ANALIZA MATEMATYCZNA I MS

PAWEŁ ZAPAŁOWSKI

Spis treści

Literatura 21. Pojęcia wstępne 31.1. Symbolika logiczna 31.2. Zbiory 41.3. Funkcje 51.4. Kresy 81.5. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych 82. Funkcje elementarne 102.1. Wielomiany. Funkcje wymierne 102.2. Funkcja potęgowa 122.3. Funkcja wykładnicza 132.4. Funkcja logarytmiczna 132.5. Funkcje trygonometryczne 142.6. Funkcje cyklometryczne 162.7. Funkcje hiperboliczne i area 163. Granica funkcji. Funkcje ciągłe 183.1. Granica funkcji 183.2. Funkcje ciągłe 183.3. Granice niewłaściwe. Granice w nieskończoności. Asymptoty funkcji 204. Pochodna 244.1. Pochodna funkcji 244.2. Twierdzenia o wartości średniej 264.3. Reguła de l’Hospitala 274.4. Pochodne wyższych rzędów 284.5. Wzór Taylora 284.6. Funkcje wypukłe 304.7. Badanie przebiegu zmienności funkcji 314.8. Wyznaczanie wartości ekstremalnych funkcji ciągłych na zbiorach domkniętych 325. Ciągi. Szeregi 345.1. Ciągi liczbowe 345.2. Liczba e 365.3. Granice górna i dolna 365.4. Szeregi liczbowe 375.5. Szeregi potęgowe 395.6. Szereg Taylora 406. Całka 416.1. Całka Riemanna 416.2. Pierwotna 416.3. Długość krzywej 456.4. Przykłady zastosowania całek 47

Date: 10 stycznia 2019.1

Literatura

[1] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I–III, PWN, Warszawa.[2] W. Krysicki, L. Włodarski Analiza Matematyczna w zadaniach, t. I-II, PWN, Warszawa.[3] F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa.[4] D. A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, t. I–II, PWN, Warszawa.[5] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa.[6] R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa.

Zaliczanie ćwiczeń

W semestrze jest 30 godzin ćwiczeń. Limit nieobecności to 12 godzin, w tym limit nieobecności nie-usprawiedliwionych to 6 godzin. W przypadku przekroczenia któregokolwiek z tych limitów studentotrzymuje ocenę NZAL i nie jest dopuszczony do egzaminów.

Pozostałe kryteria zaliczenia ćwiczeń ustala prowadzący ćwiczenia.

Egzamin

Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń na ocenę 3,0 lub wyższą.Terminy egzaminówI termin 29.01.2019 (wtorek), godz. 9.00–11.30, s. A-1-06,II termin 19.02.2019 (wtorek), godz. 9.00–11.30, s. A-1-08.

Egzamin będzie składał się z pięciu zadań i będzie oceniany w skali 0–50 punktów. Student otrzymujeocenę końcową wg następującej tabeli

Punkty Ocena0–25 2,026–32 3,033–37 3,538–42 4,043–46 4,547–50 5,0

II termin egzaminu przeznaczony jest dla studentów dopuszczonych do egzaminu, którzy nie zdaliegzaminu w I terminie lub z jakiegoś powodu do niego nie przystąpili w I terminie.

Wykład

Plik pdf z materiałem wyłożonym na wykładzie, aktualizowany po każdym wykładzie, będzie dostępny(w dniu wykładu lub na następny dzień) na stronie

http://www2.im.uj.edu.pl/PawelZapalowski/

2

1. Pojęcia wstępne

1.1. Symbolika logiczna.

Definicja 1.1.1. Zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie, któremu możemy przypisać jedną z dwóchwartości logicznych: prawdę lub fałsz. Jeśli zdanie p jest prawdziwe, to piszemy p = 1, jeśli jest fałszywe— piszemy p = 0.

Przykład 1.1.2. (1) Wyrażenie „Wisła jest dopływem Nilu” jest zdaniem logicznym. Jest zdaniemfałszywym.

(2) Wyrażenie „Kochanie, podaj mi gazetę” nie jest zdaniem logicznym.

Definicja 1.1.3. Zdanie „nieprawda, że p” nazywamy zaprzeczeniem (negacją) zdania p i zapisujemy¬p lub ∼ p. Negację charakteryzuje poniższa tabela

p ¬p0 11 0

Twierdzenie 1.1.4. (1) Z dwóch zdań, p oraz ¬p, co najmniej jedno jest fałszywe (prawo sprzecz-ności).

(2) Z dwóch zdań, p oraz ¬p, co najmniej jedno jest prawdziwe (prawo wyłączonego środka tertiumnon datur).

(3) p = ¬(¬p) (prawo podwójnego zaprzeczenia).

Definicja 1.1.5. (1) Zdanie „p i q” nazywamy koniunkcją (iloczynem logicznym) zdań p i q i zapi-sujemy p ∧ q lub p, q.

(2) Zdanie „p lub q” nazywamy alternatywą (sumą logiczną) zdań p i q i zapisujemy p ∨ q.(3) Zdanie „ jeśli p, to q” nazywamy implikacją (wynikaniem) i zapisujemy p =⇒ q. p nazywamy

poprzednikiem, q nazywamy następnikiem.(4) Zdanie „p wtedy i tylko wtedy, gdy q” nazywamy równoważnością i zapisujemy p⇐⇒ q.Koniunkcję, alternatywę, implikację i równoważność charakteryzuje poniższa tabela

p q p ∧ q p ∨ q p =⇒ q p⇐⇒ q0 0 0 0 1 10 1 0 1 0 01 0 0 1 1 01 1 1 1 1 1

Negację, koniunkcję, alternatywę, implikację i równoważność nazywamy spójnikami logicznymi.

Twierdzenie 1.1.6. (1) ¬(p ∧ q)⇐⇒ ((¬p) ∨ (¬q)) (pierwsze prawo de Morgana).(2) ¬(p ∨ q)⇐⇒ ((¬p) ∧ (¬q)) (drugie prawo de Morgana).(3) ((p =⇒ q) ∧ p) =⇒ q (reguła odrywania).(4) ((p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r)) =⇒ (p =⇒ r) (prawo przechodności implikacji).

Definicja 1.1.7. Zwrot „dla każdego x” nazywamy kwantyfikatorem dużym i oznaczamy ∀x (łac. af-firmo=potwierdzać). Zwrot „istnieje x” nazywamy kwantyfikatorem małym i oznaczamy ∃x (łac. exi-sto=istnieć). Zwrot „istnieje dokładnie jeden x” oznaczamy ∃!x.

Przykład 1.1.8. Za pomocą kwantyfikatorów i spójników logicznych możemy tworzyć bardziej skom-plikowane zdania, np.

(1) ∀x∈R : x2 ≥ 0,(2) ∃x∈R : x2 = 2,(3) ∃!x∈R : x ≥ 0, x2 = 2.

Uwaga 1.1.9. Przy definiowaniu nowych obiektów stosujemy następujące oznaczenia:(1) „:=” oznacza równość z definicji ; obiekt definiowany :=obiekt definiujący, np. f(x) := x2, ale też

x2 =: f(x);(2) „:⇐⇒” oznacza równoważny z definicji, np. A ⊂ B :⇐⇒ ∀x∈A : x ∈ B.

3

1.2. Zbiory. Pojęcia zbioru, elementu, należenia do zbioru są pierwotne i nie są definiowane. Jeśli a jestelementem zbioru A, piszemy

a ∈ A.Jeśli a nie jest elementem zbioru A, piszemy

a /∈ A.

Definicja 1.2.1. (1) Zbiór nie posiadający żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznacza-my ∅.

(2) A ⊂ B :⇐⇒ ∀x∈A : x ∈ B (zawieranie (inkluzja) zbiorów). Będziemy też pisać A ⊃ B, jeśliB ⊂ A.

(3) A = B :⇐⇒ A ⊂ B,B ⊂ A (równość zbiorów). Będziemy pisać A ( B, jeśli A ⊂ B i A 6= B.(4) Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru (potęga zbioru) X: P(X) := {A : A ⊂ X}.

Przykład 1.2.2. (1) Jeśli X = {1, 2}, to P({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.(2) P(∅) = {∅}, P(P(∅)) = {∅, {∅}}, itd.(3) Jeśli zbiór X ma n elementów, to zbiór P(X) ma 2n elementów.

Definicja 1.2.3. (1) Iloczyn mnogościowy lub część wspólną: Jeśli A,B ⊂ X, to A ∩B := {x : x ∈A ∧ x ∈ B}. Ogólnie, jeśli A ⊂ P(X), to

⋂A := {x ∈ X : ∀A∈A : x ∈ A}.

(2) Sumę mnogościową: Jeśli A,B ⊂ X, to A ∪B := {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}. Ogólnie, jeśli A ⊂ P(X),to⋃A := {x ∈ X : ∃A∈A : x ∈ A}.

(3) Różnicę mnogościową: Jeśli A,B ⊂ X, to A \B := {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.(4) Iloczyn kartezjański : Dla dwóch zbiorów A,B określamy A×B := {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}, gdzie

(x, y) := {{x}, {x, y}} nazywamy parą elementów x i y. A2 := A × A. Ogólnie, dla skończonejliczby zbiorów A1, . . . , An określamy A1 × · · · × An := {(x1, . . . , xn) : x1 ∈ A1, . . . , xn ∈ An},gdzie (x1, . . . , xn) := {{x1}, {x1, x2}, . . . , {x1, . . . , xn}}. A× · · · ×A︸ ︷︷ ︸

k×

=: Ak

Zadanie 1.2.4. (1) Wykazać, że (x′, y′) = (x′′, y′′)⇐⇒ x′ = x′′, y′ = y′′.(2) Wykazać, że (x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn)⇐⇒ x1 = y1, . . . , xn = yn.

Definicja 1.2.5. (1) N := {1, 2, . . . } — zbiór liczb naturalnych, N0 := N ∪ {0},(2) Z := {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . } — zbiór liczb całkowitych;(3) Q := {pq : p, q ∈ Z, q 6= 0} — zbiór liczb wymiernych;(4) R — zbiór liczb rzeczywistych. Formalna definicja wykracza poza materiał tego kursu.Dla dowolnego zbioru A ⊂ R określamy A∗ := A \ {0}, np. Q∗; A+ := {x ∈ A : x ≥ 0}, np. Z+(= N0);

A>0 := {x ∈ A : x > 0}, np. R>0. Podobnie określamy A− i A<0.

Uwaga 1.2.6. Pomiędzy powyższymi zbiorami zachodzą naturalne inkluzje

N ( N0 ( Z ( Q ( R.

Definicja 1.2.7. Dla dowolnych a, b ∈ R, a < b, definujemy przedziały ograniczone(1) domknięty [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},(2) otwarty (a, b) := {x ∈ R : a < x < b},(3) jednostronnie otwarte (a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}, [a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b},

oraz przedziały nieograniczone(1) otwarty prawostronnie nieograniczony (a,+∞) := {x ∈ R : a < x},(2) domknięty prawostronnie nieograniczony [a,+∞) := {x ∈ R : a ≤ x},(3) otwarty lewostronnie nieograniczony (−∞, b) := {x ∈ R : x < b},(4) domknięty lewostronnie nieograniczony (−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b},(5) lewo- i prawostronnie nieograniczony (−∞,+∞) := R.

Otoczeniem punktu a ∈ R nazywamy dowolny przedział otwarty U taki, że a ∈ U .

Przykład 1.2.8. (1) Niech A = (0, 2], B = [−1, 2). Wtedy A ∪ B = [−1, 2], A ∩ B = (0, 2),A \B = {2} i B \A = [−1, 0].

(2) Zbiór R2 będziemy utożsamiać z płaszczyzną, a parę (x, y) ∈ R2 z punktem płaszczyzny.(3) Zbiór R3 będziemy utożsamiać z przestrzenią, a trójkę (x, y, z) ∈ R3 z punktem przestrzeni.

Zadanie 1.2.9. Wyznaczyć A ∪B, A ∩B, A \B i B \A, jeśli

4

(1) A = R, B = R,(2) A = Q, B = ∅,(3) A = Z, B = [0, 1],

(4) A = (−1, 1), B = {−1, 1},(5) A = {0}, B = (0,+∞).(6) A = [1, 4), B = (2, 6].

1.3. Funkcje.

Definicja 1.3.1. Niech X,Y będą dowolnymi zbiorami.(1) Zbiór f ⊂ X × Y nazywamy odwzorowaniem (funkcją), jeśli

∀x∈X ∃!y∈Y : (x, y) ∈ f.

Jeśli f ⊂ X × Y jest funkcją, to piszemy f : X −→ R. Zamiast pisać (x, y) ∈ f , piszemyy = f(x). (Jest to zgodne z tradycyjną definicją funkcji f : X −→ Y jako przyporządkowaniakażdemu elementowi x ∈ X pewnego elementu y = f(x) ∈ Y ;X 3 x 7−→ f(x) ∈ Y ; w tradycyjnejterminologii zbiór f ⊂ X × Y nazywamy wykresem f). Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f ,a elementy dziedziny nazywamy argumentami funkcji f . Zbiór Y nazywamy przeciwdziedzinąfunkcji f .

(2) Dla A ⊂ X zbiór f(A) := {f(x) : x ∈ A} nazywamy obrazem A przez f . Zbiór f(X) nazywamyobrazem f (zbiorem wartości funkcji f), a jego elementy nazywamy wartościami funkcji f .

(3) Dla B ⊂ Y zbiór f−1(B) := {x ∈ X : f(x) ∈ B} nazywamy przeciwobrazem B przez f . Zamiastpisać f−1({b}) piszemy f−1(b).

(4) Dla A ⊂ X funkcję f |A : A 3 x 7−→ f(x) ∈ Y nazywamy zawężeniem (zacieśnieniem, restrykcją)f do A.

(5) Jeśli fj : Xj −→ Y , j = 1, 2, oraz f1|X1∩X2= f2|X1∩X2

, to funkcję f1 ∪ f2 : X1 ∪X2 −→ Y danewzorem

(f1 ∪ f2)(x) :=

{f1(x), gdy x ∈ X1

f2(x), gdy x ∈ X2

, x ∈ X1 ∪X2,

nazywamy sklejeniem funkcji f1 i f2.

Przykład 1.3.2. (1) Funkcję X 3 x idX7−→ x ∈ X nazywamy funkcją identycznościową.(2) Niech A ⊂ X. Funkcję χA,X : X −→ R daną wzorem

χA,X(x) =

{1, gdy x ∈ A0, gdy x ∈ X \A

nazywamy funkcją charakterystyczną zbioru A.(3) Funkcję R 3 x 7−→ |x| ∈ R+, gdzie

|x| :=

{x, gdy x ≥ 0

−x, gdy x < 0,

nazywamy modułem lub wartością bezwzględną. Zauważmy, że |x+ y| ≤ |x|+ |y| dla dowolnychx, y ∈ R.

(4) Obrazem funkcji f : R 3 x 7−→ x2 ∈ R+ jest zbiór R+. Jej wykresem jest parabola o wierzchołkuw początku układu współrzędnych i osi symetrii równej y-osi.

(5) Obrazem funkcji g : R− 3 x 7−→ x2 ∈ R jest zbiór R+. Jej wykresem jest lewe ramię wspomnianejpowyżej paraboli.

Definicja 1.3.3. Funkcję f : X −→ Y nazywamy(1) injekcją (różnowartościową), jeśli dla dowolnych x1, x2 ∈ X zachodzi implikacja x1 6= x2 =⇒

f(x1) 6= f(x2) (równoważnie f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2),(2) surjekcją, jeśli f(X) = Y ,(3) bijekcją, jeśli jest injekcją i surjekcją.

Przykład 1.3.4. (1) Funkcja z Przykładu 1.3.2 (4) nie jest injekcją, bo f(−1) = f(1), ale jestsurjekcją.

(2) Funkcja z Przykładu 1.3.2 (5) jest injekcją, ale nie jest surjekcją.(3) Funkcja f |R+ , gdzie f jest funkcją z Przykładu 1.3.2 (4), jest bijekcją.(4) Funkcje f1 : R− 3 x 7−→ −x ∈ R, f1 : R+ 3 x 7−→ x ∈ R są injekcjami, ale g := f1 ∪ f2 nie jest

injekcją, bo g(−1) = g(1).5

Definicja 1.3.5. Niech f : X −→ Y , g : Y −→ Z. Funkcję g ◦ f : X −→ Z określoną wzorem

(1.1) (g ◦ f)(x) := g(f(x)), x ∈ X,

nazywamy funkcją złożoną lub złożeniem funkcji f i g. Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, a g —funkcją zewnętrzną złożenia (6.1).

Przykład 1.3.6. (1) h(x) =√

4− x2 jest złożeniem funkcji g(y) =√y i f(x) = 4− x2.

(2) h(x) = a2x−3 jest złożeniem funkcji g(y) = ay i f(x) = 2x− 3.(3) Wyznaczyć f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f i g ◦ g oraz dziedziny tych funkcji, jeśli f(x) = sinx, g(x) = 1/x.

(a) (f ◦ f)(x) = sin sinx, x ∈ R.(b) (f ◦ g)(x) = sin(1/x), x 6= 0.(c) (g ◦ f)(x) = 1/ sinx, x 6= kπ + 2kπ, k ∈ Z.(d) (g ◦ g)(x) = x, x ∈ R.

Zadanie 1.3.7. (1) Wykazać, że składanie funkcji jest łączne, tzn. (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ f).(2) Wykazać, że jeśli funkcje f : X −→ Y , g : Y −→ Z są injekcjami (odp. surjekcjami, bijekcjami),

to złożenie g ◦ f jest injekcją (odp. surjekcją, bijekcją).(3) Wyznaczyć f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f i g ◦ g oraz dziedziny tych funkcji, jeśli

(a) f(x) = 2x, g(x) =√x,

(b) f(x) = log3 x, g(x) = tg x,(c) f(x) = 3x2, g(x) =

x+ 1

x− 1.

(4) Zapisać, jako złożenie dwóch lub więcej funkcji, następujące funkcje złożone

(a) f(x) = log√x+ 1,

(b) f(x) =sinx+ 1

2− sinx,

(c) f(x) = sin2(2x2 − 1),(d) f(x) = 23x

3+2,(e) f(x) = log3(cos(2x− 3)).

Definicja 1.3.8. Niech f : X −→ Y będzie bijekcją. Funkcję f−1 : Y −→ X daną wzorem

f−1(y) = x :⇐⇒ y = f(x), y ∈ Y,

nazywamy funkcją odwrotną do f .

Obserwacja 1.3.9. Niech f będzie funkcją posiadającą funkcję odwrotną. Jeśli dziedziny obu tychfunkcji umieścimy w prostokątnym układzie współrzędnych na jednej osi (np. osi x), to wykresy Γ(f) iΓ(f−1) będą wzajemnie symetryczne w symetrii względem prostej y = x.

Zadanie 1.3.10. (1) Wykazać, że funkcja f : X −→ Y jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istniejefunkcja g : Y −→ X taka, że g ◦ f = idX , f ◦ g = idY .

(2) Wykazać, że jeśli funkcje f : X −→ Y , g : Y −→ Z są bijekcjami, to (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.(3) Wykazać, że jeśli funkcja f : X −→ Y jest bijekcją, to f−1 : Y −→ X też jest bijekcją oraz

(f−1)−1 = f .

Od teraz, aż do końca podrozdziału, zakładamy, że X,Y ⊂ R.

Uwaga 1.3.11. Jeśli funkcję określamy wzorem nie podając jej dziedziny, to zakładamy, że dziedzinąjest zbiór tych argumentów x, dla których wzór ma sens.

Przykład 1.3.12. Dziedziną funkcji f(x) =√

4− x2 jest przedział [−2, 2]. Jej wykresem jest górnypółokrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 2.

Uwaga 1.3.13. Niech f : X −→ R będzie dowolną funkcją.(1) Funkcja f jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, jeśli każda prosta pozioma przecina wykres

funkcji f w co najwyżej jednym punkcie.(2) Obrazem funkcji f jest zbiór tych punktów c ∈ R, dla których prosta pozioma o równaniu y = c

przecina wykres f w co najmniej jednym punkcie.

Przykład 1.3.14. (1) Funkcja f(x) =√

4− x2 nie jest różnowartościowa, a jej zbiorem wartościjest przedział [0, 2].

(2) Funkcja g(x) = bxc := max{n ∈ Z : n ≤ x} nie jest różnowartościowa, a zbiorem jej wartościjest Z.

6

(3) Dziedziną funkcji h(x) = 1/x jest zbiór R∗, jest to także jej zbiór wartości, funkcja ta jestróżnowartościowa.

Zadanie 1.3.15. (1) Dla poniższych funkcji wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości, narysować ichwykres oraz sprawdzić, czy są różnowartościowe.

(a) f(x) = x− bxc,(b) g(x) = |x|,

(c) h(x) =|x|x.

(2) Sprawdzić, czy poniższe funkcje są różnowartościowe

(a) f(x) =x+ 1

x+ 1,

(b) g(x) =√x,

(c) h(x) =1

x2,

(d) i(x) =

{1x , gdy x 6= 0

1, gdy x = 0,

(e) j(x) =

{1x , gdy x 6= 0

0, gdy x = 0.

Definicja 1.3.16. Niech A ⊂ X ⊂ R. Funkcję f : X −→ R, nazywamy(1) rosnącą w zbiorze A (odp. silnie rosnącą w zbiorze A), jeśli

∀x1,x2∈A : x1 < x2 =⇒ f(x1) ≤ f(x2) (odp. ∀x1,x2∈A : x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2));

(2) malejącą w zbiorze A (odp. silnie malejącą w zbiorze A), jeśli

∀x1,x2∈A : x1 < x2 =⇒ f(x1) ≥ f(x2) (odp. ∀x1,x2∈A : x1 < x2 =⇒ f(x1) > f(x2)).

Funkcję rosnącą (odp. silnie rosnącą) w zbiorze A lub malejącą (odp. silnie malejącą) w zbiorze A nazy-wamy monotoniczną w zbiorze A (opd. silnie monotoniczną w zbiorze A). Jeśli A = X, to f nazywamyfunkcją rosnącą (odp. malejącą, silnie rosnącą, silnie malejącą). Funkcję rosnącą lub malejącą (odp. silnierosnącą lub silnie malejącą) nazywamy monotoniczną (odp. silnie monotoniczną).

Przykład 1.3.17. (1) Funkcja stała jest rosnąca i malejąca, ale nie jest silnie monotoniczna.(2) Funkcja f(x) =

√4− x2 jest silnie rosnąca w przedziale [−2, 0], silnie malejąca w przedziale

[0, 2], natomiast w przedziale [−2, 2] nie jest monotoniczna.(3) Funkcja g(x) = bxc stała na przedziałach postaci [n, n + 1), n ∈ N. Ponadto, jest to funkcja

rosnąca.(4) Funkcja h(x) = 1/x jest silnie malejąca w każdym z przedziałów (−∞, 0), (0,+∞), nie jest

jednak silnie malejąca.

Zadanie 1.3.18. Sprawdzić monotoniczność funkcji z Zadania 1.3.15 (1).

Definicja 1.3.19. Funkcję f : X −→ R nazywamy parzystą (odp. nieparzystą), jeśli

∀x∈X : −x ∈ X, f(−x) = f(x) (odp. ∀x∈X : −x ∈ X, f(−x) = −f(x)).

Przykład 1.3.20. (1) Funkcja f(x) = x2 jest parzysta, ale nie jest nieparzysta.(2) Funkcja f(x) = x3 jest nieparzysta, ale nie jest parzysta.(3) Funkcja f(x) = x+ 1 nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Zadanie 1.3.21. (1) Sprawdzić parzystość i nieparzystość funkcji z Zadania 1.3.15.(2) Wykazać, że każdą funkcję f : R −→ R można zapisać jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej.(3) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : R −→ R, które są jednocześnie parzyste i nieparzyste.

Definicja 1.3.22. Funkcję f : X −→ R nazywamy okresową, jeśli

∃c>0 ∀x∈X : x+ c ∈ X, x− c ∈ X, f(x+ c) = f(x).

Liczbę c nazywamy okresem danej funkcji. Najmniejszy okres (jeśli istnieje), nazywamy okresem podsta-wowym danej funkcji.

Przykład 1.3.23. (1) Funkcja stała jest funkcją okresową, która nie ma okresu podstawowego.(2) Funkcja f(x) = x− bxc jest funkcją okresową o okresie podstawowym 1.

7

1.4. Kresy.

Definicja 1.4.1. Niech A ⊂ R. Mówimy, że A jest ograniczony od góry, jeśli istnieje M ∈ R takie, żex ≤M dla dowolnego x ∈ A. Każdą taką liczbęM nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioruA. Zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru A oznaczamy MajA.

Mówimy, że A jest ograniczony od dołu, jeśli istnieje m ∈ R takie, że m ≤ x dla dowolnego x ∈ A.Każdą taką liczbęm nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioruA. Zbiór wszystkich ograniczeńdolnych zbioru A oznaczamy MinA.

Mówimy, że A jest ograniczony, jeśli jest jednocześnie ograniczony od dołu i od góry.Mówimy, że element a∗ ∈ A jest maksimum zbioru A, jeśli x ≤ a∗ dla dowolnego x ∈ A. Piszemy

a∗ = maxA.Mówimy, że element a∗ ∈ A jest minimum zbioru A, jeśli a∗ ≤ x dla dowolnego x ∈ A. Piszemy

a∗ = minA.Jeśli zbiór MajA 6= ∅ ma element minimalny, to nazywamy go supremum (kresem górnym) zbioru A

i oznaczamy supA. To znaczy, że supA := min(MajA).Jeśli zbiór MinA 6= ∅ ma element maksymalny, to nazywamy go infimum (kresem dolnym) zbioru A

i oznaczamy inf A. To znaczy, że inf A := max(MinA).Jeśli zbiór A ⊂ R nie jest ograniczony z dołu, mówimy, że ma on kres dolny niewłaściwy inf A = −∞,

a jeśli nie jest ograniczony z góry, mówimy, że ma on kres górny niewłaściwy supA = +∞.

Obserwacja 1.4.2. (1) Jeśli a ∈ MajA i b > a, to b ∈ MajA. Jeśli a ∈ MinA i b < a, to b ∈ MinA.(2) MajR = MinR = ∅.(3) ∅ jest ograniczony, ale nie ma kresów.(4) supA i inf A są wyznaczone jednoznacznie.(5) Jeśli maxA (odp. minA) istnieje, to maxA = supA (odp. minA = inf A).(6) Każdy niepusty zbiór skończony A ⊂ R ma maksimum i minimum.

Twierdzenie 1.4.3. Każdy niepusty zbiór A ⊂ R ograniczony od góry (odp. dołu) ma supremum (odp. in-fimum).

Przykład 1.4.4. (1) Zbiór A = (2, 4] jest ograniczony z dołu i z góry. MinA = (−∞, 2], MajA =[4,+∞]. Ponadto, minA nie istnieje, inf A = 2, supA = maxA = 4.

(2) Zbiór N jest ograniczony z dołu, np. −2 jest jego ograniczeniem dolnym, ale nie jest ograniczonyz góry. Ponadto, inf N = minN = 1, supN = +∞.

Zadanie 1.4.5. Wyznaczyć MajA, MinA i, ewentualnie, maxA, minA, supA, inf A, jeśli

(1) A = {x ∈ R : x > 0}, (2) A = {1/n : n ∈ N}, (3) A = {q ∈ Q+ : q2 < 3}.

1.5. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych.

Definicja 1.5.1. Rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiór R := R∪{−∞,+∞}, gdzie−∞,+∞ /∈ R i −∞ 6= +∞ z relacją < na x, y ∈ R

x < y :⇐⇒ (x, y ∈ R, x < y) ∨ (x = −∞, y ∈ R ∪ {+∞}) ∨ (x ∈ R ∪ {−∞}, y = +∞).

Obserwacja 1.5.2. (1) Dodawanie rozszerzamy na R tylko częściowo

a, b ∈ R =⇒ a+ b =

a\b −∞ R +∞−∞ −∞ −∞ ?R −∞ a+ b +∞

+∞ ? +∞ +∞

.

(2) Mnożenie rozszerzamy na R tylko częściowo

a, b ∈ R =⇒ ab =

a\b −∞ R<0 0 R>0 +∞−∞ +∞ +∞ ? −∞ −∞R<0 +∞ ab 0 ab −∞0 ? 0 0 0 ?

R>0 −∞ ab 0 ab +∞+∞ −∞ −∞ ? +∞ +∞

.

8

(3) Dzielenie rozszerzamy na R tylko częściowo

a, b ∈ R =⇒ a

b=

a\b −∞ R<0 0 R>0 +∞−∞ ? +∞ ? −∞ ?R<0 0 a/b ? a/b 00 0 0 ? 0 0

R>0 0 a/b ? a/b 0+∞ ? −∞ ? +∞ ?

.

(4) Powyższe tabele zawierają następujące symbole nieoznaczone ∞−∞, ∞ · 0, ∞/∞, ∞/0, 0/0.

9

2. Funkcje elementarne

2.1. Wielomiany. Funkcje wymierne.

Definicja 2.1.1. Funkcję

(2.1) R 3 x f7−→ anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 ∈ R,gdzie n ∈ N0, an, . . . , a0 ∈ R oraz an 6= 0 o ile n 6= 0, nazywamy wielomianem stopnia n. Stopieńwielomianu oznaczamy deg f = n. Jeśli an = 1, to wielomian 2.1 nazywamy monicznym.

Uwaga 2.1.2. (1) Wielomian stopnia zero jest funkcją stałą.(2) Wielomian stopnia pierwszego f(x) = a1x + a0 nazywamy funkcją liniową albo dwumianem

liniowym. Jego wykres jest linią prostą.(3) Wielomian stopnia drugiego f(x) = a2x

2 + a1x+ a0 nazywamy funkcją kwadratową lub trójmia-nem kwadratowym. Jego wykres jest parabolą o wierzchołku (−a1/2a2,−∆/4a2), gdzie wyrażenie∆ := a21 − 4a2a0 nazywane jest wyróżnikiem danej funkcji kwadratowej. Ilość miejsc zerowychfunkcji kwadratowej zależy od znaku ∆.(a) Jeśli ∆ < 0, to dana funkcja nie ma miejsc zerowych. Mówimy wtedy, że trójmian kwadra-

towy jest nierozkładalny.(b) Jeśli ∆ = 0, to dana funkcja ma jedno podwójne miejsce zerowe x0 := −a1/2a2. Mamy

wtedy rozkład f(x) = a2(x− x0)2.(c) Jeśli ∆ > 0, to dana funkcja ma dwa miejsca zerowe x1 := (−a1 −

√∆)/2a2, x2 := (−a1 +√

∆)/2a2. Mamy wtedy rozkład f(x) = a2(x− x1)(x− x2).(4) Każdy wielomian ma jednoznacznie przedstawienie w postaci iloczynu stałej i skończonej liczby

czynników będących monicznymi dwumianami liniowymi bądź nierozkładalnymi monicznymitrójmianami kwadratowymi, np.

f(x) = 3x3 + 3 = 3(x+ 1)(x2 − x+ 1), g(x) = −x4 − 1 = −(x2 +√

2x+ 1)(x2 −√

2x+ 1).

Przykład 2.1.3. (1) Rozwiązać nierówność x2 − 7x > 8. Równoważnie, (x − 8)(x + 1) > 0, skądx < −1 lub x > 8.

(2) W jakich przedziałach funkcja f(x) = (x+ 4)(x+ 1)(x− 1) jest(a) ujemna,(b) nie mniejsza od −4?Bezpośrednio z wykresu wnioskujemy, że f(x) < 0 dla x < −4 lub −1 < x < 1. Natomiastnierówność f(x) ≥ −4 równoważna jest

x(x+ 2 +√

5)(x+ 2−√

5) ≥ 0,

skąd −2−√

5 ≤ x ≤ 0 lub −2 +√

5 ≤ x.

Zadanie 2.1.4. (1) Rozwiązać równania i nierówności(a) x2 + 1 < −x,(b) |x4 + 5x2| − 6 > 0,(c) |x2 − 5| = 1,(d) x4 + 4x3 − 18x2 − 12x+ 9 = 0,(e) x5 − x4 + x3 − x2 ≤ 0.

(2) W jakich przedziałach funkcja f(x) = (x+ 1)(x− 2)(x− 3) jest(a) dodatnia,(b) większa od 6?

Definicja 2.1.5. Niech `,m będą dowolnymi wielomianami, m 6= 0. Funkcję

(2.2) {x ∈ R : m(x) 6= 0} 3 x 7−→ `(x)

m(x)

nazywamy funkcją wymierną.

Uwaga 2.1.6. (1) Wielomiany są funkcjami wymiernymi. Istotnie, każdy wielomian jest ilorazemsiebie przez wielomian stopnia zero stale równy 1.

(2) Jeśli wielomiany `(x) = ax+b,m(x) = cx+d spełniają warunek ad−bc 6= 0, to funkcję wymierną(2.2) nazywamy homografią. Ma ona wówczas postać

{x : ax+ b 6= 0} 3 x 7−→ ax+ b

cx+ d.

10

Jej wykresem jest hiperbola o asymptotach równoległych do osi współrzędnych.

Przykład 2.1.7. (1) Rozwiązać równanie1

x=

x+ 1

x2 − 4.

Zauważmy, że x 6= 0 i x 6= ±2. Równoważnie,x+ 4

x3 − 4x= 0,

skąd x = −4.(2) Rozwiązać nierówność

14

x2 − 5x+ 6≤ 10

2− x− 3.

Zauważmy, że x 6= 2 i x 6= 3. Równoważnie,3(x− 2/3)(x− 1)

(x− 2)(x− 3)≤ 0.

Ponieważ sgn(a/b) = sgn(ab), więc równoważnie mamy

3(x− 2/3)(x− 1)(x− 2)(x− 3) ≤ 0, x 6= 2, x 6= 3,

skąd 2/3 ≤ x ≤ 1 lub 2 < x < 3.

Zadanie 2.1.8. Rozwiązać równania i nierówności

(1) x3 +1

x3= 6

(x+

1

x

),

(2)1

x− 1=

x

2− x,

(3)x− 1

x+ 1>

1

x+ 2,

(4)∣∣∣∣ 1

x+ 2

∣∣∣∣ < ∣∣∣∣ 2

x− 1

∣∣∣∣.Definicja 2.1.9. Ułamkiem prostym pierwszego rodzaju (odp. drugiego rodzaju) nazywamy funkcję wy-mierną postaci

f(x) =b

(x+ q)n, (odp. f(x) =

ax+ b

(x2 + px+ q)n),

gdzie a, b, p, q ∈ R, n ∈ N, p2 − 4q < 0.

Twierdzenie 2.1.10. Dowolną funkcję wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy wie-lomianu (być może stopnia zero) i skończonej liczby ułamków prostych (pierwszego i drugiego rodzaju).

Przykład 2.1.11. Rozłożyć funkcję

r(x) :=x5 − 2x2 + 2x+ 2

x4 − x3 − x+ 1

na sumę wielomianu i ułamków prostych. Dzieląc wielomiany pisemnie otrzymamy

r(x) = x+ 1 +x3 − x2 + 2x+ 1

x4 − x3 − x+ 1= x+ 1 +

x3 − x2 + 2x+ 1

(x− 1)2(x2 + x+ 1).

Ostatnią funkcję wymierną rozkładamy na sumę ułamków prostych postacix3 − x2 + 2x+ 1

(x− 1)2(x2 + x+ 1)=

a

x− 1+

b

(x− 1)2+

cx+ d

x2 + x+ 1.

Aby wyliczyć stałe a, b, c, d, mnożymy powyższą równość stronami przez mianownik (x− 1)2(x2 + x+ 1)otrzymując równość wielomianów

x3 − x2 + 2x+ 1 = a(x3 − 1) + b(x2 + x+ 1) + (cx+ d)(x− 1)2 =

= (a+ c)x3 + (b− 2c+ d)x2 + (b+ c− 2d)x− a+ b+ d,

skąd, porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach x, otrzymamy układ równań1 = a+ c

−1 = b− 2c+ d

2 = b+ c− 2d

1 = −a+ b+ d

, skąd

a = 0

b = 1

c = 1

d = 0

.

11

Ostatecznie,

r(x) = x+ 1 +1

(x− 1)2+

x

x2 + x+ 1.

2.2. Funkcja potęgowa.

Twierdzenie 2.2.1. Dla dowolnych a ∈ R+ i n ∈ N istnieje dokładnie jedna liczba p ∈ R+ taka, żea = pn.

Definicja 2.2.2. Liczbę p z powyższego twierdzenia oznaczamy p =: n√a i nazywamy pierwiastkiem

stopnia n z a. Jeśli n = 2 to piszemy 2√a =:

√a i nazywamy pierwiastkiem kwadratowym z a.

Obserwacja 2.2.3. Dla a, b ∈ R+ i m,n ∈ N mamy(1) n√ab = n

√a n√b,

(2) mn√a = m

√n√a,

(3) jeśli b > 0, to n√a/b = n

√a/ n√b,

(4) jeśli a < b, to n√a < n

√b,

(5) jeśli 0 < a < 1, to n√a < n+1

√a,

(6) jeśli a > 1, to n√a > n+1

√a.

Definicja 2.2.4. Dla a > 0 i q := `/m ∈ Q, ` ∈ Z, m ∈ N, określamy aq := ( m√a)`.

Zadanie 2.2.5. Wykazać, że powyższa definicja jest poprawna, tzn. nie zależy od przedstawienia q wpostaci ułamka.

Definicja 2.2.6. Dla a ≥ 1, x ∈ R określamy ax := sup{aq : q ∈ Q, q ≤ x}. Dla 0 < a < 1, x ∈ R,określamy ax := (1/a)

−x. W wyrażeniu ax liczbę a nazywamy podstawą, zaś liczbę x wykładnikiem potęgiax.

Zadanie 2.2.7. Wykazać, że dla x ∈ Q Definicja 2.2.6 pokrywa się z Definicją 2.2.4.

Obserwacja 2.2.8. (1) Dla dowolnych a, b > 0, x, y ∈ R mamy(a) ax > 0,(b) a0 = 1x = 1,(c) axay = ax+y,(d) ax/ay = ax−y,(e) (ax)y = axy,(f) a−x = 1/ax,(g) (ab)x = axbx,(h) (a/b)x = ax/bx.

(2) Potęgowanie rozszerzamy na R tylko częściowo

a, x ∈ R =⇒ ax =

a\x −∞ R<0 0 R>0 +∞0 +∞ +∞ ? 0 0

(0, 1) +∞ ab 1 ab 01 ? 1 1 1 ?

(1,+∞) 0 ab 1 ab +∞+∞ 0 0 ? +∞ +∞

,

co prowadzi do kolejnych trzech symboli nieoznaczonych 1∞, 00 i ∞0.

Definicja 2.2.9. Niech a ∈ R∗. Funkcję(2.3) R>0 3 x 7−→ xa ∈ R,nazywamy funkcją potęgową.

Obserwacja 2.2.10. (1) Dla a ∈ Z− funkcję (2.3) rozszerzamy dla x < 0 wzorem xa := (−x)a(−1)a.(2) Funkcja (2.3) jest różnowartościowa (tj. xa2 = xa1 wtedy i tylko wtedy, gdy x2 = x1).(3) Jeśli a > 0, to funkcja (2.3) jest silnie rosnąca (tj. xa2 > xa1 wtedy i tylko wtedy, gdy x2 > x1).(4) Jeśli a < 0, to funkcja (2.3) jest silnie malejąca (tj. xa2 < xa1 wtedy i tylko wtedy, gdy x2 > x1).(5) Jeśli a ∈ Z jest liczbą parzystą, to funkcja (2.3) z dziedziną rozszerzoną jak w punkcie (1) jest

parzysta.12

(6) Jeśli a ∈ Z jest liczbą nieparzystą, to funkcja (2.3) z dziedziną rozszerzoną jak w punkcie (1) jestnieparzysta.

Przykład 2.2.11. Rozwiązać nierówność√x ≤ x. Zauważmy, że x ≥ 0. Wtedy, podnosząc stronami

nierówność do kwadratu, otrzymamy x ≤ x2. Równoważnie, x(x − 1) ≥ 0, skąd, po uwzględnieniuzałożenia, x = 0 lub x ≥ 1.

Zadanie 2.2.12. (1) Rozwiązać równanie x =√x+ 1.

(2) Rozwiązać nierówność 3√x+ 1−

√x+ 1 ≤ 0.

Przykład 2.2.13. (1) Dla n ∈ N funkcja R+ 3 xf7−→ xn ∈ R+ jest silnie rosnącą bijekcją; funkcją

względem niej odwrotną jest R+ 3 xf−1

7−→ n√x ∈ R+.

(2) Dla n ∈ N nieparzystych funkcja R 3 x f7−→ xn ∈ R jest silnie rosnącą bijekcją; funkcja odwrotnaf−1 : R −→ R ma postać

f−1(x) =

{n√x, gdy x ≥ 0

− n√−x, gdy x < 0

.

Zadanie 2.2.14. Wyznaczyć funkcje odwrotne do funkcji

(1) f(x) = x2 + 1, x < 0, (2) f(x) = 3√

1− x, x < 1.

2.3. Funkcja wykładnicza.

Definicja 2.3.1. Niech a > 0, a 6= 1. Funkcję

(2.4) R 3 x f7−→ ax ∈ R>0,

nazywamy funkcją wykładniczą.

Obserwacja 2.3.2. (1) Funkcja (2.4) jest bijekcją. W szczególności, ax2 = ax1 wtedy i tylko wtedy,gdy x2 = x1.

(2) Gdy a > 1, funkcja (2.4) jest silnie rosnąca (tj. ax2 > ax1 wtedy i tylko wtedy, gdy x2 > x1).(3) Gdy a < 1, funkcja (2.4) jest silnie malejąca (tj. ax2 < ax1 wtedy i tylko wtedy, gdy x2 > x1).

Przykład 2.3.3. (1) Rozwiązać równanie 4√x−2 + 16 = 10 · 2

√x−2. Zauważmy, że x ≥ 2. Podsta-

wiając t = 2√x−2 otrzymamy

t2 − 10t+ 16 = 0,

skąd t = 2 lub t = 8, czyli 2√x−2 = 2 lub 2

√x−2 = 23. W konsekwencji, x = 3 lub x = 11.

(2) Rozwiązać nierówność 23x+5 − 4x−1 > 0. Rownoważnie, 2x > 2−7, skąd x > −7.

Zadanie 2.3.4. Rozwiązać równania i nierówności

(1) 31/x <

(1

3

)−2x, (2)

(4

9

)x(27

8

)x−1≤ 2

3,

(3) (x2 − 6x+ 9)x+3 < 1,

(4) 8x + 18x − 2 · 27x = 0,

(5)1

2x − 1>

1

1− 2x−1.

2.4. Funkcja logarytmiczna.

Definicja 2.4.1. Niech a > 0, a 6= 1. Funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej (2.4) nazywamy funkcjąlogarytmiczną i oznaczamy

(2.5) R>0 3 x 7−→ loga x ∈ R.Liczbę loga x nazywamy logarytmem o podstawie a z x. log x := log10 x nazywamy logarytmem dziesięt-nym, zaś lnx := loge x nazywamy logarytmem naturalnym. Liczbę e ∈ R \ Q, e ≈ 2, 718, nazywamypodstawą logarytmu naturalnego.

Obserwacja 2.4.2. (1) Funkcja (2.5) jest bijekcją. W szczególności, loga x2 = loga x1 wtedy i tylkowtedy, gdy x2 = x1.

(2) Gdy a > 1, funkcja (2.5) jest silnie rosnąca (tj. loga x2 > loga x1 wtedy i tylko wtedy, gdyx2 > x1).

(3) Gdy a < 1, funkcja (2.5) jest silnie malejąca (tj. loga x2 < loga x1 wtedy i tylko wtedy, gdyx2 > x1).

13

(4) Dla dowolnych a, b, x, y > 0, a 6= 1 6= b, p ∈ R mamy(a) loga a = 1, loga 1 = 0,(b) loga a

p = p,(c) aloga x = x,(d) loga xy = loga x+ loga y,(e) loga(x/y) = loga x− loga y,(f) loga(xp) = p loga x,(g) loga x = logb x/ logb a.

Przykład 2.4.3. (1) Rozwiązać równanie log(log x) + log(log x2 − 1) = 1. Zauważmy, że x >√

10.Podstawiając t = log x otrzymamy

2t2 − t− 10 = 0,

skąd t = 5/2 lub t = −2, czyli log x = 5/2 lub log x = −2. W konsekwencji, po uwzględnieniuzałożeń, x = 100

√10.

(2) Rozwiązać nierówność (2/5)log2 x+1 > (25/4)2−log x

3

. Zauważmy, że x > 0. Podstawiając t = log xotrzymamy (

2

5

)t2+1

>

(2

5

)6t−4

,

skąd t2 − 6t+ 5 < 0, czyli 1 < t < 5. W konsekwencji, 10 < x < 100 000.

Zadanie 2.4.4. (1) Rozwiązać równania i nierówności

(a) log2

x+ 3

x− 1− log2 5 > 0,

(b) log 12

(log8

x2 − 2x

x− 3

)≤ 0,

(c) logxx+ 3

x− 1> 1,

(d) logx 5√

5− 5

4= log2

x

√5,

(e) log2(x+ 14) + log2(x+ 2) ≥ 6.

(2) Wyznaczyć funkcje odwrotne do funkcji

(a) f(x) = log3(x− 1) + 3, x > 1, (b) f(x) = 2√x, x > 0.

2.5. Funkcje trygonometryczne.

Definicja 2.5.1. Miara łukowa kąta jest to miara kąta wyrażona przez długość łuku okręgu o promieniujeden opartego na tym kącie. Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (rad).

Obserwacja 2.5.2. Miara łukowa x kąta mającego α stopni wyraża się wzorem

x =π

180α.

W szczególności,

α◦ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π.

Definicja 2.5.3. Niech P = (xP , yP ) będzie punktem okręgu o środku w punkcie (0, 0) i promieniu1 i niech x ∈ R będzie miarą łukową kąta skierowanego pomiędzy dodatnią półosią x a promieniemwodzącym punktu P . Funkcję

R 3 x sin7−→ yP ∈ R (odp. R 3 x cos7−→ xP ∈ R)nazywamy sinusem (odp. cosinusem).

Obserwacja 2.5.4. (1) sin(R) = cos(R) = [−1, 1].(2) Funkcje sin i cos są okresowe o okresie podstawowym 2π, tj. sin(x+ 2π) = sinx, cos(x+ 2π) =

cosx.(3) Funkcja sin jest nieparzysta, tj. sin(−x) = − sinx, funkcja cos jest parzysta, tj. cos(−x) = cosx.(4) Funkcje sin i cos są przedziałami monotoniczne.(5) Funkcje sin |[−π/2+kπ,π/2+kπ] : [−π/2 + kπ, π/2 + kπ] −→ [−1, 1], cos |[kπ,π+kπ] : [kπ, π + kπ] −→

[−1, 1] są bijekcjami dla dowolnego k ∈ Z.(6) Zachodzą wzory

14

(a) sin2 x+ cos2 x = 1,(b) sin(x± y) = sinx cos y ± cosx sin y (w szczególności, sin 2x = 2 sinx cosx),(c) cos(x±y) = cosx cos y∓sinx sin y (w szczególności, cos 2x = cos2 x−sin2 x = 2 cos2 x−1 =

1− 2 sin2 x).(7) Kwadrat, trójkąt równoboczny i symetria wykresów sinusa i cosinusa generują następującą tabelę

x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

sinx 0 1/2√

2/2√

3/2 1 0 −1 0

cosx 1√

3/2√

2/2 1/2 0 −1 0 1

.

Przykład 2.5.5. (1) Rozwiązać równanie sin 2x = sinx. Równoważnie,

sinx(2 cosx− 1) = 0,

czylisinx = 0 lub cosx = 1/2,

skąd x = kπ lub x = π/3 + 2kπ lub x = −π/3 + 2kπ, k ∈ Z.(2) Rozwiązać nierówność 4 cos2 x ≥ 3. Równoważnie,

cosx ≥√

3

2lub cosx ≤ −

√3

2,

skąd −π/6 + kπ ≤ x ≤ π/6 + kπ, k ∈ Z.

Zadanie 2.5.6. Rozwiązać równania i nierówność

(1) cos 2x = cosx, (2) cos 2x = cosx− 1, (3) sinx > cosx.

Definicja 2.5.7. Funkcję

R \{π

2+ kπ : k ∈ Z

}3 x tg7−→ sinx

cosx(odp. R \ {kπ : k ∈ Z} 3 x ctg7−→ cosx

sinx)

nazywamy tangensem (odp. cotangensem).

Obserwacja 2.5.8. (1) tg((−π

2+ kπ,

π

2+ kπ

))= ctg ((kπ, π + kπ)) = R dla dowolnego k ∈ Z.

(2) Funkcje tg i ctg są okresowe o okresie podstawowym π, tj. tg(x+ π) = tg x, ctg(x+ π) = ctg x.(3) Funkcje tg i ctg są nieparzyste, tj. tg(−x) = − tg x, ctg(−x) = − ctg x.(4) Funkcje tg |(−π2 +kπ,π2 +kπ) :

(−π

2+ kπ,

π

2+ kπ

)−→ R, ctg |(kπ,π+kπ) : (kπ, π + kπ) −→ R są

bijekcjami dla dowolnego k ∈ Z.(5) Zachodzą wzory

(a) tg x ctg x = 1,

(b) tg(x± y) =tg x± tg y

1∓ tg x tg y(w szczególności, tg 2x =

2 tg x

1− tg2 x),

(c) ctg(x± y) =ctg x ctg y ∓ 1

ctg x± ctg y(w szczególności, ctg 2x =

ctg2 x− 1

2 ctg x).

(6) Definicje oraz tabela wartości sinusa i kosinusa generują następującą tabelę

x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

tg x 0 1/√

3 1√

3 — 0 — 0

ctg x —√

3 1 1/√

3 0 — 0 —.

Przykład 2.5.9. Rozwiązać nierówność tg(2x− 1) ≤ 1. Ponieważ

−π2

+ kπ < 2x− 1 ≤ π

4+ kπ, k ∈ Z,

więc1

2− π

4+ k

π

2< x ≤ 1

2+π

8+ k

π

2, k ∈ Z.

Zadanie 2.5.10. Rozwiązać równania i nierówność

15

(1) tg2 x = 3, (2) ctg x = tg x, (3) tg(2x+ 3) >√

3.

Definicja 2.5.11. Funkcje sin, cos, tg i ctg nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.

2.6. Funkcje cyklometryczne.

Definicja 2.6.1. Funkcję odwrotną do(1) sin |[−π2 ,π2 ] :

[−π2 ,

π2

]−→ [−1, 1] nazywamy arcus sinus i oznaczamy arc sin : [−1, 1] −→

[−π2 ,

π2

];

(2) cos |[0,π] : [0, π] −→ [−1, 1] nazywamy arcus cosinus i oznaczamy arc cos : [−1, 1] −→ [0, π];(3) tg |(−π2 ,π2 ) :

(−π2 ,

π2

)−→ R nazywamy arcus tangens i oznaczamy arc tg : R −→

(−π2 ,

π2

);

(4) ctg |(0,π) : (0, π) −→ R nazywamy arcus cotangens i oznaczamy arc ctg : R −→ (0, π).Funkcje arc sin, arc cos, arc tg i arc ctg nazywamy funkcjami cyklometrycznymi lub funkcjami kołowymi.

Obserwacja 2.6.2. (1) Funkcje arc sin i arc tg są silnie rosnące, zaś funkcje arc cos i arc ctg są silniemalejące.

(2) Funkcje arc sin i arc tg są nieparzyste, tzn. arc sin(−x) = − arc sinx dla x ∈ [−1, 1] i arc tg(−x) =− arc tg x dla x ∈ R.

(3) Funkcje arc cos i arc ctg nie są ani parzyste ani nieparzyste, ale zachodzą wzory arc cos(−x) =π − arc cosx dla x ∈ [−1, 1] i arc ctg(−x) = π − arc ctg x dla x ∈ R.

Przykład 2.6.3. (1) arc sin 1/2 = π/6, arc cos(−1/√

2) = 3π/4, arc ctg(−√

3) = 5π/6.(2) Wykazać, że

arc sinx+ arc cosx =π

2, x ∈ [−1, 1].

Istotnie, ustalmy x ∈ [−1, 1] i oznaczmy α := arc sinx, β := arc cosx. Wtedy α ∈ [−π/2, π/2],β ∈ [0, π], skąd π/2− β ∈ [−π/2, π/2]. Ponadto,

sinα = x = cosβ = sin(π

2− β

),

skąd, dzięki różnowartościowości funkcji sin w przedziale [−π/2, π/2], wnioskujemy, że

α =π

2− β,

co było do okazania.

Zadanie 2.6.4. (1) Obliczyć arc sin(−√

3/2), arc cos(−1/2), arc tg√

3, arc ctg(−1).(2) Wykazać następujące związki

(a) arc tg x+ arc ctg x = π/2, x ∈ R;(b) arc ctg x = arc tg(1/x), x > 0;

(c) arc ctg x = π + arc tg(1/x), x < 0;(d) arc tg 1 + arc tg 2 + arc tg 3 = π.

2.7. Funkcje hiperboliczne i area.

Definicja 2.7.1. Funkcję sinh : R −→ R (odp. cosh : R −→ R) daną wzorem

sinhx :=ex − e−x

2, x ∈ R, (odp. coshx :=

ex + e−x

2, x ∈ R)

nazywamy sinusem hiperbolicznym (odp. cosinusem hiperbolicznym). Funkcję tgh : R −→ R (odp. ctgh :R∗ −→ R) daną wzorem

tghx :=sinhx

coshx, x ∈ R (odp. ctghx :=

coshx

sinhx, x ∈ R∗)

nazywamy tagensem hiperbolicznym (odp. cotangensem hiperbolicznym). Funkcje sinh, cosh, tgh i ctghnazywamy funkcjami hiperbolicznymi.

Zadanie 2.7.2. (1) Wykazać, że funkcje sinh, tgh i ctgh są nieparzyste, a funkcja cosh jest parzysta.(2) Wykazać wzory

(a) cosh2 x− sinh2 x = 1,(b) sinh(x± y) = sinhx cosh y ± coshx sinh y (w szczególności, sinh 2x = 2 sinhx coshx),(c) cosh(x ± y) = coshx cosh y ± sinhx sinh y (w szczególności, cosh 2x = sinh2 x + cosh2 x =

2 sinh2 x+ 1 = 2 cosh2 x− 1).16

(3) Wykazać, że funkcje

sinh : R −→ R, cosh |R+: R+ −→ [1,+∞), tgh : R −→ (−1, 1), ctgh : R∗ −→ (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

są bijekcjami.

Definicja 2.7.3. Funkcję odwrotną do funkcji

sinh : R −→ R (odp. cosh |R+: R+ −→ [1,+∞))

oznaczamy ar sinh : R −→ R (odp. ar cosh : [1,+∞) −→ R+) i nazywamy area sinusem hiperbolicznym(odp. area cosinusem hiperbolicznym). Funkcję odwrotną do funkcji

tgh : R −→ (−1, 1), (odp. ctgh : R∗ −→ (−∞,−1) ∪ (1,+∞))

oznaczamy ar tgh : (−1, 1) −→ R, (odp. ar ctgh : (−∞,−1) ∪ (1,+∞) −→ R∗) i nazywamy area tan-gensem hiperbolicznym (odp. area cotangensem hiperbolicznym). Funkcje ar sinh, ar cosh, ar tgh i ar ctghnazywamy funkcjami area lub funkcjami polowymi.

Zadanie 2.7.4. Wyrazić funkcje area za pomocą sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i złożenia funkcjipotęgowych, wykładniczych i logarytmicznych.

17

3. Granica funkcji. Funkcje ciągłe

3.1. Granica funkcji.

Definicja 3.1.1. Punkt a ∈ R nazywamy punktem skupienia zbioru A ⊂ R, jeśli do każdego przedziałuotwartego U zawierającego a mamy U ∩ (A \ {a}) = ∅. Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamyprzez A′. Punkty zbioru A \A′ nazywamy punktami izolowanymi zbioru A.

Obserwacja 3.1.2. (1) Może się zdarzyć, że A′ 6⊂ A, np. (a, b)′ = [a, b]. W szczególności, (a, b)nie ma punktów izolowanych. Ponadto, punkty skupienia danego zbioru nie muszą być jegoelementami.

(2) Może się zdarzyć, że A 6⊂ A′, np. Z′ = ∅. W szczególności, Z składa się wyłącznie z punktówizolowanych.

Definicja 3.1.3. Niech A ⊂ R, f : A −→ R, a ∈ A′, b ∈ R. Mówimy, że f ma w punkcie a granicę b,jeśli

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈A : |a− x| < δ =⇒ |f(x)− b| < ε.

Piszemy wtedy limx→a

f(x) = b. Jeśli A ⊂ (−∞, a] (odp. A ⊂ [a,+∞)), to limx→a

f(x) nazywamy granicąlewostronną (odp. prawostronną) i piszemy lim

x→a−f(x) (odp. lim

x→a+f(x)).

Obserwacja 3.1.4. Jeśli limx→a−

f(x), limx→a+

f(x) istnieją oraz limx→a−

f(x) = limx→a+

f(x) = b, to limx→a

f(x)

istnieje oraz limx→a

f(x) = b.

Przykład 3.1.5. (1) Jeśli A 3 x f7−→ c, a ∈ A′, to limx→a

f(x) = c.(2) Jeśli a > 0, to lim

x→0+xa = 0.

(3) Jeśli f(x) = |x|/x, to limx→0

f(x) nie istnieje, ale limx→0−

f(x) = −1, limx→0+

f(x) = 1.

(4) Jeśli f(x) = 1/x, to limx→0+

f(x), limx→0−

f(x) nie istnieją.

(5) Jeśli f(x) = sin(1/x), to limx→0+

f(x), limx→0−

f(x) nie istnieją.

Zadanie 3.1.6. Wyznaczyć granice lewo- i prawostronne funkcji

(1) f(x) = bxc w punktach x ∈ Z, (2) f(x) = x− bxc w punktach x ∈ Z.

Twierdzenie 3.1.7. Jeśli limx→a

f(x) = b oraz limx→a

g(x) = c, to

(1) limx→a

(f(x)± g(x)) = b± c,(2) lim

x→af(x)g(x) = bc,

(3) limx→a

f(x)/g(x) = b/c, o ile c 6= 0,

(4) limx→a

f(x)g(x) = bc, o ile b > 0.

Twierdzenie 3.1.8. Zachodzą wzory

limx→0

sinx

x= 1, lim

x→0

ax − 1

x= ln a.

3.2. Funkcje ciągłe.

Definicja 3.2.1. Niech a ∈ X ⊂ R, Y ⊂ R, f : X −→ Y . Mówimy, że f jest ciągła w punkcie a, jeśli

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X : |a− x| < δ =⇒ |f(x)− f(a)| < ε.

Piszemy wtedy f ∈ C(X,Y ; a). Funkcję nazywamy ciągłą, jeśli jest ona ciągła w każdym punkcie dzie-dziny. Piszemy wtedy f ∈ C(X,Y ). Ponadto, C(X; a) := C(X,R; a), C(X) := C(X,R). Funkcję ciągłąokreśloną na przedziale nazywamy krzywą.

Obserwacja 3.2.2. Niech X ⊂ R, a ∈ X ∩X ′, f : X −→ R. Wówczas f ∈ C(X; a) wtedy i tylko wtedy,gdy lim

x→af(x) istnieje oraz lim

x→af(x) = f(a).

Przykład 3.2.3. (1) Funkcja f(x) = |x|/x, x ∈ R \ {0}, jest ciągła.18

(2) Funkcja znaku (signum) sgn : R −→ R dana wzorem

sgn(x) =

−1, gdy x < 0

0, gdy x = 0

1, gdy x > 0

nie jest ciągła, ponieważ nie jest ciągła w punkcie x = 0. Istotnie, funkcja f nie ma granicy wpunkcie x = 0 (granice lewo- i prawostronne są różne). W punktach x 6= 0 funkcja sgn jest ciągła.

(3) Funkcja

f(x) =

{x, gdy x 6= 1

0, gdy x = 1

nie jest ciągła, ponieważ nie jest ciągła w punkcie x = 1. Istotnie, funkcja f ma granicę w punkciex = 1, ale jest ona różna od wartości funkcji w tym punkcie.

(4) Funkcja f(x) = bxc jest ciągła w każdym punkcie zbioru R\Z i nie jest ciągła w punktach zbioruZ.

(5) Funkcja Dirichleta χQ,R nie jest ciągła w żadnym punkcie.Twierdzenie 3.2.4. (1) Funkcje potęgowe, wykładnicze i trygonometryczne są ciągłe.

(2) Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej określonej na przedziale (o wartościach rzeczywistych) jestfunkcją ciągłą. W szczególności, funkcje logarytmiczne i cyklometryczne są ciągłe.

(3) Suma, różnica, iloczyn, iloraz, potęga oraz złożenie funkcji ciągłych są ciągłe. W szczególności,wielomiany i funkcje wymierne są ciągłe.

Uwaga 3.2.5. Sklejenie funkcji ciągłych nie musi być funkcją ciągłą. Istotnie, funkcja

f(x) =

{1, gdy x < 0

2, gdy x ≥ 0

jest ciągła w każdym punkcie x 6= 0, ale nie jest ciagła w punkcie x = 0.Przykład 3.2.6. (1) Funkcja f(x) = (x3 − 1)/(x − 1) ma w punkcie 1 granicę 3 (choć nie jest w

tym punkcie określona). Istotnie, zauważmy, że

f(x) =(x− 1)(x2 + x+ 1)

x− 1= (x2 + x+ 1)

x− 1

x− 1.

Funkcja g(x) = x2+x+1 jest ciągła (jako wielomian), więc limx→1

(x2+x+1) = limx→1

g(x) = g(1) = 3.

Funkcja h(x) = x−1x−1 jest funkcją stałą (równą 1) określoną na zbiorze R \ {1}, więc, w myśl

Przykładu 3.1.5 (1), limx→1

x− 1

x− 1= 1. Ponieważ f jest iloczynem funkcji g i h, więc, na mocy

Twierdzenia 3.2.4,

limt→1

x3 − 1

x− 1= limx→1

(x2 + x+ 1) limx→1

x− 1

x− 1= 3 · 1 = 3.

(2) Aby obliczyć granicę funkcji f(x) = (a sin bx)/(cx), gdzie c 6= 0, w punkcie x = 0, zauważmy, żejeśli x −→ 0, to bx −→ 0, skąd, na mocy Twierdzenia 3.1.8,

limx→0

sin bx

bx= 1.

Wówczas, na mocy Twierdzenia 3.2.4, mamy

limx→0

a sin bx

cx= limx→0

ab

c

sin bx

bx=ab

c.

(3) Fukcja f(x) = 1/x, określona z obu stron punktu 0, nie ma w x = 0 granicy. Istotnie, dowolnieblisko zera istnieją punkty, w których wartości są dowolnie duże, np.

f

(1

n

)= n, n ∈ N.

(4) Funkcja f(x) = sin(1/x), określona z obu stron punktu 0, nie ma w x = 0 granicy. Istotnie,dowolnie blisko zera istnieją punkty, w których wartości równe są, odpowiednio, 0 i 1, np.

f

(1

πn

)= 0, f

(1

2πn+ π/2

)= 1, n ∈ N.

Zadanie 3.2.7. (1) Obliczyć granice19

(a) limx→−4

16x− x3

x2 + 5x+ 4,

(b) limx→1

x3 + x2 − x− 1

x3 + 3x2 + x,

(c) limx→2

x2 − 4

x− 2,

(d) limx→25

√x− 5

x− 25,

(e) limx→0

√x2 + 1−

√x+ 1

1−√x+ 1

,

(f) limx→π/2

sinx

x,

(g) limx→0

ex−1 − 1

2x− 2,

(h) limx→0

5x ctg 2x,

(i) limx→0

arc tg x

x,

(j) limx→1

arc sin(1− x)

x2 − 1.

(2) Zbadać ciągłość funkcji

(a) f(x) = bxc, x ∈ R \ Z,(b) f(x) = bxc+ b−xc,

(c) f(x) =1

x, (d) f(x) =

{1x , x 6= 0

0, x = 0.

Definicja 3.2.8. Niech P ⊂ R będzie przedziałem, f : P −→ R. Mówimy, że f ma własność Darboux,jeśli

∀α,β∈f(P ):α<β ∀γ∈(α,β) ∃c∈P : f(c) = γ

(tzn. f przyjmuje wszystkie wartości pośrednie).

Twierdzenie 3.2.9. Niech P ⊂ R będzie przedziałem, f ∈ C(P ). Wtedy f(P ) jest przedziałem. Wszczególności, f ma własność Darboux.

Uwaga 3.2.10. Istnieją funkcje nieciągłe mające własność Darboux (por. Przykład 4.2.14).

Twierdzenie 3.2.11. Niech K ⊂ R będzie przedziałem domkniętym i ograniczonym, f ∈ C(K). Wtedyf(K) jest przedziałem domkniętym i ograniczonym. W szczególności, istnieją punkty a, b ∈ K takie, żef(a) = inf f(K) = min f(K), f(b) = sup f(K) = max f(K).

3.3. Granice niewłaściwe. Granice w nieskończoności. Asymptoty funkcji.

Definicja 3.3.1. Niech A ⊂ R, f : A −→ R, a ∈ A′. Mówimy, że f ma w punkcie a granicę niewłaściwą+∞ (odp. −∞), jeśli

∀M∈R ∃δ>0 ∀x∈A : |a− x| < δ =⇒ f(x) > M (odp. ∀M∈R ∃δ>0 ∀x∈A : |a− x| < δ =⇒ f(x) < M).

Piszemy wtedy limx→a

f(x) = +∞ (odp. limx→a

f(x) = −∞).Jak przy granicach zwykłych, można mówić o granicy niewłaściwej prawostronnej lim

x→a+f(x) i lewo-

stronnej limx→a−

f(x).

Jeśli f ma w a granicę niewłaściwą (odp. lewo- lub prawostronną), to prostą o równaniu x = anazywamy asymptotą pionową (odp. lewo- lub prawostronną) funkcji f .

Przykład 3.3.2. (1) Rozumując jak w Przykładzie 3.2.6 (3) dochodzimy do wniosku, że

limx→0+

1

x= +∞, lim

x→0−

1

x= −∞.

W szczególności, prosta o równaniu x = 0 jest asymptotą pionową funkcji x 7−→ 1/x.(2) Funkcja z Przykładu 3.2.6 (4) nie ma granic jednostronnych, nawet w sensie niewłaściwym.(3) Jeśli a < 0, to lim

x→0+xa = +∞. W szczególności, prosta o równaniu x = 0 jest asymptotą pionową

prawostronną funkcji x 7−→ xa, a < 0.(4) lim

x→(π/2+kπ)−tg x = +∞, lim

x→(π/2+kπ)+tg x = −∞, k ∈ Z. W szczególności, prosta o równaniu

x = π/2 + kπ, k ∈ Z, jest asymptotą pionową funkcji tg.(5) Jeśli a > 1, to lim

x→0+loga x = −∞. Jeśli 0 < a < 1, to lim

x→0+loga x = +∞. W szczególności, prosta

o równaniu x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną funkcji x 7−→ loga x.

Twierdzenie 3.3.3. Jeśli limx→a

f(x) = b oraz limx→a

g(x) = c, gdzie b, c ∈ R, to, jeśli tylko poniższe działniasą określone,

(1) limx→a

(f(x)± g(x)) = b± c,(2) lim

x→af(x)g(x) = bc,

(3) limx→a

f(x)/g(x) = b/c,

(4) limx→a

f(x)g(x) = bc.20

Obserwacja 3.3.4. (1) Niech limx→0

f(x) = limx→0

g(x) = 0, f(x) < 0 < g(x). Jeśli oznaczymy

0− := limx→0

f(x), 0+ := limx→0

g(x),

to możemy określić następujące ilorazya

0+=−a0−

= +∞, −a0+

=a

0−= −∞, a ∈ R>0 ∪ {+∞}.

(2) Pozwala to obliczyć granicę (lub niewłaściwe granice jednostronne) funkcji wymiernej w punkcie.Istotnie, aby obliczyć granicę funkcji wymiernej gdy x→ a, wstawiamy do licznika i mianownikawartość x = a i, jeśli działanie ma sens, wynik jest szukaną granicą. Jeśli punkt a jest miej-scem zerowym licznika i mianownika, rozkładamy licznik i mianownik na czynniki i skracamy wułamku czynnik (x − a). Jeśli punkt a jest miejscem zerowym tylko mianownika, to wynik jestnieskończonością ze znakiem zdeterminowanym znakami licznika i mianownika. Rozumowanie tomożna stosować dla szerszych klas funkcji.

Przykład 3.3.5. (1) limx→−1

2x2 + 2x

1 + x3= limx→−1

2x(x+ 1)

(x+ 1)(x2 − x+ 1)= limx→−1

2x

x2 − x+ 1= −2

3.

(2) limx→−2

x3 + 2x2 − 4x− 8

x2 + 3x+ 2= limx→−2

(x+ 2)2(x− 2)

(x+ 2)(x+ 1)= 0.

(3) limx→3

x2 + x− 12

x3 − 6x2 + 9xnie istnieje, bo

• limx→3−

x2 + x− 12

x3 − 6x2 + 9x= limx→3−

(x− 3)(x+ 4)

x(x− 3)2= limx→3−

x+ 4

x(x− 3)

70−= −∞,

• limx→3+

x2 + x− 12

x3 − 6x2 + 9x= limx→3+

(x− 3)(x+ 4)

x(x− 3)2= limx→3+

x+ 4

x(x− 3)

70+= +∞.

(4) Wyznaczyć asymptoty pionowe funkcji f(x) = 1−x1+x−2x2 . Zauważmy, że 1 + x − 2x2 = 0 dla

x = 1 lub x = −1/2. Ponieważ f , będąc funkcją wymierną, jest funkcją ciągłą, zatem możeona posiadać granice niewłaściwe tylko w punktach skupienia dziedziny leżących poza dziedziną,tj. w punktach x = 1 i x = −1/2. Bez trudu sprawdzamy, że

• limx→1

1− x1 + x− 2x2

= limx→1

1− x(1− x)(2x+ 1)

= limx→1

1

2x+ 1=

1

3,

• limx→−1/2−

1− x(1− x)(2x+ 1)

= limx→−1/2−

1

2x+ 1

10−= −∞,

• limx→−1/2+

1− x(1− x)(2x+ 1)

= limx→−1/2+

1

2x+ 1

10+= +∞.

Stąd prosta o równaniu x = −1/2 jest jedyną asymptotą pionową funkcji f .

Obserwacja 3.3.6. Funkcja f : X −→ R może mieć asymptoty pionowe tylko w punktach nieciągłościlub w punktach ze zbioru X ′ \X.

Zadanie 3.3.7. (1) Obliczyć granice

(a) limx→2−

x2 − 4

(x− 2)2, (b) lim

x→− 12+

4x2 − 1

4x2 + 4x+ 1,

(c) limx→3

27− x3

x3 − 9x2 + 27x2 − 27,

(d) limx→−1−

x2 − 1

(1 + x)3,

(e) limx→−5+

x3 − 125

2x2 − 50.

(2) Wyznaczyć asymptoty pionowe funkcji

(a) f(x) =x

1− x,

(b) f(x) =x2 − 1

x− 1,

(c) f(x) =x

1− x2,

(d) f(x) =4

x2 + x+ 1,

(e) f(x) = e1/(1−x2).

Definicja 3.3.8. Niech X ⊂ R będzie zbiorem nieograniczonym z góry (odp. z dołu), f : X −→ R,b ∈ R. Mówimy, że f ma w +∞ (odp. −∞) granicę b, jeśli

∀ε>0 ∃N∈R ∀x∈X : x > N =⇒ |f(x)− b| < ε (odp. ∀ε>0 ∃N∈R ∀x∈X : x < N =⇒ |f(x)− b| < ε).21

Piszemy wtedy limx→+∞

f(x) = b (odp. limx→−∞

f(x) = b). Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą

poziomą prawostronną (odp. lewostronną) funkcji f . Asymptotę poziomą lewo- i prawostronną nazywamyasymptotą poziomą.

Definicja 3.3.9. Niech X ⊂ R będzie zbiorem nieograniczonym z góry, f : X −→ R. Mówimy, że f maw +∞ granicę niewłaściwą +∞ (odp. −∞), jeśli

∀M∈R ∃N∈R ∀x∈X : x > N =⇒ f(x) > M (odp. ∀M∈R ∃N∈R ∀x∈X : x > N =⇒ f(x) < M).

Piszemy wtedy limx→+∞

f(x) = +∞ (odp. limx→+∞

f(x) = −∞). Analogicznie określamy limx→−∞

f(x) = +∞i limx→−∞

f(x) = −∞.

Przykład 3.3.10. (1) Jeśli a > 0, to limx→+∞

xa = +∞.

(2) Jeśli a < 0, to limx→+∞

xa = 0. W szczególności, prosta o równaniu y = 0 jest asymptotą poziomą

funkcji x 7−→ xa, a < 0. Jeśli dodatkowo a ∈ Z, to także limx→−∞

xa = 0. W szczególności, prostao równaniu y = 0 jest asymptotą poziomą funkcji x 7−→ xa, a ∈ Z, a < 0.

(3) limx→±∞

1− 2x

x= limx→±∞

(1

x− 2

)= −2. W szczególności, prosta o równaniu y = 2 jest asymptotą

poziomą funkcji x 7−→ 1−2xx .

(4) Jeśli a > 1, to limx→−∞

ax = 0, limx→+∞

ax = +∞. W szczególności, prosta o równaniu y = 0 jestasymptotą poziomą lewostronną funkcji x 7−→ ax, a > 1.

(5) Jeśli 0 < a < 1, to limx→−∞

ax = +∞, limx→+∞

ax = 0. W szczególności, prosta o równaniu y = 0

jest asymptotą poziomą prawostronną funkcji x 7−→ ax, 0 < a < 1.(6) lim

x→−∞arc tg x = −π/2. W szczególności, prosta o równaniu y = −π/2 jest asymptotą poziomą

lewostronną funkcji arc tg.(7) lim

x→+∞arc tg x = π/2. W szczególności, prosta o równaniu y = π/2 jest asymptotą poziomą

prawostronną funkcji arc tg.(8) lim

x→−∞arc ctg x = π. W szczególności, prosta o równaniu y = π jest asymptotą poziomą lewo-

stronną funkcji arc ctg.(9) lim

x→+∞arc ctg x = 0. W szczególności, prosta o równaniu y = 0 jest asymptotą poziomą prawo-

stronną funkcji arc ctg.(10) lim

x→+∞sinx nie istnieje, bo np. nπ/2 → +∞, natomiast sin(nπ/2) = 0 dla n parzystych i

| sin(nπ/2)| = 1 dla n nieparzystych.

Obserwacja 3.3.11. (1) Niech w(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0, gdzie an 6= 0. Ponieważ

w(x) = xn(an + an−1x

−1 + · · ·+ a1x1−n + a0x

−n)oraz

limx→±∞

an−1x−1 = · · · = lim

x→±∞a1x

1−n = limx→±∞

a0x−n = 0,

więclim

x→±∞w(x) = sgn(an)(±∞).

Rozumowanie to można zastosować do szerszej klasy funkcji.(2) Aby obliczyć granicę funkcji wymiernej gdy x → ±∞, dzielimy licznik i mianownik przez x w

najwyższej potędze mianownika. Istotnie, jeśli ap 6= 0 6= bq, to

limx→+∞

apxp + ap−1x

p−1 + · · ·+ a1x+ a0bqxq + bq−1xq−1 + · · ·+ b1x+ b0

=

0, gdy p < qapbq, gdy p < q

sgn(apbq

)∞, gdy p > q

.

Rozumowanie to można zastosować do szerszej klasy funkcji.

Przykład 3.3.12. (1) limx→+∞

(2x − 3x) = limx→+∞

3x((

2

3

)x− 1

)= −∞.

(2) limx→−∞

2− x− 4x3

5 + 6x− 7x2= limx→−∞

2/x2 − 1/x− 4x

5/x2 + 6/x− 7= −∞.

22

(3) limx→+∞

1− 2x+ 7x2

4x2 − 1= limx→+∞

1/x2 − 2/x+ 7

4− 1/x2=

7

4.

(4) limx→+∞

1 + x+ 2x2

x(x3 + 1)= limx→+∞

1/x4 + 1/x3 + 2/x2

1 + 1/x3= 0.

(5) limx→+∞

√x(x−

√x2 − 1) = lim

x→+∞

√x√

x+√x2 − 1

= limx→+∞

1√1 +

√1− 1/x2

=1√2(w pierwszej

równości pomnożyliśmy i podzieliliśmy wyrażenie√x(x−

√x2 − 1) przez

√x+√x2 − 1).

(6) limx→0+

e1/x = +∞, ponieważ limx→0+

1/x = +∞, a następnie stosujemy Przykład 3.3.10 (4), boe > 1.

(7) limx→0−

e1/x = 0, ponieważ limx→0−

1/x = −∞, a następnie stosujemy Przykład 3.3.10 (4), bo e > 1.

Zadanie 3.3.13. (1) Obliczyć granice

(a) limx→−∞

(4x − 3x + 6x),

(b) limx→−∞

x4

x3 − x,

(c) limx→−∞

1− 2x− 3x3

(x− 1)(x+ 1),

(d) limx→+∞

2x + 4x

3x − 5x,

(e) limx→−∞

2x + 4x

3x − 5x,

(f) limx→0±

e1/x − 1

e1/x + 1.

(2) Wyznaczyć asymptoty pionowe i poziome funkcji

(a) f(x) = e1/(1−x2), (b) f(x) =

1

lnx, (c) f(x) = lnx+

1

lnx.

(3) Wykazać, że każdy wielomian stopnia nieparzystego ma miejsce zerowe.

Definicja 3.3.14. Niech X ⊂ R będzie zbiorem nieograniczonym z góry (odp. z dołu), f : X −→ R.Mówimy, że prosta o równaniu y = ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną (odp. lewostronną) funkcjif , jeśli

limx→+∞

(f(x)− (ax+ b)) = 0 (odp. limx→−∞

(f(x)− (ax+ b)) = 0).

Obserwacja 3.3.15. Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej (a = 0).

Twierdzenie 3.3.16. Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą ukośną prawostronną (odp. lewo-stronną) dla f wtedy i tylko wtedy, gdy

a = limx→+∞

f(x)

x, b = lim

x→+∞(f(x)− ax),

(odp. a = limx→−∞

f(x)

x, b = lim

x→−∞(f(x)− ax)).

W szczególności, funkcja nie ma asymptoty ukośnej prawostronnej (odp. lewostronnej), jeśli choć jednaz tych granic nie istnieje (w sensie właściwym).

Przykład 3.3.17. (1) Funkcja f(x) = (x3 − 2x2 + 3)/(2x2) ma asymptotę ukośną o równaniuy = x/2− 1, ponieważ lim

x→±∞f(x)/x = 1/2 oraz lim

x→±∞(f(x)− x/2) = −1.

(2) Funkcja f(x) = 3x3 nie ma asymptoty ukośnej, ponieważ limx→±∞

f(x)/x = ±∞.

Zadanie 3.3.18. Wyznaczyć asymptoty funkcji

(1) f(x) =2x− 2

x− 2,

(2) f(x) =√

1 + x2,

(3) f(x) =x2 + x+ 1

1− x, (4) f(x) = xe1/x.

23

4. Pochodna

W rozdziale tym P ⊂ R oznacza przedział.

4.1. Pochodna funkcji.

Definicja 4.1.1. Niech Y ⊂ R, f : P −→ Y , a ∈ P . Pochodną funkcji f w punkcie a nazywamy granicę(skończoną)

(4.1) f ′(a) := limP−a3h→0

f(a+ h)− f(a)

h= limP3x→a

f(x)− f(a)

x− a,

gdzie P − a := {x− a : x ∈ P}. Piszemy wtedy f ∈ D(P, Y ; a). Jest to klasa funkcji różniczkowalnych wpunkcie a. f ∈ D(P ; a) := f ∈ D(P,R; a). Jeśli a jest prawym końcem przedziału P , to w (4.1) mamydo czynienia z granicą lewostronną i mówimy o pochodnej lewostronnej funkcji f w punkcie a

f ′−(a) := limP−a3h→0−

f(a+ h)− f(a)

h= limP3x→a−

f(x)− f(a)

x− a.

Podobnie określamy pochodną prawostronną. Niech D(P, Y ) := {f : P −→ Y : ∀a∈P f ′(a) istnieje}. Jestto klasa funkcji różniczkowalnych. Jak zwykle, D(P ) := D(P,R). Funkcję mającą pochodną w każdympunkcie dziedziny nazywamy różniczkowalną.

Twierdzenie 4.1.2. D(P, Y ; a) ⊂ C(P, Y ; a).

Przykład 4.1.3. (1) f(x) = x2. Mamy

f ′(x) = limh→0

(x+ h)2 − x2

h= limh→0

2xh+ h2

h= limh→0

(2x+ h) = 2x,

zatem funkcja f ma w każdym punkcie x pochodną f ′(x) = 2x.(2) f(x) = x. Mamy

f ′(x) = limh→0

(x+ h)− xh

= limh→0

h

h= 1,

zatem funkcja f ma w każdym punkcie x pochodną równą f ′(x) = 1.(3) Funkcja f(x) = |x| nie ma pochodnej w punkcie 0, ale f ′−(0) = −1, f ′+(0) = 1. Jest to przykład

funkcji ciągłej, która nie jest różniczkowalna (por. Twierdzenie 4.1.2).

Uwaga 4.1.4 (Interpretacja geometryczna pochodnej). Niech f, g : P −→ R, a ∈ P . Mówimy, że f, g sąstyczne w punkcie a, jeśli

limx→a

f(x)− g(x)

x− a= 0.

W tym języku: f ′(a) istnieje wtedy i tylko wtedy gdy dla pewnego ` ∈ R odwzorowania x 7−→ f(x) ix 7−→ f(a) + `(x− a) są styczne w punkcie a. Inaczej, jeśli f ∈ D(P ; a), to prosta o równaniu

y − f(a) = f ′(a)(x− a)

jest styczną do wykresu f w punkcie a.

Przykład 4.1.5. Wyznaczyć styczną do paraboli y = x2 w punkcie o współrzędnej x = 1. Zauważmy,że dla f(x) = x2 mamy f ′(x) = 2x, skąd f ′(1) = 2. Ponadto, f(1) = 1, skąd równanie szukanej stycznejma postać

y = 2(x− 1) + 1,

czyli y = 2x− 1.

Twierdzenie 4.1.6. Funkcje elementarne są różniczkowalne oraz

(1) (xa)′ = axa−1, a ∈ R,(2) (ax)′ = ax ln a, a > 0,

(3) (loga x)′ =1

x ln a, a > 0,

a 6= 1,(4) (sinx)′ = cosx,

(5) (cosx)′ = − sinx,

(6) (tg x)′ =1

cos2 x,

(7) (ctg x)′ =−1

sin2 x,

(8) (arc sinx)′ =1√

1− x2,

(9) (arc cosx)′ =−1√

1− x2,

(10) (arc tg x)′ =1

x2 + 1,

(11) (arc ctg x)′ =−1

x2 + 1.

Wniosek 4.1.7. W szczególności,

(1)′ = 0,

(1

x

)′= − 1

x2, (√x)′ =

1

2√x, (ex)′ = ex, (lnx)′ =

1

x.

24

Twierdzenie 4.1.8. Niech f, g ∈ D(P ; a). Wtedy f ± g, fg ∈ D(P ; a) oraz

(f ± g)′(a) = f ′(a)± g′a), (fg)′(a) = f ′(a)g′(a).

Jeśli ponadto g(x) 6= 0 dla x ∈ P , to f/g ∈ D(P ; a) oraz(f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a)− f(a)g′(a)

g2(a).

Przykład 4.1.9. (1) Jeśli f(x) = const, to f ′(x) = 0.(2) Jeśli c ∈ R, to (cu(x))′ = cu′(x).(3) (x3 + 2x)′ = 3x2 + 2.(4) (x5 − 3x2 + 7x− 4)′ = 5x4 − 6x+ 7.(5) (sinx cosx)′ = cos2 x− sin2 x = cos 2x.

(6)(

x2

x− 1

)′=

2x(x− 1)− x2

(x− 1)2=x2 − 2x

(x− 1)2.

(7)(

2x

arc sinx

)′=

2x ln 2 arc sinx− 2x/√

1− x2

arc sin2 x.

Twierdzenie 4.1.10 (Pochodna funkcji złożonej). Niech ϕ ∈ D(Q,P ;x), f ∈ D(P ;ϕ(x)). Wtedy f ◦ϕ ∈D(Q;x) oraz

(4.2) (f ◦ ϕ)′(x) = f ′(ϕ(x))ϕ′(x).

Przykład 4.1.11. (1) h(x) = (x2 − 1)5. Oznaczając ϕ(x) = x2 − 1 otrzymujemy, na mocy wzoru(4.2),

h′(x) = 5(ϕ(x))42x = 10x(x2 − 1)4.

(2) h(x) =√x2 + 1. Oznaczając ϕ(x) = 1 + x2 otrzymujemy

h′(x) =1

2√ϕ(x)

· 2x =x√

1 + x2.

(3) Dla h(x) = ln sinx mamy h′(x) = 1/(sinx) · cosx = ctg x.(4) Pochodna złożenia dowolnej skończonej liczby funkcji różniczkowalnych równa jest iloczynowi

pochodnych poszczególnych funkcji, np. f(x) = arc tg2√x2 + 1 jest złożeniem czterech funkcji

xg7−→ x2 + 1

h7−→√x2 + 1

i7−→ arc tg√x2 + 1

j7−→ arc tg2√x2 + 1,

tzn. f = j ◦ i ◦ h ◦ g, gdzieg(x) = x2 + 1, h(x) =

√x, i(x) = arc tg x, j(x) = x2.

W konsekwencji, f ′(x) = j′(i(h(g(x)))) · i′(h(g(x))) · h′(g(x)) · g′(x), czyli

f ′(x) = 2 arc tg√x2 + 1 · 1

1 +√x2 + 1

2 ·1

2√x2 + 1

· 2x =2x arc tg

√x2 + 1

(x2 + 2)√x2 + 1

.

Twierdzenie 4.1.12 (Pochodna funkcji odwrotnej). Niech a ∈ P i niech f ∈ D(P,Q; a) będzie bijekcją,b = f(a). Wtedy następujące warunki są równoważne(i) (f−1)′(b) istnieje;(ii) f−1 ∈ C(Q,P ; b) oraz f ′(a) 6= 0.Ponadto, jeśli oba warunki są spełnione, to (f−1)′(b) = 1

f ′(a) .

Zadanie 4.1.13. (1) Obliczyć pochodne funkcji

(a) f(x) = 2x3 − 6x+ 5,(b) f(x) = x2ex,(c) f(x) = sin(5x− 3),(d) f(x) = x(x3 − 1),(e) f(x) = ex

4−2x2

,(f) f(x) = x− sinx cosx,

(g) f(x) = (x2 − 2x)3,(h) f(x) = ln(x2 − 4),(i) f(x) = ln(sinx),

(j) f(x) =x2 + 1

x2 − 1,

(k) f(x) = x1/2 + x2/3,

(l) f(x) = x2(2 lnx− 1),(m) f(x) =

√x2 − 4x+ 3,

(n) f(x) = lnx+√x2 − a2,

(o) f(x) =x√

1− x2,

(p) f(x) = ln(lnx).

(2) Obliczyć pochodne funkcji hiperbolicznych.(3) Obliczyć pochodne funkcji area (zastosować wzory na pochodne funkcji hiperbolicznych i wzór

na pochodną funkcji odwrotnej albo wykorzystać jawną postać funkcji area).25

4.2. Twierdzenia o wartości średniej.

Definicja 4.2.1. Niech a ∈ X ⊂ R, f : X −→ R. Mówimy, że f ma w punkcie a maksimum lokalne(odp. minimum lokalne), jeśli istnieje otoczenie U punktu a takie, że f(x) ≤ f(a) (odp. f(x) ≥ f(a)) dlax ∈ U . Jeśli f ma w punkcie a maksimum lub minimum lokalne, to mówimy, że ma ekstremum lokalne.

Mówimy, że f ma w punkcie a silne maksimum lokalne (odp. silne minimum lokalne), jeśli istniejeotoczenie U punktu a takie, że f(x) < f(a) (odp. f(x) > f(a)) dla x ∈ U \ {a}. Jeśli f ma w punkcie asilne maksimum lub silne minimum lokalne, to mówimy, że ma silne ekstremum lokalne.

Twierdzenie 4.2.2 (Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego). Niech P ⊂ R będzie przedzia-łem otwartym, a ∈ P i niech f ∈ D(P ; a) ma w a ekstremum lokalne. Wtedy f ′(a) = 0.

Przykład 4.2.3. Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego nie jest wystarczający. Istotnie,funkcja f(x) = x3 jest różniczkowalna, bo f ′(x) = 3x2. Ponadto, f ′(0) = 0, ale funkcja f nie ma w 0ekstremum lokalnego.

Twierdzenie 4.2.4 (Twierdzenie Rolle’a o wartości średniej). Niech f ∈ C([a, b])∩D((a, b)), f(a) = f(b).Wtedy istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f ′(c) = 0.

Twierdzenie 4.2.5 (Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej). Niech f ∈ C([a, b])∩D((a, b)). Wtedyistnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Zadanie 4.2.6. (1) Stosując twierdzenie Rolle’a o wartości średniej wykazać, że jeśli liczby rzeczy-wiste a0, a1, . . . , an spełniają równość

a0 +a12

+a23

+ · · ·+ ann+ 1

= 0,

to równanie a0 + a1x+ · · ·+ anxn = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie x ∈ (0, 1). Wskazówka.

Rozważyć funkcję

f(x) = a0x+1

2a1x

2 + · · ·+ 1

n+ 1anx

n+1.

(2) Stosując twierdznie Lagrange’a o wartości średniej wykazać nierówność

| sinx− sin y| ≤ |x− y|, x, y ∈ R.

Z twierdzenia Lagrange’a wynikają dwa następujące ważne twierdzenia.

Twierdzenie 4.2.7. Niech f ∈ D(P ), f ′ ≡ 0. Wtedy f ≡ const.

Obserwacja 4.2.8. Powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe, jeśli P zastąpimy zbiorem nie będącymprzedziałem. Istotnie, wystarczy rozważyć funkcję f : (0, 1) ∪ (1, 2) −→ R, f(x) = 0 dla x ∈ (0, 1),f(x) = 1 dla x ∈ (1, 2). Wtedy f ′ ≡ 0, ale f 6≡ const.

Twierdzenie 4.2.9. Niech f ∈ D(P ). Wtedy następujące warunki są równoważne(i) f jest rosnąca (odp. malejąca);(ii) f ′(x) ≥ 0 (odp. f ′(x) ≤ 0) dla dowolnego x ∈ P .

Powyższe twierdzenie można wzmocnić następująco.

Twierdzenie 4.2.10. Niech f ∈ D(P ). Wtedy następujące warunki są równoważne(i) f jest silnie rosnąca (odp. silnie malejąca);(ii) f ′(x) ≥ 0 (odp. f ′(x) ≤ 0) dla dowolnego x ∈ P oraz zbiór {x ∈ P : f ′(x) = 0} nie zawiera żadnego

przedziału.

Przykład 4.2.11. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji(1) f(x) = x3 − 3x2. f ′(x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2). Mamy tu f ′(x) > 0, gdy x < 0 lub x > 2,

natomiast f ′(x) < 0, gdy 0 < x < 2. Funkcja f(x) = x3 − 3x2 jest więc silnie rosnąca wprzedziałach (−∞, 0) i (2,+∞), silnie malejąca w przedziale (0, 2).

(2) f(x) = x√

2− x2. f ′(x) = 2(1−x)(1+x)√2−x2

, skąd f ′(x) > 0 dla −1 < x < 1, zaś f ′(x) < 0 dla−√

2 < x < −1 lub 1 < x <√

2. Funkcja f jest więc silnie rosnąca w przedziale (−1, 1), zaśsilnie malejąca w przedziałach (−

√2,−1) i (1,

√2).

Zadanie 4.2.12. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji26

(1) f(x) = x(3− x)2, (2) f(x) = x4 − 8x2 + 12, (3) f(x) = x2e−x.

Twierdzenie 4.2.13. Niech f ∈ D(P ). Wtedy f ′ ma własność Darboux.

Przykład 4.2.14. Niech

f(x) =

{x2 sin 1

x , gdy x ∈ R∗0, gdy x = 0

.

Zauważmy, że f ∈ (R) oraz

f ′(x) =

{2x sin 1

x − cos 1x , gdy x ∈ R∗

0, gdy x = 0,

czyli f ′ nie jest ciągła w 0, ale ma własność Darboux.

4.3. Reguła de l’Hospitala.

Twierdzenie 4.3.1. Niech a, b ∈ R, a < b, f, g ∈ D((a, b)), g(x) 6= 0, g′(x) 6= 0 dla x ∈ (a, b) i niechc ∈ {a, b}. Załóżmy, że spełniony jest jeden z poniższych warunków(i) lim

x→cf(x) = lim

x→cf(x) = 0;

(ii) limx→c|g(x)| = +∞.

Wtedy, jeśli istnieje granica limx→c

f ′(x)

g′(x)∈ R, to istnieje granica lim

x→c

f(x)

g(x)oraz

limx→c

f(x)

g(x)= limx→c

f ′(x)

g′(x).

Przykład 4.3.2. (1) Korzystając n-krotnie z reguły de l’Hospitala otrzymujemy

limx→+∞

xn

exH= limx→+∞

n!

ex= 0.

W konsekwencji,

limx→+∞

xa

ex= 0, lim

x→0+xa lnx = 0, a > 0.

(2) limx→π

2 +

tg x

tg 3x

[∞∞ ],H= lim

x→π2 +

1cos2 x

3cos2 3x

= limx→π

2 +

cos2 3x

3 cos2 x

[ 00 ],H= limx→π

2 +

sin 6x

sin 2x[ 00 ],H= lim

x→π2 +

6 cos 6x

2 cos 2x= 3.

(3) limx→+∞

lnx√x

[∞∞ ],H= lim

x→+∞

1x1

2√x

= limx→+∞

2√x

= 0.

(4) limx→0+

(1

x− 1

sinx

)[∞−∞]

= limx→0+

sinx− xx sinx

[ 00 ,H]= lim

x→0+

cosx− 1

sinx+ x cosx[ 00 ,H]

= limx→0+

− sinx

2 cosx− x sinx= 0.

(5) limx→+∞

x+ sinx

x= 1, ale granica lim

x→+∞

(x+ sinx)′

x′nie istnieje.

(6) limx→0+

x lnx[0·∞]= lim

x→0+

lnx1x

[∞∞ ],H= lim

x→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0, ale limx→0+

x lnx[0·∞]= lim

x→0+

x1

ln x

[ 00 ],H=

limx→0+

1

− 1x ln2 x

= − limx→0+

x ln2 x = . . . i problem robi się jeszcze bardziej skomplikowany niż na

początku.

Zadanie 4.3.3. Przy pomocy reguły de l’Hospitala obliczyć granice

(1) limx→1

x3 − 1

x2 − 1,

(2) limx→1

x3 − x2 − xx3 − 2x2 + x

,

(3) limx→0

x ctg x,

(4) limx→1

lnx

x− 1,

(5) limx→0

x− sinx

x3,

(6) limx→0

ex − 1− xx2

,

(7) limx→0

x ctg x,

(8) limx→+∞

x1/x.

27

4.4. Pochodne wyższych rzędów.

Definicja 4.4.1. Niech Y ⊂ R, f : P −→ Y , a ∈ P i niech f ′(x) istnieje dla x ∈ U ⊂ P , gdzie U jestotoczeniem a. Jeśli f ′ ∈ D(U, Y ; a), to

f ′′(a) := (f ′)′(a)

nazywamy drugą pochodną funkcji f w punkcie a. Ogólnie, jeśli f (n−1) ∈ D(U, Y ; a), to

f (n)(a) := (f (n−1))′(a)

nazywamy n-tą pochodną funkcji f w punkcie a. Wprowadzamy oznaczenia• Dn(P, Y ; a) := {f : P −→ Y : f (n)(a) istnieje},• Dn(P, Y ) := {f : P −→ Y : ∀a∈P f (n)(a) istnieje},• C(n) := {f ∈ Dn(P, Y ) : f (n) ∈ C(P, Y )},• C∞(P, Y ) :=

⋂∞n=1 C

n(P, Y ).Jak zwykle, Dn(P ; a) := Dn(P,R; a), Dn(P ; a) := Dn(P,R; a), Dn(P ) := Dn(P,R), Cn(P ) := Cn(P,R),C∞(P ) := C∞(P,R).

Obserwacja 4.4.2. (1) Dn+1(P, Y ) ⊂ Cn(P, Y ) ⊂ Dn(P, Y ) ⊂ Cn−1(P, Y ), n ∈ N.(2) Jeśli f` : R −→ R dana jest wzorem

f`(x) :=

{x` sin 1

x , gdy x 6= 0

0, gdy x = 0,

to

(a) f` ∈ C∞(R∗), ` ∈ N0,(b) f0 /∈ C(R),

(c) f2k−1 ∈ Ck−1(R) \Dk(R), k ∈ N,(d) f2k ∈ Dk(R) \ Ck(R), k ∈ N.

4.5. Wzór Taylora.

Obserwacja 4.5.1. Rozważmy wielomian p(x) = p0 + p1x+ · · ·+ pnxn, gdzie p0, p1, . . . , pn ∈ R i niech

a ∈ R. Wtedy

pk =1

k!p(k)(0), k = 0, 1, . . . , n,

oraz

p(x) = p(a) + p′(a)(x− a) +1

2p′′(a)(x− a)2 + · · ·+ 1

n!p(n)(a)(x− a)n, x ∈ R.

Istotnie, dla dowodu drugiej równości wystarczy zastosować pierwszą dla wielomianu q(x) := p(x+ a) izauważyć, że q(j)(x) = p(j)(x+ a), j ∈ N.

Definicja 4.5.2. Niech a ∈ P , f ∈ Dn(P ; a). Określamy

Rn(f, a, x) := f(x)−(f(a) + f ′(a)(x− a) +

1

2f ′′(a)(x− a)2 + · · ·+ 1

n!f (n)(a)(x− a)n

), x ∈ P.

Ponadto, R0(f, a, x) := f(x)− f(a), x ∈ P .

Obserwacja 4.5.3. Niech a ∈ P , f ∈ Dn(P ; a). Wtedy

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+1

2f ′′(a)h2 + · · ·+ 1

n!f (n)(a)hn +Rn(f, a, a+ h), h ∈ P − a.

Twierdzenie 4.5.4 (Wzór Taylora z resztą Peano). Niech a ∈ P , f ∈ Dn(P ; a). Wtedy

limP−a3h→0

Rn(f, a, a+ h)

hn= 0,

czyli Rn(f, a, a+ h) = o(hn) przy P − a 3 h −→ 0.

Twierdzenie 4.5.5 (Jednoznaczność wzoru Taylora). Niech a ∈ P , f ∈ Dn(P ; a) i niech p(x) =a0 + a1x+ · · ·+ anx

n będzie wielomianem takim, że

f(a+ h) = p(h) + o(hn) przy P − a 3 h −→ 0.

Wtedy ak = 1k!f

(k)(a), k = 0, 1, . . . , n.28

Twierdzenie 4.5.6 (Wzór Taylora z resztą Lagrange’a). Niech a ∈ P , h ∈ P − a, f ∈ Dn+1(P ; a).Wtedy istnieje θ = θ(a, h, n) ∈ (0, 1) takie, że

Rn(f, a, a+ h) =1

(n+ 1)!f (n+1)(a+ θh)hn+1.

Przykład 4.5.7. (1) Niech f(x) := ln(1 + x), x > −1. Wtedy

f (k)(x) =(−1)k+1(k − 1)!

(1 + x)k, x > −1, k ∈ N,

skąd

ln(1 + x) = x− 1

2x2 +

1

3x3 − · · ·+ (−1)n−1

nxn +Rn(f, 0, x), x > −1, n ∈ N,

przy czym, na mocy wzoru Taylora z resztą Lagrange’a,

|Rn(f, 0, x)| =∣∣∣∣ (−1)nxn+1

(n+ 1)(1 + θx)n+1

∣∣∣∣ ≤ 1

n+ 1

(|x|

1− |x|

)n+1

−→n→+∞

0, |x| < 1

2.

(2) Niech f(x) := (1 + x)α, x > −1, gdzie α ∈ R. Wtedy

f (k)(x) = α(α− 1) . . . (α− k + 1)(1 + x)α−k = k!

(α

k

)(1 + x)α−k, x > −1, k ∈ N,

skąd

(1 + x)α = 1 +

(α

1

)x+

(α

2

)x2 + · · ·+

(α

n

)xn +Rn(f, 0, x), x > −1, n ∈ N,

przy czym, na mocy wzoru Taylora z resztą Lagrange’a, dla |x| < 1/2,

|Rn(f, 0, x)| =∣∣∣∣( α

n+ 1

)(1 + θx)α−n−1xn+1

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣( α

n+ 1

)(1 + θx)α

∣∣∣∣ ( |x|1− |x|

)n+1

−→n→+∞

0.

Twierdzenie 4.5.8 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego). Niech P będzie przedziałemotwartym, a ∈ P , f ∈ Dn(P ; a) oraz f ′(a) = f ′′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0, f (n)(a) 6= 0. Wtedy

(1) Jeśli n jest nieparzyste, to f nie ma w punkcie a ekstremum lokalnego.(2) Jeśli n jest parzyste, to f ma w punkcie a silne ekstremum lokalne. Dokładniej, jeśli f (n)(a) < 0,

to f ma w punkcie a silne maksimum lokalne, zaś jeśli f (n)(a) > 0, to f ma w punkcie a silneminimum lokalne.

Przykład 4.5.9. (1) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x) = x2 sinhx. Zauważmy, że

f ′(x) = x(2 sinhx+ x coshx) = 0

wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0. Ponadto,

f ′′(x) = 2 sinhx+ 4x coshx+ x2 sinhx,

skąd f ′′(0) = 0. Następnie,

f ′′′(x) = 6 coshx+ 6x sinhx+ x2 sinhx,

skąd f ′′′(0) = 6 6= 0, czyli f nie ma ekstremum lokalnego w 0.(2) Niech f(x) = x2/2 + cosx. Zauważmy, że

f ′(x) = x− sinx = 0

wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0. Ponadto, f ′′(0) = f ′′′(0) = 0 oraz f (4)(0) = 1 > 0, zatem funkcjaf ma w punkcie 0 silne minimum lokalne.

Obserwacja 4.5.10. Aby wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji różniczkowalnej w punkcie stacjonarnym(tzn. miejscu zerowym pochodnej), nie trzeba badać wartości pochodnych wyższych rzędów, ale możnaokreślić ich istnienie oraz typ na podstawie znaku pochodnej z prawej i lewej strony badanego punktu.I tak, jeśli z obu stron punktu stacjonarnego pochodna ma ten sam znak, to w danym punkcie nie maekstremum lokalnego. Jeśli z lewej strony punktu stacjonarnego pochodna jest dodatnia, a z prawej —ujemna, to w danym punkcie funkcja ma maksimum lokalne. W przeciwnym przypadku funkcja ma wdanym punkcie minimum lokalne.

Przykład 4.5.11. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji29

(1) f(x) = x4− 2x3 + 1. Ponieważ f ′(x) = 4x3− 6x2 = 2x2(2x− 3), a ekstrema lokalne mogą być wpunktach, w których f ′(x) = 0, więc x = 0 lub x = 3/2. Ze znaku pochodnej (Przykład 4.2.11)wnioskujemy, że w punkcie x = 0 funkcja nie ma ekstremum lokalnego, a w punkcie x = 3/2 maminimum lokalne.

(2) f(x) = (5 − 3x)/(x2 − 1). Ponieważ f ′(x) = (3x − 1)(x − 3)/((x + 1)2(x − 1)2), więc ekstremalokalne mogą być w punktach x = 2/3 i x = 3. Ze znaku pochodnej wnioskujemy, że w punkciex = 1/3 funkcja ma maksimum lokalne, a w punkcie x = 3 — minimum lokalne.

Zadanie 4.5.12. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

(1) f(x) =1

4x4 − 1

3x3 − x2,

(2) f(x) = 3x4 − 8x3 − 18x2,

(3) f(x) = x√

4− x2,(4) f(x) = x− 2

x− 3 lnx,

(5) f(x) = xe−x2

,(6) f(x) = x2e−4x

2

,(7) f(x) = (x− 2)2ex+x

2/2.

4.6. Funkcje wypukłe.

Definicja 4.6.1. Funkcję f : P −→ R nazywamy wypukłą (odp. silnie wypukłą), jeśli

f(ta+ (1− t)b) ≤ tf(a) + (1− t)f(b), a, b ∈ P, a < b, t ∈ [0, 1],

(odp. f(ta+ (1− t)b) < tf(a) + (1− t)f(b), a, b ∈ P, a < b, t ∈ (0, 1)).

Funkcję f nazywamy wklęsłą (odp. silnie wklęsłą), jeśli −f jest wypukła (odp. silnie wypukła).

Zadanie 4.6.2. (1) Wykazać, że dla funkcji f : P −→ R następujące warunki są równoważne(i) f jest wypukła,(ii) dla dowolnych a, b, c ∈ P takich, że a < c < b mamy

f(c)− f(a)

c− a≤ f(b)− f(c)

b− c,

(iii) dla dowolnych k ∈ N2, t1, . . . , tk ≥ 0, t1 + · · ·+ tk = 1, a1, . . . , ak ∈ P mamy

f(t1a1 + · · ·+ tkak) ≤ t1f(a1) + · · ·+ tkf(ak),

(iv) nadwykres {(x, y) ∈ R2 : x ∈ P, y > f(x)} jest zbiorem wypukłym1.(2) Wykazać, że dla funkcji f : P −→ R następujące warunki są równoważne

(i) f jest wklęsła,(ii) dla dowolnych a, b, c ∈ P takich, że a < c < b mamy

f(c)− f(a)

c− a≥ f(b)− f(c)

b− c,

(iii) dla dowolnych k ∈ N2, t1, . . . , tk ≥ 0, t1 + · · ·+ tk = 1, a1, . . . , ak ∈ P mamy

f(t1a1 + · · ·+ tkak) ≥ t1f(a1) + · · ·+ tkf(ak),

(iv) podwykres {(x, y) ∈ R2 : x ∈ P, y < f(x)} jest zbiorem wypukłym.

Twierdzenie 4.6.3. Jeśli P ⊂ R jest przedziałem otwartym, to funkcja wypukła f : P −→ R jest ciągła.

Obserwacja 4.6.4. Teza Twierdzenia 4.6.3 nie jest prawdziwa, jeśli P nie jest przedziałem otwartym.Istotnie, wystarczy rozważyć funkcję χ{1},[0,1].

Twierdzenie 4.6.5. Dla f ∈ D(P ) następujące warunki są równoważne(i) f jest wypukła (odp. silnie wypukła),(ii) f ′ jest rosnąca (odp. silnie rosnąca)oraz następujące warunki są równoważne(i) f jest wklęsła (odp. silnie wklęsła),(ii) f ′ jest malejąca (odp. silnie malejąca).

Twierdzenie 4.6.6. Dla f ∈ D2(P ) następujące warunki są równoważne(i) f jest wypukła (odp. silnie wypukła),(ii) f ′′(x) ≥ 0, x ∈ P (odp. f ′′(x) ≥ 0, x ∈ P , oraz zbiór {x ∈ P : f ′′(x) = 0} nie zawiera żadnego

przedziału)oraz następujące warunki są równoważne

1Zbiór nazywamy wypukłym, jeśli odcinek łączący dowolne dwa punkty zbioru zawarty jest w tym zbiorze.30

(i) f jest wklęsła (odp. silnie wklęsła),(ii) f ′′(x) ≤ 0, x ∈ P (odp. f ′′(x) ≤ 0, x ∈ P , oraz zbiór {x ∈ P : f ′′(x) = 0} nie zawiera żadnego

przedziału).

Przykład 4.6.7. Łatwo sprawdzić, że funkcja R 3 x 7−→ ex jest silnie wypukła. W konsekwencji,

et1x1+···+tnxn ≤ t1ex1 + · · ·+ tnexn

dla dowlnych n ≥ 2, x1, . . . , xn ∈ R, t1, . . . , tn ∈ [0, 1], t1 + · · · + tn = 1. Biorąc t1 = · · · = tn =1/n i podstawiając aj := axj , j = 1, . . . , n otrzymujemy nierówność między średnimi geometryczną iarytmetyczną

n√a1 . . . an ≤

a1 + · · ·+ ann

, n ≥ 2, a1, . . . , an ∈ R+.

Definicja 4.6.8. Mówimy, że x ∈ P jest punktem przegięcia funkcji f : P −→ R, jeśli funkcja zmieniaw x charakter wypukłości, tzn. istnieją α, β ∈ P takie, że α < a < β oraz f |(α,a) jest wypukła zaś f |(a,β)— wklęsła lub odwrotnie, czyli f |(α,a) jest wklęsła zaś f |(a,β) — wypukła.

Twierdzenie 4.6.9 (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia). Niech P ⊂ R będzie przedziałemotwartym i niech a ∈ P będzie punktem przegięcia funkcji f ∈ D2(P ; a). Wtedy f ′′(a) = 0.

Obserwacja 4.6.10. Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia nie jest wystarczający. Istotnie,f(x) = x4 jest dwukrotnie różniczkowalna, f ′′(x) = 12x2, czyli f ′′(0) = 0, ale 0 nie jest jej punktemprzegięcia.

Twierdzenie 4.6.11 (Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia). Jeśli a ∈ P , f ∈ D2(P ) orazf ′′ jest dodatnia z jednej strony i ujemna z drugiej strony punktu a, to punkt a jest punktem przegięciafunkcji f .

Przykład 4.6.12. Wyznaczyć przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji f(x) = x3 − 3x2.Ponieważ f ′′(x) = 6x−6, zatem funkcja jest wypukła w przedziale (−∞, 1), wklęsła w przedziale (1,+∞),a x = 1 jest punktem przegięcia.

Zadanie 4.6.13. Wyznaczyć przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji

(1) f(x) = x4−24x2+6x+5,(2) f(x) = x

√4− x2,

(3) f(x) = x(a− x)2, a > 0,

(4) f(x) =5− 3x

x2 − 1,

(5) f(x) = x− 2

x− 3 lnx,

(6) f(x) = 3x4 − 8x3 − 18x2,(7) f(x) = (x− 2)2ex+x

2/2.

4.7. Badanie przebiegu zmienności funkcji.

Uwaga 4.7.1. Celem zbadania przebiegu zmienności funkcji należy(1) określić dziedzinę (jeśli funkcja określona jest tylko za pomocą wzoru), ewentualne miejsca zerowe

i punkt przecięcia z osią y,(2) obliczyć granice na końcach przedziałów określoności,(3) wyznaczyć ewentualne asymptoty,(4) obliczyć pochodną, wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności,(5) obliczyć drugą pochodną, wyznaczyć punkty przegięcia i przedziały wypukłości,(6) wykonać wykres (ewentualnie uprzednio zebrać wyniki z poprzednich punktów w tabelę).

Przykład 4.7.2. Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x) = (3x2 − 7x+ 2)/(x+ 1).(1) Dziedzina: R \ {−1}, punkty przecięcia z osiami: (1/3, 0), (2, 0), (0, 2).(2) lim

x→−∞f(x) = −∞, lim

x→+∞f(x) = +∞, lim

x→−1−f(x) = −∞, lim

x→−1+f(x) = +∞.

(3) Z powyższych granic wynika, że prosta o równaniu x = −1 jest asymptotą pionową, funkcja niema asymptot poziomych ale może mieć ukośne. Liczymy więc

limx→±∞

f(x)

x=

3x2 − 7x+ 2

x2 + x= 3, lim

x→±∞(f(x)− 3x) = lim

x→±∞

−10x+ 2

x+ 1= −10,

skąd prosta o równaniu y = 3x− 10 jest asymptotą ukośną obustronną.(4)

f ′(x) =3(x+ 3)(x− 1)

(x+ 1)2,

31

skąd funkcja f ma w punkie x = −3 maksimum lokalne równe −25, zaś w punkcie x = 1 maona minimum lokalne równe −1. Funkcja f jest rosnąca w przedziałach (−∞,−3), (1,+∞), zaśmalejąca w przedziałach (−3,−1) i (−1, 1).

(5) Ponieważ

f ′′(x) =24(x+ 1)

(x+ 1)4,

więc funkcja f jest wypukła w przedziale (−1,+∞), jest wklęsła w przedziale (−∞,−1) i nie mapunktów przegięcia (punkt x = −1 nie leży w dziedzinie funkcji!).

Zadanie 4.7.3. Zbadać przebieg zmienności funkcji

(1) f(x) = x3 + x2 − 16x,(2) f(x) = x2(x2 − 4)3,

(3) f(x) =3x− 1

2x+ 1,

(4) f(x) =x2 + 4x− 5

x− 3,

(5) f(x) =(x+ 1)3

x2,

(6) f(x) =x2 + x+ 1

x2 − 1,

(7) f(x) = xe−x,(8) f(x) = x lnx,(9) f(x) =

x

lnx,

(10) f(x) = xe1/x.

4.8. Wyznaczanie wartości ekstremalnych funkcji ciągłych na zbiorach domkniętych.

Uwaga 4.8.1. (1) Maksimum lokalne nie musi być największą wartością funkcji w danym prze-dziale. Podobnie, minimum lokalne nie musi być najmniejszą wartością. Co więcej, funkcja mo-że nie posiadać wartości największej czy najmniejszej. Istotnie, wystarczy rozpatrzyć funkcjęf(x) = x3 − 3x2 w przedziale (−2, 3).

(2) Na podstawie Twierdzenia 3.2.11 wiemy, że funkcja ciągła przyjmuje w przedziale domkniętm iograniczonym wartość największą i najmniejszą.

(3) Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji różniczkowalnej f w domkniętym przedziale[a, b], stosujemy następujący algorytm.(a) Notujemy rozwiązania równania f ′(x) = 0 leżące wewnątrz przedziału [a, b].(b) Obliczamy wartość funkcji f w punkach a, b i wszystkich wynotowanych wcześniej punktach.(c) Wybieramy te punkty, w których wartość funkcji f jest największa i najmniejsza.

Przykład 4.8.2. (1) Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x) = e2x+7(x2 + 2x − 1)w przedziale [−4, 1]. Ponieważ f ′(x) = 2e2x+7x(x+ 3), więc ekstrema lokalne funkcja może miećtylko w punktach −3 i 0. Ponieważ f(−3) = 2e, f(0) = −e7 zaś f(−4) = 7e−1 i f(1) = 2e9,zatem funkcja f przyjmuje wartość nawiększą równą 2e9 w punkcie x = 1 i wartość najmniejsząrówną −e7 w punkcie x = 0.

(2) Na rogach kwadratowego arkusza blachy o boku 36 cm wyciąć takie kwadraty, aby po zgięciu bla-chy otrzymać pudełko o największej objętości. Jeśli przez x oznaczymy długość boku wycinanychkwadratów wyrażoną w cm, to objętość V pudełka wyraża się wzorem

V (x) = 4x(x− 18)2, x ∈ [0, 18].

Ponieważ V (0) = V (18) = 0 oraz V > 0, więc funkcja V przyjmuje wartość największą wprzedziale otwartym (0, 18). Zauważmy, że

V ′(x) = 12(x− 18)(x− 6),

skąd wnioskujemy, że funkcja V ma maksimum globalne w punkcie x = 6, czyli należy wyciąćkwadraty o bokach długości 6 cm.

Zadanie 4.8.3. (1) Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji

(a) f(x) = x3 − 3x− 1 w przedziale [−2, 3],(b) f(x) =

√100− x2 w przedziale [6, 8],

(c) f(x) = x2ex w przedziale [−3, 1],(d) f(x) = sin 2x−x w przedziale [−π/2, π/2],

(e) f(x) =lnx√x

w przedziale [1, e8/3],

(f) f(x) = e2x−x2

w przedziale [1−√

2/2, 2].

(2) Zaprojektować namiot w kształcie stożka o powierzchni bocznej równej 10 m2 tak, aby miałnajwiększą objetość.

(3) Jakie wymiary powinna mieć puszka w kształcie walca o maksymalnej objętości, jeśli chcemy dojej produkcji zużyć 50 cm2 blachy?

32

(4) Należy sporządzić skrzynkę prostopadłościenną z pokrywką. Objętość skrzynki ma wynosić 72cm3, długości krawędzi podstawy mają być w stosunku 2 : 1. Jakiej długości powinny być kra-wędzie, aby powierzchnia całkowita skrzynki była najmniejsza?

(5) Na kuli o promieniu R opisano stożek. Jaka będzie wysokość stożka o najmniejszej objętości?(6) Który z punktów paraboli y2 = 6x leży najbliżej prostej x− y + 5 = 0?

33

5. Ciągi. Szeregi

5.1. Ciągi liczbowe.

Definicja 5.1.1. Funkcję f : N −→ R nazywamy ciągiem. Wartość fn := f(n) nazywamy n-tym wyrazemciągu. Ciąg f zwykle oznaczamy przez (fn)∞n=1 lub (fn)n∈N. Podciągiem ciągu f : N −→ R nazywamydowolny ciąg postaci f ◦ ϕ : N −→ R, gdzie ϕ : N −→ N jest funkcją silnie rosnącą. Jeśli nk := ϕ(k),k ∈ N, to piszemy, że (fnk)∞k=1 jest podciągiem ciągu (fn)∞n=1.

Obserwacja 5.1.2. W praktyce ciąg możemy zadać na następujące sposoby(1) Wzorem ogólnym, np. an := 1/n (ciąg harmoniczny) lub an := n (ciąg naturalny).(2) Wzorem rekurencyjnym, np.

(a) a1 := a, an+1 := an + r, n ∈ N (ciąg arytmetyczny), lub(b) a1 := a, an+1 := anq, n ∈ N (ciąg geometyczny), lub(c) a1 := 0, a2 := 1, an+1 := an−1 + an, n ∈ N2 (ciąg Fibonacciego2, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . ).Oczywiście bardzo często ciąg dany wzorem rekurencyjnym może być również dany wzoremogólnym, (np. an := a + (n − 1)r, czy an := aqn−1), choć wzór rekurencyjny jest na ogółprostszy.

(3) Poprzez opis, np. an := n-ta liczba piersza.

Zadanie 5.1.3. Znaleźć wzór ogólny dla ciągu Fibonacciego.

Definicja 5.1.4. Mówimy, że ciąg (an)∞n=1 jest zbieżny do liczby a ∈ R, jeśli∀ε>0 ∃N∈N ∀n≥N |an − a| < ε.

Piszemy wtedy limn→+∞

an = a lub an −→ a, a liczbę a nazywamy granicą ciągu (an)∞n=1. Ciąg, który niejest zbieżny, nazywamy rozbieżnym.

Obserwacja 5.1.5. Skończona liczba początkowych wyrazów ciągu nie ma wpływu na jego zbieżność (ina granicę). Mówimy, że własnośćW zachodzi dla prawie wszystkich wyrazów ciągu (an)∞n=1, jeśli istniejeN ∈ N takie, że an ma własnośćW dla n ≥ N . Z tego powodu poniżej, gdy zakładamy, że jakaś własnośćzachodzi dla wszystkich wyrazów ciągu, możemy założyć, że zachodzi dla prawie wszystkich wyrazów.

Przykład 5.1.6. (1) Ciąg może być zbieżny tylko do jednej granicy.(2) Jeśli an = c = const, to an −→ c.(3) 1/n −→ 0.(4) Ciąg zbieżny jest ograniczony, tzn. istnieje C > 0 takie, że |an| ≤ C dla n ∈ N.(5) Jeśli an −→ a, to |an| −→ |a|.(6) Jeśli an −→ a oraz |an| ≤ C, n ∈ N, to |a| ≤ C.(7) Jeśli an −→ a i bn −→ b, to an ± bn −→ a ± b, anbn −→ ab. Jeśli dodatkowo b 6= 0, to

an/bn −→ a/b.(8) Jeśli an −→ a, bn −→ b i a < b, to an < bn dla prawie wszystkich n ∈ N.(9) Jeśli an −→ a, bn −→ b i an ≤ bn dla prawie wszystkich n ∈ N, to a ≤ b.(10) (Twierdzenie o trzech ciągach) Jeśli an ≤ bn ≤ cn dla prawie wszystkich n ∈ N oraz an −→ g i

bn −→ g, to bn −→ g.(11) Jeśli ciąg (an)∞n=1 jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny i lim

n→+∞an = sup{a1, a2, . . . }.

(12) Jeśli ciąg (an)∞n=1 jest malejący i ograniczony od dołu, to jest zbieżny i limn→+∞

an = inf{a1, a2, . . . }.(13) Ciąg geometryczny (qn)∞n=1, gdzie q ∈ R, jest

(a) zbieżny do 0 dla |q| < 1,(b) rozbieżny dla |q| > 1 lub q = −1,(c) zbieżny do 1 dla q = 1.

Twierdzenie 5.1.7 (Twierdzenie Bozlano–Weierstrassa). Z dowolnego ciągu ograniczonego można wy-brać podciąg zbieżny.

Definicja 5.1.8. Mówimy, że ciąg (an)∞n=1 jest zbieżny do +∞ (odp. −∞), jeśli

∀M∈R ∃N∈N ∀n≥N : an ≥M (odp. an ≤M);

Piszemy wtedy limn→+∞

an = +∞ (odp. −∞) lub an −→ +∞ (odp. −∞).

2Fibonacci (Leonardo z Pizy; ur. około 1175 r., zm. 1250 r.) — włoski matematyk. Znany jako: Leonardo Fibonacci,Filius Bonacci (syn Bonacciego), Leonardo Pisano (z Pizy).

34

Twierdzenie 5.1.9. Niech an −→ a i bn −→ b, gdzie a, b ∈ R. Wtedy(1) jeśli a+ b ma sens, to an + bn −→ a+ b,(2) jeśli ab ma sens, to anbn −→ ab,(3) jeśli a/b ma sens, to an/bn −→ a/b,(4) jeśli ab ma sens, to abnn −→ ab.

Obserwacja 5.1.10. (1) Jeśli w Twierdzeniu 5.1.9 (1) a = ±∞, b = ∓∞, to dostajemy symbolnieoznaczony ∞−∞. Nieoznaczoność tego symbolu rozumiemy w ten sposób, że(a) dla dowolnego g ∈ R istnieją ciągi (an)∞n=1 i (bn)∞n=1 takie, że an −→ +∞, bn −→ −∞ i

an + bn −→ g,(b) istnieją ciągi (an)∞n=1 i (bn)∞n=1 takie, że an −→ +∞, bn −→ −∞ i ciąg (an + bn)∞n=1 nie

jest zbieżny (ani do granicy skończonej, ani nieskończonej).(2) Jeśli w Twierdzeniu 5.1.9 (2) (a = 0, b = ±∞) lub (a = ±∞, b = 0), to dostajemy symbol

nieoznaczony 0 · ∞. Nieoznaczoność tego symbolu rozumiemy analogicznie do nieoznaczonościsymbolu ∞−∞.

(3) Jeśli w Twierdzeniu 5.1.9 (3) a = b = 0, to dostajemy symbol nieoznaczony 00 . Jeśli w Twier-

dzeniu 5.1.9 (3) a, b ∈ {−∞,+∞}, to dostajemy symbol nieoznaczony ∞∞ . Nieoznaczoność tychsymboli rozumiemy analogicznie do nieoznaczoności symbolu ∞−∞.

(4) Jeśli w Twierdzeniu 5.1.9 (4) a = 1, b = +∞, to dostajemy symbol nieoznaczony 1∞. Jeśliw Twierdzeniu 5.1.9 (4) a = b = 0, to dostajemy symbol nieoznaczony 00. Jeśli w Twierdze-niu 5.1.9 (4) a = +∞, b = 0, to dostajemy symbol nieoznaczony ∞0. Nieoznaczoność tychsymboli rozumiemy analogicznie do nieoznaczoności symbolu ∞−∞.

Zadanie 5.1.11. Zilustrować przypadki opisane w Obserwacji 5.1.10 stosownymi przykładami.

Przykład 5.1.12. Z Twierdzenia 5.1.9 (4) wynika, że n√a −→ 1 dla dowolnego a > 0. W konsekwencji,

jeśli a1 . . . , ak ≥ 0, tolim

n→+∞n√an1 + an2 + · · ·+ ank = max{a1, a2, . . . , ak}.

Istotnie, możemy założyć, że max{a1, a2, . . . , ak} = ak. Wtedy

ak ≤ n√an1 + an2 + · · ·+ ank ≤ n

√kank =

n√kak −→ ak

i twierdzenie o trzech ciągach kończy dowód.

Twierdzenie 5.1.13. (1) n√n −→ 1.

(2) Jeśli an −→ +∞, to a1/ann −→ 1.

Przykład 5.1.14. (1) Granice ciągów liczymy stosując te same techniki co przy obliczaniu granicfunkcji w ±∞.

(2) limn→+∞

(√n+ 1−

√n) = lim

n→+∞(√n+ 1−

√n)

√n+ 1 +

√n√

n+ 1 +√n

= limn→+∞

1√n+ 1 +

√n

= 0.

(3) limn→+∞

4n + 5n

3n + 2n= limn→+∞

(4/3)n + (5/3)n

1 + (2/3)n=∞.

(4) limn→+∞

4n − 5n

3n + 2n= limn→+∞

(4/3)n − (5/3)n

1 + (2/3)n= limn→+∞

(5/3)n((4/5)n − 1)

1 + (2/3)n= −∞.

Zadanie 5.1.15. Obliczyć granice ciągów

(1) limn→+∞

(2n2 + 4n4 − 5n5),

(2) limn→+∞

2n3 − 4n− 1

6n+ 3n2 − n3,

(3) limn→+∞

1− n3

(1− n)2,

(4) limn→+∞

1− n3

(1− n2)2,

(5) limn→+∞

√n√

n+√n,

(6) limn→+∞

√n+ 3√n

(√n− 1)2

,

(7) limn→+∞

(√n2 + n− n),

(8) limn→+∞

( 3√n+ 1− 3

√n),

(9) limn→+∞

2n − 3n

5n + 2n,

(10) limn→+∞

23n+1 − 5

8n + 3,

(11) limn→+∞

2 · 3n+1 − 8

4 · 9n−1 + 1,

(12) limn→+∞

3n−1 − 2n−2

3n,

(13) limn→+∞

n√

8n + 9n + 10n,

(14) limn→+∞

2−n cos(nπ),

(15) limn→+∞

log2 n5

log8 n,

(16) limn→+∞

9log3 n

4log2 n.

35

5.2. Liczba e.

Twierdzenie 5.2.1. (1) Niech

en :=

(1 +

1

n

)n, n ∈ N.

Wtedy en < en+1 < 3, n ∈ N. W konsekwencji, ciąg (en)∞n=1 jest zbieżny. Jego granicę oznaczamyprzez e.

(2) Niech

sn :=

n∑k=0

1

k!, n ∈ N0.

Wtedy sn −→ e.(3) Dla dowolnego n ∈ N2 istnieje tn ∈ (0, 1) takie, że

e = sn +tnn!n

.

(4) Jeśli an −→ ±∞, to (1 + 1/an)an −→ e.(5) Jeśli an −→ 0, to (1 + an)1/an −→ e.(6) (1 + x/n)n −→ ex, x ∈ R.(7) e /∈ Q.(8) ex ≥ 1 + x, x ∈ R+.

Obserwacja 5.2.2. (1) e ≈ 2, 718 281 828.(2) sn przybliża e z błędem mniejszym niż 1/(n!n). Np. dla n = 6 mamy

1

6!6=

1

4 320< 0, 001 i s6 = 1 + 1 +

1

2+

1

6+

1

24+

1

120+

1

720= 2, 718 06.

Zadanie 5.2.3. (1) Dla jakiego n liczba en daje przybliżenie e z błędem mniejszym niż 0, 001?(2) Obliczyć granice

(a) limn→+∞

(n+ 5

n

)2n

, (b) limn→+∞

(2 + n2

n2

)n2

, (c) limn→+∞

(1− 5

n

)−n−1,

(d) limn→+∞

n(ln(n+ 1)− lnn).

5.3. Granice górna i dolna.

Definicja 5.3.1. Dla ciągu a := (an)∞n=1 ⊂ R niech S(a) := {g ∈ R : ∃(ank )∞k=1: ank −→ g}.

Obserwacja 5.3.2. Niech a := (an)∞n=1.(1) Jeśli ciąg a jest nieograniczony od góry, to +∞ ∈ S(a).(2) Jeśli ciąg a jest nieograniczony od dołu, to −∞ ∈ S(a).(3) Jeśli ciąg a jest ograniczony, to, na podstawie twierdzenia Bozlano–Weierstrassa, S(a) 6= ∅.

Definicja 5.3.3. Dla ciągu a := (an)∞n=1 ⊂ R definiujemy granicę górną i dolną ciągu a jako

lim supn→+∞

an := sup S(a), lim infn→+∞

an := inf S(a).

Czasami używa się symboli limn→+∞

an i limn→+∞

an.

Obserwacja 5.3.4. (1) lim infn→+∞

an ≤ lim supn→+∞

an.

(2) Jeśli limn→+∞

an = g ∈ R, to lim infn→+∞

an = lim supn→+∞

an = g.

(3) Jeśli lim infn→+∞

an = lim supn→+∞

an =: g, to limn→+∞

an = g.

(4) Ciąg ((−1)n)∞n=1 nie ma granicy, ale lim infn→+∞

(−1)n = −1, lim supn→+∞

(−1)n = 1.

Zadanie 5.3.5. Znaleźć granice górną i dolną dla ciągu (an)n∈N określonego wzorami(1) an = sin(nπ/2),(2) an = sin(nπ/3),(3) a1 := 0, a2n := a2n−1/2, a2n+1 := 1/2 + a2n,(4) an = (−1)n (1 + 1/n)

ncos(nπ/4).

36

5.4. Szeregi liczbowe.

Definicja 5.4.1. Dla (an)∞n=0 określamy

(5.1) Sn :=

n∑k=0

ak, n ∈ N0.

Parę ((an)∞n=0, (Sn)∞n=0) nazywamy szeregiem. Zwykle, zamiast powyższej pary, piszemy

(5.2)∞∑n=0

an.

Liczbę an nazywamy n-tym wyrazem szeregu, zaś liczbę Sn nazywamy n-tą sumą częściową szeregu.Szereg (5.2) nazywamy zbieżnym, jeśli istnieje liczba S ∈ R taka, że Sn −→ S. Liczbę S nazywamy sumąszeregu i oznaczamy symbolem (5.2). Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym.

Obserwacja 5.4.2. (1) Można również rozważać szeregi∑∞n=n0

an, gdzie n0 ∈ Z.(2) Następujące warunki są równoważne

(i) szereg∑∞n=0 an jest zbieżny,

(ii) dla dowolnego n0 ∈ N0 szereg∑∞n=n0

an jest zbieżny,(iii) istnieje n0 ∈ N0 takie, że szereg

∑∞n=n0

an jest zbieżny.(3) Szereg

∑∞n=0(−1)n jest rozbieżny.

(4) Szereg geometryczny∑∞n=0 q

n, gdzie q ∈ R (00 := 1) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1i wtedy

∑∞n=0 q

n = 1/(1− q).(5)

∑∞n=0 1/n! = e.

(6) Jeśli (an)∞n=0 ⊂ R+, to zamiast pisać, że szereg∑∞n=0 an jest zbieżny, można pisać

∑∞n=0 an <

+∞; zamiast pisać, że szereg∑∞n=0 an jest rozbieżny, można pisać

∑∞n=0 an = +∞.

(7) Jeśli szeregi∑∞n=0 an i

∑∞n=0 bn są zbieżne, to dla dowolnych α, β ∈ R szereg

∑∞n=0(αan + βbn)

jest zbieżny oraz∑∞n=0(αan + βbn) = α

∑∞n=0 an + β

∑∞n=0 bn.

Twierdzenie 5.4.3 (Warunek konieczny zbieżności szeregów). Jeśli szereg∑∞n=0 an jest zbieżny, to

an −→ 0.

Przykład 5.4.4. (1) (Szereg harmoniczny).∑∞n=0 1/n = +∞ mimo że spełniony jest warunek ko-

nieczny zbieżności.(2) Szereg

∑∞n=0 cos(1/n) nie jest zbieżny, bo lim

n→∞cos(1/n) = 1, więc nie jest spełniony warunek

konieczny zbieżności szeregu.

Twierdzenie 5.4.5 (Kryterium porównawcze). Jeśli 0 ≤ an ≤ bn, n ∈ N0, to(1) jeśli

∑∞n=0 bn < +∞, to

∑∞n=0 an < +∞,

(2) jeśli∑∞n=0 an = +∞, to

∑∞n=0 bn = +∞.

Twierdzenie 5.4.6 (Kryterium asymptotycze). Niech an, bn ∈ R>0, n ∈ N0, i niech granica c :=lim

n→+∞an/bn ∈ [0,+∞] istnieje.

(1) Jeśli c := limn→+∞

an/bn ∈ (0,+∞), to∑∞n=0 an < +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

∑∞n=0 an < +∞.

(2) Jeśli lim supn→+∞

an/bn < +∞ oraz∑∞n=0 bn < +∞, to

∑∞n=0 an < +∞.

(3) Jeśli lim infn→+∞

an/bn > 0 oraz∑∞n=0 bn = +∞, to

∑∞n=0 an = +∞.

Twierdzenie 5.4.7 (Kryterium kondensacyjne). Jeśli 0 ≤ an+1 ≤ an, n ∈ N0, to∑∞n=0 an < +∞ wtedy

i tylko wtedy, gdy∑∞n=0 2na2n < +∞.

Przykład 5.4.8. (1) (Szereg harmoniczny rzędu α). Niech α ∈ R. Wtedy∑∞n=0 1/nα < +∞ wtedy

i tylko wtedy, gdy α > 1. Istotnie, dla α ≤ 1 stosujemy kryterium porównawcze z szeregiemharmonicznym, a dla α > 1 stosujemy kryterium kondensacyjne.

(2) Szereg∑∞n=1 n!/nn jest zbieżny na mocy kryterium porównawczego, ponieważ

n!

n2≤ 2

n2, n ∈ N,

a szereg∑∞n=1 2/n2 = 2

∑∞n=1 1/n2 jest zbieżny jako szereg harmoniczny z wykładnikiem 2.

37

(3) Szereg∑∞n=1 sin(1/n) spełnia warunke konieczny zbieżności szeregów, ale jest rozbieżny na mocy

kryterium asymptotycznego, ponieważ

limn→+∞

sin(1/n)

1/n= 1 ∈ (0,+∞),

a szereg harmoniczny z wykładnikiem 1 jest rozbieżny.

Zadanie 5.4.9. Zbadać zbieżność szeregów

(1)∞∑n=1

√n+ 1−

√n

n, (2)

∞∑n=1

tg1

n, (3)

∞∑n=3

1

nα lnβ n, α, β ∈ R.

Twierdzenie 5.4.10 (Kryterium Cauchy’ego). Niech an ≥ 0, n ∈ N0, α := lim supn→+∞

n√an ∈ [0,+∞].

Wtedy(1) jeśli α < 1, to

∑∞n=0 an < +∞,

(2) jeśli α > 1, to∑∞n=0 an = +∞,

(3) jeśli α = 1, to nic nie wiadomo.

Przykład 5.4.11. (1) Szereg∑∞n=1 n

3/2n jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy’ego, ponieważ

n

√n3

2n=

1

2

(n√n)3 −→ 1

2< 1.

(2) Dla szeregów∑∞n=1 1/n i

∑∞n=1 1/n2 mamy

n

√1

n=

1n√n−→ 1,

n

√1

n2=

1

( n√n)

2 −→ 1,

ale pierwszy szereg jest rozbieżny, a drugi zbieżny.

Zadanie 5.4.12. Zbadać zbieżność szeregów

(1)∞∑n=1

sin 3n

3n, (2)

∞∑n=1

(3n+ 1

4n+ 1

)n.

Twierdzenie 5.4.13 (Kryterium d’Alemberta). Niech an > 0, n ∈ N0.(1) Jeśli α := lim sup

n→+∞an+1/an < 1, to

∑∞n=0 an < +∞.

(2) Jeśli an+1/an ≥ 1, n ≥ n0, to∑∞n=0 an = +∞.

Przykład 5.4.14. (1) Szereg∑∞n=1 n!/nn jest zbieżny na mocy kryterium d’Alemberta, ponieważ

an+1

an=

(n+ 1)!

(n+ 1)n+1

nn

n!=

(n

n+ 1

)−→ 1

e< 1.

(2) Szereg∑∞n=1(n!)25n/(2n)! jest rozbieżny na mocy kryterium d’Alemberta, ponieważ

an+1

an=

((n+ 1)!)25n+1

(2n+ 2)!

(2n)!

(n!)25n=

5(n+ 1)

2(2n+ 1)−→ 5

4> 1.

(3) Kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze od kryterium d’Alemberta. Np. dla szeregu o wyrazachan := (2 + (−1)n)/2n mamy

lim supn→+∞

an+1

an= limk→+∞

a2ka2k−1

= limk→+∞

3

22k22k−1

1=

3

2> 1

oraza2k+1

a2k=

1

22k+1

22k

3=

2

3< 1, k ∈ N,

zatem kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga, a z drugiej strony

lim supn→+∞

n√an = lim

k→+∞2k√a2k = lim

k→+∞

1

22k√

3 =1

2< 1,

czyli szereg jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy’ego.

Zadanie 5.4.15. Zbadać zbieżność szeregów38

(1)∞∑n=1

6n

n!, (2)

∞∑n=1

n10

10n.

Twierdzenie 5.4.16 (Kryterium Leibniza). Jeśli ciąg (an)∞n=0 ⊂ R>0 jest malejący, to szereg∑∞n=0(−1)nan

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy an −→ 0.

Przykład 5.4.17. Szereg∑∞n=1(−1)n/n jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza.

Zadanie 5.4.18. Zbadać zbieżność szeregów

(1)∞∑n=1

(−1)n+1(n√

3− 1), (2)∞∑n=1

(−1)nlnn

n.

5.5. Szeregi potęgowe.

Definicja 5.5.1. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie a ∈ R nazywamy szereg postaci∞∑n=0

an(x− a)n,

gdzie (an)∞n=0 ⊂ R, x ∈ R (00 := 1). Oczywiście wszystkie własności szeregu można odczytać badającszereg

∑∞n=0 anx

n, czyli zakładając, że a = 0. Tak też będziemy czynić.Liczbę

R :=1

lim supn→+∞

n√|an|

∈ [0,+∞]

nazywamy promieniem zbieżności, a przedział (a−R, a+R) nazywamy przedziałem zbieżności szeregupotęgowego.

Twierdzenie 5.5.2. Rozważmy szereg∑∞n=0 anx

n.(1) Jeśli R > 0, to szereg

∑∞n=0 anx

n jest zbieżny dla |x| < R i, jeśli f(x) :=∑∞n=0 anx

n, |x| < R,to f ∈ C((−R,R)).

(2) Jeśli R < +∞, to szereg∑∞n=0 anx

n jest rozbieżny dla |x| > R.(3) Jeśli 0 < R < +∞, to o zbieżności szeregu

∑∞n=0 anx

n dla |x| = R nie można nic powiedzieć.

Przykład 5.5.3. Rozważmy następujące przykłady (R = 1).(1) Szereg

∑∞n=0 x

n jest rozbieżny dla |x| = 1.(2) Szereg

∑∞n=0 x

n/n2 jest zbieżny dla |x| = 1.(3) Szereg

∑∞n=0 x

n/n jest zbieżny dla x = 1 i rozbieżny dla x = −1.

Zadanie 5.5.4. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego i zbadać zbieżność szeregu na koń-cach przedziału zbieżności, jeśli

(1)∞∑n=1

1

n5n(x− 3)n,

(2)∞∑n=1

2n2 + 3n+ 1

n3(x− 2)n,

(3)∞∑n=1

1

n+ anxn, (a > 0),

(4)∞∑n=1

1

2nxn

2

.

Twierdzenie 5.5.5. Niech

f(x) :=

∞∑n=0

anxn, x ∈ (−R,R) =: P,

gdzie R > 0. Wtedy(1) promień zbieżności sseregu

∑∞n=k k!

(nk

)anx

n−k jest równy R,(2) f (k)(x) =

∑∞n=k k!

(nk

)anx

n−k, x ∈ P ,(3) f ∈ C∞(P ),(4) ak = f (k)(0)/k!, k ∈ N0.

39

5.6. Szereg Taylora.

Definicja 5.6.1. Niech a ∈ P , f ∈ D∞(P ; a). Szeregiem Taylora funkcji f w punkcie a nazywamy szeregpotęgowy postaci

Taf(x) :=

∞∑n=0

1

n!f (n)(a)(x− a)n.

Obserwacja 5.6.2. (1) Promień zbieżności szeregu Taylora nie mysi być dodatni, ani też, jeśli jestdodatni, to wcale nie musi zachodzć równość Taf = f w jakimś otoczeniu punktu a. Klasycznyprzykład to

f(x) :=

{e−1/x, gdy x > 0

0, gdy x ≤ 0.

Wtedy f ∈ C∞(R), T0f = 0, ale f(x) > 0 dla x > 0.(2) Jeśli f(x) =

∑∞n=0 anx

n, |x| < R, to T0f(x) =∑∞n=0 anx

n.

Przykład 5.6.3. Można wykazać, że

(1) ex =

∞∑n=0

1

n!xn, x ∈ R,

(2) sinx =

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1, x ∈ R,

(3) cosx =

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2n, x ∈ R,

(4) ln(x+ 1) =

∞∑n=1

(−1)n+1

nxn, x ∈ (−1, 1].

40

6. Całka

W rozdziale tym P := [a, b] ⊂ R oznacza przedział ograniczony i domknięty, tzn. a, b ∈ R, a < b.

6.1. Całka Riemanna.

Definicja 6.1.1. Podziałem przedziału P nazywamy dowolny ciąg punktów π = (x0, . . . , xk), gdziea = x0 < x1 < · · · < xk = b (k ∈ N).

Definicja 6.1.2. Niech f : P −→ R będzie dowolną funkcją ograniczoną (tzn. istnieje R > 0 takie, że−R < f(x) < R dla x ∈ P ). Dla dowolnego przedziału Q = [p, q] ⊂ P zdefiniujmy

m(f,Q) := inf f(Q), M(f,Q) := sup f(Q).

Dla dowolnego podziału π = (x0, . . . , xk) przedziału P niech

L(f, π) :=

k∑j=1

m(f, [xj−1, xj ])(xj − xj−1), U(f, π) :=

k∑j=1

M(f, [xj−1, xj ])(xj − xj−1).

Liczbę L(f, π) nazywamy sumą aproksymacyjną dolną dla funkcji f przy podziale π. Analogicznie, U(f, π)nazywamy sumą aproksymacyjną górną. Zauważmy, że

m(f, P )(b− a) ≤ L(f, π) ≤ U(f, π) ≤M(f, P )(b− a).

Niech ∫ b

∗af := sup

πL(f, π),

∫ ∗ba

f := infπU(f, π),

gdzie supremum i infimum bierzemy po wszystkich podziałach P . Liczbę∫ b∗a f nazywamy całką dolną

z funkcji f . Analogicznie,∫ ∗baf nazywamy całką górną. Mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie

Riemanna na przedziale P (piszemy f ∈ R(P )), jeśli∫ b∗a f =

∫ ∗baf . Wtedy wspólną wartość tych całek

oznaczamy∫ baf i nazywamy całką Riemanna z funkcji f na przedziale P .

Obserwacja 6.1.3. (1) Jeśli f = const =: c, to f ∈ R(P ) i∫ baf =

∫ bac = c(b− a).

(2) Dla funkcji Dirichleta f := χP∩Q,P mamy L(f, π) = 0, U(f, π) = b − a dla dowolnego podziałuπ. Tak więc

∫ b∗a f = 0 i

∫ ∗baf = b− a, czyli f /∈ R(P ).

(3) Jeśli f, g ∈ R(P ), f ≤ g, to∫ baf ≤

∫ bag.

(4) Jeśli f : P −→ R jest funkcją ograniczoną i monotoniczną, to f ∈ R(P ).(5) Jeśli f, g ∈ R(P ), α, β ∈ R, to αf + βg ∈ R(P ) oraz

∫ ba

(αf + βg) = α∫ baf + β

∫ bag.

(6) Jeśli f ∈ R(P ), to |f | ∈ R(P ) oraz∣∣∣∫ ba f ∣∣∣ ≤ ∫ ba |f |.

(7) Jeśli f, g ∈ R(P ), to fg ∈ R(P ).(8) C(P ) ⊂ R(P ).(9) (Twierdzenie o wartości średniej). Dla dowolnej funkcji f ∈ C(P ) istnieje punkt c ∈ P taki, że

f(c)(b− a) =∫ baf .

(10) Niech a < c < b. Wówczas f ∈ R(P ) wtedy i tylko wtedy, gdy f |[a,c] ∈ R([a, c]), f |[c,b] ∈ R([c, b]).Ponadto,

∫ baf =

∫ caf +

∫ bcf .

(11) Jeśli f ∈ R(P ), to f |[p,q] ∈ R([p, q]) dla dowolnego [p, q] ⊂ P .

6.2. Pierwotna.

Definicja 6.2.1. Niech f : P −→ R. Mówimy, że funkcja F ∈ D(P ) jest pierwotną lub całką nieozna-czoną funkcji f , jeśli F ′(x) = f(x), x ∈ P . Piszemy wtedy F (x) =

∫f(x) dx + C (C ∈ R) lub też

F (x) =∫f(x) dx pamiętając, że zawsze można dodać stałą.

Obserwacja 6.2.2. (1) Jeśli F1, F2 są pierwotnymi funkcji f , to F1 − F2 = const.(2) Równość

∫f(x) dx =

∫g(x) dx, x ∈ P , będziemy zawsze rozumieć z dokładnością do stałej.

(3) Jeśli f nie posiada własności Darboux, to nie ma pierwotnej.41

(4) (Pierwotne funkcji elementarnych). Uwaga: W każdym przedziale, z którego składa się zbiór poprawej stronie wzoru, do wzoru na pierwotną można dodać dowolną stałą.∫

xn dx =xn+1

n+ 1, x ∈ R∗, n ∈ Z \ {−1},∫

xα dx =xα+1

α+ 1, x ∈ R>0, α ∈ R \ {−1},∫

dx

x= ln |x|, x ∈ R∗,∫

sinx dx = − cosx, x ∈ R,∫cosx dx = sinx, x ∈ R,∫

dx

cos2 x= tg x, x ∈ R \

{π2

+ kπ : k ∈ Z},∫

dx

sin2 x= − ctg x, x ∈ R \ {kπ : k ∈ Z} ,∫

dx√1− x2

= arc sinx, x ∈ (−1, 1),∫dx

1 + x2= arc tg x, x ∈ R,∫

ex dx = ex, x ∈ R.

Twierdzenie 6.2.3 (Wzór na całkowanie przez części). Jeśli f, g ∈ D(P ), to∫f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)−

∫f(x)g′(x) dx, x ∈ P,

w tym sensie, że∫f ′(x)g(x) dx istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy

∫f(x)g′(x) dx istnieje i ponadto zachodzi

powyższa równość (z dokładnością do stałej).

Przykład 6.2.4. (1)∫

lnx dx. Podstawmy u(x) = lnx, v′(x) = 1, skąd v(x) = x. Otrzymujemy∫lnx dx = x lnx−

∫x

1

xdx = x lnx− x+ C.

(2)∫x2 sinx dx. Podstawmy u(x) = x2, v′(x) = sinx, skąd v(x) = − cosx. Otrzymujemy∫

x2 sinx dx = −x2 cosx+ 2

∫x cosx dx.

Do obliczenia ostatniej całki stosujemy podstawienie u(x) = x, v′(x) = cosx, skąd v(x) = sinx.W konsekwencji,∫

x cosx dx = x sinx−∫

sinx dx = x sinx+ cosx+ C,

skąd ∫x2 sinx dx = −x2 cosx+ 2

∫x cosx dx = −x2 cosx+ 2x sinx+ 2 cosx+ C.

(3) Niech In(x) :=∫

sinn x dx, x ∈ R, n ∈ N. Jeśli n = 2, to

I2(x) =

∫sin2 x dx =

∫1

2(1− cos 2x) dx =

1

2x− 1

4sin 2x.

Wzór rekurencyjny In In−2:

In(x) =

∫sinn−1 x(− cosx)′ dx = − sinn−1 x cosx+ (n− 1)

∫sinn−2 x cos2 x dx

= − sinn−1 x cosx+ (n− 1)(In−2(x)− In(x)),

skąd

In(x) = − 1

nsinn−1 x cosx+

n− 1

nIn−2(x).

42

Obserwacja 6.2.5. Stosując całkowanie przez części kilkakrotnie można obliczyć całki∫p(x) sinx dx,

∫p(x) cosx dx,

∫p(x)ex dx,

∫p(x) lnx dx,

gdzie p jest dowolnym wielomianem. W pierwszych trzech całkach jako funkcję przyjmujemy wielomianp i stosujemy wzór na całkowanie przez części tyle razy, ile wynosi stopień wielomianu p. W czwartejcałce jako funkcję przyjmujemy logarytm naturalny.

Zadanie 6.2.6. (1) Obliczyć całki(a)

∫x cosx dx,

(b)∫xex dx,

(c)∫x lnx dx,

(d)∫x2 cosx dx.

(2) Stosując wzór na całkowanie przez części wykazać wzór (n ∈ N, n ≥ 2)

(6.1)∫

dx

(1 + x2)n=

1

2n− 2

x

(1 + x2)n−1+

2n− 3

2n− 2

∫dx

(1 + x2)n−1.

Twierdzenie 6.2.7 (Wzór na całkowanie przez podstawienie). Niech f ∈ C(P ), ϕ ∈ D(Q,P ). Wtedy(∫f(t) dt

)∣∣∣∣t=ϕ(x)

=

∫f(ϕ(x))ϕ′(x) dx, x ∈ Q,

w tym sensie, że jeśli∫f(t) dt istnieje, to

∫f(ϕ(x))ϕ′(x) dx istnieje i zachodzi powyższa równość.

Przykład 6.2.8. (1) Podstawiając w całce∫e√x

√xdx, x > 0,

t =√x otrzymamy dt = 1/(2

√x) dx, skąd∫

e√x

√xdx =

∫2et dt

∣∣∣∣t=√x

= 2e√x.

(2) (Całki z ułamków prostych). Podstawiając w poniższej całce t = x+ a (n ∈ N) otrzymamy∫dx

(x+ a)n=

{ln |x+ a|, gdy n = 1

−1(n−1)(x−a)n−1 , gdy n > 1

.

Abu obliczyć całkę ∫(ax+ b) dx

(x2 + px+ q)n,

gdzie n ∈ N, a, b, p, q ∈ R, p2 − 4q < 0, zauważmy, żeax+ b

(x2 + px+ q)n=a

2

2x+ p

(x2 + px+ q)n+

(b− 1

2ap

)1

(x2 + px+ q)n,

skąd∫ax+ b

(x2 + px+ q)ndx =

a

2

∫2x+ p

(x2 + px+ q)ndx+

(b− 1

2ap

)∫dx

(x2 + px+ q)n.

Pierwszą całkę po prawej stronie obliczamy stosując podstawienie x2 + px+ q = t. Aby obliczyćdrugą całkę, podstawiamy

x2 + px+ q =

(x+

1

2p

)2

+

(q − 1

4p2)

= αt2 + α,

gdzie q − p2/4 = α, x+ p/2 =√αt; wówczas dx =

√αdt, zatem∫

dx

(x2 + px+ q)n=

∫ √αdt

αn(1 + t2)n=

1

αn−1/2

∫dt

(1 + t2)n.

Ostatnia całka równa się arc tg t, gdy n = 1; gdy n > 1, stosujemy n-krotnie wzór (6.1).

Wniosek 6.2.9 (Całka z pochodnej logarytmicznej). Jeśli f ∈ D(P,R∗), to∫f ′(x)

f(x)dx = ln |f(x)|, x ∈ P.

43

Obserwacja 6.2.10. Istnieje wiele klas funkcji, dla których znane są efektywne metody obliczania całkinieoznaczonej

∫f(x) dx. Jest tak np. gdy f jest funkcją wymierną. Jest jednak wiele całek nieelementar-

nych, np.∫ex/x dx. Przypomnijmy sobie, że całka

∫e√x/√x dx jest elementarna.

Przykład 6.2.11 (Całka z funkcji wymiernej). (1) Aby obliczyć całkę z funkcji wymiernej, zapisu-jemy ją w postaci sumy wielomianu i skończonej liczby ułamków prostych, a następnie obliczamypierwotne poszczególnych składników.

(2) Rozkład funkcji wymiernej L/M . Jeśli stopień licznika L jest nie mniejszy niż stopień mianownikaM , dzielimy L przez M , by otrzymać rozkład

L

M= W +

P

M

na sumę wielomianu W i funkcji wymiernej P/M , w której licznik jest stopnia niższego niżmianownik. Następnie rozkładamy ułamek P/M na ułamki proste w następujący sposób. Niechmianownik ma postać

M(x) = xn + c1xn−1 + · · ·+ cn−1x+ cn.

Rozkładamy go na czynniki liniowe postaci x− a lub kwadratowe x2 + px+ q, gdzie p2− 4q < 0.Rozpatrzmy trzy przypadki zależnie od tego, jakie są czynniki wielomianu M .(a) Niech M(x) = (x − a1)(x − a2) . . . (x − an), gdzie wszystkie aj są różne. Wówczas rozkład

funkcji P/M na ułamki proste ma postać

(6.2)P (x)

M(x)=

A1

x− a1+

A2

x− a2+ · · ·+ An

x− an,

gdzie A1, A2, . . . , An są pewnymi stałymi. Stałe te obliczamy mnożąc obie strony tożsa-mości (6.2) przez wspólny mianownik M(x) i porównując po obu stronach współczynnikiwielomianów przy tych samych potęgach zmiennej x. Wyjaśnia to następujący przykład.

7x2 + 1

(x+ 1)(x− 1)(x− 3)=

A

x+ 1+

B

x− 1+

C

x− 3.

Mnożąc tę równość obustronnie przez (x+ 1)(x− 1)(x− 3) otrzymujemy

7x2 + 1 = A(x− 1)(x− 3) +B(x+ 1)(x+ 3) + C(x+ 1)(x− 1)

= (A+B + C)x2 − (4A+ 2B)x+ (3A− 3B − C).

Porównując współczynniki po obu stronach otrzymujemy

A+B + C = 7, 4A+ 2B = 0, 3A− 3B − C = 1,

skąd A = 1, B = −2, C = 8.(b) Niech M(x) = (x− a)αM1(x), gdzie α ∈ N, a M1(x) jest wielomianem niepodzielnym przez

x− a. Wówczas rozkład ułamka P/M przybiera postać

(6.3)P (x)

M(x)=

A1

x− a+

A2

(x− a)2+ · · ·+ Aα

(x− a)α+P1(x)

M1(x),

gdzie P1 jest wielomianem takim, że degP1 < degM1.(c) Niech M(x) = (x2 + px + q)βM2(x), gdzie p2 − 4q < 0, β ∈ N, a M2(x) jest wielomianem

niepodzielnym przez x2 + px+ q. Wówczas rozkład ułamka P/M przybiera postać

(6.4)P (x)

M(x)=

B1x+ C1

x2 + px+ q+

B2x+ C2

(x2 + px+ q)2+ · · ·+ Bβx+ Cβ

(x2 + px+ q)β+P2(x)

M2(x),

gdzie P2 jest wielomianem takim, że degP2 < degM2. Stałe w rozkładach (6.3) i (6.4)obliczamy podobnie jak w rozkładzie (6.2).

Na przykład5x2 − 11x

(x− 1)2(x2 + 2)=

A

x− 1+

B

(x− 1)2+Cx+D

x2 + 2.

Mnożąc tę równość obustronnie przez (x− 1)2(x2 + 2) otrzymujemy

5x2 − 11x = A(x− 1)(x2 + 2) +B(x2 + 2) + (Cx+ d)(x− 1)2

= (A+ C)x3 − (A−B + 2C −D)x2 + (2A+ C − 2D)x− (2A− 2B −D),

44

skąd

A+ C = 0, A−B + 2C −D = −5, 2A+ C − 2D = −11, 2A− 2B −D = 0.

Układ ten ma rozwiązanie A = 1, B = −2, C = −1, D = 6, więc

5x2 − 11x

(x− 1)2(x2 + 2)=

1

x− 1− 1

(x− 1)2− x− 6

x2 + 2.

Zadanie 6.2.12. (1) Wyznaczyć funkcje pierwotne stosując metody całkowania przez części i przezpodstawienie (a 6= 0)

(a)∫

tg x dx,

(b)∫

ctg x dx,

(c)∫

arc sinx dx,

(d)∫

arc tg x dx,

(e)∫

dx√a2 − x2

,

(f)∫

dx√a2 + x2

,

(g)∫ √

a2 − x2 dx,

(h)∫ √

a2 + x2 dx.

(2) Rozkładając funkcje wymierne na sumę wielomianu i ułamków prostych wyznaczyć ich funkcjepierwotne

(a)x3 − 2x2 − 1

x2 − 1, (b)

x4 − 2x3 − 35

(x− 2)(x2 + 3), (c)

5x2 − 11x

(x− 1)2(x2 + 2), (d)

2

x4 + 1.

Twierdzenie 6.2.13. Dla f ∈ C(P ) niech

F (x) :=

∫ x

a

f, x ∈ P.

Wtedy F jest pierwotną funkcji f .

Twierdzenie 6.2.14 (Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego). Niech f ∈ C(P ) i niech F będziepierwotną funkcji f . Wtedy ∫ b

a

f = F (b)− F (a) =: F∣∣∣ba.

Przykład 6.2.15.∫ π0

sinx dx = − cosx|π0 = cosπ + cos 0 = 2.

Zadanie 6.2.16. Obliczyć całki(1)

∫ 2

11x2 dx,

(2)∫ 2

0x√

4− x2 dx.

Twierdzenie 6.2.17 (Wzór na całkowanie przez części). Jeśli f, g ∈ C1(P ), to∫ b

a

f ′g = fg∣∣∣ba−∫fg′.

Twierdzenie 6.2.18 (Wzór na całkowanie przez podstawienie). Niech f ∈ C(P ), ϕ ∈ C1([p, q], P ).Wtedy ∫ ϕ(q)

ϕ(p)

f =

∫ q

p

(f ◦ ϕ)ϕ′.

6.3. Długość krzywej.

Definicja 6.3.1. Niech fj : X −→ Yj , j = 1, . . . , n, będą dowolnymi funkcjami. Funkcję (f1, . . . , fn) :X −→ Y1 × · · · × Yn dane wzorem (f1, . . . , fn)(x) := (f1(x), . . . , fn(x)) nazywamy zestawieniem funkcjif1, . . . , fn.

Definicja 6.3.2. Funkcję γ = (γ1, . . . , γn) : P −→ Rn, gdzie γj ∈ C(P ), j = 1, . . . , n, nazywamy krzywą.Zbiór γ∗ := γ(P ) nazywamy obrazem geometrycznym krzywej γ. Jeśli γ : [a, b] −→ Rn jest krzywą, toγ(a) nazywamy początkiem krzywej, γ(b) nazywamy końcem krzywej. Jeśli γ(a) = γ(b), to mówimy, że γjest zamknięta.

Przykład 6.3.3. (1) Krzywa γ : [0, 2π] −→ R2 dana wzorem γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π], jestzamknięta. γ(0) = γ(2π) = (1, 0). γ|[0,2π) jest injekcją. Jej obrazem geometrycznym jest okrągjednostkowy na płaszczyźnie o środku w początku układu współrzędnych.

45

(2) Krzywa γ : [0, 4π] −→ R2 dana wzorem γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 4π], jest zamknięta. γ(0) =γ(2π) = (1, 0). γ|[0,4π) nie jest injekcją, bo γ(t) = γ(t + 2π) dla t ∈ [0, 2π). Jej obrazem geome-trycznym również jest okrąg jednostkowy na płaszczyźnie o środku w początku układu współ-rzędnych.

(3) Krzwa γ : [a, b] −→ R2, γ(x) := (x, f(x)), gdzie f ∈ C([a, b]), jest krzywą, której obraz geome-tryczny jest wykresem funkcji f . Nie jest to krzywa zamknięta.

Definicja 6.3.4. Długością krzywej γ = (γ1, . . . , γn) : P −→ Rn nazywamy liczbę

L(γ) := supπ{S(γ, π)} ∈ [0,+∞],

gdzie

S(γ, π) =

k∑j=1

√√√√ n∑`=1

(γ`(tj)− γ`(tj−1))2

jest długością krzywej łamanej wpisanej w γ wyznaczonej przez podział π, a supremum jest brane powszystkich podziałach π = (t0, . . . , tk) przedziału P . Krzywą γ nazywamy prostowalną, jeśli L(γ) < +∞.

Definicja 6.3.5. Mówimy, że krzywa γ = (γ1, . . . , γn) : P −→ Rn jest kawałkami klasy Ck, jeśli istniejepodział (t0, . . . , tm) przedziału P taki, że γ`|[tj−1,tj ] ∈ Ck([tj−1, tj ]) dla j = 1, . . . ,m i ` = 1, . . . , n. Drogato krzywa kawałkami klasy C1.

Twierdzenie 6.3.6. Dowolna droga γ = (γ1, . . . , γn) : [a, b] −→ Rn jest prostowalna oraz

L(γ) =

∫ b

a

√√√√ n∑j=1

(γ′j(t))2 dt.

Przykład 6.3.7. (1) Jeśli γ(t) = (r cos t, r sin t), t ∈ [0, 2π], r > 0, to

L(γ) =

∫ 2π

0

√(−r sin t)2 + (r cos t)2) dt =

∫ 2π

0

r dt = rt|2π0 = 2πr.

(2) Jeśli γ(t) = (r cos t, r sin t), t ∈ [0, 4π], r > 0, to

L(γ) =

∫ 4π

0

√(−r sin t)2 + (r cos t)2) dt =

∫ 4π

0

r dt = rt|4π0 = 4πr.

(3) Jeśli γ : [a, b] −→ R2, γ(x) := (x, f(x)), gdzie f : [a, b] −→ R jest funkcją kawałkami klasy C1, to

L(γ) =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx.

Np. dla f(x) = 2√x3, x ∈ [0, 2], dostajemy

L(γ) =

∫ 2

0

√1 + (3

√x)2 dx =

∫ 2

0

√1 + 9x dx =

1

9· 2

3

√1 + 9x

3∣∣∣∣20

=2

27

(√19

3− 1).

(4) Jeśli γ(t) = (t2, t− t3/3), t ∈ [0, 3], to

L(γ) =

∫ 3

0

√(2t)2 + (1− t2)2 dt =

∫ 3

0

(1 + t2) dt =

(t+

1

3t3)∣∣∣∣3

0

= 12.

(5) Jeśli γ(t) = (a(t− sin t), a(1− cos t)), t ∈ [0, 2π] (a > 0) (cykloida), to

L(γ) = a

∫ 2π

0

√(1− cos t)2 + sin2 t dt = 2a

∫ 2π

0

sint

2dt = −4a cos

t

2

∣∣∣∣2π0

= 8a.

(6) Jeśli γ(t) = (r cos t, r sin t, at), t ∈ [0, 2kπ] (r, a, k > 0) (linia śrubowa), to

L(γ) =

∫ 2kπ

0

√r2 + a2 dt = 2kπ

√r2 + a2.

Zadanie 6.3.8. Obliczyć długość krzywej(1) będącej częścią paraboli 2y = x2 w przedziale 0 ≤ x ≤ 2,(2) będącej częścią linii łańcuchowej y = 1

2a(ex/a + e−x/a), 0 ≤ x ≤ c,(3) będącej asteroidą x = a cos3 t, y = a sin3 t, 0 ≤ t ≤ 2π, gdzie a > 0,(4) opisanej równaniem y2 = 4x3, gdzie y > 0, 0 ≤ x ≤ 8

9 ,46

(5) opisanej równaniemy2 = 2x− x2, gdzie 0 ≤ x ≤ 1,(6) opisanej równaniem y = ln(1− x2), gdzie 0 ≤ x ≤ 1

2 .

6.4. Przykłady zastosowania całek. W przykładach poniżej pewne pojęcia (np. pole powierzchni)będą rozumiane w sposób intuicyjny.

Twierdzenie 6.4.1 (Pole między wykresami). Niech A = {(x, y) : x ∈ [a, b], g(x) ≤ y ≤ f(x)}, gdzief, g ∈ R([a, b]), g ≤ f . Wtedy pole |A| zbioru A wyraża się wzorem

|A| =∫ b

a

(f(x)− g(x)) dx.

Przykład 6.4.2. (1) Jeśli f(x) = sinx, g(x) = 0, x ∈ [0, π], to

|A| =∫ π

0

sinx dx = − cosx∣∣∣π0

= 2.

(2) Obliczymy pole obszaru D zawartego między parabolą y2 = 4x i prostą y = 2x − 4. Linie teprzecinają się w punktach A = (1,−2) i C = (4, 4). Prosta x = 1 rozdziela obszar na dwa obszaryAOB = {0 ≤ x ≤ 1, −2

√x ≤ y ≤ 2

√x}, ABC = {1 ≤ x ≤ 4, 2x− 4 ≤ y ≤ 2

√x}, zatem

|D| =∫ 1

0

(2√x− (−2

√x)) dx+

∫ 4

1

(2√x− 2x+ 4) dx = 9.

Zadanie 6.4.3. Obliczyć pole obszaru zawartego między(1) parabolą y = x2 − 2x i prostą y = −x+ 2,(2) parabolą y = x2/2p i prostą y = 3

4x+ 12p,

(3) krzywą y = 6x√

1− x2, 0 6 x 6 1, i osią x,(4) parabolami y = 2(x+ 1)2, y = (x+ 1)2 + 4,(5) prostą x+ y = 9 i hiperbolą xy = 14,(6) prostą y = x+ 8 i hiperbolą xy + 15 = 0,(7) krzywą y = lnx, osią x i prostą x = e−2.

Twierdzenie 6.4.4 (Objętość bryły obrotowej). Niech B = {(x, r cosϕ, r sinϕ) : x ∈ [a, b], ϕ ∈[0, 2π], r ∈ [0, R(x)]}, gdzie R ∈ R([a, b],R+). Wtedy objętość |B| bryły B wyraża się wzorem

|B| = π

∫ b

a

R2(x) dx.

Przykład 6.4.5. (1) Jeśli R(x) =√r2 − x2, x ∈ [−r, r] (r > 0) (kula o promieniu r), to

|B| = π

∫ r

−r(r2 − x2) dx = π

(r2x− 1

3x3)∣∣∣∣r−r

=4

3πr3.

(2) Jeśli R(x) = rx/h, x ∈ [0, h] (r, h > 0) (stożek o promieniu r i wysokości h), to

|B| = π

∫ h

0

( rhx)2

dx =πr2

3h2x3∣∣∣∣h0

=1

3πr2h.

Zadanie 6.4.6. Obliczyć objętość(1) elipsoidy obrotowej powstałej przez obrót elipsy x2/a2 + y2/b2 = 1 (a, b > 0 ustalone) dokoła osi

x,(2) bryły powstałej przez obrót linii łańcuchowej y(x) = a cosh(x/a) dokoła osi x i ograniczonej

przekrojami odpowiadającymi punktom x = −a i x = a (a > 0 ustalone),(3) bryły powstałej przez obrót asteroidy x2/3 + y2/3 = a2/3 (a > 0 ustalone), dokoła osi x,(4) części wspólnej wnętrza paraboloidy 2az = x2 + y2 i sfery x2 + y2 + z2 = 3a2 (a > 0 ustalone),(5) bryły powstałej przez obrót jednej gałęzi cykloidy x(t) = a(t−sin t), y(t) = a(1−cos t), t ∈ [0, 2π]

(a > 0 ustalone), dokoła osi x.

Twierdzenie 6.4.7 (Pole powierzchni obrotowej). Niech S = {(x,R(x) cosϕ,R(x) sinϕ) : x ∈ [a, b], ϕ ∈[0, 2π]}, gdzie R ∈ C1([a, b],R+). Wtedy pole powierzchni |S| powierzchni S wyraża się wzorem

|S| = 2π

∫ b

a

R(x)√

1 + (R′(x))2 dx.

47

Przykład 6.4.8. (1) Jeśli R(x) =√r2 − x2, x ∈ [−r, r] (r > 0) (sfera o promieniu r), to

|S| = 2π

∫ r

−r

√r2 − x2

√1 +

(x√

r2 − x2

)2

dx = 2π

∫ r

−rr dx = 4πr2.

(2) Jeśli R(x) = rx/h, x ∈ [h0, h] (r, h > h0 ≥ 0) (stożek ścięty o promieniach r, r0 := rh0/h,wysokości h− h0) i tworzącej ` :=

√(h− h0)2 + (r − r0)2), to

|S| = 2π

∫ h

h0

r

hx

√1 +

( rh

)2dx =

πr

h

√1 +

r2

h2x2

∣∣∣∣∣h

h0

= π(r + r0)`.

Zadanie 6.4.9. Obliczyć pole powierzchni powstającej przez obrót(1) krzywej y = xex, 0 ≤ x ≤ 2,(2) krzywej y = sinx, 0 ≤ x ≤ π,(3) części hiperboli x2 − y2 = a2, x = a

√2, a ≤ x ≤ a

√2,

(4) krzywej 3y − x3 = 0, x = 1, 0 ≤ x ≤ 1,(5) części linii łańcuchowej y(x) = a cosh(x/a), którego końce mają odcięte −a i a (a > 0 ustalone)

dokoła osi x,(6) jednej gałęzi cykloidy x(t) = a(t− sin t), y(t) = a(1− cos t), t ∈ [0, 2π] (a > 0 ustalone), dokoła

osi x.

48