8. Hydrostatyka i hydrodynamika

Hydrostatyka

Ciśnienie hydrostatyczne

Jest to ciśnienie wywołane ciężarem cieczy. Ciśnienie hydrostatyczne zależy tylko od wysokości

słupa cieczy, tj. od głębokości, na której jest mierzone oraz od gęstości cieczy. Na głębokości h ,

ciśnienie hydrostatyczne cieczy o gęstości określa wyrażenie:

hgp , 2s

m81,9g . (8.1)

Oprócz ciśnienia hydrostatycznego, na ciecz może działać dodatkowo ciśnienie statyczne, czyli

ciśnienie wywierane na ciecz z zewnątrz. Jeżeli na powierzchnię swobodną cieczy działa ciśnienie

statyczne 0p , którym często jest ciśnienie atmosferyczne, to panujące na głębokości h całkowite

ciśnienie jest sumą ciśnienia statycznego i hydrostatycznego:

ghpp 0 . (8.2)

Ciśnienie w pewnym punkcie cieczy zależy tylko od głębokości tego punktu pod powierzchnią cieczy,

natomiast nie zależy od poziomych rozmiarów cieczy ani od kształtu naczynia, w którym ciecz się

znajduje (paradoks hydrostatyczny).

Prawo Pascala

Z równania (8.2) wynika, że zwiększenie na ciecz statycznego ciśnienia zewnętrznego 0p o 0p

powoduje zmianę całkowitego ciśnienia p cieczy o 0pp . Ta zmiana ciśnienia nie zależy od

głębokości h i jest taka sama w każdym punkcie cieczy. Z powyższego rozumowania wynika prawo

Pascala, które głosi, że ciśnienie wywierane na ciecz rozchodzi się jednakowo we wszystkich

kierunkach i ma w całej swojej objętości tą samą wartość, równą wywieranemu na ciecz ciśnieniu.

Ciśnienie to skierowane jest zawsze prostopadle do ścian naczynia i powierzchni zanurzonych w

cieczy ciał - bez względu na ich kształt.

Prawo Archimedesa

Rys. 8.1. Ilustracja do prawa Archimedesa. S i F oznaczają odpowiednio środek ciężkości ciała i środek wyporu

SF

p

QW

Q

Na ciało częściowo lub całkowicie zanurzone w cieczy działa siła wyporu skierowana ku górze i

równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało:

gVgmW cc , (8.3)

gdzie W jest siłą wyporu, cm jest masą wypartej cieczy o objętości cV i gęstości , a g -

przyspieszeniem ziemskim. W warunkach równowagi, gdy ciało o masie m nie tonie, siła wyporu

równa jest ciężarowi ciała: mgQW . Siła wyporu, działająca na zanurzone w cieczy ciało, jest

konsekwencją równania (8.1), z którego wynika, że dolne części ciała – głębiej zanurzone, doznają ze

strony cieczy większego ciśnienia niż górne części ciała, co powoduje powstanie wypadkowej,

skierowanej ku górze siły wyporu (Rys. 8.1.).

Hydrodynamika

Równanie ciągłości

Objętość cieczy nieściśliwej przepływającej w jednostce czasu przez dowolny przekrój

poprzeczny strugi jest wielkością stałą:

constSv , (8.4)

gdzie S jest polem przekroju poprzecznego strugi, a v - prędkością przepływającej cieczy w tym

przekroju (Rys. 8.2.). Z równania ciągłości wynika, że w strudze o zmiennym przekroju, dowolny

segment przemieszczającej się cieczy zmienia w czasie przepływu swoją prędkość, a zatem i energię

kinetyczną. Zmiana energii kinetycznej odbywa się kosztem pracy wykonanej przez siły wynikające z

różnicy ciśnień panujących na różnych przekrojach strugi.

Rys. 8.2. Ilustracja do równania ciągłości i równania Bernoulliego

Równanie Bernoulliego

Równanie to opisuje zależność między ciśnieniem, a prędkością stacjonarnego przepływu cieczy

doskonałej (nielepkiej i nieściśliwej) w strudze, w obecności pola grawitacyjnego:

const2

1 2 vghp , (8.5)

11 , pS

1v

1h

2h0

h

22 , pS

2v

gdzie:

p - ciśnienie cieczy,

v - prędkość cieczy,

- gęstość cieczy,

h - wysokość względem poziomu odniesienia,

g - przyspieszenie ziemskie.

Prawo Stokesa

Prawo to określa siłę oporu działającą na kulę o promieniu r , poruszającą się z prędkością v w

cieczy o współczynniku lepkości :

vrF 6 . (8.6)

Równanie to spełnione jest dla względnie małych prędkości v , przy których ruch cieczy względem

kuli jest laminarny.

Jednostki ciśnienia

1 pascal: 2N/m11Pa ,

1 bar: Pa1000001bar ,

1 milibar: hPa1Pa100mbar1 ,

1 hektopascal: mbar1Pa100hPa1 ,

1 atmosfera techniczna: Pa98066,5kG/cm1at1 2 ,

1 atmosfera fizyczna: Pa101325atm1 . Jest to ciśnienie wywierane przez słup rtęci o

wysokości mm760 .

1 torr: Pa133,322torr1 . Jest to ciśnienie wywierane przez słup rtęci o wysokości mm1 .

Przykłady

Przykład 8.1. Areometr, którego masa g60M , obciążono dodatkowo kawałkami metalu o masie

g5m . Po obciążeniu areometr zanurzył się w wodzie tak, że wskazywał gęstość 32 kg/m950 .

Obliczyć gęstość metalu m . Gęstość wody 31 kg/m1000 .

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez V objętość zanurzonej w wodzie części areometru w przypadku, gdy nie jest on

obciążony kawałkami metalu. Zgodnie z prawem Archimedesa (8.3), ciężar areometru jest

zrównoważony wyporem wody, co pozwala obliczyć objętość V :

VgMg 1 ,

1

MV .

Rozważmy sytuację, w której areometr bez dodatkowego obciążenia znalazłby się w cieczy o gęstości

12 . Objętość zanurzonej części areometru wzrosłaby wówczas w porównaniu z objętością V o

pewną dodatkową objętość V tak, by skala areometru pokazywała gęstość cieczy 2 . Dodatkowa

objętość V określona jest także przez prawo Archimedesa:

gVM

gVVMg

1

22

,

21

21

MV .

Areometr zanurzony w wodzie i obciążony kawałkami metalu pokazuje gęstość 2 , co oznacza, że

objętość jego zanurzonej części wynosi VV . Oznaczając dodatkowo przez mV objętość

zajmowaną przez podwieszony metal możemy prawo Archimedesa zapisać w postaci:

gm

MM

gVVVgmMm

m

21

21

1

11 .

Równanie to pozwala obliczyć nieznaną gęstość metalu m :

212

21

Mm

mm .

Podstawiając ujednolicone w jednym systemie jednostek dane liczbowe otrzymamy: 3kg/m2714m .

Przykład 8.2. Przez poziomą rurę o różnych przekrojach przepływa woda. Obliczyć, jaka masa wody

przepływa przez dowolny przekrój rury w czasie s1 , jeżeli w rurkach manometrycznych

wmontowanych w rurę w miejscach o przekrojach 21 cm10S i 2

2 cm20S , różnica poziomów

wody wynosi cm20h . Gęstość wody 3g/cm1 .

Rozwiązanie:

Równanie Bernoulliego (8.5) dla przepływu poziomego ( consth ) ma postać:

222

211

2

1

2

1vpvp ,

gdzie 11 ,vp oraz 22 ,vp oznaczają ciśnienie i prędkość wody odpowiednio w przekrojach 1S i 2S .

Różnica ciśnień wody w obydwu przekrojach równa jest ciśnieniu wywieranemu przez słup wody o

wysokości równej różnicy poziomów w rurkach manometrycznych i wynosi:

ghpp 12 .

Obydwa równania prowadzą do relacji:

2S

1S

h

1v

2v

22

21

2

1vvgh ,

która z równaniem ciągłości (8.4)

2211 vSvS

tworzy układ dwóch równań wyznaczający prędkości przepływu 1v i 2v . Po prostych

przekształceniach znajdziemy w szczególności:

2/1

21

22

21

2

SS

ghSv .

Masa wody, która przepływa przez dowolny przekrój rury w jednostce czasu wynosi:

2/1

21

22

2111

2

SS

ghSSSv .

Po ujednoliceniu jednostek otrzymamy: kg/s2,287 .

Przykład 8.3. Cylindryczny zbiornik o średnicy D wypełniony jest wodą do wysokości m1,80 h .

W dnie zbiornika znajduje się otwór spustowy o średnicy d , która jest 40n - krotnie mniejsza od

średnicy zbiornika. Jak długo będzie trwało opróżnianie zbiornika do połowy jego zawartości? Po

jakim czasie opróżniony zostanie cały zbiornik? Przyspieszenie ziemskie 2m/s9,81g .

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać zadanie, należy określić prędkość v opadania poziomu cieczy w zbiorniku

podczas jego opróżniania. Zależność tą znajdziemy wykorzystując równanie ciągłości (8.4) oraz

równanie Bernoulliego (8.5), które zastosowane do poziomów h i 0h przyjmą odpowiednio postać:

Vd

vD

22

22

vnV 2 ,

D

d

0h

hv

0h

V

22

2

1

2

1Vpvghp ,

gdzie p jest ciśnieniem atmosferycznym – takim samym na wysokości h i 0h , a V jest

prędkością wody wypływającej z otworu spustowego. Eliminując z powyższego układu równań V ,

otrzymamy poszukiwaną zależność:

hn

gv

2/1

4 1

2

.

Elementarna zmiana hd poziomu wody w zbiorniku wiąże się z prędkością opadania tego poziomu v

za pośrednictwem relacji:

thn

gtvh d

1

2dd

2/1

4

, 0d h .

Separując zmienne h i t oraz całkując otrzymane równanie po czasie znajdziemy:

t

n

g

h

hd

1

2d2/1

4 0

2/1

42

1

22 ht

n

gh

.

Stała całkowania jest równa 02 h , co wynika z założenia, że w umownym momencie 0t poziom

cieczy był równy 0h . Równanie to określa czas t , po którym poziom wody w zbiorniku spadnie do

wartości h . Dla 14 n otrzymamy:

hhng

hhng

t

0

2

2/1

0

2/1

4 21

2.

Przyjmując 2/0hh , znajdziemy czas 2/1T , po którym zbiornik zostanie opróżniony do połowy:

2/1

022/1 12

g

hnT .

Przyjmując 0h , znajdziemy czas T , po którym zbiornik zostanie opróżniony całkowicie:

2/1

022

g

hnT .

Uwzględniając dane liczbowe otrzymamy: s8422/1 T , s969T . Należy zwrócić uwagę, że przy

zaniedbaniu zjawisk związanych z lepkością, prędkość i czas opróżniania zbiornika nie zależą od

gęstości cieczy.

Zadania

8.1. Ciało w kształcie graniastosłupa o wymiarach cba zanurzono w pewnej cieczy. Siła wyporu

działająca na to ciało wynosi W . Jaka jest gęstość tej cieczy?

8.2. Drewniany klocek o gęstości 3kg/m650d pływa w cieczy, przy czym 30% objętości klocka

wystaje nad jej powierzchnię. Obliczyć gęstość cieczy.

8.3. Po powierzchni morza pływa góra lodowa. Jej część o objętości 31 m350V znajduje się nad

powierzchnią wody. Jaka jest objętość V całej góry lodowej, jeżeli jej gęstość 3kg/m900l ,

natomiast gęstość wody morskiej 3kg/m1025w ?

8.4. Zawieszony na drucie kawałek szkła o masie g150m i gęstości 31 g/cm5,2 jest całkowicie

zanurzony w kwasie siarkowym o gęstości 32 g/cm8,1 . Obliczyć naprężenie N drutu.

8.5. Wydrążona kula, zrobiona z materiału o gęstości 1 , pływa po powierzchni cieczy o gęstości 2 .

Promień kuli wynosi R , a promień wydrążenia r . Jaka powinna być gęstość ciała , którym

należałoby całkowicie wypełnić wydrążenie, aby kula pływała w cieczy całkowicie zanurzona?

8.6. Ciało zawieszone na haczyku dynamometru zanurzono w wodzie. Odczytany ciężar był o 30%

mniejszy od ciężaru ciała w powietrzu. Obliczyć gęstość ciała. Gęstość wody 3kg/m1000 . Wypór

powietrza pominąć.

8.7. Kawałek metalu jest zawieszony na sprężynie. Gdy metal zanurzono w wodzie, długość sprężyny

uległa skróceniu o cm2,21 l . Po zanurzeniu metalu w cieczy o nieznanej gęstości, długość

sprężyny uległa skróceniu o cm8,12 l . Obliczyć nieznaną gęstość cieczy. Gęstość wody

3kg/m1000 .

8.8. Ciało zawieszono na sprężynowej wadze. Po zanurzeniu ciała w wodzie waga wskazała wartość

N18wQ . Gdy to samo ciało zanurzono w nafcie, waga wskazała wartość N19nQ . Jaka jest

objętość V ciała, jeżeli gęstość nafty 3kg/m800n , a gęstość wody 3kg/m1000w ?

8.9. Odważnik waży w powietrzu N4,0P , w wodzie N35,0Q , a w oliwie N36,0R . Obliczyć

ciężary właściwe odważnika i oliwy. Ciężar właściwy wody 3G/cm1w .

8.10. W cylindrycznym naczyniu o promieniu podstawy r znajduje się ciecz. Do jakiej wysokości h

od dna naczynie powinno być wypełnione cieczą, aby jej parcie na dno naczynia było takie same, jak

całkowite parcie na walcowatą - boczną ściankę naczynia?

8.11. Do lewego ramienia rurki w kształcie litery U nalano rtęci o gęstości 3g/cm13,6r , a

następnie nafty o gęstości 3g/cm0,8n na wysokość cm15nh ponad poziom rtęci. Jaka powinna

być wysokość wh słupa wody o gęstości 3g/cm1w , którą trzeba dolać do prawego ramienia rurki,

aby jej górny poziom był o cm10 wyższy od górnego poziomu nafty w lewym ramieniu rurki?

8.12. Ciało w kształcie sześcianu o krawędzi m5.0a znajduje się w wodzie. Jaką pracę L należy

wykonać, aby unieść to ciało powoli, ruchem jednostajnym, pionowo ku górze na odległość m3s ?

Gęstość ciała 3kg/m1250c , a gęstość wody 3kg/m1000w .

8.13. Balon o pojemności 7V litrów napełniono wodorem o gęstości 3kg/m09,0w . Masa

powłoki balonu wynosi g75m . Z jakim przyspieszeniem balon zacznie wznosić się w powietrzu o

gęstości 3kg/m17,1p ?

8.14. Korkowa tratwa ratunkowa ma masę kg30m . Jakim maksymalnym ciężarem można obciążyć

tratwę, aby nie uległa w wodzie całkowitemu zanurzeniu? Gęstość korka i wody odpowiednio

wynoszą 3kg/m250k i 3kg/m1025w .

8.15. Złoty łańcuch, z przypuszczalną domieszką srebra, waży w powietrzu G481 Q , a w wodzie

G452 Q . Jaki jest skład tego „złota”, jeżeli wiadomo, że ciężar właściwy czystego złota

31 G/cm19 , a srebra 3

2 G/cm5,10 ? Gęstość wody 3kg/m1000 .

8.16. Rurkowaty areometr o masie g80m i średnicy cm8,1d zanurza się w cieczy o gęstości

31 g/cm2,1 do pewnej kreski na podziałce. Jaka jest gęstość innej cieczy, jeżeli ten sam areometr

zanurzył się w niej o cm0,2 głębiej?

8.17. Z głębokości cm70h poniżej powierzchni wody zwolniono drewnianą kulkę o gęstości

3kg/m650d . Na jaką wysokość y ponad poziom wody wyskoczy kulka? Siły tarcia pominąć.

Gęstość wody 3kg/m1000 .

8.18. Do wody, z wysokości cm70h od jej powierzchni, spada swobodnie drewniana kulkę o

gęstości 3kg/m650d . Obliczyć głębokość, na jaką zanurzy się kulka. Siły tarcia pominąć.

Gęstość wody 3kg/m1000 .

8.19. Jaką masę M można podnieść obciążając masą m tłok urządzenia hydraulicznego

przedstawionego na rysunku? Powierzchnie tłoków, na których spoczywają masy M i m wynoszą

odpowiednio S i s .

8.20. W prasie hydraulicznej średnica tłoka wynosi cm6,1d , średnica prasy cm32D , ramię siły

cm60k , ramię tłoka cm10l . Jaka jest siła Q wywierana przez prasę, jeżeli obsługuje ją

robotnik, działający siłą kG12P ? Czy wytworzone ciśnienie wystarczy do rozgniecenia kostki

cementowej o krawędzi cm6a i wytrzymałości na zgniecenie 2kG/cm600F ?

8.21. Jakie będzie wskazanie czułej wagi, gdy umieścimy na niej kg 1m żelaza o gęstości

3kg/m 7800ż , a jakie, gdy na wadze umieścimy kg 1m styropianu o gęstości 3kg/m 25s ?

Gęstość powietrza 3kg/m 185,1p .

8.22. W 1654 roku Otto von Guericke wykazał w doświadczeniu przeprowadzonym w Magdeburgu

istnienie ciśnienia atmosferycznego. Zetknął ze sobą dwie, szczelnie dopasowane, mosiężne półkule o

promieniu cm 40r każda i odpompował spomiędzy nich powietrze. Następnie dwa zaprzęgi, każdy

po osiem koni, ciągnąc za półkule w przeciwne strony, nie były w stanie ich rozerwać. Obliczyć siłę

niezbędną do rozerwania półkul magdeburskich.

mM

s S

8.23. Jaka jest masa powietrza nad powierzchnią 2m 1S Ziemi, gdy wywierane przez nie ciśnienie

jest równe ciśnieniu normalnemu? Jaka jest całkowita masa atmosfery ziemskiej? Średnie ciśnienie

atmosferyczne przy powierzchni Ziemi hPa1013p . Promień Ziemi km6370ZR .

8.24. W rurze poziomej o średnicy cm51 d płynie woda z prędkością cm/s401 v przy ciśnieniu

21 kG/cm2p . W dalszej części rura jest węższa i panuje w niej ciśnienie 2

2 kG/cm8,1p . Jaka jest

prędkość 2v wody w wąskiej części rury i jaka jest jej średnica? Gęstość wody 3kg/m1000 .

8.25. Do tłoka ustawionej poziomo strzykawki o średnicy cm5,11 d , przyłożona jest siła N3F .

Średnica igły wynosi mm3,02 d . Z jaką prędkością będzie wypływała woda ze strzykawki?

Rozważyć także przypadek, gdy strzykawka ustawiona jest igłą pionowo do góry, a sumaryczna

wysokość słupa wody w strzykawce i w igle wynosi cm9h .

8.26. Woda jest doprowadzana do piwnicy budynku rurą o średnicy cm5D pod ciśnieniem 2p

barów. Prędkość przepływającej w rurze wody wynosi m/s1v . Obliczyć prędkość oraz ciśnienie

wody na drugiej kondygnacji budynku, do której woda doprowadzana jest poziomą rurą o średnicy

cm1,9d wyprowadzoną na wysokość m8h ponad rurę doprowadzającą wodę do budynku.

8.27. Struga wody wypływająca pionowo z kranu zwęża się ku dołowi. Poprzeczne pola przekrojów

strugi odległe od siebie o cm35y wynoszą 21 cm5,1S i 2

2 cm5,0S . Jaka objętość wody

wypływa z kranu w czasie 1 sekundy?

8.28. W dnie szerokiego zbiornika z wodą powstał niewielki otwór. Jaka jest prędkość wody

wypływającej z tego otworu, jeżeli poziom wody w zbiorniku ma wysokość m3H , a obniżanie się

tego poziomu jest zaniedbywanie małe? Rozważyć także przypadek, gdy otwór jest na tyle duży, że

obniżanie się poziomu wody w zbiorniku jest zauważalne i wynosi cm/s5v0 .

8.29. Do zbiornika nalewana jest woda w ilości litrów/s15V . Jaka powinna być maksymalna

średnica otworu d w dnie naczynia, aby poziom wody nie obniżył się poniżej poziomu m3h ?

8.30. Wiadro wypełnione do wysokości cm50h wodą zawieszone jest na sprężynie i wykonuje

drgania harmoniczne o okresie s4T i amplitudzie cm300 A . W dnie wiadra znajduje się mały

otwór, przez który wycieka woda. Jaka jest największa i najmniejsza prędkość wyciekającej z wiadra

wody?

8.31. W zbiorniku z wodą o wysokości słupa cieczy m5,1H powstał niewielki otwór w odległości

cm50h od powierzchni wody. Obliczyć prędkość wypływającej wody oraz liczoną u podstawy

zbiornika odległość x , na którą doleci woda.

8.32. W zbiorniku napełnionym wodą do wysokości m1,5H powstały dwa otworki, z których jeden

znajduje się cm50h poniżej poziomu wody, a drugi w tej samej odległości cm50h od dna

zbiornika. Jaki jest stosunek prędkości wypływającej cieczy w otworze górnym do prędkości cieczy

wypływającej z dolnego otworu? Poziom cieczy jest utrzymywany na tej samej wysokości.

h

x

H

8.33. W poziomej rurze płynie ciecz. Różnica poziomów tej cieczy w rurkach A i B wynosi

cm8h . Średnice obydwu rurek są takie same. Jaka jest prędkość v przepływu cieczy w rurze?

8.34. Rysunek przedstawia schemat metody grawitacyjnego opróżniania zbiornika z cieczą przy

pomocy odpowiednio wygiętej rurki lub wężyka. Zasysając jednorazowo ciecz przez dolny koniec

rurki tak, by rurka wypełniła się cieczą, można zapoczątkować proces dalszego – samoistnego już

opróżniania się zbiornika. Wyjaśnić fizyczną istotę tego procesu. Wykorzystując równanie

Bernoulliego, obliczyć maksymalną wysokość 1h wzniesienia rurki nad poziom cieczy, poniżej której

proces opróżniania zbiornika będzie możliwy. Jaka będzie prędkość wypływającej z rurki cieczy? W

obliczeniach przyjąć, że powierzchnia cieczy w zbiorniku jest tak duża, a średnica rurki tak mała, że

poziom cieczy w zbiorniku obniża się bardzo powoli. Gęstość cieczy wynosi , a przyspieszenie

ziemskie g .

8.35. Jaką średnicę ma kulka, która spada w wodzie o współczynniku lepkości P02,0 , jeżeli

gęstość kulki 3kg/m1200 , a prędkość kulki m/s12,0v ? Gęstość wody 3kg/m1000 .

8.36. Jaką maksymalną prędkość osiąga kropla deszczu o średnicy mm1d , jeśli współczynnik

lepkości dynamicznej powietrza sPa10 5 ? Gęstość wody 3kg/m1000 .

A

B

h

v

1h

d

2h