„Fizyka materii skondensowanej i struktur …tkaz/teaching/fms2019/wyklad13.pdfvk fr ktdk e jr t...

„Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych”

Wykład 13 (27.05.2020)

Tomasz Kazimierczuk

Zakład Fizyki Ciała Stałego

Instytut Fizyki Doświadczalnej

Wydział Fizyki

Uniwersytet Warszawski

Na podstawie materiałów prof. M. Baja

Transport – skale długości i czasu

27.05.2020 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 13 2

– Czas kwantowy tq, średnia droga swobodna lq = τqvF

– Czas transportowy (czas relaksacji pędowej) τtr, średnia droga swobodna

ltr τtrvF

– Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej) τφ , długość relaksacji fazy

(długość koherencji fazowej) lφ

jeśli τφ >> τtr , to:

a nie lφ τφvF

gdzie – stała dyfuzji

Skale długości i czasu w transporcie

Dl

q

kTD



5. Długość fali de Broglie’a elektronu (na poziomie Fermiego):

– dla metalu z m* m0 i EF 10 eV: λF 0,4 nm (!!!)

– dla GaAs z m* 0,067 m0 i EF 10 meV: λF 47 nm

F

Fk

2

Nieporównanie łatwiej jest uzyskać efekty uwięzienia kwantowego w

półprzewodnikach niż w metalach !!!



6. Długość magnetyczna lB Promień orbity cyklotronowej najniższego poziomu Landaua:

w polu B = 1T: lB 26 nm

Energia cyklotronowa:

Dla GaAs (m* = 0,067 m0) w B = 1T Ec 1,7 meV

222

22*2*

Bcc lmvm

eBlB

ccE



7. Rozmiary układu (kropki kwantowej), dla których efekty ładowania pojedynczymi elektronami mogą być widoczne

• Energia ładowania pojedynczym elektronem:

• Pojemność „wyspy” (krążka) o promieniu R otoczonej materiałem o stałej dielektrycznej ε :

• Aby móc obserwować efekty związane z ładowaniem pojedynczym elektronem (np. tzw. blokadę kulombowską), energia ładowania nie może być dużo mniejsza od kT (E kT):

1. dla ε = 10, T = 300 K: R 4 nm

2. dla ε = 10, T = 4 K: R 300 nm

C

eE

2

2

RC 08

kT

eR

0

2

16



Transport elektronów przez kropki kwantowe – układ, w którym efekty ładowania muszą być widoczne

http://marcuslab.harvard.edu/papers/KouwenhovenReview.pdf

Single electron transistors


Andreas Fuhrer



Układy makro- i mezoskopowe, reżimy trasportu

T. Heinzel, „Mesoscopic Electronics in Solid State Nanostuctures”, VILEY-VCH, 2007

TRANSPORT DYFUZYJNY

2020-04-07 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 13 10

Transport dyfuzyjny


• Dyfuzyjny transport elektronowy – rozmiary układów (metale bądź półprzewodniki) dużo większe od średniej drogi swobodnej: L >> lq, ltr

• Problem wielu cząstek – metody fizyki statystycznej używać będziemy funkcji rozkładu prawdopodobieństwa obsadzeń stanów elektronowych. W równowadze była to funkcja rozkładu Fermiego-Diraca f0, teraz musi być to inna funkcja, w ogólności może explicite zależeć od:

- wektora falowego (niekoniecznie tylko poprzez energię, jak to było w przypadku funkcji f0),

- położenia (dopuszczamy zależność od położenia takich parametrów jak np. temperatura – gradient temperatury)

- i ewentualnie od czasu:

• Jeśli w jakiś sposób potrafilibyśmy znaleźć taką funkcję rozkładu, to bylibyśmy w stanie obliczyć rozmaite przepływy, np. (3D):

– gęstość prądu elektrycznego

k

r

),,( tkrff

kdtkrfkve

trjSB

33),,()(

4),(

Transport dyfuzyjny


czy gęstość strumienia energii (elektronowy wkład do transportu ciepła):

• Przepis na znalezienie funkcji rozkładu podał Boltzmann

Równanie transportu Boltzmanna

kdtkrfkvkEtrwSB

33),,()()(

4

1),(

),,( tkrff

1. Jeśli nie ma rozproszeń, to podczas ruchu w przestrzeni fazowej wszystkie te elektrony, które w czasie t + Δt znalazły się w elemencie przestrzeni fazowej opisanej współrzędnymi , w czasie t były w elemencie przestrzeni fazowej o współrzędnych . Stąd ( i na podstawie tw. Liouville’a) wniosek, że:

kkrr

,

kr

,

),,(),,( tkrfttkkrrf

Transport dyfuzyjny


I w konsekwencji:

co w związku z:

daje:

0

kfrft

t

fkr

tvr

tF

k

01

fFfv

t

fkr

2. Jeśli jednak są rozproszenia, to część elektronów opuszcza rozpatrywany element przestrzeni fazowej (ulegają rozproszeniom ze stanów zawartych w tym elemencie na zewnątrz niego), zaś część do niego wchodzi (rozproszenia do stanów zawartych w tym elemencie). Wtedy prawa strona powyższego równania nie równa się zeru:

abt

ffFfv

t

f

zdkr

1

Transport dyfuzyjny


Powyższe równanie można też zapisać:

gdzie tzw. człon dryfowy wynosi:

3. Człon zderzeniowy:

zakładamy, że rozproszenia odbywają się wewnątrz jednego pasma !!!

zddryf t

f

t

f

t

f

fFfvt

f

t

f

t

fkr

poledyfdryf

1

abt

f

zd

')()'()'(1)',( 3kdkfkkfkkWaSB

'')''()''()(1),''( 3kdkfkkfkkWbSB

Transport dyfuzyjny


Równanie Boltzmanna:

abfFfvt

fkr

1

• Jeśli rozpatrujemy stan stacjonarny, to = 0 i: t

f

01

abfFfvkr

• Jest to równanie różniczkowo-całkowe, nieliniowe, w ogólnym przypadku niemożliwe do rozwiązania. Największy kłopot sprawia człon zderzeniowy!

Transport dyfuzyjny


4. Uwaga!!!

Przestrzeń fazowa jest 6-cio wymiarowa (3D) i zawiera zmienne i , które nie mogą być dla cząstki kwantowej jednocześnie określone (zasada nieoznaczoności). Jest to więc opis kwaziklasyczny, który jest akceptowalny, jeśli elektronową paczkę falową można w przybliżeniu traktować jak cząstkę klasyczną:

k

r

• W szczególności długość fali de Broglie’a elektronu l musi spełniać następujące warunki:

– l << L, gdzie L – typowy rozmiar dla danego problemu

– – zmiana energii E wywołana działaniem siły zewnętrznej

na drodze l musi być mała w porównaniu ze średnią energią

EF

Transport dyfuzyjny


np. w polu elektrycznym o natężeniu e : F = eε,

dla GaAs z EF 10 meV λ 50 nm powyższy warunek daje:

ε << 2103 V/cm

jest to silne pole jak na przewodzące próbki makroskopowe, ale niezbyt

silne z punktu widzenia układów w skali mikro (np. przyrządów półprzewodnikowych)

– λ << l gdzie l – średnia droga swobodna

• Ponadto, aby można było stosować opis w ramach równania Boltzmanna, to

np. pola magnetyczne muszą być niekwantujące:

– przypadek niezdegenerowany

– przypadek zdegenerowany

Ec kTc

Fc E

Transport dyfuzyjny


Rozwiązywanie równania Boltzmanna

Człon zderzeniowy

• Człon zderzeniowy równania Boltzmanna (tutaj, dla uproszczenia, pomijamy ewentualną zależność od ):

• W równowadze termodynamicznej (wtedy f = f0), z zasady równowagi szczegółowej wynika, że:

a skoro f0 jest rozkładem Fermiego-Diraca, to:

')'()()'(1)',()'()(1),'( 3kdkkfkfkkWkfkfkkWabt

f

SBzd

)()'(1)',()'()(1),'( 0000 kfkfkkWkfkfkkW

Tk

kEkE

kfkf

kfkf

kkW

kkW

B

)()'(exp

)'()(1

)()'(1

)',(

),'(

00

00

r

(1)

Transport dyfuzyjny


• Prawdopodobieństwo rozproszenia ze zmniejszeniem energii jest większe niż

przejścia odwrotnego.

• Rozwiązanie równania Boltzmanna zapisujemy w postaci:

gdzie f0 jest funkcją Fermiego-Diraca (parzystą względem ), zaś f1 jest nieparzysta względem

• Przeważnie f1 jest małe: |f1| = |f – f0| << f0 i powinno być (w przybliżeniu liniowym) proporcjonalne do zewnętrznej siły (ewentualnie gradientu temperatury)

• Biorąc pod uwagę (1) i (2) oraz opuszczając w rachunkach wyrazy wyższych rzędów niż pierwszy w f1 , człon zderzeniowy przyjmuje postać liniową względem f1:

)()()( 10 kfkEfkf

k

k

(2)

Transport dyfuzyjny


co można formalnie zapisać jako:

gdzie – tzw. czas relaksacji pędowej:

• Sens czasu relaksacji:

jeśli wyprowadzimy układ ze stanu równowagi, a potem nagle wyłączymy siły zewnętrzne, to (jeśli możemy uznać za stałą !!!):

)(

)(1

k

kf

t

f

zd

')'()(

)'(

)'(

)(

)(1

)'(1)',(

)(

13

1

1

0

0

0

0 kdkkf

kf

Ef

Ef

Ef

EfkkW

k SB

)(k

)(k

0)(

)(),(),( 0

k

kftkf

t

tkf

tffff

ttexp

000

(4)

(3) ')'()'()'(

)()(

)(1

)'(1)',( 31

0

01

0

0 kdkkfEf

Efkf

Ef

EfkkW

t

f

SBzd

Transport dyfuzyjny


czas relaksacji charakteryzuje szybkość dochodzenia układu do stanu równowagi

• W ten sposób, po wprowadzeniu pojęcia czasu relaksacji równanie Boltzmanna przyjmuje prostą (tylko formalnie !!!) postać :

Ale: • w równaniu (4) występuje stosunek dwóch wartości nieznanej funkcji f1 !!!

• tylko wtedy, gdy nie zależy ani od rodzaju , ani od wielkości

zaburzenia, czas relaksacji pędowej jest charakterystyczny dla danego materiału i ma dobrze określony sens fizyczny

)(

1 0

k

fffFfv

kr

)(

)'(

1

1

kf

kf

Równanie Boltzmanna – uproszczenia


Dalsze uproszczenia/założenia

• po podstawieniu i założeniu, że |f1| << f0 równanie Boltzmanna udało się wprawdzie zlinearyzować, ale jest ono nadal równaniem różniczkowo-całkowym !!!

)()()( 10 kfkEfkf

1. jeśli rozproszenia można uważać za elastyczne, to i równanie (3) przyjmuje postać:

2. jeśli ponadto proces rozpraszania jest izotropowy (to nie zawsze jest spełnione!), a pasmo jest sferyczne, to:

)()'( kEkE

')'()'()()',( 311 kdkkfkfkkWt

f

SBzd

),()'()',( kkkkkW

Potrzebne:



-

4. jeśli pasmo jest sferyczne, to :

– gdzie mp(k) jest pędową masą efektywną, w ogólności zależną od k (nieparaboliczność)

)()()()()( 00

00 EXvkfEE

fkfkfkf

k

f1

kv

||

)()(

* km

kkv

p

3. zewnętrzna siła (np. pole elektryczne) prze- suwa rozkład równowagowy zgodnie z rów- naniem ruchu , zaś rozpraszanie ten ruch hamuje; sensowne jest więc przypusz- czać, że w stanie stacjonarnym będzie:

kF

'')(),()'()(

)( 3*kdkkEXkkk

kmk

t

f

SBpzd

Z (1-4) wynika, że:



5. 3D, całkujemy we współrzędnych sferycznych, z osią biegunową równoległą do wektora

k

'cos1''' || kkkkkkkkk

'sin'')(),()'()(4

1

0 0

2

0

2

*3dkddkkkEXkkk

kmt

f

pzd

całkowanie po φ eliminuje człon zawierający 'kk

dkkEXkmt

f

pzd

sincos1)(),(2

1 2

0

*2

f1



• Taki czas relaksacji nie zależy od rodzaju i wielkości zaburzenia, zależy tylko od energii nośnika (elektronu lub dziury) – jest więc dobrym parametrem charakteryzującym dany materiał

• Dla różnych mechanizmów rozpraszania zależność τ(E) może być różna

• Jeśli istnieje szereg niezależnych mechanizmów rozpraszania, to:

i itot EE )(

1

)(

1

(*)

dkkE

sincos1),(2

1

)(

1 2

0

2

0)(

1 1 E

ffFfv

kr

),()'()',( kkkkkW



Przypomnijmy założenia, które doprowadziły do wzoru (*) na czas relaksacji

1. |f1| << f0

2. rozproszenia można uważać za elastyczne i nie wyprowadzają poza pasmo

3. rozproszenia są izotropowe (w sensie niezależności od kierunku wektora )

4.

5. pasmo jest sferyczne

)()(1 EXvkf

Złożony problem rozwiązania nieliniowego równania różniczkowo-całkowego (równania Boltzmanna) został sprowadzony do 2 rozdzielnych problemów:

1. znalezienia zależności czasu relaksacji od energii

2. rozwiązania liniowego równania różniczkowego

k

Równanie Boltzmanna – czas relaksacji


Zależność czasu relaksacji od energii

• W ogólności zależności τ (E) dla różnych mechanizmów rozpraszania mogą być skomplikowane (np.: B.M. Askerov, „Electron transport phenomena in semiconductors”, World Scientific 1994, D. K. Ferry, „Semiconductor transport”, Taylor & Francis 2000)

• Dla pasma parabolicznego w wielu przypadkach czas relaksacji daje się opisać zależnością potęgową od energii:

• czynnik zależy od temperatury z powodu:

– wyłączenia kT we wzorze opisującym τ (E)

– dodatkowej zależności – np. poprzez liczbę fononów

• Jeśli półprzewodnik jest niezdegenerowany i można stosować rozkład Boltzmanna, to <E> ~ kT i τ zależy od temperatury wyłącznie poprzez czynnik

½½( ) ~r r

trl E v E E E

½

0 )()(

r

rkT

ETE

)(0 Tr

)(0 Tr

Równanie Boltzmanna – czas relaksacji


B.M. Askerov, „Electron transport phenomena in semiconductors”

Równanie Boltzmanna – pole elektryczne


Nośniki w polu elektrycznym (3D)

• równanie Boltzmanna w przybliżeniu czasu relaksacji, dla stanu stacjonarnego:

– gdzie

• zakładamy, że układ jest jednorodny w całej swojej objętości:

•

• ograniczamy się do członów liniowych w zaburzeniu, a więc odrzucamy człon:

0)(

1 1 E

ffFfv

kr

0 fr

10

10 fEE

ffff

kkkk

eq

jest to postać postulowana już wcześniej

qF

1fq

k

0)(

10

E

fv

E

fq

vEXv

E

fEqf

)()( 0

1



• gęstość prądu można obliczyć licząc całkę po całej strefie Brillouina z funkcją f1 (f0 jako funkcja równowagowa nie daje wkładu do prądu):

• wprowadzając układ współrzędnych sferycznych z osią biegunową skierowaną wzdłuż wektora natężenia pola elektrycznego , wykonując całkowania po kątach i zamieniając zmienną całkowania z k na E (w przybliżeniu pasma sferycznego) można otrzymać:

• wartość średnia funkcji A(E) zależnej od energii:

0

30

2

0

30

2

0

30

2

)()(3

1

)(3

1

)()(3

1

)( dEEkE

fEA

ndEEk

E

f

dEEkE

fEA

EA

kdvE

fEqvqkdkfvqj

SBSB

30

331 )(4

1)(

0

30

2

2

)()(3

1

*dEEk

E

fE

m

ej

(ćwiczenia ?)



– przewodnictwo elektryczne

en

*m

e – ruchliwość

*

2

m

nej

• w przypadku niezdegenerowanym w niskich temperaturach można się spodziewać (rozpraszanie zdominowane przez zjonizowane domieszki)

• w przypadku niezdegenerowanym w wysokich temperaturach można się spodziewać (jeśli rozpraszanie zdominowane przez fonony akustyczne, potencjał deformacyjny)

2/3~)( TT

2/3~)( TT

Nośniki w polu elektrycznym - ruchliwość


GaAs - ruchliwość

C.M. Wolfe et al., Journal of Applied Physics, 41, 3088 (1970)

„Fizyka materii skondensowanej i struktur …tkaz/teaching/fms2019/wyklad13.pdfvk fr ktdk e jr t...

Documents

Transcript of „Fizyka materii skondensowanej i struktur …tkaz/teaching/fms2019/wyklad13.pdfvk fr ktdk e jr t...