Analiza matematyczna - pochodna funkcji

1

5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f’(x) i

zapisujemy

f’’(x) = [f’(x)]’

W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu.

Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

y = 3x2 + 3

y’ = 6x y’’ = 6 y’’’ = 0

Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

y = x4 + 7x

3 + 4x

2 + x + 2

y’ = 4x3 + 21x

2 + 8x + 1

y’’ = 12x2 + 42 x + 8

y’’’= 24x + 42

yIV

= 24

yV = 0

Analiza matematyczna - pochodna funkcji

2

5.9 WKLĘSŁOŚĆ, WYPUKŁOŚĆ, PKT. PRZEGIĘCIA

Do prawidłowego sporządzenia wykresu ważne jest stwierdzenie,

czy w dany przedziale funkcja jest wklęsła czy wypukła. W

zależności od tego jak zachowują się w przedziale <a;b> pierwsza

pochodna f’(x) i druga pochodna f’’(x) funkcja f(x) może być

1. wypukła - rosnąca coraz szybciej

00 "' xfxf

bax ,

a b

2. wklęsłą - rosnąca coraz wolniej

0"0' xfxf

bax ,

a b

3. wypukła - malejąca coraz wolniej

0"0' xfxf

bax ,

a b

4. wklęsłą - malejąca coraz szybciej

00 "' xfxf

bax ,

a b

Punkt przegięcia (p.p.) jest w punkcie x0 wtedy, gdy druga

pochodna funkcji w punkcie x0 równa się zero ( f’’(x0) = 0), oraz

druga pochodna zmienia wokół tego punktu znak.

Analiza matematyczna - pochodna funkcji

3

Przykład 1

10248323 xxxy

Zbadajmy wklęsłość i wypukłość tej funkcji oraz punkt

przegięcia.

0'0' yy

Pierwsza pochodna nie posiada pierwiastków, więc jest zawsze

dodatnia "y

pierwiastkiem drugiej pochodnej jest x =

x (- ;- 0,88) -0,88 (-0,88; +)

y’ +

y’’ -

y p.p.

y=

Naszkicujmy wykres dla pochodnej f’(x) i funkcji f(x)

f’’(x)

+

+ -0,88

- -

39,71

f(x)

-0,88

Analiza matematyczna - pochodna funkcji

4

Przykład 2

Popyt na pewne dobro wyrażony jest wzorem

20

400

xP x>0,

gdzie p – cena

x - sprzedaż

Zbadajmy funkcję utargu U

Utarg jest iloczynem funkcji popytu p i sprzedaży x

pxU

Utarg krańcowy

0

20

00016)')20(8000(

020

40040020

3

2"

2

'

xxU

x

xxU

Dla x>0

U’ > 0 U

” < 0

wraz ze wzrostem popytu utarg rośnie coraz wolniej

x 20 56 95

U’

U’’

U

Analiza matematyczna - pochodna funkcji

5

5.10 ASYMPTOTY

Prostą o równaniu x =c nazywamy asymptotą pionową krzywej o

równaniu y = f(x), jeżeli przynajmniej jedna z granic

jednostronnych funkcji w punkcie jest niewłaściwa.

Prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną

krzywej o równaniu y = f(x), jeżeli a 0

axxfb

x

xfa

xx

limlim

Przykład 3

2

3

4)(

x

xxf

Zbadajmy asymptotę ukośną funkcji

1

14

1lim

)4(lim

3

3

3

2

3

xx

x

xx

xa

xx

0

14

4lim

4

4lim

4

4lim]

4[lim

2

2

2

2

33

2

3

xx

x

x

x

x

xxxx

x

xb

xx

xx

ponieważ dla x- również a = -1 i b = 0, więc prosta o równaniu

y = -x jest asymptotą (obustronną) funkcji.

Analiza matematyczna - pochodna funkcji

6

5.11 REGUŁA DE L'HOSPITALA

Twierdzenie, które obecnie sformułujemy, zwane jest także regułą de

L’Hospitala. Wykorzystujemy je przy obliczaniu granic funkcji.

Jeżeli jednocześnie spełnione są założenia:

1. Funkcje

xg

xfi

xg

xf'

'

są określone w pewnym sąsiedztwie

,0

xS ,

2. ,limlimlub0limlim0000

xgixfxgxfxxxxxxxx

3. istnieje granica xg

xfxx '

'

0

lim

( właściwa lub niewłaściwa), to istnieje

również granica

xg

xfxx

lim i zachodzi równość

xg

xf

xg

xfxxxx '

00

limlim

Uwagi:

1. Twierdzenie de L’Hospitala jest także prawdziwe w przypadku

granic jednostronnych i granic przy xx lub .

2. Twierdzenie de L’Hospitala stosujemy bezpośrednio tylko w

przypadku, gdy mamy do czynienia z symbolem

nieoznaczonym typu

lub

0

0.

3. Dla danej granicy możemy wielokrotnie stosować regułę de

L’Hospitala.

Analiza matematyczna - pochodna funkcji

7

Przykład 4

1. 2

3

2

3lim

0

0

1

1lim

2

12

3

1

x

x

Hx

xxx

2. 1limlim0

0

1

lnlim

111

xxx Hx

x

3. 21

lim0

0

127

158lim

32

2

3

xx Hxx

xx

Analiza matematyczna - pochodna funkcji

8

5.12 BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

Schemat ogólny badania funkcji

Ogólne badanie własności funkcji i sporządzanie ich wykresów

można wygodnie przeprowadzić wg następującego schematu:

I. Wyznaczamy dziedzinę funkcji.

II. Badamy, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta lub

okresowa.

III. Znajdujemy punkty przecięcia się wykresu funkcji z osiami

układu współrzędnych.

IV. Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny.

V. Znajdujemy asymptoty funkcji.

VI. Znajdujemy punkty ekstremalne funkcji oraz przedziały

monotoniczności funkcji.

VII. Znajdujemy punkty przecięcia funkcji oraz przedziały

wklęsłości i wypukłości.

VIII. Sporządzamy tabelkę

Sporządzamy wykres funkcji, wykorzystując wyniki

przeprowadzonych