Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych

Portfel dwóch akcji bez możliwości krótkiej sprzedaży

W - wartość portfela W = a P1 + b P2

P1 - cena akcji typu A , P2 – cena akcji typu B

a- liczba akcji A, b - liczba akcji B a P1 - wartość akcji A w portfelu

b P2 - wartość akcji B w portfelu

a P1 / W – udział akcji A w portfelu, ozn. α

b P2 / W – udział akcji B w portfelu, ozn. β

α + β = 1, α, β – nieujemne

Portfel dwóch akcji bez możliwości krótkiej sprzedaży

W dalszej części rozważań portfel dwóch akcji przy braku krótkiej sprzedaży będziemy identyfikować z parą nieujemnych liczb (α, β) sumujących się do jedynki, oznaczających udziały poszczególnych akcji

Portfel dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży identyfikujemy z parą liczb (α, β) sumujących się do jedynki

Stopa zwrotu z portfela dwóch akcjiprzy braku krótkiej sprzedaży

RA – okresowa stopa zwrotu z akcji A

RB – okresowa stopa zwrotu z akcji B

Stwierdzenie. Jeżeli α, β oznaczają udziały akcji A i B w portfelu, to okresowa stopa zwrotu z portfela - RP jest równa

RP = α RA + β RB

Dowód: (przy oznaczeniach z poprzedniego slajdu)

P1(1+ RA), P2 (1+ RB) - ceny końcowe akcji A , B

Przyrost wartości portfela w okresie bazowym:

[a P1(1+ RA)+ b P2 (1+ RB)] – (a P1+ b P2 )= a P1RA+b P2 RB

stopa zwrotu portfela RP = (a P1RA+b P2 RB) / W =

(a P1/ W) RA+ (b P2 / W) RB = α RA + β RB

Stopa zwrotu z portfela trzech akcji(Brak krótkiej sprzedaży)

RA – okresowa stopa zwrotu z akcji A

RB – okresowa stopa zwrotu z akcji B

RC – okresowa stopa zwrotu z akcji C

Stwierdzenie. Jeżeli α, β, γ oznaczają udziały akcji odpowiednio A, B i C w portfelu (α+ β+ γ = 1, oraz α, β, γ są nieujemne), to okresowa stopa zwrotu z portfela - RP jest równa

RP = α RA + β RB + γ RC

Dowód przebiega analogicznie do przypadku portfela dwóch akcji

Krótka sprzedaż akcji

Możliwość krótkiej sprzedaży, to możliwość sprzedaży akcji pożyczonych od odpowiedniej instytucji, np. biura maklerskiego. W ustalonym momencie w przyszłości akcje należy zwrócić. Zatem korzystający z takiej możliwości musi odkupić akcje w tej samej liczbie i przekazać pożyczkodawcy.

Krótkiej sprzedaży dokonuje się w przypadku przewidywania spadku cen akcji.

Inwestor zyskuje na spadku cen akcji

Zysk inwestora jest różnicą miedzy wartością sprzedanych na początku akcji a kwotą za którą musi później odkupić akcje

Krótka sprzedaż akcji

Przykład. Cena początkowa akcji – 100 zł. Wartość pożyczonych akcji - 10000 zł

cena końcowa

akcji

spadek ceny pożyczonych

akcji

zysk inwestora - kwotowo

zysk proc. w stos. do wartości

pożyczonych akcji

60 40% 4 000 zł 40%70 30% 3 000 zł 30%80 20% 2 000 zł 20%90 10% 1 000 zł 10%

100 0% 0 zł 0%110 -10% -1 000 zł -10%120 -20% -2 000 zł -20%130 -30% -3 000 zł -30%140 -40% -4 000 zł -40%

Portfel z możliwością krótkiej sprzedaży

Przy przyjętych oznaczeniach, wartość portfela dwóch akcji

W = a P1 + b P2 lub W = α W + β W

Gdzie α + β = 1, oraz α , β > 0

Sprzedajemy akcje B. Za otrzymaną kwotę kupujemy akcje A. (Portfel ma teraz w składzie 100% akcji A)

Dokonujemy krótkiej sprzedaży b akcji spółki B, zaś otrzymane pieniądze inwestujemy w akcje spółki A

Wartość nowego portfela nie zmieniła się, jest równa W, można ją teraz zapisać jako

W = α’ W + β’ W gdzie β’ < 0, α’ > 1, (α’ + β’ = 1)

Portfel z możliwością krótkiej sprzedaży

Przykład. Inwestor dysponuje kwotą 20 000 zł, cena akcji

firmy A wynosi 100 zł, firmy B - 50 zł.

Inwestor kupuje za cała kwotę 200 akcji firmy A, dokonuje

krótkiej sprzedaży 80 akcji firmy B, za uzyskane

pieniądze (4000 zł) dokupuje 40 akcji firmy A. Wartość

jego portfela wynosi

W = 20 000 zł = 240 100 zł + (- 80) 50 zł

lub inaczej

W = [(240100 zł) / W] W +{[(- 80) 50 zł] / W} W =

=1,2 W + (-0,2) W

Stopa zwrotu portfela z możliwością krótkiej sprzedaży

W – wartość portfela

a- liczba akcji A w portfelu,

b - liczba akcji B w krótkiej sprzedaży

W = a P1 + ( - b) P2 = a P1 - b P2

P1( 1+ RA), P2 ( 1+ RB ), - ceny końcowe akcji A , B

Przyrost wartości portfela w okresie bazowym:

[ a P1 ( 1+ RA ) - b P2 ( 1+ RB ) ] – ( a P1 - b P2 ) =

= a P1 + aP1RA - b P2 - b P2 RB – a P1 + b P2 =

= a P1RA – b P2 RB

stopa zwrotu dla portfela RP = ( aP1RA – b P2 RB ) / W =

( a P1 / W) RA + (- bP2 / W) RB = α RA + β RB β < 0, α + β = 1, gdzie α , β – udziały w portfelu

Portfel dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży

Portfel dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży identyfikujemy z parą liczb rzeczywistych (α, β) sumujących się do jedynki

Stopa zwrotu portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży

Przykład 1. Niech RA= 30%, RB = 10% Portfel może mieć ujemną stopę zwrotu (!!! ), może mieć stopę większą od większej ze stóp: RA, RB

Udział akcji A Udział akcji B Zwrot portfela

150% -50% 40%125% -25% 35%100% 0% 30%75% 25% 25%50% 50% 20%25% 75% 15%0% 100% 10%

-25% 125% 5%-50% 150% 0%-75% 175% -5%

Stopa zwrotu portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży

Przykład 2. Niech RA= 30%, RB = -10%

Udział akcji A Udział akcji B Zwrot portfela

150% -50% 50%125% -25% 40%100% 0% 30%75% 25% 20%50% 50% 10%25% 75% 0%0% 100% -10%

-25% 125% -20%-50% 150% -30%-75% 175% -40%

Stopa zwrotu portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży

Przykład 3. Niech RA= - 30%, RB = -10%

Stopa portfela może być dodatnia

Udział akcji A Udział akcji B Zwrot portfela

150% -50% -40%125% -25% -35%100% 0% -30%75% 25% -25%50% 50% -20%25% 75% -15%0% 100% -10%

-25% 125% -5%-50% 150% 0%-75% 175% 5%

-100% 200% 10%

Stopa zwrotu jako zmienna losowa Oczekiwana wartość stopy zwrotu

RA – stopa zwrotu z akcji A

RB – stopa zwrotu z akcji B

RP – stopa zwrotu z portfela

Traktujemy powyższe stopy jako zmienne losowe RP = α RA + β RB

RP jest zmienną losową, będącą kombinacją liniową zmiennych losowych RA, , RB

E(RA) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji A

E(RB) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji B

E(RP) – oczekiwana stopa zwrotu z portfela

E(RP) = α E(RA) + β E(RB)

Wariancja, odchylenie std. stopy zwrotu portfela dwóch akcji

Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β•

• Cov( RA , RB)

Var RP – wariancja stopy zwrotu portfela

Cov( RA , RB ) – kowariancja stóp zwrotu akcji A, B

σP = √ Var RP

σP - odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela

Zbiór możliwości inwestycyjnych (opportunity set)

DEF. Zbiorem możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji przy braku krótkiej sprzedaży, nazywamy zbiór wszystkich punktów w układzie współrzędnych :

oś OX – ryzyko (odchyl. std. stopy zwrotu),

oś OY– oczekiwana stopa zwrotu,

które można uzyskać dla wszystkich nieujemnych par {(α, β): α + β = 1, 0 α, β } (będących portfelami bez krótkiej sprzedaży)

Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji o zadanych parametrach bez krótkiej sprzedaży

wykres zysku i ryzyka

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

10% 20% 30% 40%

 akcja

A akcja

B

Średnia stopa zwrotu

14,25%

62,72%

Odchylenie standard.

25,25%

37,99%

Pełna korelacja dodatnia stóp zwrotu = 1 Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β•Cov( RA , RB) =

= α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β σAσB Cor ( RA , RB)

Jeżeli Cor ( RA , RB) = 1, to

Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β σAσB

Var RP = α2 (σA)2+ β2 (σB )2 + 2 α β σAσB

= (α σA+ β σB )2

czyli (σP)2 = (α σA+ β σB )2 , stąd

σP= α σA+ β σB , o ile α, β – nieujemne

Ponieważ RP = α RA + β RB, zatem portfele stanowią

punkty odcinka o końcach (σA, RA) , (σB , RB)

Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji przy pełnej korelacji dodatniej

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00%

Pełna korelacja ujemna = - 1

Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β σAσB Cor ( RA , RB)

Jeżeli Cor ( RA , RB) = - 1, to

Var RP = α2Var RA + β2 Var RB - 2 α β σAσB

= α2 (σA)2+ β2 (σB )2 - 2 α β σAσB = (α σA - β σB )2 .

(σP)2 = (α σA- β σB )2 , stąd

σP = α σA - β σB , o ile α σA ≥ β σB

σP = β σB - α σA , o ile α σA< β σB

Jeżeli α σA= β σB to σP = 0.

Można pokazać, ze portfele stanowią punkty łamanej

[σA, RA] ,[0, RA σB/(σA+ σB ) + RB σA/(σA+ σB )], [σB , RB]

Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji przy pełnej korelacji ujemnej

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00%

Przypadki =-1, =1 z możliwością krótkiej sprzedaży

Pełna korelacja ujemnaPortfel zerowego ryzyka

Jeżeli ( RA , RB) = - 1, to

Var RP = (σP)2 = (α σA- β σB )2 , stąd

σP = 0, gdy α σA = β σB , czyli α σA = (1- α) σB

α = σB /(σA+ σB ) zaś β = σA /(σA+ σB )

Portfel o powyższych udziałach jest portfelem

zerowego ryzyka. Ma on stopę zwrotu równą

E(RP) = E(RA) σB /(σA+ σB)+ E(RB) σA /(σA+ σB )

( RA , RB) = 0. Portfel minimalnego ryzyka

Var RP = (σP)2 = α2Var RA + β2 Var RB

= α2 (σA)2+ β2 (σB )2 = (1- β)2 (σA)2+ β2 (σB )2

Pochodna otrzymanego wyrażenia względem β

wynosi -2 (1-β ) (σA)2 + 2 β (σB )2

zeruje się, gdy -(1-β ) (σA)2 + β (σB )2 = 0

(β - 1 ) (σA)2 + β (σB )2 = 0

Czyli dla β0 = (σA)2 /[(σA)2 + (σB )2]

Jako rosnąca funkcja liniowa zmiennej β zmienia znak z

„–” na „+”, zatem dla β0 wariancja ma wartość

minimalną.

( RA , RB) = 0. Portfel minimalnego ryzyka

Minimalna wariancja wynosi

(1- β0)2 (σA)2+ (β0)2 (σB )2 czyli

[σB2

/(σA2+ σB

2)]2σA2 + [σA

2 /(σA

2+ σB2)]2σB

2

= σB4

σA2/(σA

2+ σB2)2 + σA

4 σB

2/(σA2+ σB

2)2 =

(σB4

σA2 +σA

4 σB

2 )/(σA2+ σB

2)2 =

σA2

σB2 (σB

2 +σA

2 )/(σA

2+ σB2)2

Odchyl. Std. σAσB /[(σA)2 + (σB )2]0,5

zaś stopa zwrotu odpow. temu odchyleniu to

E(RP)=E(RA)σB2

/(σA2+ σB

2)+E(RB)σA2

/(σA2+σB

2 )

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji (zerowa korelacja)

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00%

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji, przy możliwości krótkiej sprzedaży akcjiStopa zwrotu akcji A –16%, B - 12%

10,00%11,00%12,00%13,00%14,00%15,00%16,00%17,00%18,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

Portfel A,B

Krótkasprzedaż A

Krótkasprzedaż B

Przypadek -1< <1.

TW. Niech -1< <1. Portfel minimalnego ryzyka (przy możliwości krótkiej sprzedaży) jest osiągany dla udziału spółki B wynoszącym

β0 = ( σA2 - σAσB ) /(σA

2 + σB2

- 2 σAσB )

Uwaga. Jeśli krótka sprzedaż nie jest możliwa to udział spółki B w portfelu minimalnego ryzyka

wynosi 0, gdy β0 < 0

β0 , gdy 0β0 1

1 , gdy 1 < β0

Ilustracja twierdzenia. Wykresy zależności wariancji od parametru s (czyli β z poprzednich rozważań). Minimum uzyskiwane jest dla s0 (β0)Pogrubiona linia oznacza portfele bez krótkiej sprzedaży

Przypadek 0β0 1 (lewa strona)

Przypadek β0 < 0 (prawa strona)

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji, przy różnych współczynnikach korelacji, bez możliwości krótkiej sprzedaży

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00%

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży, przy różnych współczynnikach korelacji

Korelacja graniczna = σA / σB

TW. Niech σA σB . Wówczas możliwe są trzy

przypadki:

Jeśli -1 < σA / σB , to istnieje portfel bez krótkiej

sprzedaży taki, że σP < σA (linie 4 i 5 na poprz. slajdzie)

Jeśli = σA / σB , to dla każdego portfela P mamy σA σP (linia 3 )

Jeśli σA / σB< 1, to istnieje portfel z krótką

sprzedażą taki, że σP < σA , ale dla każdego portfela bez

krótkiej sprzedaży σA σP (linia 1 i 2)

Portfel 3 akcji, stopa zwrotu

RA, RB , RC – stopy zwrotu z akcji A, B, C

RP – stopa zwrotu z portfela

RP = α RA + β RB + γ RC

gdzie α, β, γ – udziały akcji A, B, C w portfelu

E(RA), E(RB), E(RC), oczekiwane stopy zwrotu z

akcji

oczekiwana stopa zwrotu z portfela E(RP)

E(RP) = α E(RA) + β E(RB) + γ E(RC)

Portfel 3 akcji, wariancja

Var RP = α2Var RA +β2 Var RB + γ 2 Var RC +

+2αβ Cov(RA,RB)+ 2α γ Cov(RA,RC)+

+ 2β γ Cov(RC,RB)

Var RP – wariancja portfela

σP = √ Var RP

σP - odchylenie standardowe portfela

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfeli dwóch akcji, tworzonych z akcji 3 spółek

portfele dwuakcyjne tworzone z akcji A,B,C

10,00%

12,00%

14,00%

16,00%

18,00%

20,00%

22,00%

14% 16% 18% 20% 22% 24% 26%

ryzyko

ocze

kiwan

a sto

pa zw

rotu A,B

A,C

B,C

Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela 3 akcji (losowa konstrukcja)

10,00%

12,00%

14,00%

16,00%

18,00%

20,00%

22,00%

14% 16% 18% 20% 22% 24% 26%

ryzyko

ocze

kiw

ana

stop

a zw

rotu

A,B

A,C

B,C

A,B,C

Statystyki 3 akcjiWspółczynniki korelacji

akcja A B C

A 1,00 0,30 0,30

B 0,30   1,00 0,15

C 0,30     0,15 1,00

tab. 2

akcja A B C

średni zwrot 16% 12% 15%

odchyl. Std. 25% 22% 25%

wariancja 0,06 0,05 0,06

Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela 3 akcji (konstrukcja losowa i udziałowa)

15,00%

16,00%

12,00%

11,00%

12,00%

13,00%

14,00%

15,00%

16,00%

17,00%

15% 20% 25%

A,B

A,C

B,C

losowy

40% akcji A

50% akcji A

60 % akcjiA

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela 3 akcji

11,00%

12,00%13,00%

14,00%15,00%

16,00%17,00%

18,00%

15,00% 17,00% 19,00% 21,00% 23,00% 25,00%

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela 3 akcji (możliwość krótkiej sprzedaży)

8,00%

10,00%

12,00%

14,00%

16,00%

18,00%

20,00%

8,00% 18,00% 28,00% 38,00% 48,00%

Udziały akcji nr 2 w portfelu – oś XUdziały akcji nr 3 w portfelu – oś YTrójkąt - portfel bez krótkiej sprzedaży

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela 3 akcji (możliwość krótkiej sprzedaży)

Portfele i możliwości inwestycyjneŁamanej z lewego układu odpowiada krzywa w prawym układzieTrójkątowi odpowiada zacieniona część obszaru