Analiza matematyczna II.1Zadania – część 3

Notacja: W przestrzeniach liniowych Kn (gdzie n ∈ N, a K jest ciałem R lub C) sym-bolami ‖·‖1, ‖·‖2, ‖·‖∞ oznaczamy, odpowiednio, normy: `1, euklidesową i maksimum,czyli

‖x‖1 =n∑i=1

|xi|, ‖x‖2 =(n∑i=1

|xi|2)1/2, ‖x‖ = max

1¬i¬n|xi|.

Symbol K zawsze oznacza ciało skalarów, tj. R lub C.

1. Określmy operator liniowy A : R2 → R2 wzorem

A(x1, x2) =(x1 − x22,x1 + x22

).

Dla każdej z dziewięciu możliwych kombinacji indeksów (r, s), gdzie r, s ∈ {1, 2,∞},wyznaczyć normę operatora A : (R2, ‖·‖r)→ (R2, ‖·‖s).

2. W przestrzeni C([−1, 1]) funkcji ciągłych na [−1, 1] z normą supremum rozważamyodwzorowanie P : C([−1, 1])→ C([−1, 1]) dane wzorem

(Pf)(t) =12(f(−t) + f(t)) dla f ∈ C([−1, 1]), t ∈ [−1, 1].

Wykazać, że P jest rzutem (tj. P ◦ P = P ) i że jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym.Wyznaczyć normę operatora P .

3. Sprawdzić, że odwzorowanie ϕ : R→ R2 określone wzorem ϕ(x) = (x, sinx) jest izome-trią przestrzeni (R, | · |) w przestrzeń (R2, ‖·‖∞) (tzn. ‖ϕ(x)‖∞ = |x| dla każdego x ∈ R),ale nie jest odwzorowaniem liniowym.

4. Niech X będzie podprzestrzenią przestrzeni C([0, 1]) (z normą supremum) złożonąz tych funkcji ciągłych f na [0, 1], dla których istnieje pochodna prawostronna f ′+(0).Wykazać, że odwzorowanie liniowe ϕ : X → R dane wzorem ϕ(f) = f ′+(0) nie jest ciągłe.

5. Niech X i Y będą przestrzeniami unormowanymi (nad tym samym ciałem). Uzasadnić,że dla dowolnej funkcji liniowej ϕ : X → Y następujące warunki są równoważne:

(i) ϕ jest ciągła;

(ii) ϕ jest ciągła w pewnym punkcie przestrzeni X;

(iii) ϕ jest ciągła w zerze.

6. Dla danych przestrzeni unormowanych X i Y (nad tym samym ciałem) rozważmyfunkcję f : L(X, Y )×X → Y daną wzorem

f(ϕ, x) = ϕ(x) dla ϕ ∈ L(X, Y ), x ∈ X

(L(X, Y ) oznacza przestrzeń odwzorowań liniowych i ciągłych z X do Y ). Wykazać, że fjest odwzorowaniem dwuliniowym i obliczyć jego normę.

7. Rozważmy przestrzeń c00 złożoną z wszystkich ciągów o wyrazach z ciała K, które ze-rują się poza skończoną liczbą indeksów (z działaniami „po współrzędnych”) i wyposażonąw normę

‖x‖ =∞∑n=1

|xn| dla x ∈ c00.

Wykazać, że odwzorowanie ϕ : c00 × c00 → K określone wzorem

ϕ(x, y) =∞∑n=1

nxnyn dla x, y ∈ c00

jest dwuliniowe i nieciągłe, mimo że jest ciągłe względem obu zmiennych z osobna, tzn.dla każdego ustalonego x ∈ c00 funkcja y 7→ ϕ(x, y) jest ciągła oraz dla każdego ustalonegoy ∈ c00 funkcja x 7→ ϕ(x, y) jest ciągła.

8. Pokazać, że dowolne odwzorowanie liniowe A ∈ L(Kn,K) jest postaci Ax = 〈x, y〉dla pewnego y ∈ Kn, gdzie 〈·, ·〉 oznacza standardowy iloczyn skalarny w Kn. Następniewykazać, że ‖A‖ = ‖y‖, przy czym w Kn rozważamy tutaj normę euklidesową ‖ · ‖2.(Wskazówka: w pewnych sytuacjach w nierówności Schwarza zachodzi równość.)

9. Rozważmy odwzorowanie liniowe A : (Kn, ‖·‖2) → (Kn, ‖·‖2) dane przez macierz dia-gonalną diag(a11, . . . , ann). Udowodnić, że ‖A‖ = max1¬i¬n |aii|. Dla jakich innych normw przestrzeni Kn takie stwierdzenie pozostaje prawdziwe?

10∗. Rozważmy operator liniowy A : R2 → R2 o ogólnej postaci

A(x, y) = (ax+ by, cx+ dy) dla (x, y) ∈ R2,

gdzie a, b, c, d ∈ R. Wykazać, że jeżeli przestrzeń R2 (zarówno w dziedzinie jak i przeciw-dziedzinie) wyposażona jest w normę euklidesową ‖·‖2, to

‖A‖ = 12

√(a+ d)2 + (b− c)2 + 1

2

√(a− d)2 + (b+ c)2 .

11∗. Rozważamy przestrzeń Kn wyposażoną w dowolną normę. Załóżmy, że norma ope-ratora A ∈ L(Kn,Kn) jest wartością własną A (a dokładniej: macierzy odpowiadającejtemu operatorowi). Udowodnić, że

‖A+ In‖ = ‖A‖+ 1,

gdzie In oznacza operator identycznościowy (macierz jednostkową n × n). (Wskazówka:skorzystać z faktu, że dla dowolnej przestrzeni Banacha X i dowolnego operatora S ∈L(X,X) spełniającego ‖S‖ < 1, operator IdX − S jest odwracalny.)

2