Algebra liniowa

6. Przestrzenie afiniczne.

Niech V będzie przestrzenią wektorową. Przestrzenią afiniczną nad przestrzenią wektorowąV nazywamy zbiór X z działaniem zewnętrznym

X × V 3 (x, v) −→ x+ v ∈ X

spełniającym warunki

(1) dla dowolnego punktu x ∈ X oraz dla dowolnych wektorów v, w ∈ V zachodzi równość

(x+ v) + w = x+ (v + w),

(2) dla dowolnych punktów x, y ∈ X istnieje dokładnie jeden wektor −→xy ∈ V taki, że y = x+−→xy.

Wymiar przestrzeni afinicznej X definiujemy wzorem dimX := dimV .

Niech Y 6= ∅ będzie podzbiorem przestrzeni afinicznej X nad przestrzenią wektorową V . Podzbiór Y nazy-wamy podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej X, jeżeli zbiór

Y→ := {−→xy : x, y ∈ Y }

jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V . Zbiór Y→ nazywamy kierunkiem podprzestrzeni afinicznejY .

Niech X będzie przestrzenią afiniczną. Punkty x0, . . . , xn nazwiemy afinicznie niezależnymi, jeżeli wek-tory −−→x0x1, . . . ,−−→x0xk są liniowo niezależne. Uwaga: afiniczna niezależność punktów nie zależy od uporządko-wania punktów.

Niech będzie dany ciąg punktów x0, . . . , xk ∈ X oraz ciąg skalarów λ0, . . . , λk ∈ F. Kombinacją barycen-tryczną punktów x0, . . . , xk o współczynnikach λ0, . . . , λk określamy wzorem

k∑i=0

λixi := p+k∑i=0

λi−→pxi,

gdzie p jest dowolnie wybranym punktem przestrzeni afinicznej X. Uwaga: kombinacja barycentryczna niezależy od wyboru punktu p.

Niech X będzie przestrzenią afiniczną nad rzeczywistą przestrzenią wektorową V oraz niech x0, . . . , xk będzieciągiem punktów afinicznie niezależnych. Zbiór

[x0, . . . , xk] := {k∑i=0

λixi :k∑i=0

λi = 1, λ0 ­ 0, . . . , λn ­ 0}

nazywamy k-wymiarowym sympleksem o wierzchołkach x0, . . . , xn.

NiechX orazX ′ będą przestrzeniami afinicznymi nad przestrzeniami wektorowymi V oraz V ′. Odwzorowanie

f : X −→ X ′1

2 ALGEBRA LINIOWA

nazywamy odwzorowaniem afinicznym jeżeli istnieje odwzorowanie liniowe f̂ : V −→ V ′ takie, że dlakażdego punktu x ∈ X i dowolnego wektora v ∈ V zachodzi równość:

f(x+ v) = f(x) + f̂(v).

Niech X będzie przestrzenią afiniczną nad przestrzenią wektorową V oraz niech Y oraz oraz Y ′ będą pod-przestrzeniami afinicznymi w przestrzeni X. Mówimy, że Y jest równoległa do Y ′ co zapisujemy Y ‖Y ′jeśli Y ⊆ Y ′ lub Y ′ ⊆ Y .

Zadania

Zadanie 1. Dowieść, że dla dowolnej przestrzeni afinicznej X oraz dla dowolnych punktów x, y, z ∈ X−→xy +−→yz = −→xz.

Zadanie 2. Dowieść, że przestrzeń wektorowa V jest przestrzenią afiniczną nad V , gdzie dodawanie ze-wnętrzne jest określone jako dodawanie wewnętrzne w przestrzeni V .

Zadanie 3. Dowieść, że podzbiór

Y := {(x0, . . . , xn) ∈ Rn+1 : x0 + . . .+ xn = 1}jest podprzestrzenią afiniczną w Rn+1. Wyznaczyć kierunek Y .

Zadanie 4. Niech V będzie przestrzenią wektorową oraz niech α ∈ V ∗, α 6= 0. Dowieść, że dla dowolnegoskalaru a ∈ F zbiór

Y := {x ∈ V : α(x) = a}jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni V . Wyznaczyć kierunek Y .

Zadanie 5. Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni afinicznej X. Dowieść, że podprzestrzeń afi-niczna generowana przez A dana jest wzorem

Y ={ k∑i=0

λiai : a0, . . . , ak ∈ A, λ0, . . . , λk ∈ F,k∑i=0

λi = 1, k ∈ N}.

Zadanie 6. Dowieść, że punkty x0 := (0, 1, 2), x1 := (2, 5,−1) oraz x2 := (−1, 1, 0) są afinicznie niezależnew przestrzeni afinicznej R3.

Zadanie 7. Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią afiniczną. Zbiór A ⊆ X nazywamy zbiorem wypu-kłym, jeśli dla dowolnych punktów x0, x1 ∈ A sypmleks [x0, x1] ⊆ A.

(1) Dowieść, że zbiór pusty jest zbiorem wypukłym.

(2) Dowieść, że dla dowolnego podzbioru A ⊆ X istnieje najmniejszy (w sensie inkluzji) podzbiórwypukły B taki, że B ⊇ A. Zbiór o powyższej własności nazywamy obwiednią wypukłą zbioruA.

(3) Dowieść, że dla dowolnych punktów x0, . . . , xk afinicznie niezależnych sympleks [x0, . . . , xk] jest

obwiednią wypukłą swoich wierzchołków x0, . . . , xk.

(4) Dowieść, że obwiednia wypukła B zbioru A dana jest wzorem

B = {k∑i=0

λiai : a0, . . . , ak ∈ A, λ0 ­ 0, . . . , λn ­ 0,k∑i=0

λi = 1, k ∈ N}.

Zadanie 8. Dowieść, że odwzorowanie

f : R3 3 (x, y, z) −→ (x+ y − 6, x+ y + z + 5) ∈ R2

jest odwzorowaniem afinicznym. Wyznaczyć część liniową odwzorowania f .

ALGEBRA LINIOWA 3

Zadanie 9. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m takie, że układ równań (m+ 1)x+ y − z = 1mx+ (2m− 1)y + 3z = m+ 1−(2m+ 3)x− 5y + z = 2

posiada dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie 10. Niech będzie dana podprzestrzeń afiniczna Y w R4 zadana równaniemx1 + x2 + x3 + x4 = 2.

Sprawdzić, że jest to podprzestrzeń wymiaru 3 oraz napisać:(1) równania podprzestrzeni afinicznej wymiaru 3 równoległej do Y i przechodzącej przez punkt a =(2, 0, 1, 0),

(2) równania dwóch różnych podprzestrzeni afinicznych wymiaru 2 równoległych do Y oraz przecho-dzących przez punkt a = (2, 0, 1, 0),

(3) równania dwóch różnych podprzestrzeni afinicznych wymiaru 1 równoległych do Y oraz przecho-dzących przez punkt a = (2, 0, 1, 0).

Zadanie 11. W przestrzeni R3 dana jest prosta Y (tzn. podprzestrzeń afiniczna wymiaru 1) o równaniuparametrycznym

x1 = 2 + t, x2 = −1 + 2t, x3 = 3− t.Napisać:

(1) równanie parametryczne prostej równoległej do Y i przechodzącej przez punkt p = (1, 2,−1),(2) równanie parametryczne dwóch różnych podprzestrzeni afinicznych wymiaru 2 równoległych do Y

i przechodzącej przez punkt p = (1, 2,−1).