7. Funkcje elementarne i ich własności.

Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne. Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji nazywamy funkcjami elementarnymi (np. wielomianu, funkcje wymierne, moduł). Funkcja stała Niech X, Y będą niepustymi zbiorami.

Funkcją stałą nazywa się funkcję f:X ‒> Y taką, że ∀x1, x2∊X f(x1)=f(x2)

Funkcja potęgowa Funkcja postaci y=xa, gdzie a jest daną liczbą rzeczywistą. Dla a> 0 funkcja jest określona dla x>0, dla a∊ ℕ funkcja jest określona dla x∊ ℝ. Poza tym warto wyróżnić kilka przypadków:

a=0

wykładnik a dodatni, parzysty

y= x0

wykładnik a dodatni, nieparzysty

wykładnik a ujemny, parzysty, gdzie a∊ℝ/{0}

wykładnik a ujemny, nieparzysty, gdzie a∊ℝ/{0}

Funkcja wykładnicza Funkcja postaci f(x)=ax, x∊ℝ gdzie a>0.

Dla a> 1 funkcja wykładnicza o podstawie a jest rosnąca, a dla 0<a<1 jest malejąca. Jeśli natomiast a=1 to funkcja f(x)=ax jest stała. Własności:

ściśle monotoniczna: dla a>1 funkcja ta jest rosnąca, zaś dla 0<a<1 malejąca,

różnowartościowa,

ciągła,

różniczkowalna.

Funkcja logarytmiczna

Funkcja f:(0,∞) ℝ, określona wzorem postaci f(x)=logax (dla pewnego ustalonego

a∊(0,1)∪(1,∞)). Jest funkcją odwrotną do wykładniczej. Własności:

ściśle monotoniczna: dla a>1 funkcja ta jest rosnąca, zaś dla 0<a<1 malejąca,

różnowartościowa,

ciągła,

różniczkowalna.

Logarytmy o różnych podstawach: jasnoniebieski ma podstawę 1/2, czerwony ma podstawę

2, zielony podstawę e, ciemnoniebieski ma podstawę 10.

Funkcje trygonometryczne Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej. Tanges jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez

usunięcie liczb mających postać

+k , gdzie k jest liczbą całkowitą, tzn. usunięcie miejsc

zerowych funkcji cosinus, gdyż tgx =

, x≠0.

Cotanges jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać k , gdzie k jest liczbą całkowitą, tzn. usunięcie miejsc

zerowych funkcji sinus, gdyż ctgx =

, x≠0.

Tangens ma asymptoty pionowe w punktach postaci x=

+k , a cotangens w punktach

postaci x= k . Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału [-1;1]. Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste. Własności sinusa i cosinusa:

monotoniczne przedziałami

ciągłe,

różniczkowalne.

Własności tangensa i cotangensa:

monotoniczne przedziałami

ciągłe,

różniczkowalne,

okresowe.

Wykresy:

Funkcje cyklometryczne Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów. Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne.

Arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest [-1;1], a zbiorem wartości [-

,

].

Arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest [-1;1], a zbiorem wartości [ 0, ].

Arcus tanges jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest ℝ, a zbiorem wartości (-

,

).

Arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest ℝ, a zbiorem wartości ( 0, ).

Własności:

monotoniczne,

ciągłe,

różnowartościowe,

różniczkowalne.