3.2 ปริพันธ ที่ไม ขึ้นกับเส นทาง (path independent...

3.2 ปรพนธทไมขนกบเสนทาง (path independent integrals)

ถา F = (Fx, Fy, Fz) เปนสนามเวกเตอรทไมมการหมน (irrotational) กลาวคอ∇ × F = 0 เรากลาวไดวาสนามเวกเตอรนนเปนสนามอนรกษ (conservative field) เนองจากสมการ (10) คอ

∇ × F = ∇ × (∇φ) = 0 (14)

ทาใหสามารถนยามใหเวกเตอรฟงกชน F อยในรปของแกรเดยนตของสเกลารฟงกชน φ อนหนงกลาวคอ

F ≡ ∇φ =(

∂φ

∂x,

∂φ

∂y,

∂φ

∂z

)โดยการแจกแจงสมการ (14) ตามสมการ (7) เราสามารถตรวจสอบการเปนสนามอนรกษของ Fจาก

∂Fz

∂y= ∂Fy

∂z,

∂Fx

∂z= ∂Fz

∂x,

∂Fy

∂x= ∂Fx

∂y(15)

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 34 / 76

ตวอยาง 3.3สนามเวกเตอรตอไปนเปนสนามอนรกษหรอไม (1) F = (xy2, x2y, 0),(2) F = (cos x, 0, sin y)

แบบฝกหด 3.2จงตรวจสอบวาสนามเวกเตอรตอไปนเปนสนามอนรกษหรอไม1. F = (x, y2, z)2. F = y2 cos(2x)i + y sin(2x)j

3. จงพสจนวา แรงผกผนกาลงสอง F(r) = −k

r2r (เชนแรงโนมถวง หรอแรงไฟฟา เมอ k

เปนคาคงตวขนอยกบชนดของแรง) เปนแรงอนรกษ


ถาเราหาปรพนธเชงเสนของสนามอนรกษ จะเปนผลใหคาปรพนธทได ไมขนกบเสนทาง (pathindependence) ลกษณะคอ ไมวาเราจะหาปรพนธไปเสนทางใดๆกตาม ทมจดเรมตน a และจดปลาย b เดยวกน ดงนน ∫ b

aF · dr =

∫ b

a∇φ · dr =

∫ b

adφ

โดยท dr = (dx , dy , dz) สเกลารฟงกชน φ จะเรยกวา ศกยสเกลาร (scalar potential) ของF นนคอ ∫ b

aF · dr = φ(b) − φ(a) (16)

สมการ (16) เรยกวา ทฤษฎบทรากฐานของแกรเดยนต (fundamental theorem of gradient) ในกรณทเปนเสนทางปด กลาวคอ a และ b เปนจดเดยวกน จะได∮

CF(r) · dr = 0


ตวอยาง 3.4: ปรพนธไมขนกบเสนทางกาหนดให φ = xy2 เปนศกยของ F และกาหนดใหจด a = (0, 0, 0) ไปยงจดb = (2, 1, 0) จงตรวจสอบทฤษฎบทรากฐานของแกรเดยนต โดยการหาปรพนธของ F ไปตามเสนทางตางๆดงรป

1

1 2

(iii)(i)

(ii)

a

b


ตวอยาง 3.4 (ตอ)


แบบฝกหด 3.3จงตรวจสอบทฤษฎบทรากฐานของแกรเดยนต โดยใช φ = x2 + 4xy + 2yz2, โดยกาหนดใหจด a = (0, 0, 0) และ b = (1, 1, 1) ไปตามเสนทางดงน

(i) จาก (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 1, 0) → (1, 1, 1)(ii) เสนทางรปพาราโบลา z = x2; y = x

xy

z

Figure 14: (i)

xy

z

Figure 15: (ii)


ทฤษฎบทของกรนบนระนาบ (Green’s theorem in plane)กาหนดให R เปนพนทบรเวณหนงในระนาบ xy ซงถกปดลอมดวยขอบเขต C ดงรป ถาF = (Fx, Fy) ทฤษฎบทของกรนบนระนาบไดแถลงไวดงนคอ

∫R

(∂Fy

∂x− ∂Fx

∂y

)dx dy =

∮C

(Fx dx + Fy dy) (17)

เมอ dx dy เปนพนทเลกๆในบรเวณ R ดงรป

C1

C2

C3

C4

a b

R

dydx

Figure 16: บรเวณ R


ทฤษฎบทของกรน (17) สามารถเขยนไดในรปของเวกเตอร กลาวคอ

∫R

(∇ × F) · k dx dy =∮

CF · dr (18)

ตวอยาง 3.5: การประยกตใชทฤษฎบทของกรนจงหาคา

∮F · dr ของเวกเตอรฟงกชน F = (−y, x) รอบเสนวงกลมรศม 1/2 หนวย ในทศ

ทวนเขมนาฬกา


3.4 ปรพนธเชงพนผว (Surface integrals)นยามของปรพนธเชงพนผว

ปรพนเชงพนผวเปนการหาปรพนธสองชน (double integral) ของสนามเวกเตอร F ทผานพนผวๆ S ใด (บอยครงทเรยกปรพนธเชงพนผววา ”flux”) ซงอยในรป

∫∫F·n da หรออาจเขยน

∫S

F·da

เมอ n คอ unit normal vector หรอเวกเตอรหนวยทตงฉากกบชนประกอบพนทนอยยง (infinitesimal areaelement) da, และตวหอย S หมายถงปรพนธทวทงพนผว

da

N

n

x

y

z

r (u,v)

S

Figure 17: แสดงพนทนอยยงบนพนผว S โดยทn = N/N


ตวอยาง 3.6จงหาปรพนธเชงพนผวของสนามเวกเตอร v = 2xzi + (x + 2)j + y(z2 − 3)k ทผานดานทงหาของสเหลยมลกบาศก (ยกเวนดานลาง) ยาวดานละ 2 หนวยดงรป

x

y

z

2

2

2


พนผวอนๆ

ในหวขอทผานมาเราไดทราบแลววาฟงกชนของพนผวใดๆจะอยในรป

f(x, y, z) = c

เมอ c เปนคาคงตวใดๆ ตวอยางของฟงกชนพนผว เชนf(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − R2 = 0 ⇒ พนผวทรงกลมรศม Rf(x, y, z) = x2 + y2 − R2 = 0 ⇒ พนผวทรงกระบอกรศมฐาน R

f(x, y, z) = x2 + y2 − cz2 = 0 ⇒ พนผวกรวย, c > 0f(x, y, z) = x2 + y2 + cz = 0 ⇒ พนผวพาราโบลอยด, c เปนคาคงตว

f(x, y, z) =(R −

√x2 + y2

)2+ z2 − r = 0 ⇒ พนผวทอรส, R, r

เปนรศมเอกและรศมโท


ในการนยามปรพนธเชงพนผว เราจะใหพนผว S มเวกเตอรระบตาแหนงทองตวแปรเสรม 2ตวแปร คอ

r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k (19)

xy

zr(t)

Figure 18: เวกเตอรระบตาแหนงของเสนทาง

xy

z

r(u, v)

Figure 19: เวกเตอรระบตาแหนงของพนผว

ในสวนทเราจะศกษาน จะเปนพนผวทพบบอยในทางฟสกสคอ พนผวทรงกระบอกและทรงกลม


สมการองตวแปรเสรมของพนผวทรงกระบอก

สมการของพนผวทรงกระบอกทมฐานอยบนระนาบ xy รศม R สง h จะอยในรปx2 + y2 = R2 และ −h/2 ≥ z ≥ h/2 เวกเตอรระบตาแหนงของพนผวทรงกระบอกจะอยในรป

r(u, v) = R cos(u)i + R sin(u)j + vk

พารามเตอร u, v ของพนผวทรงกระบอกน แทจรงแลวกคอ มมในแนวราบของฐาน และความสงของทรงกระบอกนนเอง ดงนนพารามเตอรของพนผวทรงกระบอกจงมกจะเขยนแทนดวยu → ϕ และ v → z แสดงดงภาพ นนคอ r อยในรป

r(ϕ, z) = R cos(ϕ)i + R sin(ϕ)j + zk (20)


R

ϕ

zh

z

x

y

Figure 20: รปแสดงถงพนผวทรงกระบอก

y

R sin ϕ

R

ϕz

R cos ϕ

Figure 21: r(ϕ, z) = (R cos ϕ, R sin ϕ, z)


สมการองตวแปรเสรมของพนผวทรงกลม

พนผวทรงกลมรศม R ทมสมการเปน x2 + y2 + z2 = R2 สามารถระบไดดวยเวกเตอร

r(u, v) = R sin(u) cos(v)i + R sin(u) sin(v)j + R cos(u)k

พารามเตอร u และ v นแสดงถงมมในแนวราบและมมทวดจากแกน z ลงมาตามแนวดง โดยทวไปแลว มม u, v มกจะแทนดวยสญลกษณ θ และ ϕ ตามลาดบ นนคอ

r(θ, ϕ) = R sin(θ) cos(ϕ)i + R sin(θ) sin(ϕ)j + R cos(θ)k (21)

โดยท 0 ≤ θ ≤ π และ 0 ≤ ϕ ≤ 2π แสดงดงรป


R

θ

ϕ

Figure 22: รปแสดงถงพนผวทรงกลม

x

y

z

R sin θ cos ϕR sin θ sin ϕ

R cos θ

R sin θ

Rθ

ϕ

Figure 23:r(θ, ϕ) = (R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ)


ระนาบสมผส

ถากาหนดให r(u, v) เปนเวกเตอรระบตาแหนงใดๆบนพนผว S , u = u(t) และ v = v(t)เปนเสนโคงทแนบไปกบพนผวนน โดยท t เปนพารามเตอรของเสนโคง จะไดวา

ru ≡ ∂r∂u

และ rv ≡ ∂r∂v

เปนเวกเตอรสมผส (tangent vector)กบเสนโคง u(t) และ v(t) ตามลาดบดงนน ระนาบทเกดจากเวกเตอร ru

และ rv จงเปนระนาบทสมผสกบพนผว S ซงเรยกวาระนาบสมผส(tangent plane)

u(t)v(t)

tangent plane

S

nt plane

ru

rv

N r r= ×u v


เวกเตอรทตงฉากกบพนผวใดๆกคอเวกเตอรทตงฉากกบระนาบสมผสของพนผวนนๆนนเอง ถาN เปนเวกเตอรทตงฉากกบระนาบสมผส (normal vector) เราหา N ไดจาก

N = ru × rv (22)

และจะได

n = NN

= ru × rv

|ru × rv|(23)

Noteสมการพนผวทไมไดอยในรปตวแปรเสรมซงแทนดวย f(x, y, z) = c เวกเตอรตงฉากกบระนาบสมผสของพนผว สามารถหาไดจาก N = ∇f และ

n = NN

= ∇f

|∇f |(24)


พจารณาพนทเลกๆ da ทอยบนพนผว S จากรป เราพบวา

da = n da = (ru × rv) du dv = N du dv (25)

ดงนนปรพนธเชงพนผวอาจเขยนอยในรป

∫S

F · da =∫

SF · N du dv (26)

d drr

1 =∂

∂uu

d drr

2 =∂

∂vv

r1

r2

r

daS

O


da ของพนผวทรงกระบอก

พจารณาการหาพนผวนอยยงของทรงกระบอก โดยเราจะเปลยนตวแปร u → ϕ และ v → z ดงนน da = N dϕ dz เวกเตอร N หาไดจาก

N = rϕ × rz

เนองจาก r(ϕ, z) = (R cos ϕ, R sin ϕ, z)

rϕ = ∂r∂ϕ

= ∂

∂ϕ(R cos ϕ, R sin ϕ, z) = (− sin ϕ, cos ϕ, 0)R

และrz = ∂r

∂z= ∂

∂z(R cos ϕ, R sin ϕ, z) = (0, 0, 1)


เราจะได

N = rϕ × rz =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

−R sin ϕ R cos ϕ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (cos ϕ, sin ϕ, 0)R

เพราะฉะนน da ของทรงกระบอกจงอยในรป

da = (cos ϕ, sin ϕ, 0)R dϕ dz (27)

และพนทนอยยงของผวทรงกระบอก (ไมรวมฝา) อยในรป

da = |N| dϕ dz = R dϕ dz (28)


ตวอยาง 3.7: พนทผวทรงกระบอกจงหาพนทผวของทรงกระบอกสง h รศมฐาน R


ตวอยาง 3.8จงพสจนวาสาหรบพนผวทรงกลมรศม R แลว,

da = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ)R2 sin θ dθ dϕ (29)

และda = R2 sin θ dθ dϕ (30)


ตวอยาง 3.9: พนทผวทรงกลมรศม Rจงหาพนทของทรงกลมรศม R


ตวอยาง 3.10จงหาปรพนธของสนามเวกเตอร E = (0, z, x) ไปตามพนผวครงทรงกระบอก ดงรป

2a

h

x y

z


ทฤษฎบทของสโตกส (Stokes’ theorem)ถา F เปนสนามเวกเตอรททะลผานพนผว S อนหนง ทฤษฎบทของสโตกสเขยนความสมพนธไดดงตอไปน ∫

S(∇ × F) · da =

∮C

F · dr (31)

โดยทเสนทาง C เปนเสนทางตรงเสนขอบซงปดลอมพนทผว S ดงรป

xy

z

Cdr

da

n


ตวอยาง 3.11จงตรวจสอบทฤษฎบทของสโตกสสาหรบฟงกชน v = (xy, 2yz, 3zx) โดยใชพนทสามเหลยมดงรป

2

2

x

y

z


ตวอยาง 3.12จงหาปรพนธของ ∇ × F โดยท F = (0, xz3, 0) ทวทงพนผวรปพาราโบลอยดz = x2 + y2 โดยท z ≥ 4 ดงรป

x

y

z

2

4


แบบฝกหด 3.4จงหาปรพนธของสนามเวกเตอร F = (0, x, z) ทวทงพนผวของครงทรงกลมx2 + y2 + z2 = R2 โดยท 0 ≥ z ≥ R

แบบฝกหด 3.5จงตรวจสอบทฤษฎบทของสโตกสสาหรบเวกเตอรฟงกชน F = (0, xz3, 0) สาหรบพนผวทเปนสวนหนงของทรงกลมรศม R ดงรป

x

y

z

R60o


3.5 ปรพนธเชงปรมาตร (Volume integrals)ปรพนธเชงปรมาตรเปนปรพนธสามชน (triple integral) ของฟงกชนใดๆ f(x, y, z) ทวทงปรมาตร V เขยนแทนดวยสญลกษณ∫∫∫

f(x, y, z) dV หรอ∫

Vf(x, y, z) dV

โดยท dV = dx dy dz ในพกดคารทเซยน สญลกษณตวหอย V แทนการหาปรพนธสามชนทวทงปรมาตร V สาหรบฟงกชนเวกเตอรใดๆ ปรพนธเชงปรมาตรนยามดงนคอ∫

VF dV =

∫(Fx, Fy, Fz) dV = i

∫Fx dV + j

∫Fy dV + k

∫Fz dV


ตวอยาง 3.13จงคานวณปรพนธเชงปรมาตรของฟงกชน f(x, y, z) = xyz2 ทวทงปรมาตรของปรซมดงรป

y11

3


ทฤษฎบทรากฐานของไดเวอรเจนส (Fundamental theorem of divergences)กาหนดให F เปนสนามเวกเตอรใดๆ ทฤษฎบทรากฐานของไดเวอรเจนสกลาวไววา

∫V

(∇ · F) dV =∮

SF · da (32)

โดยท∮

S แสดงถงปรพนธทวพนผวปด (closed surface) ความหมายเชงเรขาคณตคอ ไดเวอรเจนสของสนามเวกเตอรใดๆจะวดการกระจายออกของสนามเวกเตอรนนๆ ทฤษฎบทไดเวอรเจนสนบงบอกวา การหาปรพนธการกระจายออกของสนามเวกเตอรทบรรจอยในปรมาตร V มคาเทากบการหา ”ฟลกซ” ของสนามเวกเตอรททะลผานพนผวปด S ทหอมลอมปรมาตรนนไว


ตวอยาง 3.14จงตรวจสอบทฤษฎบทรากฐานของไดเวอรเจนสโดยใชฟงกชน

F = y2i + (2xy + z2)j + 2yzk

โดยใชปรมาตรทรงสเหลยมลกบาศกยาวดานละ 1 หนวย


แบบฝกหด 3.6จงคานวณปรพนธเชงปรมาตรของฟงกชน T = z2 ทวทงปรมาตรของทรงกระบอกx2 + y2 = 1 โดยท 0 ≥ z ≥ 2

แบบฝกหด 3.7จงตรวจสอบทฤษฎบทไดเวอรเจนสสาหรบเวกเตอรฟงกชน F = (7x, 0, −z) โดยใชทรงกลมx2 + y2 + z2 = 4


3.2 ปริพันธ ที่ไม ขึ้นกับเส นทาง (path independent...

Documents

Transcript of 3.2 ปริพันธ ที่ไม ขึ้นกับเส นทาง (path independent...