierwszego rzdu (tzn.g(zk) 6= 0). Mamy (w zgodzie z 1.91)

g(z)g(z)

=g(0)g(0)

+k=1

(1

z zk +1zk

). (1.98)

Cakujc powysz rwno po dz od z = 0 do z, otrzymujemy

ln g(z) ln g(0) = g(0)g(0)

z +k=1

(lnz zk0 zk +

z

zk

). (1.99)

(Sumujemy po wszystkich osobliwociach biegunowych.) Pozbywamy si logaryt-mw i otrzymujemy reprezentacj funkcji g(z), w ktrej gwn rol odgrywanieskoczony iloczyn

g(z) = g(0) exp[g(0)g(0)

z

] k=1

[(1 z

zk

)ez/zk

], (1.100)

BG A

GH

- iloczyn nieskoczony 39

tzw. iloczyn Weierstrassa.

Znowu warto przeliczy prosty przykad. Niech g(z) =sin zz

. Zera (pierwszego

rzdu) g(z) to z = kpi, k 6= 0, g(0) = 1, g(0) = 0. Zgodnie z (1.100) mamysin zz

=k=1

(1 z

kpi

)ez/kpi

k=1

(1 +

z

kpi

)ez/kpi =

k=1

(1 z

2

k2pi2

). (1.101)

Wzr (1.98) moemy napisa w nieco prostszej formie, jeeli nasza funkcja g(z)jest parzysta (tak jak jest to w przypadku funkcji sin z/z). Wydzielajc osobnoprzyczynki od lustrzanych dodatnich i ujemnych osobliwoci biegunowych,mamy

g(z)g(z)

=g(0)g(0)

+k=1

(1

z zk +1zk

)+k=1

(1

z + zk 1zk

)

=k=1

2zz2 zk2 . (1.102)

(pochodna funkcji parzystej w zerze jest rwna zeru, przyczynki od obu sumczciowo si redukuj.) Tak wic

g(z) = g(z)k=1

2zz2 zk2 . (1.103)

Jeeli zrniczkowa ten wzr trzykrotnie i obliczy wartoci parzystych pochod-nych w zerze, to otrzymamy9:

g(0) = 2k=1

1zk2

, oraz (1.104)

gIV (0) = 3[g(0)]2 12k=1

1zk4

. (1.105)

Wstawiajc do ostatnich wzorw raz jeszcze funkcj sin z/z i obliczajc jej pochod-ne drug i czwart w zerze, otrzymujemy kolejny sposb na zweryfikowaniewartoci sum

k=1

1n2

=pi2

6, (1.106)

k=1

1n4

=pi4

90. (1.107)

9Rniczkowanie jest nieco mudne; alternatywny sposb podejcia to obliczenie drugiej iczwartej pochodnej jako odpowiednich caek konturowych, traktujc drug pochodn jako pierw-sz, a czwart jako trzeci pochodn funkcji g(z), okrelonej jak w (1.103).

BG A

GH

40 Gamma Eulera

1.5 Gamma Eulera i pokrewne jej funkcje

Zacznijmy od definicji funkcji (z), ktra jest pochodn logarytmiczn funkcjigamma (z):

d

dzln (z) (z), (1.108)

przy czym definicj podamy nie dla argumentu z lecz z + 1:

(1 + z) = k=1

(1

z + k 1k

). (1.109)

Porwnujc powyszy wzr z rozwiniciem kotangensa (1.93) widzimy, e z dokadnoci do niewyspecyfikowanej jeszcze staej logarytmiczna pochod-na gammy Eulera to poowa rozwinicia pi ctg piz 1/z, a konkretnie czrozwinicia dla ujemnych wskanikw k. Funkcja (1 + z) jest wic funkcj me-romorficzn, z biegunami pierwszego rzdu w punktach z = 1,2, . . . ,k, . . ..

Celem penego okrelenia funkcji gamma narzumy na ni dwa warunki, ktrestan si oczywiste w dalszym cigu tego podrozdziau

(1) = (2) = 1 (1.110)

i scakujmy definicj (1.109) wzgldem z od z = 0 do z (podobnie jak w podroz-dziale 1.4.1). Otrzymamy

ln (1 + z) ln (1) = z

0(1 + z)dz = z

k=1

(lnz + kk zk

), (1.111)

albo, uwzgldniajc pierwszy z warunkw (1.110) oraz pozbywajc si logarytmwi ujemnych znakw po prawej stronie

1(1 + z)

= ezk=1

(1 +

z

k

)ez/k. (1.112)

Powyszy wzr zwany postaci iloczynow Weierstrassa pozwala nam judobrze zanalizowa struktur funkcji gamma: jej odwrotno jest funkcj cakowit(regularn na caej paszczynie zespolonej otwartej), ktra ma zera pierwszegorzdu w z = 1,2, . . . ,k, . . . Punkty te s biegunami pierwszego rzdu gammy,ktra (dla skoczonych z) nigdzie nie jest rwna zeru. We wzorze (1.112) pojawia

BG A

GH

podstawowe wasnoci 41

si znowu poowa przedstawienia funkcji sinpiz /piz w postaci iloczynu wzr(1.101).

Pozostaje jeszcze wyznaczenie staej . Wykorzystujc drugi z warunkw (1.110),mamy

ln (2) = ln 1 = 0 = k=1

(ln

1 + kk 1k

). (1.113)

Tak wic

=k=1

(1k ln 1 + k

k

)=k=1

(1k

) ln 2

1 3

2 . . . k + 1

k . . . . (1.114)

Ju widzimy

= limn

(nk=1

1k ln(n+ 1)

)= lim

n

(nk=1

1k ln(n)

)= lim

n(Hn lnn).(1.115)

(Zamian ln(n+1) ln(n) usprawiedliwia przejcie graniczne.) Hn to n-ta liczbaharmoniczna, analogon funkcji logarytmicznej w rachunkach zmiennej dyskret-nej10. Mwic prostym jzykiem: staa gamma, nazywan sta Eulera albo staEulera-Mascheroniego, to rnica pomidzy logarytmem a liczb harmoniczn,w przypadku gdy argumenty obu staj si nieskoczenie wielkie. Sama rnicajest niewielka11

= 0, 57721566 . . . . (1.116)

Zachowanie si gammy i jej odwrotnoci, dla rzeczywistych wartoci argumentuw okolicy zera, zilustrowane jest na rys.1.16.

1.5.1 Podstawowe wasnoci (z)

Wykorzystujc definicj (1.109) (i fakt, e szereg jest jednostajnie zbieny dlakadego, skoczonego z), mamy

(1 + z)(z) =k=1

(1

z + k 1 1

z + k

)(1.117)

=1z

+1

z + 1+

1z + 2

+ . . .(

1z + 1

+1

z + 2+ . . .

)=

1z.

10Jeeli chcesz wiedzie wicej, zagldnij: http://www.ftj.agh.edu.pl/lenda/cicer/harm.htm.11Dzisiaj artyci od asymptotyki licz rozwinicia gammy, zawierajce tysice cyfr po przecinku

i . . . gryz paznokcie z nerww, bo nikomu nie udao si jeszcze rozstrzygn problemu, czy tapowka i ciut jest liczb wymiern, czy nie.

BG A

GH

42 Gamma Eulera

Rysunek 1.16: Gamma Eulera i jej odwrotno jako funkcja rzeczywistego xw przedziale x (4,+4)

Cakujc powysz rwno, otrzymujemy

ln (1 + z) ln (z) = ln z + lnC, (1.118)

czyli (1 + z) = Cz (z). Warto staej C wynika z warunku (1.110)

(2) (1) = 1 1 = 0; C = 1.

BG A

GH

podstawowe wasnoci 43

Podstawowa wasno gammy to

(z + 1) = z(z) (1.119)

Aplikujc j n razy

(z + n) = (z + n 1)(z + n 1) = . . . = (z + n 1)(z + n 2) . . . z(z),(1.120)

i kadc z = 1 odkrywamy wreszcie, e

(n+ 1) = n! (1.121)

gamma Eulera to analityczne przeduenie silni na ca paszczyzn zespo-lon! Zmieniajc w (1.120) z + n na (z + n + 1), uzyskujemy raz jeszcze moli-wowizualizacji osobliwoci biegunowych gammy

(z) =(z + n+ 1)

z(z + 1) . . . (z + n), (1.122)

a take policzenia jej residuw

Res (n) = limzn(z + n)(z) = limzn

(z + n+ 1)z(z + 1) . . . (z + n 1) =

(1)nn!

.

(1.123)Wykorzystujc podstawowy wzr (1.112) (i podstawow wasno (1.119)) mamy

1(z)

=z

(1 + z)= z ez

k=1

(1 +

z

k

)ez/k (1.124)

1(1 z) = e

zk=1

(1 z

k

)ez/k (1.125)

i mnoc przez siebie odpowiednie strony rwnoci (1.125) i (1.124), otrzymujemy

1(z)(1 z) = z

k=1

(1 z

2

k2

). (1.126)

Iloczyn po prawej stronie to (por.1.101) przedstawienie funkcji sinpiz/piz. Kolejnywany wzr to

(z)(1 z) = pisinpiz

(1.127)

z ktrego wynika, po podstawieniu z = 1/2,

(1/2) =pi (1.128)

BG A

GH

44 Gamma Eulera

Bdc przy argumencie z = 1/2, warto poda wzory dla dowolnych argumen-tw powkowych. Wykorzystujc podstawow wasno gamma (1.119), mamynatychmiast

(n+

12

)=

(2n+ 1

2

)=(

2n 12

)(

2n 12

);

zastosowanie tego procederu obniania wartoci argumentu odpowiedni liczbrazy daje

(n+

12

)=

(2n 1)(2n 3) . . . (3)(1)pi2n

(2n 1)!!pi

2n, (1.129)

(n 1

2

)=

(2n 3)(2n 5) . . . (3)(1)pi2n1

(2n 3)!!pi

2n1. (1.130)

Dwoma wykrzyknikami oznaczamy tzw. podwjne silnie iloczyny wszystkichnieparzystych liczb od 1 do 2n 1. Mona zreszt pozosta przy zwykychsilniach. Wystarczy zauway, e

(2n 1)(2n 3) . . . (3)(1) =(2n 1)(2n 3) . . . (3)(1) 2n1(n 1)!

2n1(n 1)! =(2n 1)(2n 3) . . . (3)(1)(2n 2)(2n 4) . . . 2

2n1(n 1)! =(2n 1)!

2n1(n 1)!

i wzory (1.129) i (1.130) przybieraj posta

(n+

12

)=

(2n 1)!pi22n1(n 1)! =

(2n)pi

(n)22n1(1.131)

(n 1

2

)=

(2n 3)!pi22n3(n 2)! =

(2n 2)pi(n 1)22n3 . (1.132)

Te ostatnie wzory spotyka si w literaturze pod nazw wzorw podwajajcychLegendrea.

1.5.2 Reprezentacja cakowa

Okrelenie funkcji w postaci nieskoczonego iloczynu (1.112) to tzw. definicjaWeierstrassa. Sam Euler, znakomity szwajcarski matematyk12, poda oryginaln

12http://www.ftj.agh.edu.pl/lenda/cicer/cyclop.htm.

BG A

GH

reprezentacja cakowa 45

definicj (w 1729 roku) w nieco innej postaci. Ta oryginalna definicja Eulera to13

(z) =1z

n=1

(1 +

1n

)z(

1 +z

n

) . (1.133)Tak jak wynika z powyszej dyskusji, posta ta dobrze oddaje pewne wasnocifunkcji gamma14, ale nie jest zbyt przyjazna w praktycznych zastosowaniach.Euler wyprowadzi z wzoru (1.133) okrelenie gammy w postaci caki

(z) =

0ettz1dt, 0. (1.134)

Jak wynika z zastrzeenia, caka we wzorze (1.134) jest zbiena tylko dla dodat-niej rzeczywistej czci argumentu. To zreszt jest do oczywiste: modu funkcjipodcakowej to

|ettz1| = |ete(z1) ln t| = ete(x1) ln t.Czynnik et zapewnia zbieno caki dla t , a czynnik e(x1) ln t dla

t 0 (przy x > 0). W olbrzymiej wikszoci przypadkw mamy zreszt doczynienie z funkcj gamma dla argumentw czysto rzeczywistych, tak e bardziejrobocza definicja cakowa to15

(x) =

0ettx1dt, x > 0. (1.135)

Dla x cakowitego, x = n, cakujc n-krotnie przez czci, znajdujemy natychmiastpotwierdzenie (1.121)

(n+ 1) =

0ettndt = n!

Wzr (1.135) pojawia si w rozlicznych postaciach, czsto do daleko odbie-gajcych od formy kanonicznej. Odpowiednia zmiana zmiennych pozwala szybkoustali ekwiwalencj. Na przykad

(x) = 1

0

[ln

1u

]x1du, x > 0, (1.136)

13Dociekliwemu Czytelnikowi pozostawiamy wykazanie rwnowanoci obu wzorw.14Warto moe wiedzie, e to nie sam Euler tak nazwa swoje dziecko. Nazwy tej uy pierwszy

raz Legendre w 1814 r., dobre dwadziecia lat po mierci wielkiego Eulera.15Istnieje te rozszerzenie wzoru (1.134) na przypadek ujemnych (ale nie cakowitych!) wartoci

46 Gamma Eulera

(podstawienie u = et), lub szczeglnie popularne

(x) = 2

0eu

2u2x1du; x > 0, (1.137)

(podstawienie t = u2). Popularno tej ostatniej definicji wynika z obecnociw funkcji podcakowej funkcji gaussowskiej eu2 .

1.5.3 Funkcje niekompletne (a, x) i (a, x);cakowa funkcja wykadnicza;sinus, kosinus i logarytm cakowy

Zwizek eulerowskiej gammy z rozkadem Gaussa podstawowym narzdziemstatystyki powoduje, e w uyciu mamy te tzw. niekompletne funkcje gam-ma, to jest funkcje zdefiniowane za pomoc caek identycznych jak ta we wzorze(1.135), ale z jedn z granic cakowania zastpion przez zmienn . Mamy

(x, ) =

0ettx1dt, (1.138)

(x, ) =

ettx1dt. (1.139)

Oczywicie(x, ) + (x, ) = (x). (1.140)

Funkcja (x, ) bdzie wic cile powizana z dystrybuant (skumulowan gsto-ci rozkadu prawdopodobiestwa) rozkadu Gaussa. Ze wzgldu na popularnodystrybuanty gaussowskiej wprowadzono tzw. funkcj bdu (error function):

erf() =2pi

0et

2dt =

1pi(1/2, 2). (1.141)

Z definicji widzimy, e funkcja bdu reprezentuje podwojon cak krzywej gaus-sowskiej (warto oczekiwana zero, odchylenie standardowe = 1/

2), od punktu

t = 0 do t = . Do kompletu wprowadza si te funkcj dopeniajc dla funkcjibdu (error function complement)

erfc() = 1 erf() = 2pi

et2dt =

1pi

(1/2, 2). (1.142)

Funkcja bdu erf(x) i jej dopenienie (do jednoci) erfc(x) pojawiaj si doczsto w fizyce, np. w rozwizaniach rwnania dyfuzji.

Jednym z szczeglnych przypadkw niekompletnej funkcji (x, ) jest przypa-dek dla x = 0. Mamy wwczas do czynienia z tzw. cakow funkcj wykadnicz,

BG A

GH

funkcja beta Eulera 47

definiowan w rnych rdach wedug nieco rnicych si formu. My przyj-miemy definicj cakowej funkcji wykadniczej Ei jako16

Ei() =

et

tdt E1(). (1.143)

(Funkcja E1(x) to alternatywna definicja cakowej wykadniczej.) Oczywicie ma-my

E1() = Ei() = (0, ).W podobnym duchu definiowane s sinus, kosinus i logarytm cakowy:

si() =

sin(t)t

dt =12i

[Ei(ix) Ei(ix)]; (1.144)

Ci() =

cos(t)t

dt =12

[Ei(ix) + Ei(ix)]; (1.145)

li() =

0

dt

ln t. (1.146)

Pomidzy trzema funkcjami zachodzi relacja

Ei() = Ci() + i si()

analogiczna do dobrze znanego wzoru Eulera (de Moivrea).Jako ciekawostk warto przytoczy jeszcze fakt, e niekompletna funkcja jest

spowinowacona z funkcj konfluentn, o ktrej bdziemy mwi w podrozdziale2.9. Konkretnie

(x, ) =1xxF (x, x+ 1,). (1.147)

1.5.4 Funkcja beta Eulera

Podstawowa definicja pojawiajcej si do czsto w rachunkach funkcji Euleradrugiego rodzaju, B(p, q), to

B(p, q) =(p)(q)(p+ q)

. (1.148)

16Ei to skrt od exponential integral. Mae i ma sw genez w aciskim (angielskim, fran-cuskim, . . . ) integralis. Due C (kosinus) i mae s (sinus) to skutki istnienia pewnych maoistotnych konwencji stosowanych przy definiowaniu cakowych funkcji.

BG A

GH

48 Gamma Eulera

Aby zdefiniowa funkcj B(p, q) w sposb bardziej bezporedni, obliczmy wy-stpujcy w liczniku (1.148) iloczyn dwch funkcji gamma:

(p)(q)

=

0ettp1dt

0

essq1ds = . . . t x2, s y2 . . .

= 4

0ex

2x2p1dx

0

ey2x2q1dy = . . . x = r cos , y = r sin . . .

= 4

0er

2r2p+2q1dr

pi/20

cos2p1 sin2q1 d

= (por. wzr 1.137) = (p+ q) 2 pi/2

0cos2p1 sin2q1 d.

Std

B(p, q) = 2 pi/2

0cos2p1 sin2q1 d. (1.149)

Podstawienie cos2 = t pozwala atwo uzyska alternatywn definicj

B(p, q) = 1

0tp1(1 t)q1dt. (1.150)

Kolejna zmiana zmiennej cakowania t = u/(u + 1) prowadzi do jeszcze jednegopoytecznego wzoru-definicji

B(p, q) =

0

up1

(u+ 1)p+qdu, (1.151)

ktry mona wykorzysta do wykazania relacji (por. 1.127)

B(p, 1 p) = pisin ppi

, (1.152)

z ktrej, kadc p = 1/2, mona atwo otrzyma kolejn weryfikacj: (1/2) =pi.

1.5.5 Troch fizyki

adnym przykadem zastosowania funkcji gamma w fizyce jest problem promie-niowania ciaa doskonale czarnego. Jak wiadomo, jest to jeden z pierwszych pro-blemw, ktrego skuteczne rozwizanie wymagao wprowadzenia pojcia kwantuenergii. Jeszcze na gruncie rozwaa czysto klasycznych Rayleigh i Jeans wy-kazali, e liczba fal dn zawarta w nieskoczenie maym przedziale czstotliwoci(, + d) i w jednostkowej objtoci jest rwna

dn =8pic32d; (1.153)

BG A

GH

troch fizyki 49

(c prdko wiata). Natomiast Planck, wprowadzajc pojcie kwantu ener-gii: E = h (h staa Plancka), otrzyma nastpujcy wzr na redni energioscylatora (modelu ciaa doskonale czarnego) w stanie rwnowagi

E =h

eh/kT 1 , (1.154)

gdzie T to temperatura, a k staa Boltzmanna. Wzr ten rni si od analo-gicznego wzoru klasycznego obecnoci jedynki w mianowniku rnica ta byapraktycznie do zaniedbania dla niewielkich T , ale dla duych stawaa si wyrana.Co wicej, to wanie wzr Plancka zgadza si z danymi dowiadczalnymi! Z rw-na (1.153) i (1.154) wynika, e gsto energii emitowanej przez ciao doskonaleczarne to

() =8pihc3

3

eh/kT 1 , (1.155)a cakowita energia emitowana to caka

=8pihc3

0

3d

eh/kT 1 . (1.156)

Gdyby nie jedynka Plancka w mianowniku, mielibymy cak typu

0 3ead

(a = h/kT ), a wic praktycznie (4), ale fizyczna waga jedynki jednak zmuszanas do maego wysiku. Podstawmy x = ea . Nowa caka to

=8pik4T 4

c3h3

10

(ln

1x

)3 11 xdx. (1.157)

I znowu gdyby nie czynnik 1/(1x) mielibymy bezporednio gamm (por.wzr (1.136)). Ale ten czynnik, to dla |x| < 1 suma szeregu geometrycznego:

11 x = 1 + x+ x

2 + . . . .

Cak (1.157) mona wic zapisa w postaci

=8pik4T 4

c3h3

10

{(ln

1x

)3+ x

(ln

1x

)3+ x2

(ln

1x

)3+ . . .

}dx. (1.158)

Zakadajc, e wolno nam cakowa wyraz po wyrazie nieskoczon sum pod zna-kiem caki i obliczajc po drodze cak (por. 1.136) 1

0

[ln

1u

]x1umdu = . . . u = et . . .

=

0tx1et(m+1)dt =

0

[t(m+ 1)]x1et(m+1)d[(m+ 1)t](m+ 1)x

=(x)

(m+ 1)x

BG A

GH

50 Odwzorowania konforemne w hydrodynamice

uzyskujemy ostateczny wynik. Cakowita energia emitowana w temperaturze Tjest rwna

=8pik4T 4

c3h3(4)

{114

+124

+134

+ . . .} 48pik

4T 4

c3h3(4). (1.159)

Pojawiajca si w ostatnim wzorze (4) to funkcja dzeta Riemanna, zdefiniowanajako

(p) =n=1

1np, p > 1. (1.160)

(W podrozdziale 1.4.1 widzielimy, e suma wystpujc w (1.159) jest rwna(4) = pi4/90.)

Ale czy wolno cakowa wyraz po wyrazie? Fizyka mwi, e tak, bo uzyskanywynik (wzr 1.159) to znajome prawo Stefana-Boltzmanna17. A z matematyczne-go punktu widzenia? Najprostszym wyjciem bdzie zastpienie nieskoczonegorozwinicia funkcji podcakowej skoczonym(

ln1x

)3 11 x =

(ln

1x

)3+ x

(ln

1x

)3+ . . .+ xn1

(ln

1x

)3+

xn

1 x(

ln1x

)3i wykazanie, e warto caki z ostatniego czonu rozwinicia zmierza do zera przyn. To ostatnie jest proste. Mamy bowiem

10

(ln

1x

)3 xn1 x =

10

x ln3 1x

1 x

xn1dx < 10Mxn1dx =

M

n.

(Wykorzystujemy fakt, e w przedziale [0, 1] funkcja wystpujca (w nawiasach)w rodkowej cace ma jedno maksimum (M), a w obu kracach przedziau jejgraniczne wartoci to zera.) Nasze cakowanie wyraz po wyrazie jest uzasadnione,bo M/n 0 przy n.

1.6 Duo fizyki odwzorowania konforemne w dynamice pynw

Odwzorowania konforemne odegray znaczc rol w matematycznym opisie wie-lu problemw zwizanych z dynamik przepyww. W latach trzydziestych 20.wieku fizycy i matematycy posugiwali si tym narzdziem, aby zilustrowa od

17Prawo to dostaniemy bez wzgldu na obecno jedynki w mianowniku wzoru (1.152)!

BG A

GH

wprowadzenie 51

strony teoretycznej pewne zaobserwowane dowiadczalnie efekty takie jak np.si non, pojawiajc si przy opywie cieczy lepkiej wok przeszkody. Prawdjest, e w dzisiejszej dobie problemy te mona jeszcze skuteczniej rozwiza, sto-sujc zaawansowane metody symulacji komputerowej, ale aby mc odpowiedniodostroi program symulacyjny, potrzebna jest wnikliwa i rzetelna znajomocaego kompleksu zjawisk fizycznych. W budowaniu gmachu tej wiedzy odwzoro-wania konforemne odegray pierwszorzdn rol.

1.6.1 Wprowadzenie

Bdziemy rozpatrywa ustalone przepywy cieczy w zasadzie idealnej wok prze-szkody. W zasadzie idealnej bo aby mc przedyskutowa pewne realia fizyczne,bdziemy zmuszeni do uwzgldnienia lepkoci. Na pocztek wic zakadamy, e

Andrzej Lenda Wybrane Rozdziały Matematycznych Metod Fizyki

Documents

Transcript of Andrzej Lenda Wybrane Rozdziały Matematycznych Metod Fizyki