str. 10

4. Algebra Boole’a

4.1. Boole George (1815-1864), brytyjski logik, matematyk samouk; od 1849 prof. matematyki w Queen's College w Cork; członek Towarzystwa Królewskiego w Londynie; Boole wniósł istotny wkład w kilku dziedzinach matematyki, lecz najważniejsze są dwa dzieła z lat 1847 i 1854, w których przedstawił wyrażenia logiczne w formie matematycznej, znanej obecnie jako algebra Boole'a. Praktyczne zastosowanie znalazła dopiero po prawie 100 latach, kiedy Claude Shannon zaproponował zastosowanie jej do rozwiązywania problemów projektowania układów przekaźnikowych i elektronicznych układów cyfrowych. Ze względu na wagę zastosowań algebry Boole’a w informatyce i matematyce logicznej, Boole jest powszechnie uważany za jednego z twórców tych dziedzin nauki.

4.2. Algebra Boole’a Def. Algebrą Boole’a nazywamy zbiór B z wyróżnionymi elementami: 0 i 1, w którym określone są trzy działania:

(dopełnienie logiczne) BB:

(iloczyn logiczny) BBB:

+ (suma logiczna) BBB:

spełniające następujące aksjomaty (dla dowolnych elementów Bcba ,, ):

(pp) prawa przemienności: abba abba (1.1)

(pł) prawa łączności: )()( cbacba )()( cbacba (1.2)

(pr) prawa rozdzielności: cabacba )( )()()( cabacba (1.3)

(pid) prawa identyczności: aa 0 aa 1 (1.4)

(pd) prawa dopełnień: 1aa 0aa (1.5)

Twierdzenie B. Następujące własności są prawdziwe w każdej algebrze Boole’a, dla dowolnych Bcba ,, :

(p2a) prawa idempotentności: aaa aaa (1.6)

(pO1) prawa identyczności 2: 11a 00a (1.7)

(pdM) prawa de Morgana : baba baba (1.8)

(ppch) prawa pochłaniania: abaa )( abaa )( (1.9)

(ppd) prawo dopełnienia: aa (1.10)

Uwagi:

Używając symboli działań, stałych 0 i 1 oraz zmiennych budujemy wyrażenia boolowskie, np. aaba )1(

Gdy wyrażenie nie zawiera nawiasów, kolejność wykonywania jest następująca: dopełnienie, iloczyn, suma.

Jedną z metod upraszczania wyrażeń boolowskich jest stosowanie powyższych praw Boole’a.

Np. 10)()()(),()(),2()( pdpdMpidpdappr

bababababaaabaabaabaa

Wyrażenia boolowskie wygodnie jest zapisywać w jednej z dwóch tzw. postaci kanonicznych: sumy

iloczynów lub iloczynu sum.

Np. bababababaaabaabaabaapdMpdappr )()(),2()(

0)(

Korzystając z praw de Morgana każde wyrażenie boolowskie można zapisać za pomocą tylko działań

dopełnienia i iloczynu (lub dopełnienia i sumy).

Np. )()()()()2(

abaaabaaabaapdMap

str. 11

4.3. Dwuargumentowa algebra Boole’a

Dwuargumentowa algebra Boole’a to algebra, w której zbiór B={0,1}. Działania dopełnienia, iloczynu i sumy opisują

tabele:

x x

0 1 1 0

x y x y 0 0 0 0 1 0

1 0 0

1 1 1

x y x+y 0 0 0 0 1 1

1 0 1

1 1 1

Zadania

4.1. Uprość wyrażenia:

a) xyzyz

b) yyxxz )1(

c) zzyzzzz

d) )( zxyxzzz

e) xyxxyx )(

f) zyxzyxzyx

g) xyxyx )()(

h) )()( yxyx

i) )( xzyxzxx

j) zzyx

k) zzyx

l) xyxyyx

m) )()( yxyxzx

n) )()( xyyx

4.2. Sprawdź metodą 0-1, czy:

a) yxzyxzyx

b) yxyxzyzxyx )(

c) zyxyxzxx

d) ))(( wzyxwzyxyxwzx

4.3. Udowodnij Twierdzenie B. (prawa 1.6-1.10)

4.4. Przekształć tak wyrażenia, aby występowały w nich tylko iloczyny i dopełnienia:

a) )( cba

b) cba

c) acba

d) bacba )(

4.5. Wyrażenia z zadania 1.4 przekształć tak, aby występowały w nich tylko sumy i dopełnienia.

4.6. Przedstaw wyrażenia w postaci kanonicznej:

a) )( zyx

b) yxyzyx

c) yxzyx )(

d) xyxxyx )(

- wartości logiczne dopełnienia logicznego

- wartości logiczne sumy logicznej

- wartości logiczne iloczynu logicznego