ACH TEN SZEŚCIAN

Martyna NytkoRemigiusz MakuchMarek Pustelnik Klaudia Riemel

Wielościanem foremnym nazywamy wielościan

wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i

wszystkie kąty dwuścienne wyznaczone przez ściany są

równe.

Wielościany foremne znali już Pitagorejczycy w VI w. p.n.e. i pod

postaciami sześcianu, ośmiościanu, czworościanui dwudziestościanu wyobrażali cztery

żywioły: ziemię, powietrze, ogień i wodę,

a od czasów Platona uważano piąty wielościan foremny –

dwunastościan za postać wszechświata.

Wielościany te noszą nazwę brył platońskich

Dla Platona bryły te miały zasadnicze znaczenie, uznawał bowiem, że materia

zbudowana jest z całostek i nie jest podzielna, a całostki te

mają charakter idealny. Nie są bowiem ciałami stałymi, lecz figurami

geometrycznymi. Idealną najprostszą figurą geometryczną jest

trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych.

Według Platona trójkąty są najprostszym elementem budulcowym, podstawową

cegiełką, z której zbudowany jest Kosmos.

Platon (427 p.n.e.-347 p.n.e.) - grecki filozof. Jako pierwszy

odnotował fakt istnienia ściśle określonej liczby wielościanów

foremnych.  Do jego czasów znane były tylko

cztery z nich (nie znano dwunastościanu - został on

odkryty przez Teajtetosa, ucznia Platona) . Po odkryciu

dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu

jako symbol wszechświata.

Istnieją następujące wielościany foremne

Czworościan (tetraedr) 4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi

Każda z jego ścian jest trójkątem równobocznym. Jest on szczególnym przypadkiem ostrosłupa prawidłowego trójkątnego.

Ośmiościan (oktaedr)8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków, 12 krawędzi

Ośmiościan foremny to wielościan foremny o ośmiu ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych. Ma cztery pary ścian do siebie równoległych. Jest także antygraniastosłupem.

Dwudziestościan (ikosaedr)20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi

Na obrazku dwudziestościan którego ściany są trójkątami równobocznymi. Ten jest jednak najbardziej z nich złożony, bo ma aż 20 ścian.

Sześcian (heksaedr)6 ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi.

Sześcian foremny to wielościan foremny o sześciu ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Kąt między ścianami sześcianu jest kątem prostym. Sześcian foremny jest szczególnym przypadkiem graniastosłupa prawidłowego, prostopadłościanu i romboedru.P=6a2

V=a3

Istnieje wreszcie piąta bryła foremna - dodekaedr, którą Platon uznał za zespolenie całości, bryłę łączącą wszystkie elementy.

Dwunastościan (dodekaedr)12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi

Na obrazku dwunastościan. Każda z jego ścian jest pięciokątem foremnym.

Bryły te, według Platona, odpowiadają trzem elementom

(ogień, powietrze, woda)

Czwarty element - ziemię,reprezentuje sześcian (heksaedr),

którego każda ściana da się podzielić na dwa trójkąty, jest więc zbudowany z

trójkątów

Te wielościany to tzw. bryły platońskie,

będące wyczerpującym zestawem wielościanów foremnych. Platon uznał, że cała rzeczywistość jest

zorganizowana jako odbicie owych podstawowych figur geometrycznych,

czyli form najdoskonalszych.

Johannes Kepler(1571-1630) - niemiecki matematyk, astronom i

astrolog. Użył wielościanów foremnych do

swojego modelu kosmologicznego.Jeśli bowiem na sferze o promieniu

orbity Merkurego opisać ośmiościan, a na nim następną sferę to jej promień będzie odpowiadać

promieniowi Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać

dwudziestościan, a na nim trzecią sferę to jej promień odpowiada

promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych

wielościanów foremnych i planet:dwunastościan - Mars, czworościan - Jowisz,

sześcian - Saturn. Było to pierwsze z odkrytych przez

Keplera praw ruchu planet, nie uznane jednak za prawo natury w

dzisiejszym rozumieniu nauki.

Dlaczego tylko pięć brył?

Pitagoras udowodnił, że płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona

jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkątami,

kwadratami albo pięciokątami. Żeby powstało naroże potrzebne są co najmniej

trzy ściany oraz suma kątów płaskich w wierzchołku musi być mniejsza od kata pełnego. Wszystkie ściany w przypadku

brył platońskich są jednakowe. Zatem jeśli wielokąty foremne tego samego rodzaju

maja utworzyć naroże, to takich kombinacji jest właśnie pięć.

Suma wszystkich kątów płaskich kąta bryłowego musi być mniejsza od 360°.

Z trójkątów można zbudować trzy wielościany foremne, gdzie z jednego wierzchołka mogą wychodzić: - 3 krawędzie (60° × 3 = 180° < 360°) - 4 krawędzie (60° × 4 = 240° < 360°)- 5 krawędzi (60° × 5 = 300° < 360°).

Z kwadratów składać się może tylko jeden wielościan (3 × 90° = 270°).

Z pięciokątów foremnych składać się może również tylko jeden, gdyż kąt pięciokąta foremnego ma miarę 108°  (3 × 108° < 360°).

Z sześciokątów, ani tym bardziej z wielokątów o większej liczbie boków, wielościanu foremnego zbudować się nie da.   

Wzór na objętość sześcianu:

V = a3 = a . a . a

Wzór na całkowite pole powierzchni sześcianu

S = 6a2

Wzór na długość przekątnej sześcianu

d =

Wzór na sumę długości krawędzi sześcianu

Sk = 12a

Poniżej przedstawiamy ilustracje powstawanie wszystkich 11-tu siatek sześcianu poprzez

przesuwanie odpowiedniego kwadratu.

Szwajcarski naukowiec, Louis Albert Necker, opublikował w

1832 ryciny przedstawiające sześcian,

który zmieniał swoje położenie podczas oglądania.

Było to spowodowane tym, że z ilustracji zostały usunięte

wszelkie wskazówki dotyczące głębi. Patrząc na sześcian Neckera widzimy

układ linii, ale spodziewamy się zobaczyć

sześcian. Nasz mózg musi zatem rozwiązać pewną dwuznaczność –

musi ustalić, który z rogów sześcianu leży bliżej. Rozwiązanie tego

problemu może być odmienne u różnych obserwatorów, jak też może

zmieniać się w czasie u jednego obserwatora.

ILUZJE Z SZEŚCIANU

Co jest w tym sześcianie dziwnego?

Niesamowity sześcian z bardzo ciekawym wcięciem.

Kostka Rubika – popularna zabawka logiczna

wynaleziona przez Ernő Rubika w 1974 roku.

Zabawa kostką polega na takim ułożeniu kwadratów,

aby na każdej ścianie wszystkie posiadały jeden kolor. Składa się ona z 26

sześcianów i przegubu umieszczonego w środku.

Przegub ten umożliwia każdej z zewnętrznych

warstw kostki obrót wokół osi prostopadłej do danej warstwy i przechodzącej

przez środek kostki.

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ.