POLITECHNIKA KRAKOWSKA im. Tadeusza Kościuszki

KRZYSZTOF WOJCIECH KSIĄśYŃSKI

HYDRAULIKA

ZESTAWIENIE POJĘĆ I WZORÓW STOSOWANYCH W BUDOWNICTWIE

PODRĘCZNIK DLA STUDENTÓW WYśSZYCH SZKÓŁ TECHNICZNYCH

Wydanie drugie poprawione i uzupełnione

Kraków 2008

3

SPIS TREŚCI

1. WPROWADZENIE .......................................................................................................... 7 1.1. Słowo wstępne ..................................................................................................... 7 1.2. Wykaz oznaczeń .................................................................................................. 9 1.3. Oznaczenia pomocnicze .................................................................................... 11

2. HYDROSTATYKA ........................................................................................................ 12 2.1. Ciśnienie ............................................................................................................ 12

2.1.1. Pojęcie ciśnienia ................................................................................. 12 2.1.2. Prawo Eulera ...................................................................................... 12 2.1.3. Prawo Pascala ..................................................................................... 12 2.1.4. Hydrostatyczny rozkład ciśnienia ....................................................... 13 2.1.5. Ciśnienie względne i bezwzględne ..................................................... 13 2.1.6. Wysokość ciśnienia ............................................................................ 14 2.1.7. Obliczanie ciśnień w naczyniach połączonych ................................... 14 2.1.8. Przenoszenie ciśnienia zewnętrznego do wnętrza cieczy ................... 15 2.1.9. PrzełoŜenie prasy hydraulicznej ......................................................... 16

2.2. Parcie hydrostatyczne na powierzchnie płaskie ................................................. 18 2.2.1. Parcie hydrostatyczne ......................................................................... 18 2.2.2. Wykres przestrzennego rozkładu parcia ............................................. 19 2.2.3. Bryła parcia ........................................................................................ 19 2.2.4. Środek parcia ...................................................................................... 20 2.2.5. Równowaga sił z udziałem parcia ...................................................... 22 2.2.6. Rozkład parcia na składowe ortogonalne ........................................... 23

2.3. Parcie na ściany krzywoliniowe ........................................................................ 24 2.3.1. Składowe ortogonalne parcia na ściany krzywoliniowe ..................... 24 2.3.2. Bryła parcia poziomego...................................................................... 24 2.3.3. Bryła parcia pionowego ...................................................................... 25 2.3.4. Wyznaczanie parcia elementarne powierzchnie krzywoliniowe ......... 25 2.3.5. Kierunek działania wypadkowej parcia na ściany w kształcie

powierzchni obrotowych .................................................................... 26 2.3.6. Wyznaczanie parcia na złoŜone powierzchnie krzywoliniowe ........... 27

2.4. Pływanie ciał ..................................................................................................... 29 2.4.1. Prawo Archimedesa ............................................................................ 29 2.4.2. Równowaga ciał pływających ............................................................ 29 2.4.3. Podstawowe pojęcia teorii pływania .................................................. 30 2.4.4. Stateczność ciał całkowicie zanurzonych w cieczy ............................ 31 2.4.5. Stateczność ciała pływającego po powierzchni cieczy ....................... 32 2.4.6. Wyznaczanie wysokości metacentrycznej .......................................... 34

3. HYDRODYNAMIKA ..................................................................................................... 36 3.1. Opis ruchu płynu ............................................................................................... 36

3.1.1. Ciągłość płynu .................................................................................... 36 3.1.2. Prędkość lokalna ................................................................................ 36

4

3.1.3. NatęŜenie przepływu płynu ................................................................ 37 3.1.4. Prędkość średnia ................................................................................ 37

3.2. Klasyfikacja przepływów .................................................................................. 38 3.2.1. Kinematyczna klasyfikacja ruchu ....................................................... 38 3.2.2. Lepkość .............................................................................................. 39 3.2.3. ReŜimy przepływu według kryterium Reynoldsa ............................... 39 3.2.4. ReŜimy przepływu według kryterium Froude’a ................................. 41

3.3. Ciągłość przepływu ........................................................................................... 42 3.3.1. Ogólne równanie ciągłości przepływu cieczy .................................... 42 3.3.2. Ciągłość przepływu dla strumienia..................................................... 42

3.4. Równanie Bernoulliego ..................................................................................... 43 3.4.1. Wysokość energii ............................................................................... 43 3.4.2. Postać równania dla cieczy rzeczywistej ............................................ 43 3.4.3. Współczynnik Saint-Venanta ............................................................. 44

4. HYDRAULIKA RUROCIĄGÓW .................................................................................. 46 4.1. Definicje ............................................................................................................ 46

4.1.1. Przepływ pod ciśnieniem ................................................................... 46 4.1.2. Podział rurociągów ze względu na wielkość ciśnienia ....................... 46 4.1.3. Podział rurociągów ze względu na rodzaj połączeń ........................... 47

4.2. Podstawy obliczeń strat energii W rurociągach ................................................ 48 4.2.1. Rodzaje strat ...................................................................................... 48 4.2.2. Straty lokalne ..................................................................................... 49 4.2.3. Straty na długości ............................................................................... 51 4.2.4. Obliczanie strat na długości ze wzoru Manninga ............................... 52 4.2.5. Podział rurociągów ze względu na wielkość strat .............................. 53

4.3. Linie ciśnień i energii w rurociągach ................................................................ 54 4.3.1. Linia energii ....................................................................................... 54 4.3.2. Linia ciśnień ....................................................................................... 54 4.3.3. Konstrukcja wykresu linii ciśnień i energii ........................................ 55

4.4. Rozwiązywanie zadań z hydrauliki rurociągów szeregowych .......................... 56 4.4.1. Prędkość ekonomiczna ....................................................................... 56 4.4.2. Typy zadań z rurociągów ................................................................... 57 4.4.3. Obliczanie wysokości energii zasilania rurociągu .............................. 57 4.4.4. Obliczanie wydatku rurociągu ............................................................ 58 4.4.5. Projektowanie średnicy rurociągu ...................................................... 59 4.4.6. Obliczanie lewara ............................................................................... 61

4.5. Podstawy rozwiązywania sieci rurociągów ....................................................... 62 4.5.1. Elementy sieci .................................................................................... 62 4.5.2. Równania podstawowe ....................................................................... 62 4.5.3. Obliczanie strat w rurociągu wydatkującym po drodze ...................... 63 4.5.4. Projektowanie rurociągu magistralnego ............................................. 64 4.5.5. Obliczanie sieci otwartych ................................................................. 66 4.5.6. Obliczanie rurociągów równoległych ................................................. 68

5

5. RUCH W KORYTACH OTWARTYCH ........................................................................ 71 5.1. Geometria koryt otwartych ................................................................................ 71

5.1.1. Przekrój poprzeczny koryta cieku ...................................................... 71 5.1.2. Profil podłuŜny koryta ........................................................................ 72

5.2. Straty energii w cieku ........................................................................................ 73 5.2.1. Straty na długości cieku ...................................................................... 73 5.2.2. Straty lokalne w korycie cieku ........................................................... 75

5.3. Ruch jednostajny w korytach otwartych ............................................................ 75 5.3.1. Głębokość i prędkość normalna ......................................................... 75 5.3.2. Obliczanie przepływu w korytach wielodzielnych ............................. 76 5.3.3. Rozwiązywanie zadań ........................................................................ 77 5.3.4. Obliczanie przepływu w kolektorach ................................................. 78

5.4. ReŜimy ruchu w korytach otwartych ................................................................. 81 5.4.1. Definicja głębokości krytycznej ......................................................... 81 5.4.2. Wzór na głębokość krytyczną w korycie prostokątnym ..................... 82 5.4.3. Wzór na głębokość krytyczną w korycie dowolnym .......................... 82 5.4.4. Prędkość i spadek krytyczny .............................................................. 83

5.5. Ruch niejednostajny w korycie otwartym .......................................................... 83 5.5.1. Warunki występowania ...................................................................... 83 5.5.2. Metoda od przekroju do przekroju ..................................................... 84 5.5.3. Obliczanie zasięgu cofki..................................................................... 85 5.5.4. Metody uproszczone .......................................................................... 86

6. HYDRAULIKA BUDOWLI WODNYCH ..................................................................... 87 6.1. Wypływ przez upusty ........................................................................................ 87

6.1.1. Rodzaje upustów ................................................................................ 87 6.1.2. Rodzaje wypływu przez upusty .......................................................... 88 6.1.3. Typy wypływu przez otwory .............................................................. 89 6.1.4. Typy wypływu przez przelewy ........................................................... 90 6.1.5. Kontrakcja strumienia ........................................................................ 90 6.1.6. Prędkość wypływu .............................................................................. 92 6.1.7. Współczynnik wydatku ...................................................................... 93

6.2. Wypływ przez otwory ....................................................................................... 93 6.2.1. Wypływ przez mały otwór niezatopiony ............................................ 93 6.2.2. Wypływ przez otwór zatopiony i podtopiony ..................................... 94 6.2.3. Wypływ przez przystawkę .................................................................. 94 6.2.4. Wypływ przez duŜy otwór .................................................................. 95

6.3. Przelewy ............................................................................................................ 96 6.3.1. Wydatek przelewu swobodnego ......................................................... 96 6.3.2. Współczynnik przelewu ..................................................................... 97 6.3.3. Wpływ wody dolnej na wydatek przelewu ......................................... 98 6.3.4. Przelewy o ostrej krawędzi ................................................................. 98 6.3.5. Przelewy o kształcie praktycznym .................................................... 100 6.3.6. Współczynnik kontrakcji bocznej .................................................... 100

6

6.3.7. Przelew o szerokiej koronie ............................................................. 101 6.4. Obliczanie światła mostów .............................................................................. 102

6.4.1. ZałoŜenia upraszczające ................................................................... 102 6.4.2. ReŜimy ruchu ................................................................................... 103 6.4.3. Prędkość krytyczna .......................................................................... 103 6.4.4. Światło mostu przy reŜimie nadkrytycznym ..................................... 103 6.4.5. Światło mostu przy reŜimie krytycznym .......................................... 104 6.4.6. Spiętrzenie przed mostem przy reŜimie krytycznym ........................ 104

6.5. Hydrauliczne sprzęŜenie stanowisk ................................................................. 105 6.5.1. Pojęcie sprzęŜenia hydraulicznego ................................................... 105 6.5.2. SprzęŜenie stanowisk budowli wodnej ............................................. 105 6.5.3. Odskok hydrauliczny ........................................................................ 106 6.5.4. SprzęŜenie głębokości w odskoku .................................................... 107 6.5.5. Zatopienie odskoku .......................................................................... 107

7. FILTRACJA .................................................................................................................. 109 7.1. Ruch w ośrodku porowatym ............................................................................ 109

7.1.1. Porowatość ośrodka ......................................................................... 109 7.1.2. ReŜimy ruchu w ośrodku porowatym ............................................... 109 7.1.3. Ciągłość ośrodka .............................................................................. 110 7.1.4. Prędkość filtracji .............................................................................. 110

7.2. Prawo Darcy’ego ............................................................................................. 110 7.2.1. Opory ruchu ..................................................................................... 110 7.2.2. Zakres stosowalności prawa Darcy’ego ........................................... 111

7.3. Współczynnik filtracji ..................................................................................... 112 7.3.1. Wartości współczynnika filtracji ...................................................... 112 7.3.2. Przestrzenne zróŜnicowanie współczynnika filtracji ........................ 113 7.3.3. Wyznaczanie współczynnika wodoprzepuszczalności ..................... 113

7.4. Przepływ w warstwie wodonośnej................................................................... 113 7.4.1. Warstwa wodonośna ........................................................................ 113 7.4.2. Strefy nasycenia ............................................................................... 114 7.4.3. Równanie ciągłości przepływu ......................................................... 115 7.4.4. Ruch liniowy .................................................................................... 116 7.4.5. Ruch osiowosymetryczny ................................................................. 118

8. LITERATURA .............................................................................................................. 121 8.1. Literatura źródłowa ......................................................................................... 121 8.2. Normy ............................................................................................................. 122

7

1. WPROWADZENIE

1.1. SŁOWO WSTĘPNE

Niniejszy podręcznik ma w załoŜeniu charakter kompendium przydatnego

podczas przeprowadzania podstawowych obliczeń hydraulicznych. Podano w nim wzory mające zastosowanie praktyczne. Wyprowadzenia zostały na ogół pominięte, powoływano się jedynie na prawa fizyki, z których wzory te wynikają. Równocześnie podano typowe wartości i zakresy parametrów, umoŜliwiając w ten sposób proste obliczenia bez uŜycia tablic. Zastosowany został ujednolicony system oznaczeń oparty na symbolice powszechnie przyjętej w hydromechanice. Wraz z definicjami pojęć stanowi on kontekst niezbędny do prawidłowego stosowania wzorów.

Sformułowania poszczególnych definicji zostały szczegółowo przedys-

kutowane i przetestowane pod względem logicznym w gronie pracowników naukowych Zakładu Hydrauliki. Tekst został przejrzany pod względem merytorycznym przez prof. E. Nachlik, a rozdział drugi dokładnie poprawiony przez prof. A. Prystaja. Jemu teŜ naleŜy przypisać w wielu przypadkach pewne uproszczenia i poprawki wpływające na lepszą zrozumiałość tekstu.

Podręcznik przeznaczony jest dla studentów i inŜynierów budownictwa.

Studenci mogą go wykorzystać jako podręcznik z podstaw hydromechaniki (przedmioty: Mechanika płynów na wydziałach inŜynierii środowiska i Hydraulika i hydrologia na wydziałach inŜynierii lądowej). MoŜe teŜ słuŜyć jako poradnik i przewodnik po hydraulice wykorzystywany w praktyce zawodowej. Jego uzupełnieniem są Tablice do obliczeń hydraulicznych (rozdział 8.1) zawierające pełny zestaw parametrów występujących w prezentowanych wzorach.

W pracy przedstawione zostały tylko najwaŜniejsze dla budownictwa działy

hydrauliki i wybrane praktyczne metody obliczeń. Ze względu na poradnikowy charakter podręcznika w niektórych miejscach cytowane są terminy, które zostaną wyjaśnione dopiero w dalszym toku wywodu, kaŜdorazowo jednak zaopatrzono je w odnośniki do odpowiednich rozdziałów. Sposób prezentacji materiału, szczegółowa numeracja rozdziałów, graficzne wyróŜnienie definicji, wzorów i ich

8

waŜnych następstw oraz szczegółowe rysunki poglądowe mają na celu ułatwienie wyszukiwania poszczególnych zagadnień.

Omawiane w podręczniku metody obliczeń naleŜą do dwóch działów hydromechaniki (mechaniki cieczy) – hydrostatyki i hydrauliki. Hydrostatyka opisuje ciecz w spoczynku, natomiast hydraulika stanowi jedno z moŜliwych ujęć dynamiki cieczy. MoŜna je zdefiniować następująco:

H y d r a u l i k a jest to dział hydromechaniki (dziedziny fizyki) zajmujący się opisem ruchu cieczy uproszczonym do jednego wymiaru przestrzennego.

Ze względu na prostotę stosowanych wzorów hydrauliczny opis zjawisk hydrodynamicznych jest powszechnie stosowany w obliczeniach inŜynierskich.

9

1.2. WYKAZ OZNACZE

a – przyspieszenie [m/s2], A – pole powierzchni [m2], b – szeroko, szeroko (wiatło) otworu [m], B – szeroko strumienia na poziomie zwierciadła wody [m], c – wysoko cianki przelewu [m], C – stała, d – rednica, rednica rurocigu [m]; D – moment dewiacji (odrodkowy) powierzchni [m4], e – wysoko podniesienia zasuwy (wysoko otworu) [m], E – energia [J], f – współczynnik tarcia [-], F – siła [N], g – przyspieszenie ziemskie, g = 9.81 [m/s2], G – ciar [N], h – głboko, napełnienie [m], H – rzdna zwierciadła wody [m n.p.m.],

wysoko [m], wysoko hydrauliczna [m], i – liczba naturalna porzdkujca (stosowana jako indeks), j – liczba naturalna porzdkujca (stosowana jako indeks), J – moment bezwładnoci powierzchni [m4], k – współczynnik filtracji [m/s], K – moduł przepływu [m3/s], l – długo [m], L – praca [J], m – masa [kg], miszo warstwy [m], M – moment statyczny powierzchni [m3], moment siły [N⋅m], n – współczynnik szorstkoci według Manninga [s/m1/3],

współczynnik porowatoci [-], N – moc [W], O – rodek obrotu lub krzywizny, p – cinienie [Pa], P – siła parcia, obcienie [N], q – przepływ liczony na jednostk szerokoci strumienia [m2/s], Q – natenie przepływu [m3/s], r – współrzdna walcowa (odległo)[m], R – promie łuku [m], s – długo drogi krzywoliniowej [m],

10

s – długość drogi krzywoliniowej [m], S – spadek podłuŜny [-], S – środek geometryczny, t – czas [s], T – temperatura [K], u – pęd [kg m/s], U – obwód zwilŜony [m], v – prędkość [m/s], V – objętość [m3], w – moduł prędkości, intensywność infiltracji [m/s], W – siła wyporu [N], x – współrzędna (kartezjańska) wzdłuŜ kierunku ruchu (główna) [m], y – współrzędna poprzeczna do kierunku ruchu [m], z – współrzędna pionowa (rzędna) [m, m n.p.m.], Z – spiętrzenie wody [m], α – (alfa) współczynnik Saint-Venanta [-], β – (beta) współczynnik pędu [-], γ – (gama) cięŜar właściwy [N/m3], Γ – (gama) granica obszaru, δ – (delta) błąd względny [-], ∆ – (delta) róŜnica, błąd bezwzględny, ε – (epsilon) współczynnik kontrakcji [-], odchylenie dopuszczalne, ζ – (dzeta) współczynnik straty (lokalnej) [-], η – (eta) dynamiczny współczynnik lepkości [Pa⋅s],

współrzędna środka parcia [m], ϑ – (theta) wilgotność względna [-], θ – (theta) kąt [rad], κ – (kappa) przepuszczalność gruntu [m2], λ – (lambda) współczynnik tarcia w rurociągu [-], Λ – (lambda) oporność hydrauliczna, µ – (mi) współczynnik wydatku [-], ν – (ni) kinematyczny współczynnik lepkości [m2/s], ξ – (ksi) współrzędna środka parcia (pozioma) [m], Ξ – (ksi) środek parcia, π – (pi) stała geometryczna (ludolfina) = 3.14159, ρ – (ro) gęstość [kg/m3], σ – (sigma) napręŜenie normalne [Pa],

11

Σ – (sigma) suma, szereg, τ – (tau) napręŜenie styczne [Pa], ϕ – (fi) współczynnik prędkości [-], Φ – (fi) potencjał, χ – (chi) obwód [m], ψ – (psi) przyspieszenie kątowe [rad/s2], Ψ – (psi) funkcja prądu, ω – (omega) prędkość kątowa [rad/s], Ω – (omega) obszar, dziedzina.

1.3. OZNACZENIA POMOCNICZE (przykładowo dla prędkości) v – wektor prędkości, v – prędkość średnia, vo – prędkość początkowa, v – wartość prędkości, vh – prędkość pozioma, vv – prędkość pionowa, vx – składowa prędkości w kierunku x, vy – składowa prędkości w kierunku y, vz – składowa prędkości w kierunku z.

12

2. HYDROSTATYKA

2.1. CIŚNIENIE

2.1.1. Pojęcie ciśnienia

W warunkach statycznych (brak ruchu) ciecz moŜe oddziaływać na powierzchnię jedynie siłą prostopadłą, wywołując napręŜenie normalne (prostopadłe do powierzchni), czyli ciśnienie.

C i ś n i e n i e jest to siła nacisku (F) przypadająca na jednostkę powierzchni (A).

Ciśnienie w punkcie definiuje się jako:

Pa] m / [N 2 ==AF

pdd

.

N o r m a l n e c iś n i e n i e a t m o s f e r y c z n e (pa) jest to przeciętne ciśnienie powietrza na poziomie morza: 1 [atm (atmosfera fizyczna)] = 1013.25 [hPa] = = 101 325 [N/m2] ≅ 0.1 [Mpa].

2.1.2. Prawo Eulera

Wartość ciśnienia jest niezaleŜna od orientacji przestrzennej powierzchni, na którą ono działa.

Oznacza to, Ŝe ciśnienie jest skalarem, a więc w jednym punkcie moŜe istnieć tylko jedna wartość ciśnienia.

2.1.3. Prawo Pascala

Ciśnienie wewnątrz cieczy (p) pozostającej wyłącznie pod działaniem sił powierzchniowych jest równe ciśnieniu (po) działającemu na jej powierzchnię:

p = po .

Prawo to dotyczy sytuacji, gdy moŜna pominąć siły masowe, np. w przypadku gazów (małe gęstości) lub w siłownikach hydraulicznych (wysokie ciśnienia).

13

2.1.4. Hydrostatyczny rozkład ciśnienia

H y d r o s t a t y c z n y r o z k ł a d c iś n i e n i a jest to przestrzenny rozkład ciśnienia wewnątrz nieruchomej cieczy w jednorodnym polu grawitacyjnym:

p = po + γ h,

gdzie: po = p(h=0) – ciśnienie zewnętrzne, γ = ρ g – cięŜar właściwy cieczy, h – zagłębienie punktu pod powierzchnią cieczy.

C i ę Ŝ a r w ł aś c i w y w o d y : γw = 1 [t/m3, kg/l, g/cm3] ⋅ 9.81 [m/s2] = = 9810 [N/m3] = 9.81 [kN/m3].

2.1.5. Ciśnienie względne i bezwzględne

Ciśnienie hydrostatyczne cieczy pojawia się tylko przy istnieniu zewnętrznego ciśnienia gazu na powierzchnię cieczy (inaczej ciecz wyparuje). Tym zewnętrznym ciśnieniem jest zwykle ciśnienie atmosferyczne (pa). Przy wyznaczaniu obciąŜeń hydraulicznych naleŜy równieŜ uwzględnić jego działanie na ściany zbiorników. W efekcie kaŜda ściana jest obciąŜona ciśnieniem wypadkowym (p, rys. 1).

h

p

pa

paγ h

p

pa

p’

γ h

ciśnieniebezwzględne

ciśnieniezewnętrzne ciśnienie

względne

h

Rys. 1

Znaczna wartość ciśnienia atmosferycznego w porównaniu ze skalą ciśnień spotykanych na co dzień powoduje, Ŝe wygodniej jest się posługiwać ciśnieniami względnymi, tzn. liczonymi względem ciśnienia atmosferycznego:

14

p’ = γ h ,

np. ciśnienie słupa wody o wysokości 1 [m] wynosi: – bezwzględne: p = pa + γ h = 1 013 [hPa] + 98.1 [hPa] = 1 112 [hPa]

( ≡ 1.0968 [atm]), – względne: p’ = γ h = 98.1 [hPa] (≡ 0.0968 [atm]). U w a g a : w następnych rozdziałach ciśnienia są podawane jako względne juŜ bez dodatkowego oznaczenia.

2.1.6. Wysokość ciśnienia

W y s o k oś ć c i ś n i e n i a jest miarą ciśnienia, wyraŜaną wysokością słupa cieczy wywołującego u swej podstawy równe co do wartości ciśnienie hydrostatyczne:

h = p / γ .

Na ogół podaje się wysokość słupa wody (ciecz najczęściej spotykana) lub rtęci (najcięŜsza). Ten sposób podawania wartości ciśnienia ułatwia obliczenia hydrauliczne, gdyŜ nie wymaga przeliczania masy na cięŜar.

Wysokość ciśnienia atmosferycznego:

– słup wody: p / γw = 101 325 [N/m2] / 9 810 [N/m3] = 10.329 [m] ≅ 10 [m], – słup rtęci: p / γHg = 101 325 [N/m2] / 133 400 [N/m3] = 0.7596 [m] ≅ 760 [mm],

ρHg = 13.6 [g/cm3].

2.1.7. Obliczanie ciśnień w naczyniach połączonych

Ciśnienie w naczyniach połączonych oblicza się na podstawie następujących przesłanek: – Rozkład ciśnienia w kaŜdej cieczy jest hydrostatyczny, tj. p = po + γi hi ,

gdzie: po - ciśnienie na górnej powierzchni cieczy o cięŜarze właściwym γi ; – W danej cieczy na tej samej wysokości panuje to samo ciśnienie, co pozwala

ustalić ciśnienie w róŜnych punktach naczynia, jeśli są one połoŜone w jednospójnym obszarze wypełnionym tą samą cieczą;

– Na granicy rozdziału ciśnienie kaŜdej z dwu cieczy jest jednakowe, a więc ciśnienie powierzchniowe (po) dla dolnej cieczy odpowiada ciśnieniu hydrostatycznemu górnej cieczy.

Na tej podstawie moŜna obliczyć ciśnienie w dowolnym punkcie naczynia, np. w punkcie B (rys. 2). Kolejność obliczeń jest następująca:

15

γ1

γ2

h1h2

∆h

A A

B

Rys. 2

– obliczenie ciśnienia na podstawie połoŜenia zwierciadła w prawym ramieniu naczynia:

pB = γ2 (h2 + ∆h),

– obliczenie ciśnienia na podstawie połoŜenia powierzchni rozdziału (A–A) w lewym ramieniu naczynia:

pB = pA + γ2 ∆h,

– obliczenie ciśnienia w przekroju A–A na podstawie połoŜenia zwierciadła w lewym ramieniu naczynia:

pA = γ1 h1 .

Z porównania wartości wyliczonych dla róŜnych ramion i podstawienia wynika równanie:

pB = γ1 h1 + γ2 ∆h = γ2 (h2 + ∆h), czyli:

γ2 h2 = γ1 h1 ,

które jest podstawą rozwiązywania zadań z naczyń połączonych.

2.1.8. Przenoszenie ciśnienia zewnętrznego do wnętrza cieczy

Ciśnienie pB na powierzchni tłoka spręŜającego ciecz w cylindrze (rys. 3) odpowiada ciśnieniu na głębokości hP = pB / γ pod powierzchnią swobodnego zwierciadła cieczy. Takie rozumowanie pozwala wyznaczyć połoŜenie tzw.

16

z w i e r c i a d ł a p i e z o m e t r y c z n e g o , czyli p o z o r n e g o z w i e rc i a d ł a cieczy (porównaj rozdział 4.3.2).

C

F

γ

hP

h

B

A

h

p

pB

pC

pB γ h

Rys. 3

Ciśnienie poniŜej tłoka oblicza się z zaleŜności (rys. 3):

pC = pB + γ h, pB = F / A,

stąd:

pC = F / A + γ h .

2.1.9. PrzełoŜenie prasy hydraulicznej

Przy jednakowym poziomie obu tłoków prasy hydraulicznej (rys. 4) ciśnienie na ich dolnych powierzchniach jest jednakowe:

p = F1 / A1 , p = F2 / A2 .

Po podstawieniu wzorów na dolną powierzchnię cylindrycznych tłoków:

A = π d2/4 otrzymuje się równanie:

21

22

1

22

21

12

22 4

4

4 d

dF

d

d

FdpF ===

ππ

π .

17

F2

γ

F1

d1

d2

Rys. 4

Zatem p r z e ł oŜ e n i e p r a s y h y d r a u l i c z n e j wynosi:

2

1

2

1

2

=

dd

FF

.

18

2.2. PARCIE HYDROSTATYCZNE NA POWIERZCHNIE PŁASKIE

2.2.1. Parcie hydrostatyczne

S

Ξ

P

γ

ξ

ηys

y

x

H xs

H

h

h

p/γ

Bryła parcia (aksonometria)

ηo

H

h

θ

z

• •

0

Ξ

SP

•

Rys. 5

Ciśnienie hydrostatyczne cieczy na ścianę stanowi obciąŜenie ciągłe, które moŜna, w przypadku obliczania reakcji działających na podpory ściany, zastąpić działaniem skupionej s i ł y p a r c i a o wartości:

P = ps A ,

gdzie ps – ciśnienie w środku geometrycznym S ściany o polu powierzchni A (rys. 5). Siła parcia P na ścianę płaską jest wektorem o kierunku prostopadłym do ściany i zwrocie od cieczy ku ścianie, zaczepionym w punkcie Ξ, noszącym nazwę ś r o d k a p a r c i a .

19

2.2.2. Wykres przestrzennego rozkładu parcia

Trójwymiarowy wykres rozkładu parcia (na powierzchnię ściany) stanowi graficzny obraz zaleŜności obciąŜenia ściany w danym jej punkcie od połoŜenia tego punktu: p = p(x,y) . Jest to zatem wykres podobny do wykresu ciśnienia, róŜniący się od tego ostatniego tylko wektorowym charakterem – ciśnienie to skalar, a parcie to siła, posiadająca kierunek i zwrot. Dwuwymiarowy wykres p = p(x,y) uzyskiwany jest poprzez wystawienie w kaŜdym punkcie powierzchni ściany, prostopadle do niej, wartości ciśnienia w tym punkcie. Zwykle dla uproszczenia, w szczególności dla ścian prostokątnych, tworzy się wykres jednowymiarowy p = p(y) , stanowiący pionowy przekrój wykresu przestrzennego. W praktyce wykresy parcia wykonuje się w przypadku obciąŜenia ściany zbiornika cieczami o róŜnych gęstościach (rys. 6) oraz przy wyznaczaniu napręŜeń w ścianie traktowanej jako powłoka. W innych przypadkach prostsze jest wykreślanie tzw. bryły parcia.

γ1

γ2

γ3

h1

h2

h3

P1

P2

P3

y

p

p1 = γ1 h1

p2 = p1 + γ2 h2

p3 = p2 + γ3 h3

0

γ3 > γ2 > γ1

Rys. 6

2.2.3. Bryła parcia

B r y ł a p a r c i a jest to taka bryła geometryczna, która po wypełnieniu cieczą wywołuje swoim cięŜarem takie obciąŜenie ściany jak parcie tej cieczy.

20

Zakłada się przy tym, Ŝe obciąŜenie działa prostopadle do ściany. Konstrukcja bryły parcia polega na wystawieniu w kaŜdym punkcie powierzchni ściany, prostopadle do niej, wysokości ciśnienia w tym punkcie (rys. 5).

Zastosowanie pojęcia bryły parcia pozwala wyznaczać siłę i środek parcia na podstawie geometrii tej bryły. Wartość siły parcia oblicza się wykorzystując objętość tej bryły:

P = γ V .

2.2.4. Środek parcia

Ś r o d e k p a r c i a jest to punkt na ścianie, w którym przyłoŜona jest wypadkowa siła parcia.

W y z n a c z a n i e ś r o d k a p a r c i a n a p o d s t a w i e b r y ł y p a r c i a .

Wektor parcia przechodzi przez środek geometryczny SP bryły parcia, przebijając ścianę w środku parcia Ξ . PołoŜenie środka parcia moŜna zatem określić wyznaczając środek geometryczny bryły parcia. W tym celu bryłę naleŜy podzielić na objętości elementarne, tzn. takie bryły, w których połoŜenie środka geometrycznego jest ogólnie znane (np. z tablic). Następnie wylicza się połoŜenie środka geometrycznego całej bryły parcia.

Dla ścian o stałej szerokości i wysokości bryła parcia przyjmuje kształt graniastosłupa o podstawie trapezowej, którego środek geometryczny znajduje się w połowie szerokości ściany nad środkiem geometrycznym trapezu. – Wyznaczanie połoŜenia środka geometrycznego trapezu (prostokąt i trójkąt są

jego szczególnym przypadkiem): – wyznaczanie graficzne:

a

b

h

a

b

SP

ys

Rys. 7

– wyznaczanie analityczne:

babah

ys ++= 2

3

21

– Wyznaczanie współrzędnej środka geometrycznego bryły złoŜonej:

V

Vyy ii

s∑= ,

gdzie: Vi, V – objętości składowych brył elementarnych i całej bryły, yi, , ys – współrzędne środków geometrycznych składowych brył

elementarnych i całej bryły.

A n a l i t y c z n e w y z n a c z a n i e w s p ó ł r zę d n y c h ś r o d k a p a r c i a

(ξ, η ; rys. 5):

– Odległość środka parcia η od zwierciadła mierzona po powierzchni ściany :

x

x

MJ

=η ,

gdzie: ∫=Ax AyJ d2 – moment bezwładności ściany względem krawędzi

zwierciadła cieczy x,

y = z / sin θ – współrzędna danego punktu ściany (odległość od krawędzi zwierciadła x),

Mx = A ys – moment statyczny powierzchni ściany względem krawędzi zwierciadła wody x.

Zastosowanie twierdzenia Steinera do wyznaczania momentu bezwładności podczas obliczania połoŜenia środka parcia prowadzi do wniosku, iŜ środek ten musi zawsze znajdować się poniŜej środka geometrycznego powierzchni:

sx

os

s

os

x

x yM

Jy

yA

JyA

MJ

>+=+

==2

η .

gdzie: Jo – moment bezwładności powierzchni ściany względem osi równoległej do x , przechodzącej przez jej środek geometryczny S.

Jedyny wyjątek stanowią ściany poziome, dla których środek parcia pokrywa się ze środkiem geometrycznym.

– Odległość ηο środka parcia od środka geometrycznego ściany mierzona po

powierzchni ściany :

22

x

o

MJ

=η .

– Pozioma współrzędna środka parcia ξ :

x

xy

M

D=ξ ,

gdzie: ∫=Axy AyxD d – moment dewiacji powierzchni ściany względem

krawędzi zwierciadła wody x i prostopadłej do niej osi y leŜącej na powierzchni ściany.

2.2.5. Równowaga sił z udziałem parcia

H h

ab

ξ

ηP G

γb

OF

+γw

SB

Rys. 8

Parcie cieczy stanowi jeden z rodzajów obciąŜeń budowli i konstrukcji wodnych, decydujący o ich stateczności. Budowla moŜe stracić stateczność na skutek przewrócenia się lub poślizgu po podłoŜu. ObciąŜenia budowli moŜna ogólnie podzielić na naruszające i podtrzymujące jej równowagę. Do podstawowych obciąŜeń naruszających równowagę naleŜy zazwyczaj parcie wody P, do podtrzymujących – cięŜar budowli G (rys. 8).

S t a t e c z n oś ć z e w z g lę d u n a p r z e w r ó c e n i e :

Działanie sił naruszających równowagę moŜe spowodować obrót wokół pewnej osi, której śladem na rysunku jest punkt O. NaleŜy zatem sprawdzić równowagę momentów sił względem O, przyjmując za dodatni np. moment przewracający:

MO = P ξ – G η .

23

Aby równowaga została zachowana, konieczne jest spełnienie warunku: MO ≤ 0 .

S t a t e c z n oś ć z e w z g lę d u n a p oś l i z g :

Działanie sił naruszających równowagę moŜe spowodować przesunięcie budowli po podłoŜu po pewnej płaszczyźnie, na której nastąpi przekroczenie dopuszczalnych napręŜeń ścinających. Poślizg budowli powstrzymywany jest przez siły tarcia o podłoŜe:

F = f G ,

które muszą zrównowaŜyć siły poziome (w tym przypadku parcie cieczy), gdzie f jest współczynnikiem tarcia budowli o podłoŜe:

F > P.

2.2.6. Rozkład parcia na składowe ortogonalne

P

Px

Py

Pz

θ2

θ1

Rys. 9

W przypadku ścian ukośnych dogodnie jest, ze względów obliczeniowych, wyznaczać wypadkową parcia P na podstawie jej składowych ortogonalnych Px, Py, Pz (rys. 9), tzn. pokrywających się z osiami układu współrzędnych kartezjańskich o pionowej osi z. Trzem składowym parcia odpowiadają trzy bryły parcia. W przypadku ścian płaskich układ współrzędnych dobiera się tak, by siła parcia miała tylko dwie składowe – poziomą Ph = Px i pionową Pv = Pz i odpowiednio dwie bryły parcia. Zasada wyznaczania tych brył dla składowych jest taka sama jak w przypadku parcia na ściany krzywoliniowe (rozdziały 2.3.2 i 0).

24

2.3. PARCIE NA ŚCIANY KRZYWOLINIOWE

2.3.1. Składowe ortogonalne parcia na ściany krzywoliniowe

W przypadku wyznaczania napręŜeń w ścianie traktowanej jako powłoka konieczna jest znajomość rozkładu ciśnienia na powierzchni ściany. Wykonuje się wtedy wykres p(ξ, η) we współrzędnych krzywoliniowych związanych ze ścianą. Natomiast przy wyznaczaniu reakcji podpór takiej ściany stosuje się pojęcia wypadkowej i brył parcia.

Obliczenie wypadkowej parcia na ściany krzywoliniowe trudno jest przeprowadzić bez dokonania jego rozkładu na składowe ortogonalne (rys. 10). Elementarne siły parcia mają róŜne kierunki, a krzywoliniowy wykres ciśnienia na ścianę trudno jest całkować. Dopiero rozkład parcia na składowe umoŜliwia wyznaczenie brył parcia tak pomocnych przy wyliczaniu wartości i kierunku jego działania. W ogólnym przypadku dokonuje się rozkładu parcia na trzy składowe ortogonalne (porównaj rozdział 2.3.6). Jedynie dla ścian walcowych (walec uogólniony o dowolnym kształcie podstawy) o osi poziomej układ współrzędnych moŜna dobrać tak, by siła parcia miała tylko dwie składowe.

P

Px

Py

Pz

z

yx

Ξ

Rys. 10

2.3.2. Bryła parcia poziomego

B r y ł a p a r c i a p o z i o m e g o jest to (trójwymiarowy) wykres rozkładu wysokości ciśnienia działającego na rzut danej powierzchni na płaszczyznę pionową.

25

Bryłę parcia poziomego wyznacza się zatem na tych samych zasadach co bryłę parcia na ścianę pionową, stanowiącą rzut danej ściany na dowolną płaszczyznę pionową. W przypadku dwóch brył parcia poziomego są to płaszczyzny prostopadłe do poziomych osi x i y. Wyznaczonemu na podstawie bryły parciu poziomemu nadaje się zwrot od cieczy ku ścianie. rys. 11 przedstawia przykład dla ściany walcowej.

Pv P

Ξ

Sv

Sh

Bryła parciapoziomego

O Bryła parciapionowego

Ph

Rys. 11

2.3.3. Bryła parcia pionowego

B r y ł a p a r c i a p i o n o w e g o jest to (trójwymiarowy) wykres rozkładu wysokości ciśnienia działającego na rzut danej powierzchni na płaszczyznę poziomą.

Najwygodniej jest wykorzystać do konstrukcji bryły płaszczyznę zwierciadła cieczy – wysokość ciśnienia stanowi wtedy po prostu odległość danej powierzchni krzywoliniowej od zwierciadła (rys. 11). Dla płaskiego zwierciadła bryła parcia pionowego jest zawarta pomiędzy powierzchnią ściany, płaszczyzną zwierciadła i pionowymi tworzącymi wystawionymi na krawędziach ściany. W przypadku gdy zwierciadło nie jest płaszczyzną (np. podczas ruchu cieczy) bryła parcia jest ograniczona od dołu powierzchnią ściany, a od góry powierzchnią zwierciadła. Wyznaczonemu na podstawie bryły parciu pionowemu nadaje się zwrot od cieczy ku ścianie.

2.3.4. Wyznaczanie parcia elementarne powierzchnie krzywoliniowe

Jeśli kaŜdemu punktowi rzutu poziomego lub pionowego danej powierzchni odpowiada tylko jeden jej punkt, to jest to p o w i e r z c h n i a e l e m e n t a r n a .

26

Oznacza to, Ŝe dowolna linia pionowa lub pozioma moŜe przeciąć powierzchnię elementarną tylko w jednym punkcie (rys. 12). Bryły parcia poziomego i pionowego dla takiej powierzchni wyznacza się na zasadach podanych w rozdziałach 2.3.2 i 0. Na podstawie brył parcia wylicza się wszystkie elementy (wartość, zwrot i kierunek działania) wektorów parcia poziomego i pionowego, po czym dodaje się je wektorowo (za pomocą wieloboku sił) uzyskując wypadkową parcia (rys. 9):

222zyx PPPP ++= ,

221

yx

z

PP

P

+=θtg ,

y

x

PP=2θtg .

W przypadku wspomnianej ściany walcowej Px = Ph , Py = 0, Pz = Pv .

– powierzchnia elementarna w przekroju:

– schemat poziomego podziału po-wierzchni złoŜonej na powierzchnie elementarne:

= +

– schemat pionowego podziału powierzchni złoŜonej na powierzchnie

elementarne:

= +

Rys. 12

2.3.5. Kierunek działania wypadkowej parcia na ściany w kształcie powierzchni obrotowych

Parcie na nieskończenie mały element ściany ma zawsze kierunek prostopadły do jego powierzchni (rozdział 2.2.1), czyli działa w kierunku lokalnego środka krzywizny.

27

Jeśli ściana charakteryzuje się s y m e t r ią o b r o t o wą , tzn. posiada jeden środek (O) lub oś krzywizny, linia działania wypadkowej parcia przechodzi przez ten środek lub przecina oś (rys. 11).

Uwzględnienie tej własności pozwala w wielu przypadkach uprościć obliczenia momentu sił parcia.

2.3.6. Wyznaczanie parcia na złoŜone powierzchnie krzywoliniowe

W celu wyznaczenia składowych parcia na złoŜone powierzchnie krzywoliniowe naleŜy podzielić je na krzywizny elementarne (rys. 12). Bryły parcia wywoływanego przez tę samą ciecz mogą być dla takich powierzchni dodawane lub odejmowane w zaleŜności od kierunku działania parcia.

Ph

PO

Ξ

Pv

– parcie lewostronne od góry:

– parcie lewostronne od dołu:

– parcie prawostronne:

Rys. 13

Na rys. 13 przedstawiono przekroje pionowe brył parcia poziomego i pionowego, pokrywając je strzałkami wskazującymi kierunek działania sił. Wypadkowa bryła parcia poziomego (zaciemniona) została zestawiona z brył dla parcia prawo- i lewostronnego. Podobnie bryła parcia pionowego została zestawiona z trzech części i równieŜ zaciemniona. Przez środki geometryczne brył

28

poprowadzono siły parcia poziomego Ph i pionowego Pv , a następnie przesunięto je wzdłuŜ linii działania i zsumowano wektorowo za pomocą wieloboku sił. Wypadkowa przechodzi przez środek krzywizny powierzchni (O) i przebija ją w środku parcia Ξ.

Bryły parcia przedstawia się dla uproszczenia w przekroju pionowym przechodzącym przez środek krzywizny poziomej (rys. 14). W przypadku powierzchni o krzywiźnie dwukierunkowej geometria brył parcia staje się dość złoŜona, np. kula ma (w odróŜnieniu od walca o poziomej osi) róŜne przekroje pionowe. W tym przypadku konieczne jest przedstawienie brył parcia na rysunku przestrzennym, np. w aksonometrii.

B

B

A

A

A - A

B - B

Rys. 14

W prezentowanym przykładzie bryła parcia poziomego jest połową ściętego walca o osi poziomej przechodzącej przez środek kuli. Natomiast bryła parcia pionowego jest złoŜona z dwóch części – półkuli (reprezentującej parcie skierowane w dół) i połowy walca o osi pionowej przechodzącej przez środek kuli z wyciętą jej ćwiartką (reprezentującej parcie skierowane w górę). Dla parcia

29

poziomego w kierunku rzutowania A – A wypadkowa bryła ma objętość zerową ze względu na pionową symetrię ściany. Obliczenie wypadkowego parcia pionowego polega na zsumowaniu dwóch jego składowych i wyznaczeniu wspólnego środka geometrycznego odpowiadających mu brył (rozdz. 2.2.4). Przy sumowaniu objętości brył parcia skierowanego w dół naleŜy uwaŜać za ujemne. Obliczanie wypadkowej parcia całkowitego przeprowadza się według wcześniej podanych zasad (rozdz. 2.3.4).

2.4. PŁYWANIE CIAŁ

2.4.1. Prawo Archimedesa

Na ciało zanurzone w cieczy działa s i ł a w y p o r u (W) skierowana ku górze, równa cięŜarowi wypartej przez to ciało cieczy:

W = γ V.

Jest to sformułowanie historyczne, prawdziwe dla ciała pływającego w cieczy jednorodnej. Siła wyporu jest skierowaną ku górze wypadkową parcia pionowego działającego na powierzchnię ciała częściowo lub całkowicie zanurzonego w cieczy. Prawo Archimedesa moŜna uzasadnić opierając się na zasadach wyznaczania parcia pionowego na ściany krzywoliniowe tworzące powierzchnię danego ciała (rozdział 2.3). Jak z tych zasad wynika, środek wyporu (środek parcia pionowego) znajduje się w środku geometrycznym tej części ciała, która znajduje się poniŜej swobodnego zwierciadła cieczy. Wypadkowe parcie poziome (będące sumą parcia na przeciwległe ściany ciała) jest równe zeru, poniewaŜ rzuty bryły parcia na płaszczyznę pionową są dla przeciwnych kierunków rzutowania identyczne.

2.4.2. Równowaga ciał pływających

Na ciało pływające w cieczy działają w sposób stały dwie siły: siła wyporu (W) i siła cięŜkości (G). Stan równowagi ciała zaleŜy od wypadkowej (F) tych sił i wytwarzanego przez nie momentu statycznego. Obydwie siły działają w kierunku pionowym, ale ich zwroty są przeciwne. Gdy suma wyporu i cięŜaru jest róŜna od zera, ciało będzie się przemieszczało w pionie: przewaga wyporu powoduje wypływanie, przewaga cięŜaru – tonięcie.

Dla ciała całkowicie zanurzonego decydujące znaczenie ma relacja pomiędzy jego cięŜarem objętościowym (γ c) a cięŜarem właściwym cieczy (γ ) lub odpowiednimi gęstościami (ρc , ρ):

30

F = W – G = γ V – γc V = (γ – γc) V = (ρ – ρc) g V ≠ 0. NaleŜy przy tym odróŜniać cięŜar objętościowy ciała, który jest wyliczany dla całej objętości V, od jego cięŜaru właściwego, który moŜe być róŜny dla róŜnych części ciała niejednorodnego. Jeśli gęstość ciała będzie większa od gęstości cieczy (ρ c > ρ), ciało będzie tonąć, osiągając równowagę dopiero na dnie zbiornika, gdzie siła wypadkowa zostanie zrównowaŜona przez reakcję podłoŜa. Ciało o takiej samej gęstości jak ciecz (ρ c = ρ) będzie się w niej swobodnie unosiło nie zmieniając połoŜenia.

Ciało o gęstości mniejszej od gęstości cieczy (ρ c < ρ) wypłynie na powierzchnię, gdzie na skutek wynurzenia zmniejszy się objętość wypieranej przez nie cieczy. W miarę wynurzania wartość wyporu będzie maleć aŜ do uzyskania równowagi pomiędzy wyporem i cięŜarem. Ciało będzie zatem pływało swobodnie po powierzchni cieczy a objętość jego zanurzonej części będzie funkcją głębokości zanurzenia – V(h). Z warunku równowagi sił moŜna tę głębokość wyliczyć podstawiając taką jej wartość (h), przy której część zanurzona osiągnie wymaganą objętość (G/γ):

G = W = γ V(h) → ( )γG

hV = .

Dla obiektu o płaskim dnie i pionowych ścianach bocznych rozwiązanie uzyskuje się wprost:

( )γG

AhhV == → A

Gh

γ= ,

gdzie A oznacza powierzchnię dna. Objętość V konieczna dla uzyskania równowagi jest róŜna w cieczach o róŜnych gęstościach, róŜne są więc głębokości zanurzenia. Na statkach pełnomorskich dopuszczalne zanurzenie w róŜnych warunkach wyznacza tak zwany z n a k P l i m s o l l a ( z n a k wo l n e j b u r t y ) a jego wartość średnią – z n a k ś r e d n i e j l i n i i w o d n e j .

2.4.3. Podstawowe pojęcia teorii pływania

P o ł oŜ e n i e p ł y w a n i a jest to takie połoŜenie ciała pływającego, przy którym wypór równowaŜy cięŜar ciała (G = W) a środek cięŜkości i środek wyporu znajdują się na jednej prostej pionowej.

Drugi z wymienionych warunków zapewnia równowagę momentów sił G i W – ramię tworzonej przez nie pary a więc i moment są równe zeru. W połoŜeniu

31

pływania ciało pozostaje zatem w równowadze sił i momentów. Wychylenie z tego połoŜenia wywołuje powstanie momentu sił powodującego obrót ciała.

O ś p ł y w a n i a jest to prosta przechodząca przez środek wyporu i środek cięŜkości ciała znajdującego się w połoŜeniu pływania.

Oś pływania jest na stałe związana z ciałem: jest pionowa w połoŜeniu pływania a podczas przechyłu ciała odchyla się razem z nim (mimo zmiany połoŜenia środka wyporu).

W y p o r n oś ć w a g o w a jest to cięŜar cieczy wypartej przez ciało w połoŜeniu pływania.

Wyporność wagowa jest równa wartości wyporu w połoŜeniu pływania, czyli W = γ V, gdzie V jest w y p o r n oś c i ą o b ję t o ś c i o wą (objętością bryły wyporu równą objętości zanurzonej części ciała).

P o w i e r z c h n i a p ł y w a n i a ( w o d n i c a , p o l e p ł y w a n i a ) jest to powierzchnia przekroju ciała, pozostającego w połoŜeniu pływania, płaszczyzną zwierciadła cieczy.

Proste poziome przechodzące przez środek geometryczny powierzchni pływania stanowią o s i e p r z e c h y ł u ciała. WyróŜniana jest oś podłuŜna, względem której moment bezwładności wodnicy jest najmniejszy i oś poprzeczna o maksymalnym momencie bezwładności. Oś podłuŜna jest osią przechyłu poprzecznego i na odwrót.

L i n i a w o d n a ( l i n i a p ł y w a n i a ) jest to kontur powierzchni pływania.

2.4.4. Stateczność ciał całkowicie zanurzonych w cieczy

O stanie równowagi ciała pływającego pod powierzchnią cieczy decyduje połoŜenie jego środka cięŜkości (rys. 15). Środek wyporu ciała całkowicie zanurzonego nie zmienia swego połoŜenia podczas przechyłu, jako Ŝe nie zmienia się kształt bryły wyporu. Jeśli ciało jest jednorodne, środek wyporu pokrywa się ze środkiem cięŜkości (obydwa znajdują się w środku geometrycznym) i moment sił pozostaje zerowy. Ciało takie jest w równowadze obojętnej – moŜe pływać w dowolnej pozycji.

W przypadku ciała niejednorodnego środek cięŜkości (S) nie pokrywa się ze środkiem geometrycznym i w połoŜeniu pływania moŜe znajdować się poniŜej lub

32

powyŜej środka wyporu (Ξ). W pierwszym przypadku ma miejsce równowaga trwała – podczas przechyłu powstaje moment sił przywracający połoŜenie równowagi. Gdy jednak środek cięŜkości jest połoŜony powyŜej środka wyporu, kaŜdy przechył wywołuje powstanie momentu sił przewracającego ciało i utratę stateczności, a więc w pozycji pływania jest ono w równowadze chwiejnej.

SΞ

WΞΞ

Ξ

G

SΞ

WΞΞ

Ξ

GΞ

SΞ

WΞΞΞ G

Ξ

równowaga obojętna równowaga trwała równowaga chwiejna

Rys. 15

2.4.5. Stateczność ciała pływającego po powierzchni cieczy

Podczas przechyłu ciała pływającego po powierzchni cieczy, na skutek zmiany kształtu stanowiącej bryłę wyporu zanurzonej jego części, środek wyporu przemieszcza się z punktu Ξ do Ξ’ (rys. 16). Wartość wyporu pozostaje taka jak w połoŜeniu pływania (W = W’ = G). Przechył powoduje zatem powstanie momentu sił pozwalającego w pewnych warunkach utrzymać trwałą równowagę ciała pomimo połoŜenia jego środka cięŜkości ponad środkiem wyporu. Wartość tego momentu zaleŜy przede wszystkim od promienia działania pary sił W’ i G, zaś ten jest funkcją kształtu ciała i kąta przechyłu θ :

MS = W’ r = G m sin θ ≅ G m θ .

Wypór W i cięŜar G są w danym momencie niezmienne a kąt przechyłu θ przypadkowy. O stateczności decyduje zatem kształt ciała, a w szczególności połoŜenie punktu noszącego nazwę m e t a c e n t r u m (punkt M na rys. 16).

M e t a c e n t r u m jest to punkt przecięcia linii działania wyporu z osią pływania przy niewielkim wychyleniu ciała z połoŜenia pływania.

Przez „niewielkie wychylenie” naleŜy rozumieć taki kąt przechyłu θ , dla którego:

sin θ ≅ tg θ ≅ θ [rad]

33

SΞ

Ξ’Ξ

GΞW

Ξ

ΞΞ

W ’mΞ

aΞ

W1

’W2

’

θΞ

rΞ

MΞ

zΞ

yΞ

Rys. 16

W y s o k oś ć m e t a c e n t r y c z n a (odcinek m na rys. 16) jest to wysokość wzniesienia metacentrum ponad środkiem cięŜkości ciała pływającego.

Wysokość ta dla małych przechyłów jest stała i moŜe być dodatnia lub ujemna. Znak wysokości metacentrycznej decyduje o rodzaju równowagi ciała pływającego po powierzchni cieczy (rys. 17).

SΞ

WΞ

ΞΞ

G

SΞ

WΞΞΞ

GΞ

SΞ

WΞ

ΞΞ

GΞ

m = 0równowaga obojętna

m > 0równowaga trwała

m < 0równowaga chwiejna

MΞM

Ξ M

Rys. 17

Moment sił W’ i G jest momentem prostującym dla m > 0 (M powyŜej S, równowaga trwała), przewracającym dla m < 0 (M poniŜej S, równowaga chwiejna), zaś nie występuje dla m =0 (M pokrywa się z S, równowaga obojętna).

34

2.4.6. Wyznaczanie wysokości metacentrycznej

Wartość wysokości metacentrycznej moŜna wyznaczać teoretycznie na podstawie budowy obiektu pływającego, moŜna ją takŜe pomierzyć praktycznie powodując statyczny przechył istniejącego obiektu pływającego.

Teoretyczny wzór na wysokość metacentryczną wyprowadza się zakładając (rys. 16), Ŝe wypór W’ powstający podczas niewielkiego przechyłu ciała jest sumą wektorową wyporu W w połoŜeniu pływania, wyporu fragmentu, który się zanurzył na skutek przechyłu (W1) i zaniku wyporu (wypór ujemny) części wynurzonej (W2). Z porównania momentów tych sił względem środka cięŜkości S wynika równanie:

MS = W’ m θ = MS(W1, W2) – W a θ

lub

aVVymVVV

θγγθγ −= ∫21,

d .

Podstawiając dV = θ y dA , uzyskuje się zaleŜność:

aV

Jm o −= ,

gdzie: Jo – moment bezwładności powierzchni pływania A danego ciała względem osi przechyłu [m4],

V – wyporność objętościowa (objętość wody wypartej przez ciało pływające) [m3],

a – wzniesienie środka cięŜkości S ponad środkiem wyporu Ξ (w połoŜeniu pływania) [m].

Pierwszy składnik wzoru jest zaleŜny od kształtu obiektu pływającego, drugi od połoŜenia jego środka cięŜkości. W obiektach pływających o środku cięŜkości połoŜonym poniŜej środka wyporu (a < 0) oddziaływanie obydwu tych cech ciała ma ten sam kierunek i wysokość metacentryczna jest dodatnia przy kaŜdym wychyleniu. Ten rodzaj stateczności nosi nazwę s t a t e c z n oś c i c i ę Ŝ a r u , w odróŜnieniu od s t a t e c z n oś c i k s z t a ł t u , którą charakteryzują się obiekty o środku cięŜkości połoŜonym powyŜej środka wyporu (a > 0). W tym przypadku oddziaływanie cięŜaru zmniejsza stateczność obiektu, powodując przy większym przechyle spadek wysokości metacentrycznej poprzez zero aŜ do wartości ujemnych, co wiąŜe się z pojawieniem się momentu przewracającego. Wszystkie przedstawione przykłady (rys. 16, rys. 18 i równowaga trwała na rys. 17) cechują się statecznością kształtu.

35

Wysokość metacentryczna osiąga najmniejszą wartość (największa moŜliwość wywrócenia) przy przechyle wokół tej osi, dla której moment Jo jest najmniejszy a zatem przy poprzecznym przechyle ciała.

Praktyczny pomiar wysokości metacentrycznej istniejącego obiektu pływającego polega na obciąŜeniu jednej z jego burt i wyznaczeniu kąta spowodowanego w ten sposób przechyłu (rys. 18). Wywołany przez dodatkowe obciąŜenie Q moment przewracający jest równowaŜony na skutek przesunięcia się środka wyporu Ξ w kierunku przechyłu:

Q b = W m θ

SΞ

Ξ’Ξ

GΞ

W ’mΞ

QθΞ

bΞM

Ξ

Rys. 18

Z przekształcenia tej równości otrzymuje się wzór na wysokość metacentryczną:

θWbQ

m = ,

gdzie W = G + Q – całkowita wyporność wagowa obiektu. Wzór jest poprawny dla niewielkich kątów przechyłu θ, rzędu kilku stopni (zobacz rozdz. 2.4.5), a wtedy ramię siły Q – b moŜe być mierzone tak jak pokazano na rys. 18.

36

3. HYDRODYNAMIKA

3.1. OPIS RUCHU PŁYNU

3.1.1. Ciągłość płynu

W ujęciu mikroskopowym płyny zbudowane są z cząsteczek poruszających się w próŜni ruchem postępowym, na który nałoŜone są chaotyczne ruchy termiczne (ruchy Browna). Mechanika płynów operuje ujęciem makroskopowym pozwalającym traktować płyn jak ośrodek ciągły. W tym ujęciu kaŜdy element płynu daje się dowolnie dzielić aŜ do uzyskania fikcyjnego, nieskończenie małego, e l e m e n t u r óŜ n i c z k o w e g o dV.

C i ą g ł o ś ć oś r o d k a (continuum) jest to załoŜenie teoretyczne, prawdziwe w skali makroskopowej, polegające na przyjęciu, iŜ wszystkie nieskończenie małe elementy ośrodka mają te same własności mechaniczne.

3.1.2. Prędkość lokalna

KaŜdy element płynu porusza się w przestrzeni po torze krzywoliniowym pokonując drogę s .

P r ę d k oś ć l o k a l n a płynu jest to długość drogi pokonywanej w jednostce czasu przez poruszający się element płynu:

ts

vdd= .

W rzeczywistości mierzona jest p rę d k oś ć p r z e c ię t n a w przedziale czasu ∆t:

ts

v∆

∆= .

Prędkość wyraŜana jest w jednostkach długości na jednostkę czasu: v = 1 [km/h] = 1000 [m / h] = 16.67 [m / min] = 0.278 [m/s].

37

3.1.3. NatęŜenie przepływu płynu

N a tę Ŝ e n i e p r z e p ł y w u płynu jest to objętość płynu przepływająca przez daną ograniczoną powierzchnię w jednostce czasu:

tV

Qdd= .

Taka definicja odpowiada w o l u m e t r y c z n e j m e t o d z i e p o m i a r u przepływu:

tV

Q∆

∆= ,

polegającej na równoczesnym pomiarze objętości przepływającego płynu ∆V i czasu wypływu ∆t.

Lokalny przepływ przypadający na jednostkę prostopadłej do prędkości powierzchni przekroju strumienia odpowiada prędkości lokalnej:

vAQ =

dd

,

jako Ŝe:

ts

AV

ttV

AAQ

dd

dd

dd

dd

dd

dd =

=

= .

Stąd wynika zaleŜność:

∫=A

AvQ d ,

stanowiąca podstawę h y d r o m e t r y c z n e j m e t o d y p o m i a r u , polegającej na pomiarze rozkładu prędkości v(y,z) na powierzchni przekroju A strumienia cieczy. Przekrój poprzeczny A jest prostopadły do osi strumienia.

NatęŜenie przepływu (nazywane teŜ wydatkiem, przepływem, wydatkiem przepływu lub wydajnością przepływu) jest mierzony w jednostkach objętości na jednostkę czasu:

Q = 1 [m3/s] = 1000 [l/s] (1 litr [l] = 1 [dm3] = 10-3 [m3] = 1000 [cm3] = 1000 [ml]).

3.1.4. Prędkość średnia

Uśrednienie prędkości lokalnej na powierzchni o polu A pozwala określić tzw. p rę d k oś ć ś r e d n ią :

38

∫=A

AvA

v d1

.

Pojęcie prędkości średniej v w przekroju strumienia A jest dla hydrauliki pojęciem podstawowym, poniewaŜ pozwala na określenie przepływu Q przy jedno-wymiarowym opisie ruchu:

Q = v A

(porównaj rozdział 3.1.3).

U w a g a : W następnych rozdziałach będzie stosowana jedynie prędkość średnia, dla uproszczenia oznaczana jako v .

3.2. KLASYFIKACJA PRZEPŁYWÓW

3.2.1. Kinematyczna klasyfikacja ruchu

R u c h n i e u s t a l o n y (nietrwały) jest to ruch płynu z prędkościami zmieniającymi się w czasie; v(x,t).

R u c h u s t a l o n y (trwały) jest to ruch płynu z prędkościami stałymi w czasie; v(x), ∂v/∂t = 0;

Ŝaden z parametrów opisujących ruch nie zaleŜy od czasu.

R u c h n i e j e d n o s t a j n y (zmienny) jest to ruch płynu z prędkościami zmieniającymi się wzdłuŜ strumienia; ∂v/∂x ≠ 0.

Zmienna prędkość w strumieniu związana jest, zgodnie z równaniem ciągłości (rozdział 3.3.2), ze zmianami powierzchni przekroju.

R u c h p r z y s p i e s z o n y jest to niejednostajny ruch płynu z prędkością wzrastającą wzdłuŜ strumienia; ∂v/∂x > 0.

Powierzchnia przekroju czynnego maleje, powstaje d ep r e s j a zwierciadła cieczy.

R u c h o p óź n i o n y jest to niejednostajny ruch płynu z prędkością malejącą wzdłuŜ strumienia; ∂v/∂x < 0.

Powierzchnia przekroju czynnego rośnie, powstaje s p ię t r z e n i e zwierciadła.

R u c h j e d n o s t a j n y jest to ruch płynu ze stałą prędkością; v = const, ∂v/∂x = 0.

39

Stała prędkość w korycie o stałym kształcie związana jest, zgodnie z równaniem ciągłości, ze stałą głębokością.

Podział na ruch jednostajny i niejednostajny odnosi się zwykle do ruchu ustalonego, stąd takie określenia jak r u c h n i e j e d n o s t a j n y u s t a l o n y (zmienny, lecz trwały).

3.2.2. Lepkość

L e p k oś ć jest to zdolność cieczy do stawiania oporu podczas ruchu jej elementów względem siebie.

Miarą lepkości jest współczynnik lepkości zaleŜny od rodzaju, temperatury i ciśnienia cieczy.

K i n e m a t y c z n y w s p ó ł c z y n n i k l e p k oś c i ν jest to stała proporcjonalności pomiędzy siłami tarcia wewnętrznego w ruchu laminarnym a poprzecznym do kierunku ruchu przyrostem prędkości cieczy.

Taka proporcjonalność, znana jako h i p o t e z a N e w t o n a , zapisywana jest wzorem:

yv

∂∂

ρντ = ,

gdzie napręŜenie ścinające τ reprezentuje siłę tarcia wewnętrznego przypadającą na jednostkę powierzchni tarcia [N/m2 = Pa], zaś pochodna ∂v/∂y określa zmienność prędkości cieczy w kierunku poprzecznym do ruchu. Współczynnik lepkości cieczy maleje ze wzrostem temperatury (T ). Dla wody obowiązuje zaleŜność:

22oo

2

]C[1/0002210C][1/033701

/s][mm781

TT ..

.

++=ν .

W temperaturze 20 [oC] ν ≅ 1 [mm2/s].

3.2.3. ReŜimy przepływu według kryterium Reynoldsa

P r o m i eń i ś r e d n i c a h y d r a u l i c z n a

Promień hydrauliczny:

UA

R = ,

40

gdzie: U – obwód zwilŜony, czyli ta część obwodu przekroju strumienia, która stanowi granicę między płynem i nieruchomym ciałem stałym.

Średnica hydrauliczna:

d = 4 R .

Jak wynika z definicji przy przepływach pod ciśnieniem w rurach o przekroju kołowym jest to po prostu średnica wewnętrzna (przelot).

L i c z b a R e y n o l d s a

Definiowana jest jako stosunek siły bezwładności do siły lepkości:

νdv

Re = ,

gdzie: v – średnia prędkość przepływu [m/s], d – średnica hydrauliczna [m], v – kinematyczny współczynnik lepkości płynu [m2/s].

Liczba Re jest wielkością bezwymiarową.

R u c h l a m i n a r n y ( u w a r s t w i o n y )

W ruchu laminarnym, Re < 4000, poszczególne strugi płynu nie mieszają się ze sobą ślizgając się gładko po sobie, dlatego teŜ prędkość jest stabilna; opory ruchu są liniową funkcją prędkości.

R u c h t u r b u l e n t n y ( b u r z l i w y )

W ruchu turbulentnym, Re > 2300, dochodzi do intensywnego mieszania strug, a ich przebieg jest trudny do przewidzenia, dlatego teŜ występują pulsacje prędkości; opory ruchu są proporcjonalne do kwadratu prędkości.

U w a g a : W strefie przejściowej, Re ∈ (2300, 4000), moŜe wystąpić zarówno ruch laminarny, jak i turbulentny, a zaleŜy to od warunków zewnętrznych (stabilności zasilania, występowania drgań i przeszkód, sytuacji początkowej itp.).

Na podstawie kryterium Reynoldsa określa się reŜim ruchu pod ciśnieniem (w rurociągach). W korytach otwartych ma zazwyczaj miejsce ruch turbulentny. Nawet przy małych prędkościach występujących w zbiornikach ruch laminarny nie pojawia się ze względu na stosunkowo znaczne głębokości i związane z tym niestabilności przepływu.

41

3.2.4. ReŜimy przepływu według kryterium Froude’a

L i c z b a F r o u d e ’ a

αhg

vFr = ,

gdzie: v – średnia prędkość przepływu [m/s], h – głębokość w przekroju [m], g – przyspieszenie ziemskie [m/s2], α – współczynnik Saint-Venanta (rozdział 3.4.3).

Liczba Fr jest wielkością bezwymiarową i przedstawia stosunek prędkości przepływu do prędkości fali poprzecznej na powierzchni swobodnego zwierciadła. Zgodnie z teorią ruchu falowego prędkość powstającej w płytkiej wodzie fali poprzecznej na swobodnym zwierciadle jest równa prędkości przemieszczania się zaburzeń w strumieniu o swobodnej powierzchni. Kwadrat liczby Froude’a określa proporcję wysokości energii kinetycznej (Ev) do wysokości energii potencjalnej (Eh) w strumieniu:

h

v

EE

Fr 22 = .

R u c h k r y t y c z n y jest to ruch, w którym energia strumienia, przy zadanym przepływie i geometrii koryta, osiąga minimum.

Dla zadanej energii strumienia równieŜ największy wydatek przepływu pojawi się wtedy, gdy ruch będzie miał charakter krytyczny. Średnia prędkość przepływu w ruchu krytycznym nosi nazwę prędkości krytycznej i jest równa prędkości ruchu zaburzeń; Fr = 1.

R u c h n a d k r y t y c z n y (spokojny) jest to ruch, w którym prędkość przepływu jest mniejsza od prędkości krytycznej (Fr < 1).

W ruchu tym kaŜde zaburzenie głębokości w danym przekroju poprzecznym powoduje zmiany głębokości w wyŜej leŜących przekrojach (propagacja wsteczna). W efekcie zwierciadło cieczy jest wolnozmienne i gładkie.

42

R u c h p o d k r y t y c z n y (rwący) jest to ruch, w którym prędkość przepływu jest większa od prędkości krytycznej (Fr > 1).

W ruchu tym Ŝadne zaburzenie głębokości w danym przekroju poprzecznym nie moŜe wpłynąć na głębokość w wyŜej leŜących przekrojach. W efekcie zwierciadło cieczy zmienia się gwałtownie, jest wzburzone (warkoczowate) i niestabilne.

3.3. CIĄGŁOŚĆ PRZEPŁYWU

3.3.1. Ogólne równanie ciągłości przepływu cieczy

Większość cieczy w bardzo niewielkim stopniu zmienia swą gęstość wraz ze zmianą ciśnienia. Dlatego przyjmuje się zwykle r ó w n a n i e s t a n u w postaci:

ρ (p) = const .

Przy stałej gęstości prawo zachowania masy przechodzi w p r a w o z a c h o w a n i a o b ję t o ś c i c i e c z y :

Objętość cieczy w ograniczonym obszarze przestrzeni pozostaje wielkością stałą.

Oznacza to, Ŝe ilość cieczy napływająca do obszaru ograniczonego musi być równa ilości wypływającej z tego obszaru:

Σ Q1 = Σ Q2

lub przyjmując, Ŝe wypływ to przepływ ujemny:

Σ Q = 0 .

3.3.2. Ciągłość przepływu dla strumienia

W przypadku przepływu cieczy w strumieniu o stałych granicach, bez wypływu przez ścianki, boczna powierzchnia strumienia i dwa dowolne przekroje poprzeczne (rys. 19) ograniczają obszar o stałej objętości i równanie ciągłości przybiera postać:

Q = const .

Sytuacja taka ma miejsce tylko w przypadku ruchu ustalonego. Zgodnie z definicją prędkości średniej (rozdział 3.1.4): Q = v A , a zatem:

v1 A1 = v2 A2 .

43

v1v2

A1

A2

Rys. 19

Przy obliczaniu przepływu w strumieniu o przekroju kołowym, np. w rurociągu otrzymuje się zaleŜność:

const===4

2dvAvQ

π,

a stąd: 2

2

112

=

dd

vv .

Równanie ciągłości w tej postaci umoŜliwia m.in. obliczanie prędkości przepływu w róŜnych przekrojach rurociągu o zmiennych średnicach (ruch niejednostajny ustalony). Analogicznie oblicza się prędkości w zmieniających się przekrojach koryt otwartych.

W ruchu nieustalonym poprzeczne rozmiary strumienia mogą zmieniać się w czasie i równanie ciągłości musi być poszerzone o człon retencyjny (gromadzenie cieczy w czasie przepływu między przekrojami).

3.4. RÓWNANIE BERNOULLIEGO

3.4.1. Wysokość energii

Energia mechaniczna niesiona przez strumień jest proporcjonalna do cięŜaru

poruszającej się cieczy. Wielkość energii w danym przekroju poprzecznym

strumienia wyraŜana jest na jednostkę cięŜaru cieczy: i mierzona

w metrach ponad dowolny poziom odniesienia.

3.4.2. Postać równania dla cieczy rzeczywistej

Równanie Bernoulliego jest zapisem wysokości energii w danym przekroju strumienia w odniesieniu do wybranego poziomu porównawczego:

gmE

GE

H ==

44

const=+++=++ strathgvp

zgvp

z22

2222

1111

αγ

αγ

.

v1v2

z

x

z1

γ1p

gv

2

211α

gv

2

222α

hstrat

z2

[linia energii całkowitej]

linia energii[mechanicznej]

linia ciśnieńpiezometrycznych

[poziom porównawczy]

γ2p

Rys. 20

Zgodnie z prawem zachowania energii suma wysokości energii

grawitacyjnej (z), spręŜystej

γp

, kinetycznej

gv

2

2α i cieplnej (hstrat) jest

wielkością stałą (linia energii całkowitej), czyli jest taka sama w kaŜdym przekroju poprzecznym strumienia (rys. 20). Wielkość hstrat jest wysokością energii rozproszonej w otoczeniu w postaci ciepła (i dźwięku) w trakcie pokonywania oporów tarcia pomiędzy przekrojami 1 i 2.

3.4.3. Współczynnik Saint-Venanta

Przy niejednorodnym rozkładzie prędkości lokalnych w przekroju strumienia wysokość energii kinetycznej odpowiada sumie energii poszczególnych strug. Całkowita energia kinetyczna Ek(v) nie jest równa energii wyliczanej na podstawie prędkości średniej Ek(v). Aby móc posługiwać się w obliczeniach energii kinetycznej strumienia prędkością średnią, naleŜy wprowadzić współczynnik poprawkowy zaleŜny od rozkładu prędkości lokalnych – tzw. w s p ó ł c z y n n i k S a i n t - V e n a n t a α spełniający zaleŜność:

45

Ek(v) = α Ek (v) .

Stąd wynika wzór na współczynnik:

Av

Av

vEvE A

k

k3

3∫

==d

)()(α .

Współczynnik Saint-Venanta dla ruchu turbulentnego w rurociągach wynosi α ≅ 1, dla laminarnego w przekroju kołowym α = 2, w ciekach skanalizowanych α ≅ 1.1, w ciekach naturalnych moŜe sięgać do α = 2.5.

46

4. HYDRAULIKA RUROCIGÓW

4.1. DEFINICJE

4.1.1. Przepływ pod cinieniem

Przez p r z e p ł y w w r u r o c i g u jest w hydraulice rozumiany przepływ, w którym ciecz wypełnia cał objto kanału o przekroju zamknitym.

Stan taki ma miejsce bez wzgldu na warto cinienia wewntrz cieczy, jednak tradycyjnie stosowane jest w tym przypadku okrelenie p r z e p ł y w p o d c i n i e n i e m .

Podstawowe obliczenia hydrauliczne przepływu w rurocigach wykonuje si dla ruchu ustalonego. Nieustalony przepływ okrelany jest jako u d e r z e n i e h y d r a u l i c z n e w r u r o c i g u .

4.1.2. Podział rurocigów ze wzgldu na wielko cinienia

R u r o c i g s s a w n y jest to rurocig, w którym ruch został wywołany przez obnienie cinienia na wylocie (ssanie pompy).

Przy cinieniu atmosferycznym na wlocie na całej jego długoci panuje podcinienie (p < pa).

R u r o c i g t ł o c z n y jest to rurocig, w którym ruch został wywołany przez podwyszenie cinienia na wlocie (tłoczenie pompy).

Przy cinieniu atmosferycznym na wylocie na całej jego długoci panuje nadcinienie (p > pa).

R u r o c i g g r a w i t a c y j n y jest to rurocig, w którym ruch został wywołany przez rónic wysokoci pomidzy wlotem a wylotem.

Szczególnym przypadkiem rurocigu grawitacyjnego jest lewar i syfon.

L e w a r jest to rurocig grawitacyjny, którego o przebiega na pewnym odcinku ponad zwierciadłem wody w zbiorniku zasilajcym.

47

W efekcie na części jego długości panuje podciśnienie (p < pa). Ruch w lewarze wymaga zapoczątkowania.

S y f o n jest to rurociąg, którego oś przebiega na pewnym odcinku poniŜej wylotu.

Woda pozostaje na tym odcinku nawet po przerwaniu zasilania. Na całej długości syfonu panuje nadciśnienie (p > pa). W przypadku, gdy oś rurociągu przebiega na całej długości pomiędzy zwierciadłem wody w zbiorniku zasilającym a poziomem wylotu, ciśnienie na jego długości jest niewiele wyŜsze od ciśnienia atmosferycznego.

4.1.3. Podział rurociągów ze względu na rodzaj połączeń

R u r o c ią g p r o s t y jest to rurociąg, w którym przepływ odbywa się wzdłuŜ jednej linii (gałęzi).

b)

c)

d)

e)

f)

a)

Rys. 21

R u r o c ią g s z e r e g o w y jest to rurociąg prosty (rys. 21a) składający się z odcinków o róŜnych średnicach.

R u r o c ią g w y d a t k u ją c y p o d r o d z e (rys. 21b) jest to rurociąg, w którym ruch odbywa się wzdłuŜ jednej gałęzi, ale występuje zmniejszanie się przepływu z długością rurociągu.

WyróŜnienie tego typu rurociągów pozwala na uproszczenie obliczeń odcinka rozprowadzającego wodę pomiędzy odbiorców, jeśli rozbiory wody są jednakowe i równomiernie rozmieszczone na długości odcinka, a jego średnica jest stała.

48

O t w a r t a s i eć r u r o c i ą g ó w (rys. 21c) jest to rurociąg złoŜony z kilku gałęzi, w którym przepływ pomiędzy dwoma punktami moŜe odbywać się tylko po jednej drodze.

Rozgałęzienia rurociągów noszą nazwę węzłów sieci.

S i eć p i e rś c i e n i o w a r u r o c ią g ó w (rys. 21d) jest to rurociąg złoŜony z kilku gałęzi, w którym przepływ pomiędzy jego dowolnymi dwoma punktami moŜe odbywać się wieloma drogami.

Gałęzie rurociągów tworzące zamknięty obwód noszą nazwę p i e rś c i e n i .

R u r o c ią g i r ó w n o l e g ł e (rys. 21e) to sieć pierścieniowa zawierająca tylko dwa węzły – rozdzielczy i zbiorczy.

Rurociągi równoległe składają się z przynajmniej dwóch gałęzi, tworzących co najmniej jedno oczko.

S i eć z ł oŜ o n a (rys. 21f) jest to sieć składająca się z pierścieni i gałęzi nie tworzących pierścieni.

4.2. PODSTAWY OBLICZEŃ STRAT ENERGII W RUROCIĄGACH

4.2.1. Rodzaje strat

Energia mechaniczna zuŜywana na przezwycięŜenie tarcia podczas przepływu to tzw. straty energii. Narastają one wraz z pokonywaną odległością lub są wywołane przez zawirowania przepływu w miejscach zmian geometrii rurociągu.

W hydraulice rurociągów wyróŜnia się następujące rodzaje strat energii:

S t r a t y n a d ł u g oś c i to straty powstające podczas przepływu na prostym odcinku rurociągu o stałym przekroju poprzecznym, narastające liniowo wraz z długością odcinka;

S t r a t y l o k a l n e to straty powstające w miejscach zmiany kierunku przepływu, kształtu przekroju poprzecznego lub na przeszkodach (zawory, kryzy, kraty itp.); zaleŜą one od geometrii przeszkody;

49

S t r a t y e n e r g i i k i n e t y c z n e j to straty powstające na końcu rurociągu w wyniku unoszenia pędu przez wypływający płyn.

Energia ta moŜe być wykorzystana mechanicznie, ale ostatecznie ulega zamianie na ciepło na skutek rozproszenia w otoczeniu (w powietrzu lub w zbiorniku dolnym).

W z ó r W e i s s b a c h a

Wszystkie straty energii są proporcjonalne do prędkości przepływu. PoniewaŜ miarą strat jest wysokość energii mierzona w [m], zatem przyjmuje się, Ŝe wysokość strat jest proporcjonalna do wysokości energii kinetycznej:

gv

h2

2αζ= ,

gdzie: ζ – współczynnik strat. Obliczenia strat naleŜy przeprowadzać zgodnie z normą PN-76/M-34034. Rurociągi. Zasady obliczeń strat ciśnienia.

4.2.2. Straty lokalne

W s p ó ł c z y n n i k s t r a t l o k a l n y c h ζ jest funkcją parametrów geometrycznych przeszkody. Wysokość straty wylicza się zawsze dla prędkości za przekrojem, w którym jest przeszkoda. PoniŜej przedstawiono sposoby wyznaczania wartości najczęściej spotykanych współczynników strat lokalnych. Bardziej szczegółowe dane podaje norma PN-76/M-34034.

S t r a t a n a w l o c i e jest zaleŜna od kształtu wlotu. Dla najczęściej spotykanego wlotu prostego o nie zaokrąglonych krawędziach (rys. 22) ζw = 0.5.

S t r a t a n a z a ł a m a n i u (zmianie kierunku) osi rurociągu o kąt θ obliczana jest wzorem:

2052

29460

θθζ . + . = 42 sinsin L .

S t r a t a n a ł u k u k o ł o w y m jest według Weissbacha funkcją kąta zmiany kierunku θ i stosunku promienia łuku R do średnicy rury d:

o

o

R Rd

9016301310

53 θζ

. + . = .

.

Wzór ten nie uwzględnia straty na długości łuku.

50

S t r a t a n a z m i a n i e ś r e d n i c y rurociągu jest funkcją proporcji średnicy mniejszej do większej d/D (wzór Bordy’ego): – strata na poszerzeniu:

2

2

2

1

−=<

D

dζ ,

– strata na zwęŜeniu:

−=> 2

2

150D

d.ζ .

S t r a t a n a z a s u w i e r ó w n o p r z e l o t o w e j zaleŜy od stopnia opuszczenia zasuwy: – zasuwa otwarta

ζz = 0.15 ,

– zasuwa zamknięta do połowy ζz = 5.3 .

S t r a t a n a z a w o r z e g r z y b k o w y m normalnym (przy całkowitym otwarciu) zaleŜy od jego średnicy nominalnej: – dla średnicy 20 [mm]:

ζz = 8 ,

– dla średnicy 100 [mm]:

ζz = 4.1 .

S t r a t a n a k r a t a c h zaleŜy, zgodnie ze wzorem Kirschmera, od kształtu przekroju prętów, ich grubości d i odległości b między nimi oraz kąta θ nachylenia kraty względem poziomu:

θβζ sin3

4

=bd

K .

Dla prętów prostokątnych współczynnik β = 2.42 , dla okrągłych β = 1.79 .

51

4.2.3. Straty na długości

Straty na długości rurociągu opisuje w z ó r D a r c y ’ e g o - W e i s s b a c h a :

gv

dh

2

2αλ l= .

W s p ó ł c z y n n i k c h r o p o w a t oś c i b e z w z g lę d n e j k jest to średnia wysokość chropowatości na ściankach wewnętrznych rury. Dla stalowych rur wodociągowych i Ŝeliwnych kanalizacyjnych wynosi ona około 1.5 [mm], dla rur betonowych około 2.5 [mm].

W s p ó ł c z y n n i k c h r o p o w a t oś c i w z g lę d n e j r u r :

dk=ε .

W s p ó ł c z y n n i k t a r c i a r u r λ zaleŜy od chropowatości rur i panującej w rurociągu liczby Reynoldsa. Jego wartość określa empiryczny wzór Colebrooka-White’a:

2

10512

7132

1

+

=

λε

λ

Re

..

log

.

Wzór ma jednak charakter uwikłany i w praktyce λ wyznacza się za pomocą wykresu Moody’ego (norma PN-76/M-34034 załącznik 3).

W y k r e s M o o d y ’ e g o jest to wykres zaleŜności λ(Re,ε) przedstawiony w układzie logarytmicznym z poziomą osią Re i pionową λ .Tworzy go szereg krzywych dla róŜnych wartości ε. Na wykresie moŜna wyróŜnić pięć stref zmienności współczynnika λ:

– s t r e f a r u c h u l a m i n a r n e g o (Re < 2300), w której współczynnik λ zaleŜy (zgodnie ze wzorem Hagena-Poisseile’a) tylko od liczby Re:

Re64=λ ;

– s t r e f a p r z e jś c i o w a (2300 < Re < 4000) o nieokreślonym reŜimie ruchu, w której współczynnik λ wyznacza się w zaleŜności od rzeczywistego reŜimu panującego w rurociągu zgodnie z regułami dla stref sąsiednich. W obliczeniach projektowych przyjmuje się istnienie reŜimu mniej korzystnego;

52

– s t r e f a r u r h y d r a u l i c z n i e g ł a d k i c h (4000 < Re < 1 / ε ) w reŜimie turbulentnym, w której współczynnik λ zaleŜy tylko od liczby Re. Wartość λ moŜna obliczyć wzorem Konakowa :

( )210

2

8010

5181

1

6252

1

.log..log

.

−=

=

Re

Re

λ ;

– s t r e f a p oś r e d n i a (1 / ε < Re < 2000 / ε ) w reŜimie turbulentnym, w której współczynnik λ zaleŜy zarówno od liczby Re , jak i od chropowatości względnej ε . Wartość λ moŜna obliczyć wzorem Colebrooka:

2

9010765

7132

1

+

=

.

..

logRe

ελ .

Wzór ten moŜe być stosowany dla całego zakresu przepływu turbulentnego;

– s t r e f a r u r h y d r a u l i c z n i e c h r o p o w a t y c h (Re > 2000 / ε ) w reŜimie turbulentnym, w której współczynnik λ zaleŜy tylko od chropowatości względnej ε . Wartość λ podaje wzór Prandtla-Nikuradse’go:

( )210

2

10

2141

1

7132

1

εελ

log.

.log

−=

= .

Przytoczone tu wzory przybliŜają wartość λ dla określonych zakresów z błędem nie przekraczającym 4.5 % w stosunku do wzoru Colebrooka-White’a.

4.2.4. Obliczanie strat na długości ze wzoru Manninga

W strefie rur hydraulicznie chropowatych wielkość współczynnika tarcia zaleŜy wyłącznie od chropowatości względnej rur. Podobna zaleŜność wywtępuje we wzorze Manninga (porównaj rozdz. 5.2.1):

ff Sn

dS

nR

v591

3 23 2

.== ,

gdzie: v – prędkość średnia,

53

R – promień hydrauliczny, d – średnica rury Sf = hstrat / l – spadek linii energii, l – długość rurociągu. n – współczynnik szorstkości, przyjmujący dla rurociągów wartości od

0.011 (stalowe) do 0.014 [s/m1/3] (betonowe).

Z porównania ze wzorem Darcy’ego-Weissbacha wynika zaleŜność:

3

22

3

23 ][m/s512448

d

n

d

ng .==λ .

Ze względu na wymiar współczynnika szorstkości średnicę (promień hydrauliczny) naleŜy podstawiać w [m]. Stosowanie wzoru Manninga do obliczania strat w rurociągach dla całego obszaru ruchu turbulentnego nie jest zgodne z obecnie obowiązującymi normami.

4.2.5. Podział rurociągów ze względu na wielkość strat

R u r o c ią g d ł u g i jest to rurociąg, w którym przewaŜają straty na długości, czyli straty lokalne stanowią nie więcej niŜ 5 % wszystkich strat.

Ze wzoru na straty lokalne wynika, Ŝe pomijalne są takŜe straty energii kinetycznej. Jak rurociągi długie są traktowane głównie rurociągi magistralne, doprowadzające wodę ze znacznych odległości.

R u r o c ią g k r ó t k i jest to rurociąg, w którym wielkości strat na długości i strat lokalnych są porównywalne, a więc udział tych ostatnich w sumie strat przekracza 5 %.

Udział strat na długości jest w takim rurociągu pomijalny. Rurociągi krótkie charakteryzują się duŜą ilością armatury i krótkimi odcinkami prostymi. NaleŜą do nich instalacje wewnętrzne, rurociągi pompowe i rozprowadzające w róŜnych instalacjach przemysłowych.

54

4.3. LINIE CIŚNIEŃ I ENERGII W RUROCIĄGACH

4.3.1. Linia energii

Wartość występujących w równaniu Bernoulliego funkcji z(x), p(x) i v(x) moŜna określić w kaŜdym przekroju strumienia cieczy. MoŜliwe jest zatem graficzne przedstawienie równania Bernoulliego w postaci wykresów wysokości energii.

L i n i a e n e r g i i jest to wykres wysokości energii mechanicznej strumienia w funkcji współrzędnej poziomej.

Na skutek ciągłej zamiany energii mechanicznej na ciepło w wyniku tarcia linia ta zawsze obniŜa się wzdłuŜ drogi strumienia. PołoŜenie linii energii określa funkcja:

gxvxp

xzxH2

2 )()()()(

αγ

++= ,

nosząca nazwę w y s o k oś c i h y d r a u l i c z n e j . PołoŜenie linii energii w danym przekroju poprzecznym strumienia wskazywane jest przez poziom zwierciadła cieczy w rurce piętrzącej przyłączonej w tym przekroju (rys. 20).

R u r k a p ię t r zą c a (Pitota) jest to pionowa rurka piezometryczna tkwiąca dolnym, zagiętym w kierunku przeciwnym do przepływu, końcem w strumieniu cieczy.

Energia kinetyczna strumienia, zamieniając się w rurce w grawitacyjną, powoduje

podniesienie w niej zwierciadła o wysokość hv = vg

2

2 w stosunku do poziomu

w piezometrze.

4.3.2. Linia ci śnień

L i n i a c i ś n i eń jest to wykres wysokości energii potencjalnej strumienia (tj. energii grawitacyjnej i spręŜystej) w funkcji współrzędnej poziomej.

Dzięki moŜliwości zamiany energii potencjalnej na kinetyczną i odwrotnie linia ciśnień moŜe lokalnie (na poszerzeniach) wznosić się wzdłuŜ drogi strumienia. PołoŜenie tej linii określa funkcja:

γ)(

)()(xp

xzxh += ,

55

nosząca nazwę w y s o k oś c i p i e z o m e t r y c z n e j. PołoŜenie linii ciśnień w danym przekroju poprzecznym strumienia wskazywane jest przez poziom zwierciadła cieczy w piezometrze przyłączonym do tego przekroju (rys. 20).

Z w i e r c i a d ł o p i e z o m e t r y c z n e (pozorne) jest to powierzchnia, na której układa się zwierciadło cieczy w piezometrach przyłączonych w dowolnych przekrojach poprzecznych strumienia.

Linia ciśnień stanowi przekrój zwierciadła piezometrycznego wzdłuŜ osi strumienia.

4.3.3. Konstrukcja wykresu linii ci śnień i energii

I

α vg2

2

2

linia energii [mechanicznej]

l1

l3

l5l4l2

α vg12

2

[linia energii całkowitej]

R

v1

v2II

hw

h1

hR

h2

hL

h4

h<

h5

hz

h3H

II

H(x)

x

linia ciśnień

I

Rys. 22

Konstrukcję wykresu linii ciśnień i energii przeprowadza się według następującego schematu (rys. 22): 1. Wyznaczenie poziomu energii zasilania (poziomu wody w zbiorniku

zasilającym lub wysokości pompowania); 2. Wyznaczenie poziomu wysokości ciśnienia na wylocie (poziomu wylotu

swobodnego, poziomu wody w zbiorniku dolnym lub wysokości ssania pompy);

3. Obliczenie wysokości (H) energii rozproszonej w rurociągu jako róŜnicy wysokości energii zasilania i wysokości ciśnienia na wylocie;

4. Sformułowanie równania Bernoulliego dla przekroju przed wlotem (I) i przed wylotem (II) rurociągu, np. (rys. 22):

56

54321

22

2hhhhhhhhhh

gv

H zLRw ++++++++++= < ,

gdzie: h1, h2, h3, h4, h5 – straty na długości odcinków l1 do l5 , hw – strata na wlocie, hR – strata na łuku, hL – strata na zmianie kierunku, h< – strata na poszerzeniu, hz – strata na zmianie kierunku;

5. Podział na rysunku wysokości H zgodnie z równaniem na poszczególne straty w kolejności ich występowania;

6. Wyznaczenie na wykresie połoŜenia linii energii w kolejnych przekrojach pionowych poczynając od poziomu zasilania. Przekroje te lokalizuje się na końcach odcinków lub w tych punktach osi rurociągu, w których występują straty lokalne;

7. Wyznaczenie połoŜenia linii ciśnień równolegle do linii energii z obniŜeniem

w pionie o wartość wysokości prędkości α v

g

2

2w danym przekroju.

4.4. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z HYDRAULIKI RUROCIĄGÓW SZEREGOWYCH

4.4.1. Prędkość ekonomiczna

Jak wynika ze wzoru Weissbacha opory ruchu, a więc koszty energii zasilania są proporcjonalne do prędkości średniej w rurociągu. Koszt rur jest natomiast proporcjonalny do ich cięŜaru, a więc do średnicy, czyli (przy zadanym wydatku) odwrotnie proporcjonalny do prędkości. Istnieje zatem optymalna prędkość przepływu, przy której koszty transportu cieczy są najniŜsze. Wartości prędkości ekonomicznych dla róŜnych warunków podaje norma PN-76/M-34034; dla wodociągów miejskich moŜna przyjąć w przybliŜeniu wartość ve = 1 [m/s]. Prędkość ekonomiczna pozwala ocenić optymalną średnicę rurociągu przy zadanym wydatku:

evQ

dπ

2= .

57

4.4.2. Typy zadań z rurociągów

W obliczeniach hydraulicznych rurociągów występują następujące parametry: H – wysokość energii zasilania, l – długość rurociągu, d – średnica rurociągu, Q – wydatek przepływu, ν – kinematyczny współczynnik lepkość płynącej cieczy, k – chropowatość ścianek, – typy armatury.

Przyjęcie rodzaju transportowanej cieczy (ν), trasy rurociągu (l ), armatury i rodzaju rur (k) wynika z przeznaczenia instalacji lub przesłanek ekonomicznych; w obliczeniach hydraulicznych dane te są znane. Z równania Bernoulliego moŜna wyznaczyć jedną z trzech pozostałych wielkości przy zadanych wartościach dwu innych. Pojawiają się zatem trzy typy zadań:

– Zadanie typu H – projekt zasilania rurociągu: przy zadanej ilości transportowanej cieczy (Q) i optymalnej prędkości (z której wynika średnica rurociągu d) wyznaczana jest niezbędna wysokość energii zasilania rurociągu (H);

– Zadanie typu Q – ocena sprawności istniejącej instalacji: przy zadanej wysokości energii zasilania rurociągu (H) i średnicy rurociągu (d) wyznaczany jest natęŜenie przepływu transportowanej cieczy (Q);

– Zadanie typu d – projektowanie średnicy rurociągu: przy zadanej wysokości energii zasilania rurociągu (H) i ilości transportowanej cieczy (Q) wyznaczana jest średnica rurociągu (d).

4.4.3. Obliczanie wysokości energii zasilania rurociągu

1. Postawienie zadania: dane: Q, di, l i, k, ν, szukane: H. i – kolejny numer odcinka rury o stałej średnicy.

2. Zestawienie równań i niewiadomych: – równanie Bernoulliego:

g

v

gv

dgv

H jj

i

i

ii

k

222

222

∑∑ ++= ζλ l,

58

– równanie ciągłości:

2

4

ii

d

Qv

π= ,

– wzór na współczynnik tarcia:

λi(Rei, εi ) , νii

idv

Re = , i

i dk=ε ,

– wzór na współczynnik strat lokalnych:

ζj = f(dj, typ armatury);

j oznacza kolejny numer straty lokalnej. Razem 1 + 2 i + j niewiadomych (H, vi, λi, ζj) i tyleŜ równań. Prędkość końcowa vk jest jedną z liczby i .

3. Rozwiązanie: – obliczenie prędkości średnich vi w odcinkach o stałych średnicach di , – obliczenie współczynników strat lokalnych ζj z odpowiednich tablic lub

wzorów, – obliczenie współczynnika tarcia rur λi na podstawie wykresu Moody’ego lub

wzorów, – obliczenie wysokości energii zasilania przez podstawienie wyliczonych

wielkości do wzoru Bernoulliego. Rozwiązanie uzyskuje się zatem przez proste podstawienie zadanych wartości do wzorów.

4.4.4. Obliczanie wydatku rurociągu

1. Postawienie zadania: dane: H, di, l i, k, ν, szukane: Q.

2. Zestawienie równań i niewiadomych: Jak w zadaniu H, razem 1 + 2 i + j niewiadomych (Q, vi, λi, ζj) i tyleŜ równań.

3. Rozwiązanie: Przy nieznanej wartości wydatku Q, we wzorach na współczynnik tarcia występują nieznane prędkości vi (w Re). Wzory te na ogół nie dają się rozwikłać i konieczne jest zastosowanie kolejnych przybliŜeń na λ. – PrzybliŜenie początkowe: przepływ odbywa się w strefie rur chropowatych,

stąd λi(ε).

– obliczenie współczynników strat lokalnych ζj z odpowiednich tablic lub wzorów,

– obliczenie współczynników tarcia rur λi na podstawie wykresu Moody’ego lub wzoru dla rur chropowatych,

– obliczenie prdkoci kocowej z przekształconego wzoru Bernoulliego, w którym zastpiono kolejne prdkoci rednie vi prdkoci kocow vk

według wzoru 2

=

i

kki d

dvv :

+

= 44

2

j

kj

i

k

i

ii

k

dd

dd

d

Hgv

ζλ l ,

– obliczenie wydatku: 4

2k

kd

vQπ= .

– Przyblienia nastpne: współczynnik tarcia λ(Re,ε) oblicza si dla przepływu wyliczonego w poprzednim przyblieniu:

– obliczenie prdkoci vi na podstawie wczeniej wyliczonego przepływu, – obliczenie współczynników tarcia rur λi na podstawie wykresu

Moody’ego lub wzorów, – obliczenie prdkoci kocowej i nowej wartoci wydatku jak

w przyblieniu pocztkowym. – Kryterium zakoczenia iteracji („kryterium stopu”):

jeli wartoci współczynników tarcia λi w kolejnych przyblienia róni si od siebie nie wicej ni o 3 %, obliczenia zostaj zakoczone, a warto przepływu przyjmuje si z ostatniego przyblienia.

Innym sposobem rozwizania jest metoda prób i błdów. Polega ona na rozwizywaniu zadania typu H dla kolejnych przyblie wartoci wydatku i porównywaniu wyniku z zadan wartoci H. Warto pocztkow Q mona przyj np. na podstawie prdkoci ekonomicznej.

4.4.5. Projektowanie rednicy rurocigu

1. Postawienie zadania: dane: H, Q, li, k, ν, szukane: di.

60

2. Zestawienie równań i niewiadomych: Przy stałej wartości wydatku na długości rurociągu wszelkie zmiany średnicy muszą mieć przyczyny pozahydrauliczne, jak np. wymiana ciepła (w grzejniku). NaleŜy zatem wyliczyć tylko średnicę d odcinków przesyłowych. Pozostaje więc, jak w zadaniu H, razem 1 + 2 i + j niewiadomych (d, vi, λi, ζj) i tyleŜ równań.

3. Rozwiązanie: Przy nieznanych średnicach rurociągu nie moŜna obliczyć współczynnika tarcia, gdyŜ nie jest znany Ŝaden z parametrów wzoru (Re, ε) na straty lokalne. Rozwiązanie moŜna zatem uzyskać jedynie stosując metodę kolejnych przybliŜeń.

– PrzybliŜenie początkowe: – obliczenie średnicy d’ na podstawie prędkości ekonomicznej ve:

ev

Qd

π2≅′ .

– PrzybliŜenia następne: – przyjęcie wartości pozostałych średnic di na podstawie kryteriów

pozahydraulicznych, – rozwiązanie zadania typu H przy załoŜonych średnicach, – porównanie wyliczonej wartości H’ z wartością zadaną H, – przyjęcie nowej wartości średnicy podstawowej d’’ według zasady:

Jeśli H’ > H , to d’’ > d’, jeśli H’ < H , to d’’ < d’. Średnice dobiera się na podstawie wyliczenia spośród wartości nominalnych, podanych w programie produkcji rur stosowanych w rurociągu lub według PN-83/H-02651.

– Kryterium zakończenia iteracji: jeśli dla sąsiadujących w wykazie średnic nominalnych róŜnica H’ - H zmienia znak, jako ostateczną przyjmuje się średnicę większą. Takie rozwiązanie zapewnia uzyskanie dla zadanej wysokości energii zasilania przepływu w rurociągu nie mniejszego niŜ zadany.

61

4.4.6. Obliczanie lewara

H

hpmin

γ

Rys. 23

O b l i c z e n i a p r z e p ł y w u W lewarze (rozdział 4.1.2 oraz rys. 23), jak w kaŜdym rurociągu, przepływ

odbywa się na skutek występowania spadku wysokości hydraulicznej pomiędzy wlotem i wylotem. Spadek ten, odpowiadający wysokości energii zasilania H, wywołuje w rurociągu o średnicy d przepływ o wielkości Q. Zatem konieczne jest przeprowadzenie dla lewara takich obliczeń hydraulicznych jak dla innych rurociągów, czyli rozwiązanie zadania typu H, Q lub d.

O b l i c z e n i e c iś n i e n i a w g ł o w i c y Ze względu na występowanie wewnątrz lewara podciśnienia, konieczne jest

sprawdzenie, czy w jakimś punkcie lewara ciśnienie nie spadło poniŜej punktu wrzenia cieczy w danej jej temperaturze. Przy znanym wzniesieniu h ponad zwierciadło w górnym zbiorniku wysokość ciśnienia p (bezwzględnego) w danym przekroju lewara wyniesie (zgodnie z równaniem Bernoulliego):

γγγw

strata p

hhpp >−−= .

Sprawdzenie naleŜy przeprowadzić dla głowicy lewara, czyli punktu o najwyŜszej wysokości z = h (najniŜej w stosunku do osi rurociągu połoŜonym zwierciadle piezometrycznym). Jak wynika ze wzoru, panuje tam najniŜsze ciśnienie. Wysokość strat dotyczy odcinka pomiędzy wlotem a głowicą. Normalna wysokość bezwzględnego ciśnienia atmosferycznego pa /γ wynosi 10.33 [m],

62

wysokość ciśnienia wrzenia pw /γ dla wody o temperaturze 40[oC] (upały) – 0.75 [m]. Tak więc wzniesienie głowicy nie moŜe w przeciętnych warunkach przekroczyć wysokości 9.58 [m] (pomniejszonej o wysokość strat między wlotem a głowicą).

4.5. PODSTAWY ROZWIĄZYWANIA SIECI RUROCIĄGÓW

Rurociągi wchodzące w skład sieci słuŜą głównie do transportu wody od jej źródła do odbiorców i są zazwyczaj traktowane jako długie. Stąd teŜ w niniejszym rozdziale straty lokalne zostały pominięte. Oznacza to, Ŝe linia ciśnień pokrywa się z linią energii.

4.5.1. Elementy sieci Sieć rurociągów składa się z następujących elementów:

G a łą ź jest to odcinek rurociągu o stałych parametrach prowadzący stały wydatek lub charakteryzujący się jednostajnym rozbiorem wody.

Wę z e ł jest to połączenie w jednym punkcie kilku gałęzi.

O c z k o jest to taki układ gałęzi rurociągu, który umoŜliwia przepływ pomiędzy dwoma węzłami dwiema róŜnymi drogami;

rurociąg tworzy zamknięty obwód.

4.5.2. Równania podstawowe

W fizycznym opisie przepływu w sieci obowiązują te same prawa co w rurociągu szeregowym, ale ich zapis jest inny:

R ó w n a n i e c ią g ł o ś c i zapisuje się dla węzła: ilości wody dopływające do niego i z niego wypływające są sobie równe. Przyjmując dopływy za dodatnie, a wypływy za ujemne dla węzła skupiającego n gałęzi uzyskuje się zapis:

01

=∑=

n

iiQ .

Analogiem równania ciągłości w elektrotechnice jest prawo Kirchhoffa.

R ó w n a n i e s t r a t Wysokość strat na długości moŜna obliczyć dla kaŜdej gałęzi na podstawie

wzoru Darcy’ego-Weissbacha (rozdz. 4.2.3):

gv

dh i

i

iii 2

2lλ= ,

63

gdzie: 2

4

ii

d

Qv

π= .

R ó w n a n i e B e r n o u l l i e g o – dla szeregowego układu gałęzi: spadek wysokości hydraulicznej (linii ciśnień)

jest równy sumie strat na długości w poszczególnych gałęziach:

∑= ihH ,

– dla równoległego układu gąłęzi: spadki linii ciśnień na wszystkich gałęziach łączących dwa węzły (A i B) są równe i odpowiadają stracie na długości kaŜdej z gałęzi:

H = HA – HB = hi ,

– dla układu gałęzi tworzących oczko: spadek linii ciśnień na zamkniętym obwodzie oczka (tzn. po powrocie do punktu wyjścia) wynosi zero:

0== ∑ ihH .

Wynika to z równości strat na dwu hipotetycznych gałęziach tworzących oczko; w przypadku obliczania strat w kierunku przeciwnym niŜ przepływ wysokość ciśnienia rośnie, a straty te są traktowane jako ujemne.

Analogiem równania Bernoulliego w elektrotechnice jest prawo Ohma dla sieci elektrycznych.

4.5.3. Obliczanie strat w rurociągu wydatkującym po drodze

Qw

Qo Qk

Rys. 24

64

Schemat rurociągu wydatkującego po drodze (rozdział 4.1.3 oraz rys. 24) pozwala obliczać straty na długości odcinka wydatkującego tak jak na odcinku nie wydatkującym, w którym trwa przepływ Qz :

wkwwkkz QQQQQQQ 0.553

1 22 +≅++= ,

gdzie Qo oznacza przepływ początkowy, Qk – końcowy, a Qw = Qo – Qk . Przepływ zastępczy Qz słuŜy wyłącznie do obliczenia prędkości średniej, na podstawie której określana jest wysokość strat na długości odcinka wydatkującego po drodze. Jeśli rurociąg rozprowadzający nie spełnia warunków podanych w definicji rurociągu wydatkującego po drodze, obliczenia naleŜy prowadzić tak jak dla otwartej sieci rurociągów.

4.5.4. Projektowanie rurociągu magistralnego

W przypadku rurociągów tworzących sieć otwartą podstawowy problem stanowi ustalenie rozkładu przepływów w sieci. Jeśli rozkład ten będzie znany, zarówno obliczenie rozkładu ciśnień w sieci (zadanie typu H), jak i zaprojektowanie średnic (zadanie typu d) sprowadza się do rozwiązania zadań z rurociągów szeregowych dla kaŜdej gałęzi z osobna. W praktyce zagadnienie takie pojawia się przy projektowaniu otwartej sieci rurociągów. NaleŜy wtedy wyznaczyć zarówno średnice, jak i ciśnienie zasilania sieci. W zadaniu występuje zatem nadmiar niewiadomych, który redukuje się przez zastosowanie pojęcia prędkości ekonomicznej. Takie zadanie znane jest jako projektowanie rurociągu magistralnego. Rurociąg magistralny (rys. 25) jest to sieć otwarta rurociągów, której główny element stanowi magistrala o przepływie początkowym (Q1) znacznie przewyŜszającym przepływy (Q4, Q5) w poszczególnych odgałęzieniach rozprowadzających wodę. Hydrauliczne projektowanie takiego rurociągu przebiega następująco:

1. Postawienie zadania: Dane: trasa rurociągu, wymagane przez uŜytkowników pobory (Q3, Q4,

Q5, Qw) i wysokości ciśnień (H3, H4, H5); Szukane: średnice odcinków (d1, d2, d3, d4, d5), rzędna wody w zbiorniku

retencyjnym, moc N pompy;

2. Wyznaczenie wydatków obliczeniowych: na podstawie bilansu potrzeb uŜytkowników i proponowanej trasy określa się, korzystając z równania ciągłości dla węzłów, przepływy w poszczególnych odcinkach, np.:

Q1 = Q3 + Q4 + Q5 + Qw ;

65

H4

Q4 Q3Q2Q1

HHp

Q5Qw

H1

H2

H3

H5

Rys. 25

3. Wybór linii magistralnej (linii głównej, o największych stratach) na rozgałęzieniach naleŜy zatem wybierać odcinki o maksymalnym wydatku Qi, długości l i lub końcowej wysokości ciśnienia Hi ;

4. Wyznaczenie średnic odcinków magistrali: średnice wyznacza się na podstawie przepływu na danym odcinku i prędkości ekonomicznej (rozdział 4.4.1);

5. Wyznaczenie strat na odcinkach magistrali: polega ono na rozwiązaniu zadania typu H dla rurociągu szeregowego, w wyniku czego uzyskuje się wymaganą wysokość energii zasilania H;

6. Wyznaczenie rzędnej wody w zbiorniku retencyjnym: jest to suma wysokości zasilania i końcowej wysokości ciśnienia (H + H3). Rzędna ta pozwala zaprojektować zbiornik. Podobnie wylicza się wysokości ciśnień na końcu pośrednich odcinków magistrali (H1, H2);

7. Wyznaczenie parametrów pompy: wysokość pompowania Hp wylicza się z róŜnicy między poziomem wody w zbiorniku retencyjnym a poziomem ujęcia powiększonej o wysokość strat na odcinku ssawnym i tłocznym. Na tej podstawie określa się wymaganą moc pompy zgodnie ze wzorem:

[kW]η

γ pHQN = ,

gdzie: γ – cięŜar właściwy wody, zaś η – współczynnik sprawności pompy. 8. Wyznaczenie średnic odcinków rozprowadzających: polega na rozwiązaniu

zadań typu d przy znanym wydatku (np. Q4) i wysokości strat (H2 – H4). W przypadku równomiernego rozbioru wody będzie to zadanie dla rurociągu

66

wydatkującego po drodze (dane: Q5, Qw, H1 – H5). Jeśli wybór linii magistralnej został dokonany poprawnie, wszystkie zadane wysokości strat będą dodatnie. W przeciwnym przypadku naleŜy poprawić przebieg magistrali i powtórzyć obliczenia od punktu 3.

4.5.5. Obliczanie sieci otwartych

H2

H1

H3

H4

Q2

Q1

Q3

Rys. 26

Obliczenie przepływów w sieci równorzędnych rurociągów jest zadaniem bardziej złoŜonym. Rozkład przepływów zaleŜy wtedy od rozdziału w węzłach sieci. Najprostszy przypadek stanowi zadanie z pojedynczym węzłem, jest to tzw. zadanie „trzech zbiorników” (rys. 26). Zasada postępowania jest następująca:

1. Postawienie zadania: Dane: d1, d2, d3, H1, H2, H3. Szukane: Q1, Q2, Q3, H4 .

2. Równania podstawowe: – Równanie ciągłości dla w = 1 węzłów:

Q1 + Q2 = Q3 ,

– Równanie Bernoulliego dla n = 3 gałęzi:

gv

dl

HH2

21

1

1141 λ=− itp.,

67

gdzie: 2

4

i

ii

d

Qv

π= , łącznie w + n = 1 + 3 = 4 równania i tyleŜ

niewiadomych.

3. Rozwiązanie: Z zestawienia wynika, Ŝe układ równań jest rozwiązywalny i w zasadzie moŜna tego dokonać metodą podstawień eliminujących kolejne niewiadome, jest to jednak procedura trudna i pełna zasadzek numerycznych. W praktyce rozwiązanie najłatwiej uzyskać metodą iteracyjną: – PrzybliŜenie początkowe: załoŜenie wysokości hydraulicznej (H4) w węźle

wewnętrznym sieci: H1 > H2 = H4 > H3 ,

czyli przyjęcie braku przepływu w gałęzi o pośredniej wysokości ciśnienia, przez co unika się konieczności ustalenia kierunku ruchu;

– PrzybliŜenia następne: – Obliczenie wydatku w dwóch (n – 1) gałęziach (przy znanej wartości

spadku jest to dla kaŜdej gałęzi zadanie typu Q – rozdz. 4.4.4):

( )

1

11

412

11

2

4d

HHgdQ

lλ

π −=

i analogicznie w gałęzi nr 2; – Obliczenie wydatku w ostatniej gałęzi z równania ciągłości:

Q3 = Q1 + Q2;

– Określenie wysokości hydraulicznej w węźle (przy znanej wartości wydatku jest to zadanie typu H):

gv

dl

HH2

23

3

3334 λ+=' ,

23

33

4

d

Qv

π=

moŜna teŜ ocenić H4’ na podstawie Q3 w przybliŜeniu; – Powtórzenie iteracji dla H4 = H4’;

– Kryterium stopu: jeśli wyliczone w kolejnych iteracjach wydatki Q3 róŜnią się mniej niŜ o 3 %, obliczenia zostają zakończone, a jako wynik przyjmuje się ostatnio wyliczony układ wydatków i wysokości ciśnienia.

Ze względu na iteracyjny przebieg obliczeń współczynników λi mogą być wyznaczane dla poprzednio wyliczonych wydatków (w pierwszym przybliŜeniu dla rur chropowatych) bez konieczności wprowadzania dodatkowych przybliŜeń.

68

Obliczenie rozkładu wydatków w sieci zawierającej więcej węzłów, choć trudniejsze, odbywa się na podobnych zasadach. W przypadku sieci prostych, w których rozgałęzia się tylko główny rurociąg, wysokość ciśnienia zakłada się w którymś z węzłów przylegających do jednej tylko gałęzi wewnętrznej. Pozwala to obliczyć rozkład przepływów w całej sieci, a ze zbywającego równania takŜe przyjętą wcześniej arbitralnie wysokość ciśnienia. Z porównania wysokości obliczonej i zadanej moŜna ocenić kierunek poprawki w załoŜonej wysokości ciśnienia i metodą kolejnych przybliŜeń dojść do rozwiązania.

4.5.6. Obliczanie rurociągów równoległych

H2

H1

Q2Q Q

Q3

Q2

Rys. 27

Rurociągi równoległe (rys. 27, rozdz. 4.1.3) to najprostszy rodzaj sieci pierścieniowej. Węzeł rozdzielczy moŜe być połączony z węzłem zbiorczym dowolną liczbą (n) gałęzi, które tworzą od jednego do n – 1 oczek. Podstawowym celem obliczeń jest wyznaczenie rozdziału przepływów pomiędzy gałęziami. Jeśli jest on znany, zadanie moŜna podzielić na kilka prostych zadań (rozdz. 4.4) odnoszących się do poszczególnych gałęzi. Rurociągi równoległe to jedyny przypadek sieci pierścieniowej, który moŜe być rozwiązywany bez uŜycia skomplikowanych metod iteracyjnych. Przebieg obliczeń jest następujący:

1. Postawienie zadania: Dane: Q, H2, di, l i, k, ν Szukane: Qi, H1

2. Równania podstawowe: – Równanie ciągłości (identyczne dla obu węzłów):

Q = ΣQi ,

69

– Równanie Bernoulliego dla n gałęzi:

gv

dHHh i

i

ii 2

2

21

lλ=−= dla i =1…n,

gdzie: h – stała dla wszystkich gałęzi wysokość strat równa róŜnicy wysokości ciśnień między węzłami,

2

4

i

ii

d

Qv

π= .

Układ zawiera łącznie n + 1 równań i tyleŜ niewiadomych.

3. Rozwiązanie: Z równania Bernoulliego wynika, Ŝe natęŜenie przepływu w poszczególnych gałęziach jest funkcją wysokości strat h:

i

ii

iiii

d

hgdvAQ

lλ

π 2

4

2

== .

Po wstawieniu wzorów na Qi do równania ciągłości uzyskuje się równanie z jedną niewiadomą:

∑=

=n

i

i

ii

i

d

dhgQ

1

2

4

2lλ

π,

z którego moŜna wyznaczyć wysokość h:

2

1

52

2

42

=

∑=

n

i ii

idg

Qh

lλπ .

.

Znajomość wartości h pozwala obliczyć natęŜenia przepływu w poszczegól-nych gałęziach z podanego wzoru na Qi .

W przedstawionej metodzie obliczeń załoŜono, Ŝe wartości współczynników λi dla poszczególnych gałęzi są znane. PoniewaŜ jednak są one funkcją liczby Reynoldsa Re, a więc nieznanej prędkości przepływu w gałęzi, zachodzi konieczność poszukiwania rozwiązania metodą kolejnych przybliŜeń. Podobnie jak w zadaniach typu Q (rozdz. 4.4.4), w pierwszym przybliŜeniu zakłada się wystąpienie warunków przepływu dla rur hydraulicznie chropowatych, co pozwala wyznaczyć współczynniki tarcia jako

70

funkcję znanej chropowatości względnej λi(k/di). Po ustaleniu na tej podstawie rozdziału przepływów wylicza się prędkości vi w poszczególnych gałęziach, wartości Rei , a następnie λi(Rei,k/di) juŜ w funkcji obu wymaganych zmiennych. Jeśli tak wyznaczone współczynniki λi róŜnią się od wyliczonych w pierwszym przybliŜeniu, naleŜy na podstawie ich nowych wartości ponownie wyznaczyć przepływy Qi i powtórzyć obliczenia, aŜ do uzyskania zgodności pomiędzy kolejnymi przybliŜeniami λi .

Bardziej złoŜone, rozgałęziające się wielostopniowo sieci otwarte jak równieŜ sieci pierścieniowe nie mające charakteru rurociągów równoległych, wymagają zastosowania specjalistycznych metod iteracyjnych, które nie będą tu omawiane.

71

5. RUCH W KORYTACH OTWARTYCH

5.1. GEOMETRIA KORYT OTWARTYCH

BiB

hi hi+1 h

m

b

θ1:m1

Rys. 27

5.1.1. Przekrój poprzeczny koryta cieku

P r z e k r ó j c z y n n y k o r y t a jest to wypełniona wodą część przekroju poprzecznego zawarta pomiędzy powierzchnią zwierciadła a dnem i brzegami koryta.

Jest to zatem przekrój strumienia przepływu. P r z e k r ó j p o p r z e c z n y k o r y t a n a t u r a l n e g o jest opisywany za pomocą dwóch współrzędnych: głębokości h i szerokości B. Zgodnie z przebiegiem sondowań przekrój zostaje podzielony na ciąg trapezowych pasów (rys. 23). Wymiary kaŜdego z nich są jednoznacznie opisane dwiema głębokościami hi i hi+1 oraz szerokością pasa Bi. Trapezy skrajne są zazwyczaj trójkątami (h1 = 0).

P r z e k r ó j t r a p e z o w y : koryta sztuczne mają zwykle prostszy kształt, najczęściej trapezu (rys. 23). Opisywane są trzema wielkościami: szerokością w dnie b, głębokością h i nachyleniem skarp m = ctg ϕ . Szerokość skarpy w planie wynosi h m . Szczególnym przypadkiem jest koryto trójkątne (b = 0) i prostokątne (m = 0).

P o w i e r z c h n i a p r z e k r o j u k o r y t a

– naturalnego:

( ) iii BhhA ∑ ++= 12

1,

72

– trapezowego:

A = b h + m h2 .

O b w ó d z w i lŜ o n y jest to ta część obwodu przekroju poprzecznego, na którym występuje wymiana pędu z otoczeniem.

Na powierzchni obwodu zwilŜonego występuje tarcie, w wyniku którego lokalna prędkość wyraźnie spada. Ma to miejsce przede wszystkim na dnie i ścianach koryta, gdzie prędkość spada do zera. Natomiast nie wlicza się do obwodu szerokości swobodnego zwierciadła B.

Wartość obwodu zwilŜonego oblicza się wzorami: – w korycie naturalnym:

( )∑=

+ +−=N

iiii BhhU

1

221 ,

– w korycie trapezowym: 212 mhbU ++= .

K o r y t o p r y z m a t y c z n e to takie, w którym zmienia się jedynie napełnienie h, natomiast geometria dna (szerokość i nachylenie skarp) pozostaje stała.

K o r y t o c y l i n d r y c z n e to takie, którego przekrój daje się opisać funkcją ciągłą.

Przykładem takiego koryta jest koryto o przekroju kołowym lub parabolicznym.

5.1.2. Profil podłu Ŝny koryta

S p a d e k d n a k o r y t a So obliczany jest na podstawie najniŜszych rzędnych dna z w dwóch przekrojach poprzecznych (1 i 2), połoŜonych w odległości l mierzonej wzdłuŜ nurtu cieku według wzoru (rys. 28):

θsin=−=l

21 zzSo .

Spadek dna nie zaleŜy od napełnienia, a jedynie od topografii dna i zwłaszcza na dłuŜszych odcinkach (l ) zmienia się bardzo wolno (w geologicznej skali czasu).

S p a d e k z w i e r c i a d ł a S obliczany jest na podstawie rzędnych H zwierciadła w przekrojach:

ll2121 hh

SHH

S o−+=−= .

73

S p a d e k h y d r a u l i c z n y Sf , inaczej spadek tarcia, jest równy spadkowi linii energii:

Sg

vvS

hS strat

f ≅−

+==ll 2

22

21 .

W praktyce, ze względu na niewielką zmienność prędkości w ciekach, spadek hydrauliczny jest równy spadkowi zwierciadła.

H2

l

h1

h2

hstrat

So

z1

z2

H1v

g12

2

vg

22

2

θ

Sf

S

Rys. 28

Wartości spadków podaje się w promilach [‰ = m/km] lub w procentach [%]. Dla potoków górskich mogą one wynosić nawet kilkanaście procent, dla rzek nizinnych zwykle dziesiąte części promila. Z tego względu odległość przekrojów ( l ) moŜna mierzyć w planie, co pozwala wyznaczać ją na podstawie mapy.

5.2. STRATY ENERGII W CIEKU

ReŜim ruchu w ciekach ma z reguły charakter turbulentny i wielkość strat energii jest proporcjonalna do kwadratu prędkości średniej.

5.2.1. Straty na długości cieku

Obliczenia strat prowadzi się zwykle na jednostkę długości cieku, a więc określany jest spadek hydrauliczny Sf .

W z ó r M a n n i n g a określa lokalną zaleŜność prędkości średniej od strat na długości przy dowolnym przepływie ze swobodnym zwierciadłem:

74

21

321

3 2

ff SR

nn

SRv == .

gdzie: R – promień hydrauliczny [m]; spadek Sf podaje się w wartościach bezwymiarowych.

P r o m i eń h y d r a u l i c z n y R określany jest na ogólnych zasadach (rozdz. 3.2.3) i w płytkich, a szerokich ciekach odpowiada on głębokości średniej:

hhb

hbUA

R →+

≅=2

(dla b → ∞) ,

nigdy tej wielkości nie przekraczając. W rzeczywistości, przy praktycznie występujących proporcjach wymiarów koryt cieków, promień hydrauliczny spełnia warunki:

hRh <≤2

.

W s p ó ł c z y n n i k s z o r s t k oś c i n jest parametrem empirycznym zaleŜnym od charakteru powierzchni dna. Przybiera wartości od 0.009 (powierzchnia szklista) poprzez 0.014 dla kanałów betonowych, 0.025 dla ziemnych, 0.040 dla rzek aŜ do 0.20 [s/m1/3] dla powierzchni porośniętej krzewami.

U2

U1

U3

n1 n2

n3

Rys. 29

U ś r e d n i a n i e w s p ó ł c z y n n i k a s z o r s t k oś c i . W przypadku gdy dno cieku nie ma jednolitego charakteru i w danym przekroju występują jego fragmenty o róŜnej szorstkości, współczynnik szorstkości obliczany jest jako średnia waŜona. Rolę wagi pełni długość obwodu zwilŜonego odpowiadająca danej szorstkości (rys. 29):

75

321

332211

UUUnUnUnU

U

nUn ii

++++

== ∑ .

W z ó r D a r c y ’ e g o - W e i s s b a c h a W dokładniejszych obliczeniach uwzględniających przepływy na terasach

porośniętych wysoką roślinnością stosowane jest tzw. u n i w e r s a l n e p r a w o p r z e p ł y w u oparte na wzorze Darcy’ego-Weissbacha (rozdział 4.2.3):

fSRgv 81

λ= ,

gdzie współczynnik tarcia λ dla koryt nie porośniętych określa się ze wzoru Prandtla-Nikuradse’go (rozdz. 4.2.3):

2

10 84142

1

=

Rk

.log

λ .

Chropowatość bezwzględna k przyjmuje wartości od 1 [mm] dla dna piaszczystego do 30 [cm] dla kamienistego.

5.2.2. Straty lokalne w korycie cieku

Przy przepływie ze swobodnym zwierciadłem duŜe przeszkody powodują zmiany kształtu powierzchni wody. W efekcie pojawiają się zmiany głębokości i prędkości ruchu i związane z nimi lokalne straty energii. Teoria obliczeń jest bardziej rozbudowana niŜ w przypadku strat lokalnych w rurociągach i nosi nazwę h y d r a u l i k i b u d o w l i w o d n y c h (rozdział 6).

5.3. RUCH JEDNOSTAJNY W KORYTACH OTWARTYCH

5.3.1. Głębokość i prędkość normalna

Zgodnie z definicją ruchu jednostajnego ustalonego (rozdział 3.2.1) średnia prędkość przepływu w korycie nie zmienia się w czasie ani na długości cieku. Warunkiem zaistnienia takiego przepływu jest pryzmatyczny charakter koryta. W praktyce przyjmuje się, Ŝe przekroje są mało zmienne, spadek dna i szorstkość koryta stałe, a krzywizny osi strumienia niewielkie. Z ustalonego charakteru ruchu wynika stałość przepływu (rozdział 3.3.2), a stąd stałość przekroju czynnego i napełnienia h. Stała prędkość i głębokość w przepływie jednostajnym ustalonym

76

noszą nazwę p rę d k oś c i n o r m a l n e j vo i g ł ę b o k oś c i n o r m a l n e j ho. Spadek hydrauliczny jest przy stałej głębokości równy spadkowi dna. Wielkość przepływu w ruchu jednostajnym oblicza się na podstawie wzoru Manninga:

oo SnR

AvAQ3 2

== .

5.3.2. Obliczanie przepływu w korytach wielodzielnych

R

h3h2

III III

b2

b1

b3

h1

n2 n1 n3

h

Rys. 30

W korytach otwartych o złoŜonym przekroju poprzecznym, szczególnie w korytach terasowych, które słuŜą do przeprowadzenia wielkich wód (rys. 30), obliczenia prowadzone dla całego przekroju mogą doprowadzić do uzyskania skokowego spadku przepływu przy wzroście głębokości. Jest to efekt nieciągłości promienia hydraulicznego przy napełnieniu odpowiadającym poziomowi terasy. Następuje tu nagły przyrost obwodu zwilŜonego przy niewielkim przyroście powierzchni. Koryta o takiej charakterystyce muszą być traktowane jako koryta wielodzielne. Podział na części obliczeniowe przeprowadza się w ten sposób, by oddzielić od siebie fragmenty przekroju, na których występują wyraźnie róŜne prędkości przepływu.

K o r y t o w i e l o d z i e l n e jest to koryto, którego przekrój został podzielony liniami pionowymi na części obliczeniowe w celu uniknięcie nieciągłości w obliczeniach przepływu (rys. 30).

Podział koryta ma uzasadnia się występowaniem wyraźnie róŜnych prędkości przepływu w jego poszczególnych częściach. W praktyce linie podziału wystawia się na krawędziach teras.

77

O b l i c z a n i e p r z e p ł y w u w k o r y c i e w i e l o d z i e l n y m

Przepływ w korycie wielodzielnym jest obliczany niezaleŜnie dla kaŜdej części (od I do N) tak jak w korytach jednodzielnych. Całkowity przepływ w korycie jest sumą przepływów cząstkowych:

∑=

=+++=N

i i

iioN n

RASQQQQ

IIII ...

3 2

.

U w a g a : w klasycznych obliczeniach linia podziału nie jest częścią obwodu zwilŜonego (rozdział 5.1.1)!

5.3.3. Rozwiązywanie zadań

Z m i e n n e w y s tę p u j ą c e w z a d a n i a c h z ruchu jednostajnego w korytach otwartych moŜna podzielić na 4 grupy:

– zmienne opisujące ruch w korycie: Q, vo , – napełnienie: ho , – spadek dna koryta: So , – parametry przekroju poprzecznego:

– szorstkość n , – typ geometrii i wymiary dna (np. b, m) oraz zaleŜne od napełnienia funkcje

opisujące koryto: A(ho), U(ho), R(ho);

T y p y z a d ań z h y d r a u l i k i k o r y t o t w a r t y c h

Parametry przekroju poprzecznego wynikają z zastosowanego materiału i są przyjmowane z powodów pozahydraulicznych (praktyka regulacji cieków, melioracji itp.). Wzór na przepływ pozwala wyliczyć jedną spośród zmiennych Q, ho, So przy zadanych pozostałych. Pojawiają się zatem trzy typy zadań:

– Zadanie typu Q – obliczenie przepływu w kanale: dane: h, So, szukane: Q i vo . Obliczenie polega na bezpośrednim zastosowaniu wzoru na wydatek (rozdział 5.3.1 lub 5.3.2) i prędkość;

– Zadanie typu So – obliczenie spadku dna kanału: dane: Q, ho , szukane: So. Obliczenie polega na rozwiązaniu wzoru na wydatek ze względu na spadek So:

78

23 2

2

=

∑i

ii

o

n

RA

QS ;

ho’

ho

ho”ho”’

Q’ Q Q”

Q

nieznana zaleŜność Q(ho)

Rys. 31

– Zadanie typu h – obliczenie napełnienia kanału: dane: Q, So, szukane: ho. Ze względu na uwikłanie zmiennej ho we wzorach opisujących geometrię przekroju (A, U, R) obliczenie polega na iteracyjnym zastosowaniu wzoru na wydatek dla kolejnych przybliŜeń wartości ho . Wyniki przedstawia się zwykle w tabeli:

Lp. ho U A R n v Q 1 1 m 2

Obliczony przepływ porównuje się z zadanym i na tej podstawie przyjmuje się nowe przybliŜenie napełnienia ho zakładając proporcjonalność Q ~ ho . MoŜna posłuŜyć się przy tym pomocniczym wykresem (rys. 31). Iteracje kończy się, gdy kolejne przybliŜenia h róŜnią się nie więcej niŜ o 1 %, a jako wynik przyjmuje się wartość dającą wydatek bliŜszy zadanemu.

5.3.4. Obliczanie przepływu w kolektorach

K o l e k t o r jest to kanał o przekroju zamkniętym (rurociąg), w którym odbywa się przepływ ze swobodnym zwierciadłem.

79

Obliczenia przepływu przeprowadza się zgodnie z zasadami przyjętymi dla koryt otwartych.

G e o m e t r i a k o l e k t o r ó w Przekroje poprzeczne kolektorów są przystosowane do transportowania

ścieków, a więc cieczy niosących znaczne ilości cząstek stałych. Dla zapobieŜenia osadzaniu się mułu podczas przepływów niŜówkowych wiele z tych przekrojów ma wąskie dno zapewniające duŜe prędkości przy niskich napełnieniach. W powszechnym zastosowaniu są przekroje z prefabrykatów betonowych o znormalizowanych kształtach (rys. 32).

Ro

2 RoRo 3 Ro

Ro / 2Ro

Rys. 32

M o d u ł p r z e p ł y w u i m o d u ł p rę d k oś c i Przepływ w całkowicie wypełnionym przekroju zamkniętym jest funkcją

spadku dna So oraz rodzaju zastosowanego przekroju. Rodzaj przekroju określa jego wymiary geometryczne i materiał ścian, a więc współczynnik szorstkości n. Tak więc wzór na prędkość i przepływ moŜna zapisać w postaci:

oo Swv = , oo SKQ = ,

gdzie w i K są charakterystyczne dla danego rodzaju przekroju:

– moduł prędkości:

nR

w3 2

= ,

– moduł przepływu:

AwnR

AK ==3 2

.

Dla kolektora betonowego (n = 0.014 [s/m1/3]): – ∅ 500 [mm]: K = 3.50 [m3/s], – ∅1000 [mm]: K = 22.2 [m3/s].

80

Wartości modułów dla kolektorów o typowych przekrojach moŜna znaleźć w tablicach jako funkcje ich rozmiarów. Przy częstych obliczeniach (np. w biurach projektów) opłacalne jest opracowanie tablic modułów dla innych typów przekrojów, równieŜ otwartych. W przypadku przekroju otwartego moduł wylicza się dla pewnego stałego napełnienia uznanego za podstawowe.

F u n k c j e s p r a w n oś c i Przepływ w kolektorze zaleŜy od jego napełnienia. Przy kolektorach tego

samego typu, róŜniących się tylko skalą, wygodnie jest posługiwać się bezwymiarowymi parametrami przepływu, czyli funkcjami sprawności. Podstawowe znaczenie mają:

– Funkcja sprawności przepływu: FQ(h/H) = Q(h)/Qo ;

– Funkcja sprawności prędkości: Fv(h/H) = v(h)/vo .

Pomocniczo stosowane są równieŜ:

– Funkcja przekroju: FA(h/H) = A(h)/Ao ;

– Funkcja obwodu zwilŜonego: FU(h/H) = U(h)/Uo ;

– Funkcja promienia hydraulicznego: FR(h/H) = R(h)/Ro .

Wielkość H oznacza tu wartość całkowitego napełnienia, czyli wysokość przekroju, wielkości Qo , vo , Ao i Uo odpowiadają całkowitemu napełnieniu kolektora, natomiast Ro zazwyczaj oznacza podstawowy promień przekroju (rys. 32). Wartości funkcji sprawności dla kolektorów o typowych przekrojach moŜna znaleźć w tablicach. Podobnie jak dla modułów przy częstych obliczeniach (np. w biurach projektów) opłacalne jest opracowanie tablic sprawności dla innych przekrojów. W przypadku kolektora kołowego, przy napełnieniu 40 %, FQ(h/H = 0.4) = 0.332, Fv(h/H = 0.4) = 0.889; maksymalne sprawności wynoszą odpowiednio: FQ(h/H = 0.93) = 1.09, Fv(h/H = 0.81) = 1.16.

O b l i c z a n i e p r z e p ł y w u w k o l e k t o r z e

Stablicowanie modułów i funkcji sprawności pozwala na uproszczenie obliczeń hydraulicznych kolektorów niezaleŜnie od typu rozwiązywanego zadania. Tok postępowania jest następujący:

– Zadanie typu Q : dane: h, So, rozmiar kolektora H; szukane: Q i vo

– wyznaczenie z tablic modułów K i w dla danego kolektora,

– obliczenie Qo : oo SKQ = oraz vo: oo Swv = ,

81

– obliczenie napełnienia względnego ξ = h/H, – wyznaczenie z tablic współczynników sprawności FQ i Fv dla danego

napełnienia ξ, – obliczenie wydatku: Q = FQ Qo oraz prędkości: v = Fv vo;

– Zadanie typu So : dane: Q, h, rozmiar kolektora H; szukane: So

– obliczenie napełnienia względnego ξ = h/H, – wyznaczenie z tablic współczynnika sprawności FQ dla danego napełnie-

nia ξ , – obliczenie wydatku przy całkowitym napełnieniu: Qo = Q / FQ, – wyznaczenie modułu K dla danego kolektora z tablic,

– obliczenie spadku kolektora: 2

=KQ

S oo ;

– Zadanie typu h : dane: Q, So, rozmiar kolektora H; szukane: h

– wyznaczenie z tablic modułów K i w dla danego kolektora,

– obliczenie Qo : oo SKQ = ,

– obliczenie współczynnika sprawności FQ: FQ = Q / Qo, – wyznaczenie z tablic napełnienia względnego ξ = h/H na podstawie

wartości FQ, – obliczenie napełnienia: h = ξ H.

5.4. REśIMY RUCHU W KORYTACH OTWARTYCH

5.4.1. Definicja głębokości krytycznej

G ł ę b o k oś ć k r y t y c z n a hk jest to głębokość normalna strumienia, przy której energia ruchu jest dla danego przepływu najmniejsza.

Ma wtedy miejsce ruch krytyczny (porównaj rozdział 3.2.4). Wysokość energii określa się na podstawie wzoru Bernoulliego:

min=+=g

vhH k

k 2

2

.

82

Analiza definicji prowadzi do wniosku, Ŝe przy zadanej wysokości energii H przepływ osiąga maksimum przy głębokości krytycznej.

5.4.2. Wzór na głębokość krytyczną w korycie prostokątnym

W korycie prostokątnym prędkość daje się wyrazić prostą funkcją głębokości:

kk hb

Qv = .

To pozwala wyznaczyć głębokość krytyczną wprost z warunku na minimum energii strumienia:

min=+=22

2

2 kk

hbg

QhH ,

stąd:

32

2

bg

Qhk

α= .

Łatwo jest dowieść, Ŝe:

Hhk 3

2= .

Podobnie moŜna wyznaczyć głębokość krytyczną w innych korytach o prostej geometrii przekroju.

5.4.3. Wzór na głębokość krytyczną w korycie dowolnym

W korycie dowolnym warunek minimum energii prowadzi do wzoru na głębokość krytyczną w postaci uwikłanej:

( )( ) g

QhBhA

k

k23 α= .

Wielkość B(hk) jest szerokością zwierciadła zaleŜną od napełnienia. Rozwiązanie uzyskuje się metodą prób i błędów podstawiając kolejne przybliŜenia wartości hk

do lewej strony równania aŜ do osiągnięcia przez nią wartości podanej przez stronę prawą.

83

5.4.4. Prdko i spadek krytyczny

P r d k o k r y t y c z n a jest to rednia prdko w ruchu jednostajnym ustalonym, który ma charakter ruchu krytycznego (porównaj rozdział 3.2.4).

Jest to wic prdko przy głbokoci normalnej równej krytycznej ho = hk . Dla koryta prostoktnego (porównaj rozdział 5.3.1) uzyskuje si wzór:

αk

khg

v = .

Jeli w strumieniu panuje prdko wysza – podkrytyczna, zwizek pomidzy głbokociami w poszczególnych przekrojach ulega zerwaniu (ruch nadkrytyczny).

S p a d e k k r y t y c z n y jest to spadek dna koryta, w którym ruch jednostajny ustalony ma charakter ruchu krytycznego.

Jest to wic spadek dna, przy którym głboko normalna jest równa krytycznej ho = hk . Dla dowolnego koryta uzyskuje si zaleno:

31

34

2

2

22

kk

k

kk

kRB

Ung

RA

QnS

α== .

Daje to dla szerokiego koryta prostoktnego wielko:

3

2

kk

Rng

Sα

≅ .

Wielkoci z indeksem k s obliczane dla głbokoci krytycznej. Spadek krytyczny ma charakter graniczny: przy spadku niszym istnieje zwizek pomidzy głbokociami w poszczególnych przekrojach, przy wyszym zwizek ten ulega zerwaniu.

5.5. RUCH NIEJEDNOSTAJNY W KORYCIE OTWARTYM

5.5.1. Warunki wystpowania

Ruch niejednostajny w korycie otwartym wie si ze zmianami głbokoci wody na długoci cieku (rozdział 3.2.1). Maj one róny zasig w zalenoci od

84

charakterystyki ruchu. W ruchu podkrytycznym zmiany głębokości są tak szybkie, Ŝe na ogół nie przeprowadza się obliczeń kształtu zwierciadła zakładając całkowite zerwanie związku między kolejnymi przekrojami obliczeniowymi (rozdz. 5.4.4). Praktyczne znaczenie mają jedynie obliczenia dla cieków o dodatnich spadkach dna (So > 0) i reŜimie nadkrytycznym.

5.5.2. Metoda od przekroju do przekroju

Równanie Bernoulliego pozwala ustalić związek pomiędzy stanami wody w kolejnych przekrojach (rys. 28):

strathgv

Hgv

H ++=+22

22

2

21

1

αα.

Wysokość strat określa się na podstawie średniego spadku hydraulicznego S na odcinku l:

ll2

21 SSShstrat

+== ,

który moŜna wyliczyć ze spadków w poszczególnych przekrojach na podstawie wzoru Manninga:

342

22

ii

iRA

QnS = .

Wielkość l oznacza odległość między przekrojami. Przy znanej geometrii koryta (A2), wydatku Q i stanie wody H2 w dolnym przekroju stan w przekroju górnym moŜna wyliczyć ze wzoru:

( )22

21

2121 22

vvg

SSHH −−

++= α

l .

Ostatni człon wzoru, wyraŜający zamianę energii kinetycznej na potencjalną, uwzględnia się tylko w ciekach o skoncentrowanym przekroju (rzeki, kanały). W zbiornikach, w których wykształcają się wewnętrzne strumienie, podczas gdy pozostała masa wody pozostaje niemal nieruchoma, człon kinetyczny pomija się w obliczeniach. Zakłada się, Ŝe energia prędkości zostaje rozproszona na skutek tarcia wewnętrznego.

K o l e j n oś ć o b l i c z eń jest następująca: 1. Wstępne załoŜenie nieznanej wartości stanu H1 w przekroju górnym. MoŜna ją

określić z warunku: z1 + ho < H1 < z1 + h2 .

85

2. Wyznaczenie na podstawie stanów wody głębokości (h1 i h2) i parametrów przekroju czynnego (A, U, R, C) w obu przekrojach.

3. Obliczenie prędkości średnich w obu przekrojach na podstawie równania ciągłości Q = vi Ai = const (pomijane w zbiornikach).

4. Obliczenie spadków hydraulicznych (S1 i S2) w obu przekrojach na podstawie wzoru Manninga.

5. Obliczenie wartości stanu H1 w górnym przekroju z podanego wzoru. 6. Jeśli obliczona wartość H1 róŜni się od załoŜonej wstępnie o więcej niŜ 1 % h1 ,

powtarza się cykl obliczeń dla nowego przybliŜenia.

Stosowana jest tu metoda prób i błędów z doborem wartości wyjściowej na podstawie poprzednich wyników. W obliczeniach automatycznych najczęściej jest stosowana (nie zawsze skuteczna) metoda podstawiania ostatniego wyniku (tzw. metoda Seidla) lub metoda podziału. Metoda podziału polega na określeniu, na podstawie dotychczasowych obliczeń, przedziału w którym znajduje się rozwiązanie i przyjęciu nowego przybliŜenia w jego połowie. Jest skuteczna zawsze, gdy rozwiązanie istnieje.

Dokładność obliczeń jest tym większa, im mniejsza jest odległość przekrojów obliczeniowych (l ) i im mniejsze zróŜnicowanie ich kształtu. Obliczenia praktyczne prowadzi się kolejno dla szeregu pomierzonych geodezyjnie przekrojów cieku rozpoczynając od budowli, gdzie stan H2 jest zadany przez załoŜony poziom piętrzenia lub wydajność przelewu (rozdział 6). Po obliczeniu stanu H1 w następnym przekroju staje się on wartością zadaną H2 w obliczeniach dla następnego odcinka, stąd nazwa metody „od przekroju do przekroju”. Metodę stosuje się zarówno do obliczeń ruchu opóźnionego, jak i przyspieszonego.

5.5.3. Obliczanie zasięgu cofki

Z a s ię g c o f k i b u d o w l i p ię t r zą c e j (cofka) jest to długość L odcinka cieku powyŜej budowli, na którym występują głębokości wyŜsze niŜ głębokość normalna; h(L) = ho .

W praktyce zakłada się koniec cofki w miejscu, gdzie głębokość przekracza normalną o mniej niŜ 1 %. Na podstawie definicji cofki i wzoru na stan w przekroju górnym moŜna ocenić jej długość:

( )2

22

22 2

2SS

vvg

hh

Lo

oo

−

−−−

=

α

.

86

Głębokość normalną ho (w ruchu jednostajnym ustalonym) określa się dla zadanego wydatku Q (rozdz. 5.3.3). Ze względu na znaczne na ogół długości cofki obliczenia takie są bardzo przybliŜone. Dokładny wynik uzyskuje się wykonując obliczenia stanów w kolejnych przekrojach aŜ do uzyskania głębokości normalnej i sumując odległości między przekrojami.

5.5.4. Metody uproszczone

Dla koryt o regularnych przekrojach poprzecznych opracowano tablice bezwymiarowych krzywych spiętrzenia (wartości h/ho), bazujące na metodzie Bachmietiewa. Szczególnym przypadkiem tej metody jest metoda Rühlmanna dla koryt prostokątnych i metoda Tolkmitta dla koryt o kształcie parabolicznym. W obu przypadkach stosowany jest wzór:

−

=

ooo

o

hh

hh

hS 12 ΦΦ

l ,

gdzie Φ jest stablicowaną funkcją piętrzenia. Obliczenia dla koryt rzeczywistych wymagają określenia parametrów zastępczego koryta regularnego, to jest takiego, które prowadzi ten sam przepływ. Metody uproszczone mogą być stosowane tylko dla ruchu opóźnionego i to przy zachowaniu szeregu ograniczeń. Wobec istnienia doskonałych programów komputerowych do numerycznych obliczeń przepływu w ciekach, metody uproszczone są wykorzystywane rzadko i nie będą tu szerzej omawiane.

87

6. HYDRAULIKA BUDOWLI W ODNYCH

6.1. WYPŁYW PRZEZ UPUSTY

6.1.1. Rodzaje upustów

U p u s t jest to wycięcie w ścianie zbiornika (budowli piętrzącej), słuŜące do odprowadzania wody (ze stanowiska górnego do dolnego).

O t w ó r ( u p u s t d e n n y ) jest to upust ciśnieniowy, czyli taki, na którego powierzchnię działa od strony stanowiska górnego ciśnienie wody wyŜsze od atmosferycznego.

P r z e l e w ( u p u s t p o w i e r z c h n i o w y ) jest to upust bezciśnieniowy, czyli taki, którego powierzchnię czynną (zwilŜoną) ogranicza od góry swobodne zwierciadło cieczy.

K s z t a ł t św i a t ł a u p u s t u jest to kształt powierzchni czynnej wypływającego strumienia w płaszczyźnie ściany (korony).

Najczęściej spotykany jest prostokątny kształt upustu, stosuje się teŜ trójkątny, kołowy i róŜne kształty funkcjonalne (rys. 38).

Kierunek napływu wody do upustu, czyli kąt, jaki tworzy oś strumienia z osią upustu pozwala wyróŜnić:

– u p u s t c z o ł o w y ( p r o s t y ) : oś strumienia i upustu są równoległe – korona upustu prostopadła do nurtu,

– u p u s t u k oś n y : oś upustu tworzy z osią strumienia kąt (w planie) mniejszy niŜ 90o – korona upustu pod kątem do nurtu,

– u p u s t b o c z n y : oś upustu jest prostopadła (w planie) do osi strumienia – upust w bocznej ściance koryta,

– p r z e l e w s z y b o w y : korona przelewu ma w planie kształt zamkniętego owalu (koła), a więc kąt napływu wody zmienia się od 0 do 180o,

88

– p r z e l e w o r o z w i n ię t e j k o r o n i e : korona przelewu jest krzywoliniowa w planie – długość korony jest większa od światła upustu mierzonego po prostej.

6.1.2. Rodzaje wypływu przez upusty

W zaleŜności od połoŜenia zwierciadła wody dolnej względem krawędzi upustu wyróŜnia się następujące rodzaje wypływu:

W y p ł y w s w o b o d n y (niezatopiony) jest to wypływ przez upust, w którym stanowisko dolne nie oddziałuje na wielkość przepływu.

Za otworem wykształca się strumień swobodnie spadający w powietrzu. Stanowisko dolne oddziałuje na wielkość przepływu w trzech przypadkach:

W y p ł y w p r z e z o t w ó r z a t o p i o n y jest to wypływ przez otwór przy poziomie wody dolnej wyŜszym od poziomu jego górnej krawędzi (rys. 33).

W y p ł y w p r z e z p r z e l e w z a t o p i o n y jest to wypływ przy poziomie wody dolnej wyŜszym od poziomu krawędzi przelewu.

W y p ł y w p r z e z o t w ó r p o d t o p i o n y jest to wypływ przez otwór przy poziomie wody dolnej wyŜszym od poziomu dolnej krawędzi, ale niŜszym od górnej.

wypływ swobodny wypływ podtopiony wypływ zatopiony wypływ nieswobodny

H ∆H∆H

HH

hh

Rys. 33

W y p ł y w n i e s w o b o d n y jest to wypływ przez upust, w którym swobodny spadek strumienia jest zakłócony poprzez powstanie podciśnienia pomiędzy nim a ścianką.

89

Zjawisko to powstaje w sytuacji, gdy strumień przylega do szczelnych ścianek bocznych. Powietrze porywane przez strumień wydostaje się na powierzchnię juŜ poza strefą swobodnego spadku. W efekcie powstaje róŜnica ciśnień odginająca strumień ku ścianie doprowadzając czasem nawet do jego przylgnięcia do powierzchni ściany (rys. 33).

6.1.3. Typy wypływu przez otwory

W y p ł y w p r z e z o t w ó r w c i e n k i e j ś c i a n c e to taki, w którym strumień odrywa się od ściany na krawędzi otworu (rys. 34).

Zjawisko to zachodzi przy grubości ścianki l < (3.5 ÷ 4) H .

otwór w cienkiejściance

przystawka

l lH

Rys. 34

W y p ł y w p r z e z p r z y s t a w kę to wypływ, w którym strumień przylega do ściany otworu na całej grubości ścianki (rys. 34).

Wypływ taki zachodzi przy grubości ścianki (3.5 ÷ 4) H < l < (6 ÷ 7) H . Powstaje wtedy efekt ssania zwiększający wydatek. Przy większej grubości ścianki straty na długości powodują konieczność obliczania takiego wypływu jak rurociągu pod ciśnieniem.

W y p ł y w p r z e z o t w ó r m a ł y to taki, w którym zmiany ciśnienia na wysokości otworu są niewielkie i moŜna je pominąć przy obliczaniu wypływu.

MoŜna przyjąć, Ŝe ma to miejsce dla H > 4.5 e (rys. 35) i dla otworów w ścianie poziomej (np. w dnie).

90

W y p ł y w p r z e z o t w ó r d uŜ y to taki, w którym zmiany ciśnienia na wysokości otworu są znaczne i przy obliczaniu wypływu nie moŜna ich zaniedbać; H ≤ 4.5 e .

Typ wypływu przez otwór nie zaleŜy od geometrii otworu, a tylko od wysokości słupa wody ponad osią otworu. Ten sam otwór moŜe być w róŜnych warunkach przystawką lub małym otworem w cienkiej ściance.

6.1.4. Typy wypływu przez przelewy

W y p ł y w p r z e z p r z e l e w o o s t r e j k r a wę d z i to taki, w którym strumień odrywa się od ściany na krawędzi przelewu (rys. 37).

Zjawisko to zachodzi przy grubości ścianki l < (0.1 ÷ 0.5) H .

W y p ł y w p r z e z p r z e l e w o k s z t a ł c i e p r a k t y c z n y m to taki, w którym strumień przylega do korony przelewu, ulegając przy tym silnemu zakrzywieniu.

Zjawisko to zachodzi przy grubości ścianki (0.1 ÷ 0.5) H < l < 2 H .

W y p ł y w p r z e z p r z e l e w o s z e r o k i e j k o r o n i e to taki, w którym na koronie przelewu występuje płaski odcinek strumienia (rys. 39).

Zjawisko to zachodzi przy grubości ścianki 2 H < l < (8 ÷ 15) H. Większe wartości przyjmuje się dla gładszych progów. Przy większej długości (l ) korony przelewu wypływ naleŜy obliczać jak przepływ w kanale otwartym (ze stratami na długości) z poziomem wody na wlocie jak dla progu o szerokiej koronie.

Typ wypływu przez przelew nie zaleŜy od geometrii przelewu, a tylko od wysokości słupa wody ponad jego koroną. Ten sam przelew moŜe być w róŜnych warunkach kanałem lub przelewem o ostrej krawędzi.

6.1.5. Kontrakcja strumienia

Na krawędzi upustu występuje silne zakrzywienie skrajnych, płynących dotąd wzdłuŜ ścianek, strug płynu. Przy krawędziach ostrych, załamanych pod duŜym kątem, róŜnica ciśnień pomiędzy wnętrzem strumienia i atmosferą zbyt słabo zakrzywia te strugi i następuje ich oderwanie od ścianki. W efekcie powstaje zwęŜenie przekroju strumienia w porównaniu z przekrojem światła upustu.

91

zupełna

zupełna

brak

niezupełna

b

e L > 3 b L < 3 b

L > 3 e

kontrakcja strumienia

H

Rys. 35

K o n t r a k c j a s t r u m i e n i a jest to zmniejszenie jego powierzchni czynnej w stosunku do powierzchni światła upustu.

W s p ó ł c z y n n i k k o n t r a k c j i ( d ł a w i e n i a) ε jest to stopień zmniejszenia powierzchni przekroju strumienia za upustem wskutek kontrakcji:

o

s

AA

=ε ,

gdzie As i Ao to odpowiednio powierzchnia przekroju strumienia i powierzchnia czynna upustu. Z definicji wynika ograniczenie ε < 1 .

W a r u n k i w y s tą p i e n i a k o n t r a k c j i

92

Warunkiem wystąpienia kontrakcji jest duŜy kąt pomiędzy ścianką zbiornika a krawędzią upustu. Im pełniejszy rozwój kontrakcji, tym mniejsza wartość współczynnika ε . Stopień rozwoju kontrakcji zaleŜy od geometrii upustu:

– k o n t r a k c j a z u p e ł n a : rozwija się na krawędziach na tyle odległych od bocznych ścian zbiornika, by te nie wpływały na kształt strumienia (rys. 35). Współczynnik kontrakcji w takich warunkach wynosi εo = 0.64 ;

– k o n t r a k c j a n i e z u p e ł n a : pojawia się na krawędzi znajdującej się w niewielkiej odległości od którejś z bocznych ścian zbiornika. Warunkiem wystąpienia takiej kontrakcji jest L < 3 b ;

– b r a k k o n t r a k c j i : ma miejsce, gdy krawędź upustu jest przedłuŜeniem ściany zbiornika. Sytuacja taka moŜe wystąpić tylko na niektórych krawędziach.

6.1.6. Prędkość wypływu

vo

θ

y

b(y)

H2

HoH1

g

v o

2

2

HHo

Rys. 36

Prędkość wypływu cieczy przez otwór niezatopiony moŜna określić z równania Bernoulliego (rys. 36):

oo Hg

Hgv 2

1

2 ϕζ

=+

= ,

93

gdzie Ho oznacza wysokość linii energii nad punktem, dla którego liczona jest prędkość:

gv

HH oo 2

2

+= ,

zaś ζ stanowi współczynnik strat na wlocie otworu.

W s p ó ł c z y n n i k p rę d k oś c i ϕ jest to stopień zmniejszenia prędkości wypływu na skutek strat lokalnych na otworze:

ζϕ

+==

1

1

tvv

.

Symbol vt oznacza prędkość cieczy idealnej, nie wykazującej strat (ζ = 0). Z definicji wynika ograniczenie ϕ < 1 . Dla otworu w cienkiej ściance ϕ = 0.97.

6.1.7. Współczynnik wydatku

Rzeczywisty wypływ przez upust charakteryzuje współczynnik wydatku µ określany jako stosunek:

εϕµ ==tQ

Q,

gdzie Qt – wydatek cieczy idealnej, w której nie występują opory ruchu i kontrakcja. Z definicji i związku ze współczynnikami ϕ i ε wynika warunek µ < 1 .

6.2. WYPŁYW PRZEZ OTWORY

6.2.1. Wypływ przez mały otwór niezatopiony

Korzystając z załoŜenia o jednorodności rozkładu ciśnienia na powierzchni otworu (rozdział 6.1.3) moŜna przyjąć, Ŝe równieŜ prędkość wypływu w kaŜdym jej punkcie jest jednakowa. Wielkość wydatku wypływu przez otwór wyniesie zatem:

oos HgAvAQ 2µ== ,

gdzie Ho oznacza wzniesienie linii energii nad środkiem cięŜkości otworu.

94

Współczynnik wydatku określa się w zaleŜności od stopnia kontrakcji: – kontrakcja zupełna: µo = 0.62 , – kontrakcja niezupełna: µ = µo (1 + C);

parametr C zaleŜy od stosunku pola przekroju otworu Ao do pola przekroju czynnego zbiornika Az i np. dla Ao /Az = 0.2 C = 0.034,

– brak kontrakcji na części krawędzi otworu:

+=UU

C no 1µµ ,

gdzie U oznacza całkowitą długość krawędzi, Un długość bez kontrakcji; dla otworów okrągłych C = 0.128, dla prostokątnych C = 0.152 .

6.2.2. Wypływ przez otwór zatopiony i podtopiony

W przypadku otworu małego, zarówno dla wypływu zatopionego, jak i podtopionego (rozdział 6.1.2), z równania Bernoulliego wynika zaleŜność prędkości wypływu od róŜnicy poziomów wody górnej i dolnej ∆H (rys. 33):

oozs HgAvAQ ∆2µ== ,

gdzie: gv

ooHH 2

2

∆∆ α+= .

Współczynnik wydatku ulega zmniejszeniu w stosunku do wypływu swobodnego:

µz = 0.986 µ .

Przy wypływie spod zasuwy bez progu, czyli dla otworu przydennego, energia strumienia moŜe być na tyle duŜa, by odrzucić wodę dolną od otworu. Głębokość wody w odpływie wynika wtedy z kontrakcji strumienia w otworze i wynosi:

h = ε e ,

gdzie e oznacza wysokość otworu (otwarcie zasuwy), natomiast współczynnik kontrakcji jest zbliŜony do wartości ε = 0.62 . Współczynnik wydatku dla zasuwy z wlotem o ostrych krawędziach wynosi µ = 0.58 .

6.2.3. Wypływ przez przystawkę

Budowa przystawki (rozdział 6.1.3) uniemoŜliwia kontrakcję strumienia (ε = 1). W tej sytuacji wydatek wypływu i współczynnik µ ulegają zwiększeniu w stosunku do wypływu przez analogiczny otwór. Współczynnik wydatku (µ = ϕ) zaleŜy teraz tylko od wielkości strat na wlocie ζ i wynosi: – dla wlotu o ostrych krawędziach: µ = 0.82

(przyrost wydatku o około 30 %),

95

– dla wlotu o krawędziach opływowych: µ = 0.95 (tzw. przystawka Weissbacha),

– dla przystawki wewnętrznej: µ = 0.71 .

6.2.4. Wypływ przez duŜy otwór

W tym przypadku konieczne jest uwzględnienie zmienności rozkładu ciśnień, a stąd zmian prędkości wypływu na powierzchni otworu. Wielkość wydatku oblicza się z całki (rys. 36):

( )∫∫ ==2

1

2 H

Ho

As HHyb

gAvQ

s

dsin

dθ

µ .

Rozwiązanie całki zaleŜy od kształtu otworu, czyli od funkcji b(y), gdzie

θsinHHy −= 2 jest współrzędną opisującą połoŜenie dowolnego punktu

w płaszczyźnie otworu.

W y p ł y w p r z e z o t w ó r p r o s t o ką t n y , b = const:

+−

+=

2

32

1

2

32

2 22

2

3

2

gv

Hg

vH

gbQ oo

θµ

sin

lub dla otworu w ścianie pionowej (θ = 0) zbiornika (vo = 0):

( )231

2322 HHgbmQ −= ,

gdzie: m = 2 µ / 3 – współczynnik otworu. Współczynnik wydatku przybiera wartości od µ = 0.65 dla otworów średniej wielkości z kontrakcją zupełną do µ = 0.85 dla otworów duŜych praktycznie bez kontrakcji.

Przy w y p ł y w i e p o d t o p i o n y m dokonuje się podziału strumienia na część swobodną i zatopioną (o wysokości h, rys. 33) opisując wypływ przez kaŜdą z nich odpowiednimi wzorami:

+−+

+−

+−=

gv

hHhg

vH

gv

hHgbQ oz

oo

2223

22

2

2

2

32

1

2

32

2 µµ

.

Współczynniki wypływu dla obu części są prawie równe i moŜna przyjąć:

96

µ = µz = 0.65 .

Dla w y p ł y w u z a t o p i o n e g o rozkład ciśnienia wypadkowego (∆p) i prędkości wypływu jest stały, a więc poprawny jest wzór dla małego otworu (rozdział 6.2.2).

W praktycznych obliczeniach wydatku duŜego otworu często wykorzystuje się wzór na wypływ swobodny z małego otworu uzupełniony o współczynnik zatopienia σ :

oo HgAmQ 2σ= ,

przy czym współczynniki m i σ dobiera się z tablic, które uwzględniają zmienność ciśnienia i stopień zatopienia otworu.

W s p ó ł c z y n n i k z a t o p i e n i a oznacza proporcję:

nQQ=σ ,

gdzie Qn to wypływ przez otwór niezatopiony. Współczynnik σ jest funkcją stopnia zatopienia σ = f(h/H) i z definicji spełnia warunek σ < 1 .

6.3. PRZELEWY

6.3.1. Wydatek przelewu swobodnego

Przelew moŜna traktować jako duŜy otwór z górną krawędzią na powierzchni wody (H1 = 0). Ogólny wzór na wydatek przelewu o dowolnym kształcie ma wtedy postać:

( )∫= 2

0

2 Ho HHyb

gQ d

sin θµ

.

Rozwiązanie szczególne zaleŜy od kształtu przelewu. Praktyczne znaczenie mają przelewy prostokątne wszystkich typów, natomiast przelewy o innych kształtach występują w zasadzie wyłącznie jako przelewy pomiarowe o ostrej krawędzi.

Wypływ przez przelew prostokątny o szerokości b w pionowej ścianie oblicza się ze wzoru:

232 oHgbmQ = ,

gdzie: m = 32 ε ϕ =

32 µ – współczynnik przelewu.

Często stosowany jest skrócony zapis współczynników wzoru w postaci:

97

gmC 2= .

Wysokość energii Ho róŜni się znacząco od głębokości wody na przelewie H tylko przy duŜym, w porównaniu z przekrojem (Ao) kanału doprowadzającego (lub zbiornika), świetle przelewu. Jeśli przekrój Ao > 4 b H, prędkość dopływu moŜna pominąć przyjmując Ho = H .

cg

L ≅ 3 H

H

h

cd

l

Rys. 37

Ze względu na występowanie w sąsiedztwie przelewu ruchu przyspie-szonego (rozdział 3.2.1) pojawia się depresja (obniŜenie) zwierciadła, która ma zasięg rzędu (3÷5) H . Pomiar głębokości H wody na przelewie naleŜy zatem wykonywać w odległości L H≅ 3 (rys. 37).

6.3.2. Współczynnik przelewu

Współczynnik przelewu m zaleŜy od kontrakcji strumienia, która rozwija się na dolnej i bocznych krawędziach przelewu. Dla przelewu prostokątnego moŜna go obliczyć ze wzoru Bazina-Hegly’ego:

++

+

−−=

2

5501[m]00270

03004050goo

o

cHH

Bb

HBbB

m ..

.. ,

gdzie Bo oznacza szerokość kanału przed przelewem, a cg – wysokość korony przelewu nad dnem górnego stanowiska. Wzór daje prawidłowe wyniki dla

98

0.4 > b > 2.0 [m], 0.1 < H < 0.6 [m], 0.2 < cg < 2.0 [m], 0.1 < b/Bo < 1.0 . W przypadku tzw. strugi nieswobodnej wydajność przelewu, a więc i m wzrastają.

6.3.3. Wpływ wody dolnej na wydatek przelewu

Wypływ przez prostokątny przelew zatopiony obliczany jest ze wzoru:

232 oHgbmQ εσ= .

Współczynnik kontrakcji bocznej ε został tu wyłączony ze współczynnika przelewu m ze względów praktycznych. Natomiast współczynnik zatopienia moŜna obliczyć ze wzoru:

3201051H

hHch

d

−

+= ..σ ,

gdzie h oznacza wysokość zatopienia przelewu (rys. 37), a cd – wysokość korony przelewu nad dnem dolnego stanowiska. Wzór daje prawidłowe wyniki dla 0.0 < h/cd < 1.5 i (H - h)/cd < 0.7. Przy (H-h) /cd ≥ 0.7 – σ = 1.0.

6.3.4. Przelewy o ostrej krawędzi

Przelewy pracujące jako przelewy o ostrej krawędzi mają cienką ściankę i są stosowane głównie do pomiaru natęŜenia przepływu. W zaleŜności od sytuacji stosowane są róŜne kształty światła:

P r z e l e w p r o s t o ką t n y ( B a z i n a , rys. 38) – stosuje się wzór na wydatek podany w rozdziale 6.3.1 ze współczynnikiem m według Bazina-Hegly’ego (rozdział 6.3.2).

θ

przelew prostokątny przelew trójkątny przelew proporcjonalny przelew kołowy

a

bo

Rys. 38

P r z e l e w t r ó j ką t n y – dla kąta rozwarcia skrzydeł θ stosuje się sprawdzony empirycznie wzór Grave’a:

99

4729960

23311 .

.

tg. HQ

= θ.

Wzór jest bardzo zbliŜony do teoretycznej całki (0.996 ≅ 1, 2.47 ≅ 5/2) i daje dobre wyniki dla kąta 20o < θ < 118o.

P r z e l e w T o m p s o n a – jest to przelew trójkątny o kącie rozwarcia θ = 90o. Do obliczeń stosowany jest wzór empiryczny:

4723431 .. HQ = .

Wzór daje dobre wyniki dla 0.05 < H < 0.25 [m].

P r z e l e w t r a p e z o w y – dla kąta nachylenia skrzydeł θ i długości korony poziomej bo stosuje się wzór:

( )Q b H g Ho= +0 42 08 2 15. . ctg .ε θ .

P r z e l e w p a r a b o l i c z n y – o szerokości opisywanej funkcją:

( ) yCyb 03510.5351.035 ]m[s0081 .. −=

Do obliczeń stosowany jest wzór: 2HCQ = .

Wzór daje dobre wyniki dla 0.03 < H < 0.6 [m] i 0.15 < C < 0.65 [m/s].

P r z e l e w k o ł o w y – do obliczeń stosowany jest wzór empiryczny:

52.HCQ = , gdzie:

−

++

=

783975106250

842020330410110

55502

...

....dH

dH

dH

Hd

Bd

Co

.

Wzór daje dobre wyniki dla szerokości koryta doprowadzającego Bo < 6.68 d i cg > 0.2 d .

P r z e l e w p r o p o r c j o n a l n y ( R e t t g e r a ) – jego kształt zapewnia liniową zaleŜność wydatku od głębokości:

Q = C H,

przy szerokości opisywanej funkcją:

100

( )yg

Cyb

2

2

µπ= , µ ≅ 0.61 .

Aby uniknąć nieskończonej szerokości korony, odcina się dolną część krzywej na wysokości a , przy której szerokość b(y = a) = bo / 2, zastępując część odciętą prostokątem o szerokości bo (rys. 38). Liniowość wydatku jest zachowana dla H ≥ a . Przelew proporcjonalny zapewnia stałą prędkość przepływu w górnym stanowisku.

6.3.5. Przelewy o kształcie praktycznym

Przelewy o kształcie praktycznym stosowane są jako urządzenia upustowe na jazach i zaporach oraz jako korony progów. Mają one zwykle światło prostokątne, często podzielone na kilka przęseł, mogą teŜ pracować przy róŜnym stopniu zatopienia. Stosowana jest zatem ogólna formuła na wydatek z rozdziału 6.3.3. Współczynnik przelewu przyjmuje zwykle wartość m ≅ 0.45, a współ-czynnik zatopienia moŜna obliczyć ze wzoru Derjugina:

2

52

59.011

1

11

−−

−

−−=m

Hh

oσ .

Sposób wyznaczania współczynnika kontrakcji bocznej ε podano poniŜej (rozdział 6.3.6).

6.3.6. Współczynnik kontrakcji bocznej

Ze względu na brak krawędzi górnej i przyleganie strugi do powierzchni korony przelewu decydujący wpływ na wartość współczynnika kontrakcji ma kontrakcja boczna spowodowana przez przyczółki i filary przelewu. Z tego względu współczynnik kontrakcji dla przelewu (nieco inaczej niŜ dla otworu) definiowany jest jako w s p ó ł c z y n n i k k o n t r a k c j i b o c z ne j :

oB

b∑=ε ,

gdzie: Bo – szerokość koryta doprowadzającego [m]. Jest to zatem stopień zwęŜenia strumienia na przelewie. Wartość współczynnika moŜna obliczyć wzorem Oficerowa:

101

( )b

HN

Nofp ξξ

ε1

201−+

−= . ,

gdzie ξp i ξf to współczynniki kształtu odpowiednio przyczółków i filarów, zaś N to ilość przęseł przelewu. Dla prostokątnego kształtu części wlotowej przyczółków i filarów ξp = 1, ξf = 0.8, przy wlocie zaokrąglonym ξp = 0.7, ξf = 0.45, dla filaru opływowego (z krawędzią tnącą) ξf = 0.25. Wzór moŜna stosować przy Bo > N (b + d) i stopniu zatopienia h/Ho ≤ (0.85÷0.90); d oznacza tu szerokość filara. Jeśli warunki te nie zostaną spełnione, stosuje się wzór uproszczony:

bHo

fξε 201 .−= .

6.3.7. Przelew o szerokiej koronie

Na koronie przelewu odbywa się przepływ z głębokością h bliską krytycznej (rys. 39). MoŜliwy jest taki stan zatopienia przelewu, przy którym poziom wody dolnej hz będzie wyŜszy niŜ poziom na progu. Głębokość na progu staje się wtedy funkcją zatopienia. W obliczeniach uproszczonych przyjmuje się, Ŝe potencjalna głębokość h na progu zaleŜy tylko od jego geometrii. Istnieją zatem tylko dwa stany zatopienia:

w y p ł y w n i e z a t o p i o n y , gdy hz < h i na koronie przelewu ruch odbywa się przy głębokości h ,

w y p ł y w z a t o p i o n y , gdy hz > h i na koronie przelewu ruch odbywa się przy głębokości hz (stąd określenie „głębokość potencjalna” dla h).

hz

hHoH

cg cd

l

Rys. 39

Potencjalną głębokość na progu określa się za pomocą wzoru: h = k Ho . Parametr k wyznacza się z tablic lub wykresów opracowanych na podstawie badań empirycznych.

102

Wypływ przez próg niezatopiony oblicza się podobnie jak dla progu o kształtach praktycznych:

232 oHgbmQ ε= .

Natomiast do obliczeń wypływu przez próg zatopiony stosuje się wzór:

( )zoz hHgbhQ −= 2ϕε .

Dla najczęściej spotykanego przelewu przez próg o kształcie prostopadłościanu moŜna przyjąć wartości parametrów m = 0.32, ϕ = 0.85, k = 0.59 (ε jak w rozdziale 6.3.6).

6.4. OBLICZANIE ŚWIATŁA MOSTÓW

6.4.1. ZałoŜenia upraszczające

H

vhho

v1h1

α vg

12

2

Ho

Rys. 40

Przepływ pod mostem ma charakter przepływu przez próg o szerokiej koronie przy zerowej wysokości progu (cg = 0). Dla większych mostów opory ruchu są jednak na tyle małe, Ŝe moŜna je pominąć i prowadzić obliczenia przy załoŜeniu stałej wysokości linii energii H w otoczeniu mostu (rys. 40).

Obliczenie św i a t ł a m o s t u polega na wyznaczeniu sumarycznej szerokości b przęseł koniecznej dla przepuszczenia spodziewanego przepływu Q w cieku przy prędkości v pod mostem, nie przekraczającej prędkości dopuszczalnej vd z uwagi na rozmycie dna. Ze względów ekonomicznych zakłada się maksymalną dopuszczalną prędkość v = vd . Dla piasku o średnicy ziarn

103

1 [mm] przy głębokości 1 [m] vd = 0.57 [m/s]. Zwiększając o 5 % wielkość światła, aby uwzględnić pominięte straty uzyskuje się ogólną zaleŜność:

dvhQ

b 051.= .

6.4.2. ReŜimy ruchu

Przy załoŜeniu, Ŝe w cieku ruch ma charakter nadkrytyczny, pod mostem moŜe wystąpić : – r eŜ i m n a d k r y t y c z n y : h > hk ; ma miejsce wtedy, gdy prędkość

dopuszczalna jest mniejsza od krytycznej (vd < vk); energia ruchu jednostajnego

(Ho = ho + gvo

2

2α ) w cieku wystarcza dla pokonania zwęŜenia przy zadanym

wydatku,

– r eŜ i m k r y t y c z n y : h = hk ; ma miejsce wtedy, gdy prędkość dopuszczalna jest równa krytycznej (vd = vk); energia ruchu jednostajnego jest równa koniecznej dla pokonania zwęŜenia,

– r eŜ i m k r y t y c z n y z e s p ię t r z e n i e m : zmniejszenie głębokości pod mostem poniŜej krytycznej spowodowałoby obniŜenie przepustowości (porównaj rozdz. 5.4.1), a więc naleŜy utrzymać warunek h = hk (a zatem vk = vd); energia ruchu jednostajnego jest jednak zbyt mała dla pokonania zwęŜenia i dlatego przed mostem wystąpi spiętrzenie wody aŜ do uzyskania wymaganej wysokości energii H . To z kolei spowoduje odpowiedni wzrost głębokości (hk) i prędkości krytycznej (vk) aŜ do spełnienia warunku vk = vd .

6.4.3. Prędkość krytyczna

ZaleŜności podane w rozdziale 5.4.2 i 5.4.4 pozwalają obliczyć p rę d k oś ć k r y t y c z ną na podstawie energii ruchu jednostajnego (Ho) w cieku:

αo

kHg

v3

2=

i w oparciu o relację pomiędzy vk a vd określić reŜim przepływu.

6.4.4. Światło mostu przy reŜimie nadkrytycznym

Dla (vd < vk) podstawienie zaleŜności pomiędzy głębokością i wysokością energii w korycie prostokątnym do wzoru na wielkość światła daje formułę:

104

dd

o vgv

H

Qb

−

=

2

0512α

..

6.4.5. Światło mostu przy reŜimie krytycznym

Dla (vd ≥ vk) podstawienie zaleŜności pomiędzy głębokością krytyczną a wysokością energii daje wzór:

3

051

dv

Qgb

α.= .

Jest on prawdziwy równieŜ przy wystąpieniu nadpiętrzenia.

6.4.6. Spiętrzenie przed mostem przy reŜimie krytycznym

Dla (vd > vk). Podstawienie zaleŜności zachodzącej dla reŜimu krytycznego pomiędzy głębokością i wysokością energii w korycie prostokątnym do równania Bernoulliego dla spiętrzonej wody (h1) daje równanie:

g

v

hBg

QhH d

23

2

2

21

2

2

1

αα =+≡ ,

gdzie B oznacza szerokość cieku przed mostem. Po uporządkowaniu uzyskuje się równanie algebraiczne trzeciego stopnia ze względu na niewiadomą h1 :

02

512

221

231 =+−

Bg

Qh

gv

h d αα. .

Najłatwiej jest je rozwiązać metodą prób i błędów. Pierwsze, a często i ostateczne przybliŜenie moŜna uzyskać z zaleŜności:

gv

h d2

1 51α

.≅ .

NaleŜy pamiętać, Ŝe z trzech pierwiastków równania warunki fizyczne zadania spełnia tylko jeden: h1 > hk .

105

6.5. HYDRAULICZNE SPRZĘśENIE STANOWISK

6.5.1. Pojęcie sprzęŜenia hydraulicznego

Wywołane przez budowle wodne zmiany prędkości i głębokości strumienia wody łączą się ze zmianami reŜimu przepływu. W przekroju upustu następuje przejście od reŜimu nadkrytycznego do podkrytycznego. PoniŜej upustu następuje (w ciekach nizinnych) powrót do reŜimu nadkrytycznego. Głębokości i prędkości w rozpatrywanych przekrojach (stanowiskach) są ze sobą powiązane zaleŜnościami energetycznymi.

S p r zę Ŝ e n i e h y d r a u l i c z n e jest to związek między głębokościami wody w dwóch przekrojach o róŜnym reŜimie przepływu.

Przejście od ruchu nadkrytycznego do podkrytycznego wiąŜe się ze s p r zę Ŝ e n i e m s t a n o w i s k b u d o w l i w o d n e j , które zachodzi pomiędzy górnym (dopływ) i dolnym (odpływ) stanowiskiem upustu. Powrót od ruchu podkrytycznego do nadkrytycznego w dolnym stanowisku budowli nosi nazwę o d s k o k u h y d r a u l i c z n e g o i wiąŜe się ze s p r zę Ŝ e n i e m s t a n o w i s k o d s k o k u (rozdział 6.5.3).

6.5.2. SprzęŜenie stanowisk budowli wodnej

h

eHo

Hvo

v

cd

Rys. 41

106

P rę d k oś ć v w d o l n y m s t a n o w i s k u moŜna wyznaczyć z równania Bernoulliego analogicznie jak dla upustów (rozdz. 6.1.6) ze wzoru:

( )hHgv o −= 2ϕ .

NaleŜy jednak pamiętać, Ŝe współczynnik prędkości ϕ obejmuje wszystkie straty między przekrojami, a więc takŜe stratę na długości i dlatego będzie mniejszy niŜ dla samego upustu. Przybiera on wartości od ϕ = 0.80 dla wysokich progów o ostrych krawędziach do ϕ = 1.00 dla wypływu spod zasuwy bez progu w optymalnych warunkach.

G ł ę b o k oś ć h w d o l n y m s t a n o w i s k u oblicza się z równania Bernoulliego (rys. 41):

222

22

2 22

1

hbg

Qh

gv

hHo ϕϕ+=+= ,

gdzie b oznacza szerokość koryta w dolnym stanowisku (wobec niewielkiej wartości głębokości h moŜna przyjąć prostokątny przekrój koryta). Po uporządkowaniu otrzymuje się równanie algebraiczne trzeciego stopnia ze względu na niewiadomą h :

02 22

223 =+−

bg

QhHh o ϕ

.

Najłatwiej jest je rozwiązać metodą prób i błędów. Fizyczne warunki zadania spełnia rozwiązanie 0 < h < hk . Podręczniki podają róŜne nomogramy ułatwiające uzyskanie rozwiązania.

6.5.3. Odskok hydrauliczny

hhs

ho

Rys. 42

Powrót do nadkrytycznej głębokości normalnej w dolnym stanowisku zachodzi w tzw. odskoku hydraulicznym. Przybiera on róŜne formy w zaleŜności

107

od wielkości liczby Froude’a w skontraktowanym strumieniu poniŜej upustu. Dla wartości Fr ≅ 1 odskok ma charakter falowy (fala periodyczna lub gasnąca). Przy h ≤ 0.60 hk powstaje tzw. o d s k o k z u p e ł n y (doskonały, klasyczny), zwany teŜ odskokiem B i d o n e ’ a (rys. 42). PoniewaŜ poziom zwierciadła wody wzrasta, część wody w obszarze nadkrytycznym spływa grawitacyjnie wstecz po powierzchni strumienia tworząc tzw. w a l e c w i r o w y odskoku. Dolna krawędź walca stabilizuje się w przekroju o głębokości krytycznej (wcześniej prędkość ruchu przekracza prędkość przemieszczania się zaburzeń, rozdział 3.2.4).

6.5.4. SprzęŜenie głębokości w odskoku

G ł ę b o k oś c i s p r zę Ŝ o n e w odskoku są to dwie głębokości, jedna podkrytyczna, a druga nadkrytyczna, o odpowiadającym sobie pędzie strumienia cieczy.

Zasada zachowania pędu powoduje, Ŝe za odskokiem powinna pojawić się głębokość nadkrytyczna hs sprzęŜona z głębokością podkrytyczną h przed odskokiem. Równanie zachowania pędu pozwala obliczyć wartość głębokości sprzęŜonej hs ze wzoru:

−+= 1

81

2 32

2

hbg

Qhhs

β.

Parametr β oznacza w s p ó ł c z y n n i k pę d u pozwalający wyznaczać pęd strumienia na podstawie prędkości średniej. Jego definicja, jak i wartości są dość bliskie definicji i wartościom współczynnika prędkości Saint-Venanta (rozdział 3.4.3) i dlatego szczegółowe rozróŜnienie nie będzie tutaj podane. W silnie zaburzonym strumieniu odskoku rozkład prędkości jest bliski jednorodnemu, a zatem β ≅ 1 .

ZaleŜność pomiędzy głębokościami sprzęŜonymi jest ściśle symetryczna, a więc zastępując we wzorze wielkość h przez hs moŜna wyliczyć głębokość podkrytyczną sprzęŜoną do danej nadkrytycznej.

6.5.5. Zatopienie odskoku

Relacja pomiędzy potencjalną głębokością nadkrytyczną w odskoku a głębokością normalną ho w korycie odpływowym decyduje o z a t o p i e n i u o d s k o k u . Przy hs ≥ ho powstaje o d s k o k o d r z u c o n y o znacznej długości. Przy hs < ho pęd strumienia jest zbyt mały, by odrzucić wodę dolną z obszaru ruchu nadkrytycznego i walec wirowy wypełnia całą przestrzeń nad strumieniem podkrytycznym aŜ do wysokości normalnej (linia kreskowana na rys. 42).

108

Powstaje o d s k o k z a t o p i o n y ( p r z y s u n ię t y ) o stosunkowo niewielkiej długości.

cho

ścianka do rozpraszania energii

hs

studnia wypadowa

hs

ho

szykany

hs ho

Hc

H

Rys. 43

W praktyce inŜynierskiej odskok hydrauliczny projektuje się jako zatopiony, który jako krótszy wymaga mniejszej niecki wypadowej. Cel ten moŜna osiągnąć przez zastosowanie ścianki do rozpraszania energii, studni wypadowej lub szykan (drastyczne zwiększenie szorstkości dna, rys. 43). W przypadku ścianki (liczonej jak przelew o kształcie praktycznym) wysokość wody nad jej koroną winna zapewnić zatopienie odskoku. Podobnie wylot ze studni traktuje się jako przelew o szerokiej koronie zapewniający zatopienie odskoku. Natomiast hydrauliczne obliczanie szykan nie jest moŜliwe. Ruch wody ma tu charakter trójwymiarowy i w praktyce bada się odskok na modelach fizycznych (w skali). W przypadku ścianki lub studni zapewnienie zatopienia odskoku polega na spełnieniu warunku:

c + H ≥ hs .

Obliczenia inŜynierskie wymagają spełnienia warunku zatopienia odskoku z odpowiednim marginesem bezpieczeństwa (nadmiarem).

109

7. FILTRACJA

7.1. RUCH W OŚRODKU POROWATYM

7.1.1. Porowatość ośrodka

O ś r o d e k p o r o w a t y jest to ośrodek składający się ze szkieletu (cząstek w fazie stałej) i przestrzeni porowych (porów), które mogą być wypełnione gazem i cieczą.

Jest to zatem ośrodek wielofazowy (dwu- lub trójfazowy). Ruch płynów w ośrodku porowatym moŜe odbywać się tylko wtedy, gdy pory są ze sobą połączone i przelotowe (nie ślepe). Istnieją wtedy ciągi kanalików przewodzących, tzw. kapilary. MoŜna zatem wyróŜnić p o r o w a t oś ć o g ó l ną i p o r o -w a t oś ć e f e k t y w ną . Znaczenie hydrauliczne ma tylko ta ostatnia. Porowatość ośrodka jest opisywana przez w s p ó ł c z y n n i k p o r o w a t oś c i :

V

Vn p= ,

gdzie V i Vp to objętości odpowiednio całej próbki i zawartych w niej porów. Z definicji wynika zaleŜność n < 1. W gruntach sypkich będących najczęściej spotykanym ośrodkiem porowatym porowatość efektywna waha się od n = 0.15 dla gliniastych pospółek do n = 0.90 dla torfów i świeŜych namułów.

7.1.2. ReŜimy ruchu w ośrodku porowatym

Rozmiary porów są na ogół niewielkie, średnice nie przekraczają 1 [mm]. W takich warunkach dominuje przepływ laminarny, choć w grubych Ŝwirach i w szczelinach skalnych moŜna się lokalnie spotkać z ruchem turbulentnym.

F i l t r a c j a ( f i l t r a c j a l i n i o w a ) jest to laminarny przepływ płynu przez ośrodek porowaty.

F l u a c j a ( f i l t r a c j a n i e l i n i o w a) jest to turbulentny przepływ płynu przez ośrodek porowaty.

110

7.1.3. Ciągłość ośrodka

Opis przepływu w ośrodku wielofazowym za pomocą funkcji ciągłych wymaga zastosowania pewnego uproszczenia. W hydraulice zakłada się, Ŝe ośrodek porowaty ma charakter ciągły. Oznacza to, Ŝe własności mechaniczne wybranego elementu ośrodka nie zaleŜą od wielkości tego elementu (rozdział 3.1.1). Pozwala to mówić np. o porowatości w danym punkcie, choć w rzeczywistości punkt musi znajdować się albo w obrębie szkieletu, albo we wnętrzu porów (n = 1 lub 0).

7.1.4. Prędkość filtracji

Z pojęcia ciągłości ośrodka porowatego wynika pojęcie prędkości średniej lub p rę d k oś c i f i l t r a c j i definiowanej podobnie jak w rozdziale 3.1.4:

AQ

v = ,

gdzie A oznacza pole przekroju próbki porowatej prostopadle do kierunku przepływu. Prędkość filtracji jest to zatem fikcyjna prędkość średnia, jaka panowałaby w przestrzeni całkowicie wypełnionej płynem. R z e c z y w i s t a p rę d k oś ć ś r e d n i a w porach jest kilkakrotnie większa i wynosi:

nv

AQ

vp

r == .

7.2. PRAWO DARCY’EGO

7.2.1. Opory ruchu

Ruch cieczy w ośrodku porowatym jest moŜliwy dzięki stratom energii mechanicznej wydatkowanej na pokonanie oporów tarcia. Miarą tych strat jest spadek hydrauliczny (rozdział 4.2.4 i 5.1.2):

l

HS

∆= ,

111

określający stratę wysokości energii (∆H) cieczy na jednostkę pokonanej drogi (l , rys. 44). Opory tarcia w ruchu filtracyjnym, a więc laminarnym są proporcjonalne do prędkości ruchu. Dla przepływu w ośrodku w pełni nasyconym wodą zaleŜność taką wyraŜa p r a w o D a r c y ’ e g o :

v = k S .

k

∆H

l

Q

v

Rys. 44

Parametr k nosi nazwę w s p ó ł c z y n n i k a f i l t r a c j i.

7.2.2. Zakres stosowalności prawa Darcy’ego

ZałoŜenie o ruchu laminarnym wymaga w nielicznych przypadkach sprawdzenia (skały szczelinowate i krasowe, otoczenie filtra studni w Ŝwirach itp.). O reŜimie ruchu w poszczególnych kapilarach decyduje l i cz b a R e y n o l d s a Re (rozdział 3.2.3). Jej wartość ocenia się w praktyce na podstawie średnicy efektywnej d kapilar, a dla gruntów sypkich na podstawie średnicy efektywnej ziarn dz . Ze względu na znaczną zmienność średnic poszczególnych kapilar i inne czynniki związane z budową gruntu przyjmuje się graniczną wartość Reg = 10 . Dla gruntu sypkiego o ziarnach kulistych warunek laminarności ruchu ma postać:

( ) 1013

2 <−

==νν n

vdvdRe zr .

112

Ś r e d n i c a e f e k t y w n a jest to średnica identycznych ziarn tworzących grunt fikcyjny charakteryzujący się taką samą wartością współczynnika filtracji jak grunt rzeczywisty.

Oblicza się ją z krzywej przesiewu (uziarnienia) tak, by zachować w gruncie fikcyjnym wielkość sumarycznej powierzchni ziarn gruntu rzeczywistego. W obliczeniach przybliŜonych stosuje się róŜne średnice charakterystyczne, np. d10 (średnica sita przepuszczającego 10% próbki).

7.3. WSPÓŁCZYNNIK FILTRACJI

7.3.1. Wartości współczynnika filtracji

W s p ó ł c z y n n i k f i l t r a c j i k jest to stała propor-cjonalności pomiędzy prędkością filtracji a spadkiem hydraulicznym.

Jego wymiar jest taki jak wymiar prędkości – [m/s]. Ze względów praktycznych stosuje się jednostki mniejsze, np. metry na dobę [m/d].

Wartość współczynnika filtracji zaleŜy od rodzaju materiału porowatego, siły ciąŜenia i lepkości filtruj ącej cieczy. ZaleŜność ta jest opisywana wzorem:

( )Tg

kν

κ= ,

gdzie κ oznacza w s p ó ł c z y n n i k p r z e p u s z c z a l n oś c i (przepuszczalność) danego gruntu. Wzór ten pozwala oceniać wartość współczynnika filtracji dla róŜnych cieczy na podstawie wartości dla jednej z nich.

W s p ó ł c z y n n i k w o d o p r z e p u s z c z a l n oś c i (wodo-przepuszczalność) jest to współczynnik filtracji dla wody.

Wartość wodoprzepuszczalności jest podawana dla temperatury T = 10o C. Dla pomiaru w innych temperaturach stosuje się przeliczenie:

( )T

Tkk

C][1/03070 o10.. +

= .

Dla gruntów przepuszczalnych współczynnik k przyjmuje wartości od około 100 [m/d] dla Ŝwirów do 5 [m/d] dla drobnych piasków.

113

7.3.2. Przestrzenne zrónicowanie współczynnika filtracji

M a t e r i a ł n i e j e d n o r o d n y to taki, w którym współczynnik filtracji zaley od miejsca pobrania próbki.

M a t e r i a ł a n i z o t r o p o w y to taki, w którym współczynnik filtracji zaley od kierunku przepływu.

W przeciwnym razie grunt jest i z o t r o p o w y .

7.3.3. Wyznaczanie współczynnika wodoprzepuszczalnoci

W y z n a c z a n i e n a p o d s t a w i e w z o r ó w polega na wykorzystaniu zalenoci pomidzy wodoprzepuszczalnoci gruntu a jego własnociami (krzywa przesiewu, porowato, kształt ziarn itp.). S to zwykle wzory empiryczne lub sprawdzone empirycznie wzory teoretyczne (BN-76/8950-03).

M e t o d y l a b o r a t o r y j n e polegaj na obliczeniu k z prawa Darcy’ego poprzez pomiar w permeametrze (kolumnie filtracyjnej, rys. 45) prdkoci filtracji i spadku hydraulicznego w próbce gruntu. W Polsce stosowany jest aparat Wiłuna typu ITB-ZW-kZ .

M e t o d y i n f i l t r a c y j n e (stosowane w punktowych badaniach polowych) wykorzystuj fakt, i prdko wsikania wody w grunt nienasycony jest zbliona do jego wodoprzepuszczalnoci k .

P r ó b n e p o m p o w a n i a (lub zalewania) studni polegaj na obliczeniu k z hydraulicznego wzoru na dopływ wody do studni na podstawie pomierzonego wydatku i kształtu zwierciadła piezometrycznego w jej otoczeniu (rozdział 7.4.5, BN-76/8950-04).

7.4. PRZEPŁYW W WARSTWIE WODONONEJ

7.4.1. Warstwa wodonona

W a r s t w a w o d o n o n a (rys. 45) to obszar wypełniony gruntem wodoprzepuszczalnym zawierajcym wod.

Granicami warstwy w pionie s jej s t r o p i s p g , gdzie styka si ona z warstw nieprzepuszczaln lub powierzchni terenu. Pionowy rozmiar warstwy to jej m i s z o (geologiczna) m .

114

7.4.2. Strefy nasycenia

Z w i e r c i a d ł o p i e z o m e t r y c z n e (rozdział 4.3.2) dla wód podziemnych jest to powierzchnia ekwibaryczna (równego ciśnienia), na której ciśnienie wody w warstwie wodonośnej jest równe atmosferycznemu.

mh

k

filtracja pod ciśnieniem filtracja ze swobodnymzwierciadłem

strefa saturacji

strefa aeracji

strop

spąg

H

Rys. 45

Jeśli zwierciadło pojawia się w obszarze warstwy wodonośnej, nosi nazwę z w i e r c i a d ł a s w o b o d n e g o. Rozgranicza ono s t r e fę s a t u r a c j i (strefę pełnego nasycenia wodą, ośrodek dwufazowy) od s t r e f y a e r a c j i (nienasyconej, ośrodek trójfazowy). Gdy w warstwie wodonośnej ciśnienie wody jest wyŜsze od atmosferycznego, woda w piezometrze wznosi się ponad strop. Wystąpienie wody po przewierceniu się przez strop warstwy nosi nazwę z w i e r c i a d ł a n a w i e r c o n e g o , natomiast ustalony powyŜej stropu poziom zwierciadła to tzw. z w i e r c i a d ł o n a p ię t e .

Klasyczny opis filtracji obejmuje wyłącznie strefę saturacji. Przy zwierciadle napiętym granice pola filtracji są stałe i pokrywają się z granicami geometrycznymi warstwy. Natomiast zwierciadło swobodne stanowi górną granicę pola filtracji, a jego połoŜenie zaleŜy od ciśnienia wody. Dla kaŜdego z tych przypadków uzyskuje się inne rozwiązania i dlatego wyróŜnia się f i l t r a c j ę p o d c iś n i e n i e m i f i l t r a c ję z e s w o b o d n y m z w i e r c i a d ł e m . Głębokość strumienia filtracji o swobodnym zwierciadle to tzw. m i ą Ŝ s z oś ć h y d r o d y n a m i c z n a h . W przypadku filtracji pod ciśnieniem miąŜszość strumienia jset stała: h = m .

115

7.4.3. Równanie ciągłości przepływu

Ze względu na ogromną przewagę poziomych wymiarów warstwy nad jej miąŜszością, w warstwie dominuje przepływ poziomy. Pionowe prędkości filtracji są o kilka rzędów wielkości mniejsze od prędkości poziomych.

Z a ł oŜ e n i e D u p u i t a : w warstwie wodonośnej moŜna pominąć prędkość pionową (vz = 0).

Z załoŜenia wynika brak spadku hydraulicznego w pionie (Sz = 0), a zatem stałość wysokości hydraulicznej w przekroju pionowym warstwy (H(z) = const). Pionowy rozkład ciśnienia w warstwie jest zatem hydrostatyczny (rozdział 2.1.4).

Hydrauliczny opis filtracji zakłada jednowymiarowość ruchu (rozdział 1.1) przy dwuwymiarowym (płaskim w planie) charakterze warstwy. Tylko dwa przypadki ruchu płaskiego dają się opisać jednowymiarowo: ruch liniowy (rozdział 7.4.4) i ruch osiowosymetryczny (rozdział 7.4.5).

ruch szeregowy ruch równoległy

Hg

H ∆H

∆H1

∆H2

∆H3

q q1 q2

q3

q4

qm

m3

m4

k1 k2 k3

k4

Rys. 46

Przy filtracji liniowej w warstwie wodonośnej zakłada się identyczność obrazu ruchu w kolejnych przekrojach pionowych równoległych do kierunku przepływu. MoŜna zatem przyjąć j e d n o s t k o wą s z e r o k oś ć s t r u m i e n i a f i l t r a c j i . Wynika stąd nowa wielkość opisująca objętość przepływu – – w y d a t e k j e d n o s t k o w y :

bQ

q = [m2/s].

Z definicji prędkości filtracji wynika równanie ruchu:

ShkhvbAv

q === .

W tym przypadku ciągłość przepływu odnosi się do wydatku jednostkowego:

116

q = const .

W warstwie niejednorodnej, której wodoprzepuszczalność zmienia się skokowo, mogą wystąpić dwa podstawowe schematy przepływu (rys. 46): szeregowy i równoległy. W u k ł a d z i e s z e r e g o w y m równanie ciągłości przybiera formę:

2

22

1

1121 ll

Hmk

Hmkqqqq

∆∆==→== ,

natomiast suma strat:

∆H = ∆H1 + ∆H2 ;

w u k ł a d z i e r ó w n o l e g ł y m :

( )3

3443343 l

Hmkmkqqqq

∆+=→+= ,

poniewaŜ: ∆H = ∆H3 = ∆H4 lub S3 = S4 = S = ∆H3 / l3 ;

w u k ł a d z i e m i e s z a n y m :

q = q2 = q3 + q4 ,

∆H = ∆H2 + ∆H3 .

W analogiczny sposób sumują się wydatki i straty podczas przepływu w kolumnie filtracyjnej (rys. 44), przy czym nie musi być ona pionowa. Widać tu pełną analogię do obliczeń rurociągów szeregowych i równoległych.

7.4.4. Ruch liniowy

l

Hg

HdmH

x

RHo Hs

mH

r

rs

ruch liniowy ruch osiowosymetryczny

k k

Rys. 47

117

Rzeczywisty przekrój hydrogeologiczny schematyzuje się do prostokątnego międzyrzecza (rys. 47). W przypadku filtracji pod ciśnieniem przyjmuje się średnią wartość miąŜszości m ; warstwa wodonośna moŜe być łagodnie nachylona. Przy filtracji ze swobodnym zwierciadłem zakłada się poziomy spąg warstwy wodonośnej. Średnia miąŜszość hydrodynamiczna h obliczana jest wtedy jako średnia arytmetyczna:

2dg HH

h+

= .

Równanie ruchu przybiera postać: – dla filtracji pod ciśnieniem:

ldg HH

mkq−

= ,

– dla filtracji swobodnej:

l2

22dg HH

kq−

= .

Podstawiając l = x i Hd = H moŜna wyliczyć połoŜenie zwierciadła piezomet-rycznego w dowolnym punkcie H(x), odpowiednio:

xmk

qHH g −= lub x

kq

HH g22 −= ,

a po podstawieniu wzoru na wydatek q :

( )l

xHHHH dgg −−= lub ( )

l

xHHHH dgg

222 −−= .

PowyŜsze wzory pozwalają obliczyć przepływ i stany wód gruntowych w międzyrzeczu. Podstawiając pod Hg pierwotny stan wód gruntowych, pod Hd – – stan wody w rowie, a pod l – zasięg jego oddziaływania, uzyskuje się wzory na jednostronny dopływ wody z gruntu do odwadniającego rowu opaskowego. Granica lewa (Hg) oznacza wtedy brzeg obszaru zlewni zasilającej pozostającego poza zasięgiem oddziaływania rowu. Zasięg oblicza się ze wzorów empirycznych tak jak zasięg leja depresji studni (rozdział 7.4.5).

Obliczenie rozstawu rowów melioracyjnych (rys. 48) wymaga uwzględ-nienia prędkości infiltracji wód opadowych w (w odróŜnieniu od rowu opaskowego obliczenia obejmują tu całą zlewnię). Równanie ciągłości ma wtedy postać:

118

( )

−−= xwxq2

l,

uwzględniając narastanie wydatku od granicy wododziału. Jednostronny dopływ do rowu wyniesie :

2

lwq = .

l

Hmax

w

Hr

x

Hr

Hk

Rys. 48

Opisując średni przepływ w warstwie (q /2) równaniem ruchu dla filtracji swobodnej uzyskuje się wzór na rozstaw rowów:

( )222 rHHwk −= maxl

oraz, analogicznie jak w poprzednim przypadku, równanie swobodnego zwierciadła:

( )22 xxkw

HH r −+= l .

Pominięto tutaj wyprowadzenie dla filtracji pod ciśnieniem, gdyŜ w takich warunkach nie jest moŜliwe zasilanie przez nieprzepuszczalny nadkład.

7.4.5. Ruch osiowosymetryczny

Dopływ wody do studni pionowej czerpiącej wodę ze zbiornika wód podziemnych (poziome zwierciadło początkowe) ma charakter osiowosymetryczny co oznacza, Ŝe obraz ruchu w kierunku studni jest jednakowy na całym jej obwodzie.

119

W przypadku ruchu osiowosymetrycznego (Rys. 47) konieczne jest zastosowanie rachunku róŜniczkowego. Zakładając:

Q = A v = A k S , A = 2 π r h , rH

Sdd−= ,

otrzymuje się równanie róŜniczkowe:

rH

rhkQddπ2= .

Podstawiając h = H lub h = m i całkując w granicach od rs do R uzyskuje się wzór na dopływ do studni: – dla filtracji pod ciśnieniem:

s

so

rRHH

mkQln

−= π2 ,

– dla filtracji swobodnej:

s

so

rRHH

kQln

22 −= π ,

gdzie R oznacza zasięg leja depresji, Ho – wysokość zwierciadła (dla filtracji swobodnej ponad poziomym spągiem) poza zasięgiem leja depresji, natomiast rs i Hs – odpowiednio promień i stan wody w studni. Zasięg leja depresji moŜna wyliczać ze wzoru Sichardta:

( ) kHHR ro −= ]/m[s3000 3/21/2 .

Zastąpienie zewnętrznej granicy obszaru ruchomą granicą o współrzędnych (r, H) pozwala wyznaczyć kształt swobodnego zwierciadła w otoczeniu studni:

– dla filtracji pod ciśnieniem:

ss r

rmk

QHH ln

π2+= ,

– dla filtracji swobodnej:

ss r

rk

QHH ln

π+=

120

lub obliczyć wodoprzewodność warstwy metodą próbnego pompowania (rozdział 7.3.3), odpowiednio:

( ) ss rr

HHmQ

k ln−

=π2

lub ( ) ssrr

HH

Qk ln

22 −=

π,

gdzie H oznacza stan w piezometrze połoŜonym w odległości r od studni.

121

8. LITERATURA

8.1. LITERATURA ŹRÓDŁOWA

W. Balcerski i in. : Budownictwo betonowe. Tom XVII. Budowle wodne śród-lądowe. Arkady, Warszawa 1969.

E. Czetwertyński: Hydraulika i hydromechanika. PWN, Warszawa 1958.

R.R. Czugajew: Gidrawlika (Tiechniczeskaja miechanika śydkosti). Energija, Leningrad 1975.

C. Grabarczyk: Przepływy cieczy w przewodach. Metody obliczeniowe. Envirotech, Poznań 1997.

G. Kovács: Seepage hydraulics. Akadémiai Kiadó, Budapest 1981.

K.W. KsiąŜyński, P. JeŜ, Z. Gręplowska: Tablice do obliczeń hydraulicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2000.

E. Mielcarzewicz: Melioracje terenów miejskich i przemysłowych. Arkady, Warszawa 1971.

I. Piotrowski, Z. Glinicki, M. Roman: O zastosowaniu przelewu Rettgera do piaskowników. Gaz, Woda i Technika Sanitarna, rocznik 33, nr 2, s. 43– –48. Sigma NOT, Warszawa 1959.

W. J. Prosnak: Mechanika płynów. T. 1. Statyka i dynamika cieczy. PWN, Warszawa 1971.

E. Rabinowicz: Gidrawlika. Gos. Izdat. Fiziko-matiematiczeskoj Litieratury, Moskwa 1963.

R. Rogala, J. Machajski, W. Rędowicz: Hydraulika stosowana. Przykłady obliczeń. Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1991.

A. Simon: Practical hydraulics. Wiley & Sons, N. York 1976.

A. Wieczysty: Hydrogeologia inŜynierska. PWN, Warszawa 1982.

122

8.2. NORMY

PN-83/H-02651. Armatura i rurociągi. Średnice nominalne. Wydawn. Normalizacyjne Alfa, Warszawa 1983.

PN-76/M-34034. Rurociągi. Zasady obliczeń strat ciśnienia. Wydawn. Normalizacyjne, Warszawa 1977.

BN-76/8950-03. Budownictwo hydrotechniczne. Obliczanie współczynnika filtracji gruntów niespoistych na podstawie uziarnienia i porowatości. Wydawn. Normalizacyjne, Warszawa 1977.

BN-71/8950-04. Budownictwo hydrotechniczne. Badania hydrogeologiczne. Określenie współczynnika filtracji na podstawie próbnych pompowań oraz wydatku i promienia leja depresji pojedynczych studni lub otworów hydrogeologicznych, w warunkach ruchu ustalonego. Wydawn. Normalizacyjne, Warszawa 1978.