A Fausto

Alfio QuarteroniRiccardo SaccoFausto Saleri

MATEMATICANUMERICA

3a edizione

~ Springer

ALFIO QUARTERONI

Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne e MOX - Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano

RICCARDO SACCO

Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano

FAUSTO SALERI t

MOX - Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano

ISBN 978-88-470-0782-6 Springer Milan Berlin Heidelberg New York ISBN 978-88-470-0818-2 (eBook)

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9 8 7 6 5 4 3 2

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Springer-Verlag Italia srl, Via Decembrio 28,20137 Milano

Indice

Prefazione XIII

1.

2.

Elementi di analisi delle matrici1.1 Spazi vettoriali1.2 Matrici......... . ..1.3 Operazioni su matrici .....

1.3.1 Inversa di una matrice1.3.2 Matrici e trasformazioni lineari

1.4 Traccia e determinante ..1.5 Rango e nucleo di una matrice1.6 Matrici di forma particolare ..

1.6.1 Matrici diagonali a blocchi1.6.2 Matrici trapezoidali e triangolari1.6.3 Matrici a banda

1.7 Autovalori e autovettori1.8 Trasformazioni per similitudine1.9 La decomposizione in valori singolari (SVD)1.10 Prodotto scalare e norme in spazi vettoriali1.11 Norme matriciali . .

1.11.1 Relazione tra norme e raggio spettrale di una matrice1.11.2 Successioni e serie di matrici .

1.12 Matrici definite positive, matrici a dominanza diagonale eM-matrici

1.13 Esercizi

I fondamenti della matematica numerica2.1 Buona posizione e numero di condizionamento di un problema .2.2 Stabilita di metodi numerici .

2.2.1 Le relazioni tra stabilita e convergenza2.3 Analisi a priori e a posteriori .2.4 Sorgenti di errore nei modelli computazionali2.5 Rappresentazione dei numeri sul calcolatore ..

1134567899

101011121516202425

2629

31313538404143

VI Indice

2.5.12.5.22.5.32.5.42.5.5

2.6

II sistema posizionale . . . . . . . . . .II sistema dei numeri floating-point . . .Distribuzione dei numeri floating-pointAritmetica IEC/IEEE .....Arrotondamento di un numero reale nella suarappresentazione di macchina . . . . . . . . . .

2.5.6 Operazioni di macchina effettuate in virgola mobileEsercizi .

43454747

495052

3. Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti 573.1 Analisi di stabilita per sistemi lineari . . . . . . 58

3.1.1 II numero di condizionamento di una matrice 583.1.2 Analisi a priori in avanti . . 603.1.3 Analisi a priori all'indietro 623.1.4 Analisi a posteriori . . . . . 63

3.2 Risol uzione di sistemi triangolari 643.2.1 Aspetti implementativi dei metodi delle sostituzioni 653.2.2 Analisi degli errori di arrotondamento 663.2.3 Calcolo dell'inversa di una matrice triangolare . . . 67

3.3 II metoda di eliminazione gaussiana (MEG) e la fattorizzazioneLV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.1 II MEG interpretato come metoda di fattorizzazione 723.3.2 L'effetto degli errori di arrotondamento ..... 753.3.3 Aspetti implementativi della fattorizzazione LV 763.3.4 Forme compatte di fattorizzazione 77

3.4 Altri tipi di fattorizzazione 793.4.1 Fattorizzazione LDMT

. . . . . . . . 793.4.2 Matrici simmetriche e definite positive: fattorizzazione

di Cholesky 803.4.3 Matrici rettangolari: fattorizzazione QR 81

3.5 Pivoting....... 853.6 II calcolo dell'inversa . . . 903.7 Sistemi a banda . . . . . . 90

3.7.1 Matrici tridiagonali 913.7.2 Aspetti computazionali 92

3.8 Sistemi a blocchi 953.8.1 Fattorizzazione LV a blocchi 953.8.2 Inversa di una matrice a blocchi 963.8.3 Sistemi tridiagonali a blocchi 96

3.9 Accuratezza della soluzione generata dal MEG 983.10 Calcolo approssimato di K(A) 1013.11 Aumento dell'accuratezza 102

3.11.1 Equilibratura ... . . . 1023.11.2 Raffinamento iterativo 103

Indice VII

3.123.13

Sistemi indeterminatiEGsercizi .

104107

4. Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi 1114.1 Convergenza di metodi iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.2 Metodi iterativi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2.1 I metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e del rilassamento . 1154.2.2 Risultati di convergenza per i metodi di Jacobi e di

Gauss-Seidel 1174.2.3 Risultati di convergenza per il metodo di rilassamento . 1194.2.4 II caso delle matrici a blocchi 1204.2.5 Forma simmetrica dei metodi di Gauss-Seidel e SOR 1204.2.6 Aspetti implementativi . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3 Metodi iterativi stazionari e non stazionari . . . . . . . . . 1234.3.1 Analisi di convergenza per il metodo di Richardson 1244.3.2 Matrici di precondizionamento 1264.3.3 II metodo del gradiente 1344.3.4 II metodo del gradiente coniugato 1384.3.5 II metodo del gradiente coniugato precondizionato 142

4.4 Metodi basati su iterazioni in sottospazi di Krylov 1454.4.1 II metodo di Arnoldi per sistemi lineari 1484.4.2 II metodo GMREGS 150

4.5 Criteri di arresto per metodi iterativi . . . . . . . . 1534.5.1 Un criterio basato sul controllo dell'incremento ..... 1534.5.2 Un criterio basato sul controllo del residuo 155

4.6 Esercizi 155

185185

159159162162166167168170172175177179179183

Localizzazione geometrica degli autovaloriAnalisi di stabilita e condizionamento5.2.1 Stime a priori . .5.2.2 Stime a posterioriII metodo delle potenze5.3.1 Calcolo dell'autovalore di modulo massimo5.3.2 Calcolo dell'autovalore di modulo minimo5.3.3 Aspetti computazionali e di implementazioneMetodi basati sulle iterazioni QR ... . . . . . . .L'iterazione QR nella sua forma di base .II metodo QR per matrici in forma di Hessenberg5.6.1 Matrici di trasformazione di Householder e di Givens5.6.2 Riduzione di una matrice in forma di Hessenberg5.6.3 Fattorizzazione QR di una matrice in forma di

Hessenberg .5.6.4 Aspetti implementativi del metodo Hessenberg-QR

5.45.55.6

Approssimazione di autovalori e autovettori5.15.2

5.3

5.

VIII Indice

5.7

5.8

5.6.5 Aspetti di implementazione delle matrici ditrasformazione .

5.6.6 II metodo QR con shift .Metodi per il calcolo di autovalori di matrici simmetriche5.7.1 II metodo di Jacobi .5.7.2 II metodo delle successioni di SturmEsercizi .

188191194194197201

6.

7.

Risoluzione di equazioni e sistemi non lineari6.1 Condizionamento di un'equazione non lineare6.2 Un approccio geometrico per la ricerca delle radici

6.2.1 II metodo di bisezione .6.2.2 I metodi delle corde, secanti, Regula Falsi e Newton

6.3 II metodo delle iterazioni di punto fisso . . . . . . . . . . . .6.3.1 Risultati di convergenza per alcuni metodi di punto fisso

6.4 Radici di polinomi algebrici .6.4.1 II metodo di Horner e la deflazione .6.4.2 II metodo di Newton-Horner6.4.3 II metodo di Muller

6.5 Criteri d'arresto .6.6 Tecniche di post-processing per metodi iterativi

6.6.1 La tecnica di accelerazione di Aitken ..6.6.2 Tecniche per il trattamento di radici multiple

6.7 Risoluzione di sistemi di equazioni non lineari6.7.1 II metodo di Newton e Ie sue varianti6.7.2 Metodi di Newton modificati6.7.3 Metodi quasi-Newton6.7.4 Metodi di tipo secanti6.7.5 Metodi di punto fisso

6.8 Esercizi .

Approssimazione polinomiale di funzioni e dati7.1 Interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . .

7.1.1 L'errore di interpolazione .7.1.2 Limiti dell'interpolazione polinomiale su nodi

equispaziati e controesempio di Runge .7.1.3 Stabilita dell'interpolazione polinomiale

7.2 Forma di Newton del polinomio interpolatore7.2.1 Alcune proprieta delle differenze divise di Newton7.2.2 L'errore di interpolazione usando le differenze divise

7.3 Interpolazione composita di Lagrange7.4 Interpolazione di Hermite-Birkoff .7.5 L'estensione al caso bidimensionale .

7.5.1 Interpolazione polinomiale semplice

205206208209211217221222222224227231233233236238238240243244246249

253253255

256257259261263264265267268

7.6

7.77.8

7.5.2 Interpolazione polinomiale compositaFunzioni spline .7.6.1 Spline cubiche interpolatorie7.6.2 B-spline .Curve spline di tipo parametricoEsercizi .

Indice IX

268272273277280283

8. Integrazione numerica8.1 Formule di quadratura interpolatorie .

8.1.1 La formula del punto medio 0 del rettangolo8.1.2 La formula del trapezio .8.1.3 La formula di Cavalieri-Simpson

8.2 Formule di Newton-Cotes .8.3 Formule di Newton-Cotes composite8.4 L'estrapolazione di Richardson

8.4.1 II metodo di integrazione di Romberg8.5 Integrazione automatica .

8.5.1 Algoritmi di integrazione non adattivi8.5.2 Algoritmi di integrazione adattivi . . . .

8.6 Integrali generalizzati (0 impropri) .8.6.1 Integrali di funzioni con discontinuita di prima specie8.6.2 Integrali di funzioni con discontinuita di seconda specie8.6.3 Integrali su intervalli illimitati . . . .

8.7 Integrazione numerica in pili dimensioni8.7.1 II metodo della formula di riduzione8.7.2 Quadrature composite bidimensionali

8.8 Esercizi .

285287287289291292298301303305306307312

. 312312315316316319322

9. I polinomi ortogonali nella teoria dell'approssimazione9.1 Approssimazione di funzioni con serie generalizzate di Fourier .

9.1.1 I polinomi di Chebyshev .9.1.2 I polinomi di Legendre .

9.2 Integrazione ed interpolazione Gaussiana . .9.3 Integrazione ed interpolazione di Chebyshev9.4 Integrazione ed interpolazione di Legendre .9.5 Integrazione Gaussiana su intervalli illimitati9.6 Programmi per l'implementazione delle formule Gaussiane9.7 Approssimazione di una funzione nel senso dei minimi quadrati

9.7.1 I minimi quadrati discreti .9.8 II polinomio di migliore approssimazione9.9 I polinomi trigonometrici di Fourier . . . . .

9.9.1 La trasformata rapida di Fourier9.10 Approssimazione delle derivate di una funzione

9.10.1 Metodi alle differenze finite classiche ....

325325327328329333336338339341342344346350352352

X Indice

9.10.2 Differenze finite compatte .9.10.3 La derivata pseudo-spettrale

9.11 Esercizi .

354357358

10. Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie 36110.1 II problema di Cauchy 36110.2 Metodi numerici ad un passo 36410.3 Analisi dei metodi ad un passo 366

10.3.1 La zero-stabilita 36710.3.2 Analisi di convergenza 36910.3.3 L'assoluta stabilita . . . 371

10.4 Le equazioni alle differenze 37510.5 I metodi a pili passi (0 multistep) 380

10.5.1 I metodi di Adams . 38310.5.2 I metodi BDF . . . . 385

10.6 Analisi dei metodi multistep 38610.6.1 Consistenza .... . . . 38610.6.2 Le condizioni delle radici 38710.6.3 Analisi di stabilita e di convergenza per i metodi

multistep 38910.6.4 L'assoluta stabilita nei metodi multistep 390

10.7 Metodi predictor-corrector . . . . . . . . . . . . 39310.8 Metodi Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . 400

10.8.1 Derivazione di un metodo Runge-Kutta esplicito 40310.8.2 Adattivita del passo per i metodi Runge-Kutta . 40310.8.3 Regioni di assoluta stabilita per i metodi Runge-Kutta . 406

10.9 II caso dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie 40710.10 I problemi stiff 40810.11 Esercizi 411

11. Approssimazione di problemi ai limiti 41511.1 Un problema modello 41511.2 II metodo delle differenze finite . . . . . . . . . 417

11.2.1 Analisi di stabilita con il metodo dell'energia 41811.2.2 Analisi di convergenza 42211.2.3 Le differenze finite per problemi ai limi ti a coefficienti

variabili 42311.3 II metodo di Galerkin 424

11.3.1 Formulazione deb ole di problemi ai limiti 42411.3.2 Una breve introduzione alle distribuzioni 42611.3.3 Proprieta del metodo di Galerkin 42711.3.4 Analisi del metodo di Galerkin 42811.3.5 II metodo degli elementi finiti 43111.3.6 Aspetti implementativi . . . . . 436

Indice XI

11.4 Problemi di diffusione-trasporto a trasporto dominante . . . .. 43911.5 Esercizi 444

12. Problemi ai valori iniziali e ai limiti di tipo parabolicoe iperbolico12.112.212.3

12.4

12.512.6

12.7

12.8

12.912.10

12.11

L'equazione del calore .Approssimazione a differenze finite dell'equazione del caloreApprossimazione ad elementi finiti dell'equazione del calore12.3.1 Analisi di stabilita per il (I-metodo .Metodi a elementi finiti spazio-temporali per l'equazione delcalore .Equazioni iperboliche: un problema di trasporto scalareSistemi di equazioni iperboliche lineari .12.6.1 L'equazione delle onde .II metodo delle differenze finite per equazioni iperboliche12.7.1 Discretizzazione dell'equazione scalareAnalisi dei metodi alle differenze finite12.8.1 Consistenza ....12.8.2 Stabilita . . . . . . . . . . .12.8.3 La condizione CFL .12.8.4 Analisi di stabilita alla von NeumannDissipazione e dispersione .Approssimazione ad elementi finiti di equazioni iperboliche12.10.1 Discretizzazione spaziale con elementi finiti continui e

discontinui .12.10.2 Discretizzazione temporaleEsercizi .

447447450452454

459464466467469469471471472473475478481

482485488

Bibliografia

Indice dei programmi MATLAB

Indice analitico

491

499

503

Prefazione alia seconda edizione

La matematica numerica e quel ramo della matematica che propone, sviluppa,analizza ed applica metodi per il calcolo scientifico nel contesto di vari campidella matematica, quali l'analisi, l'algebra lineare, la geometria, la teoria dell'ap-prossimazione, la teoria delle equazioni funzionali, l'ottimizzazione, le equazionidifferenziali. Anche altre discipline, come la fisica, le scienze naturali e biologi-che, l'ingegneria, l'economia e la finanza, frequentemente originano problemi cherichiedono di essere risolti ricorrendo al calcolo scientifico.

La matematica numerica epertanto situata alla confluenza di diverse disciplinedi grande rilievo nelle moderne scienze applicate, e ne diventa strumento essenzialedi indagine qualitativa e quantitativa. Tale ruolo decisivo epure accentuato dallosviluppo impetuoso ed inarrestabile di computer ed algoritmi, che rendono oggipossibile affrontare con il calcolo scientifico problemi di dimensioni tanto elevateda consentire la simulazione di fenomeni reali, fornendo risposte accurate con tem-pi di calcolo accettabili. La corrispondente proliferazione di software numerico, seper un verso rappresenta una ricchezza, per l'altro pone spesso l'utilizzatore nellacondizione di doversi orientare correttamente nella scelta del metoda (0 dell'algo-ritmo) pili efficace per affrontare il problema di suo specifico interesse. E infattievidente che non esistono metodi 0 algoritmi efficaci ed accurati per ogni tipo diproblema.

Scopo principale del testo e chiarire i fondamenti matematici alla base deidiversi metodi, analizzarne le proprieta di stabilita, accuratezza e complessita al-goritmica ed illustrare, attraverso esempi e controesempi, i vantaggi ed i puntideboli di ogni metodo.

Per tali verifiche viene utilizzato il programma MATLAB ®. Tale scelta ri-sponde a due primarie esigenze: la semplicita di approccio e la diffusione ormaiuniversale di tale linguaggio che 10 rende oggi accessibile virtualmente su ogni piat-taforma di calcolo. Ogni capitolo e integrato da esempi ed esercizi che pongono illettore nella condizione ideale per acquisire lc conoscenze teoriche necessarie perdecidere quali metodologie numeriche adottare.

Questo volume eindirizzato in primo luogo agli studenti delle facolta scientifi-che, con particolare attenzione ai corsi di laurea in Ingegneria, Matematica, Fisicae Scienze dell'Informazione. L'enfasi data ai metodi moderni per il calcolo scien-

XIV Prefazione

tifico e al relativo sviluppo di software, 10 rende interessante anche per ricercatorie utilizzatori nei campi professionali pili disparati.

II contenuto del testo eorganizzato in undici capitoli. I primi due di essi so-no dedicati a richiami di algebra lineare e alI'introduzione dei concetti generalidi consistenza, stabilita e convergenza di un metodo numerico e degli elemen-ti di base dell'aritmetica discreta. I successivi capitoli sono dedicati alla riso-luzione di sistemi lineari (Capitoli 3 e 4), al calcolo di autovalori (Capitolo 5),alla risoluzione di equazioni e sistemi non lineari (Capitolo 6), alI'approssimazio-ne polinomiale (Capitolo 7), all'integrazione numerica (Capitolo 8), all'approssi-mazione ed integrazione mediante polinomi ortogonali (Capitolo 9) e alla riso-luzione di equazioni differenziali ordinarie e di problemi ai limiti (Capitoli 10 e11). Segue infine l'indice per la consultazione dei programmi MATLAB svilup-pati alI'interno del volume. Questi programmi sono anche disponibili alI'indirizzohttp://www1.mate.polimi.it/calnum/programs.html.

Si eritenuto utile per illettore evidenziare le formule principali in un riquadroe le intestazioni dei programmi MATLAB mediante una striscia grigia, che neracchiude il titolo e una sintetica descrizione.

Questa seconda edizione del volume si differenzia dalla prima soprattutto inquanto contiene un capitolo dedicato alI'approssimazione di problemi ai limiti, conmetodi alle differenze finite e agli elementi finiti.

Inoltre, rispetto alla prima edizione, il capitolo relativo alI'ottimizzazione estato ridotto alla sola analisi dei sistemi non lineari, e per questo fatto confluirenelI'attuale Capitolo 6.

Naturalmente, col senno del poi, tutti i capitoli dellibro sono stati ampiamenteriveduti e corretti.

Con vivo piacere, ringraziamo la Dr.ssa Francesca Bonadei e la Dr.ssa CarlottaD'Imporzano, di Springer-Verlag Italia, per illoro costante stimolo ed incessantesostegno durante l'intera fase di preparazione del volume, nonche Jean-FredericGerbeau, Paola Gervasio e Stefano Micheletti per illoro validissimo aiuto. Infine,vogliamo riconoscere il prezioso contributo di Alessandro, Edie, Elena, Francesco,Lorella, Luca, Paola e Simona.

Milano, gennaio 2000 Gli Autori

MATLAB e un trademark di The MathWorks, Inc. Per ulteriori informazioni su MA-TLAB e altri prodotti MathWorks, inclusi i MATLAB Application Toolboxes per la mate-matica, la visualizzazione e l'analisi, contattare: TheMathWorks, 24 Prime Park Way, Na-tick, MA 01760, Tel: 001+508-647-7000, Fax: 001+508-647-7001, e-mail: info@mathworks.com,www:http://www.mathworks.com.

Prefazione XV

Prefazione alia terza edizione

Questa terza edizione del volume si differenzia dalle due precedenti per una re-visione generale dei programmi e per l'aggiunta di un capitolo, il dodicesimo,dedicato all'approssimazione di problemi ai valori iniziali ed ai limiti con metodialle differenze finite e agli elementi finiti.

Nella memoria e nel ricordo di un Amico, dedichiamo illibro a Fausto.

Milano, gennaio 2008 Alfio QuarteroniRiccardo Sacco