310 przykładów granic z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku

5/11/2018 310 przyk ad w granic z pe nymi rozwi zaniami krok po kroku

1/25

Bihliotec:ka Oprocowan MateI1lQt)'czJ11'ch

Drogi czytelniku,Ze z v t 9

310 przykladow granicz pelnymi rozwiqzaniami krok po kroku. ..z serii:Biblioteczka Opracowan Matematycznych,zawiera 3] a przykladow granie wraz Z obliczeniarnikrok po kroku. Przyld:ady granic ciagow, funkcj ijednejidwoch zmiennych prezentuja roznorodne metodyobliczania granic. Ksi~a maze bye przydatna za-r6wno dla poczatkujacych jak ibardziej zaawan-owanych w tematyce granic czytelnik6w. Przykladyzostaly pogrupowane z uwzglednicniem tosowanychmetod oraz stopnia trudnosci.Owocnej nauki Autor

788360 667002

Wydawnictwo BilaI BN - to: 83-60667-00-4I 8N- 13: 978-83-60667-00-2

Biblioteczka Opracowan Matel1lotyc;.nvclt

3 0 przyklad6wz pelnymikrok.g r a n l c

r O Z W 1 C \ Z a n l a m lpo kroku..fi,~II y V - : ' \ ! yZESZYT9Materialy Pomocnicze do Nauki dla StudentowBiblioteczka Opracowafi Matematycznych

Wydawnictwo Bila


2/25

B ib li ot ec zka Opracowai l Mq temat yc znvc h1.Granice ci1lgow1/Defillic;a granicy wlasciwej ciqgllLiczba g jest gran ica ciagu (a" ) tzn.: lim a. = g. wtedy i tylko wtedy.d I I " . . . , . ,g y: . ':u" ,~,/ : )Q" - g m ~>O 1'11>0n>m IIn~N nEN

WvbrOlte twierdzeni.n 0grallicach ciqgow:Twierdzenie JKazdy ciag zbiezny (tzn. posiadajacy granice wlasciwa) rna tylko jednagranice, Kazdy podciag ciagu zbieznego (do granicy wlasciwej lub nie-wlasciwej )jest zbiezny do tej samej granicy.Twierdzenie 2Jezeli lin~, =a I limb =b. to:~~(a. b n)= a b;"- "lim(a.b )=0'&; lim(k.a.)=k.lima.=ko dla kER:,It_:& 1'1 III-t>.r 11--\ " "

. a lima. ahm_;!_=~=- b-" 'O:.- b. limh. b~ ~ ! ( a . r : r ~ ~ a . ikEZ-(O}: !~~=v!~a" k E N - { I } :-4-

B ib li ot ec zka OpraCOWQ11MatematycznychTwierdzenie 3 (0 trzech ciqgac/l)Jezeli ~an;= ! ~ c " '"g oraz istnieje taka liczba mEN. ze dla kai:dej liczbyn> In, n EN zachodzi: a u s b; s c.to l imb. = = sTwierdzenie 4 (0 dwocl, ciqgach} . ~ m. gdzie n, mEN orazlim GIn'" cc to lim h.=01). J ezeli lim h.=-00 to lim a. =-rI,}.11_.;](. l ....;D n--+~ ,,___..~Twierdzenie 5 (arytmetyka granic ciqgow)Jezeli !,~Q. = = 0 oraz an> 0 (an< 0) to 1 1m _ !_ =~(-~).Jezeli lim Ia.l= 00 to I .L,o ,~."

1---o1 un -,.--t~ u"

Jezeli lima, = + 211+ 1Korzystajac z definicji granicy ciagu rnozemy zapisac:[" 311 ' + 2 3 1 3 1 1 ~ + 2 . 3 1IIJl , A v A , - < i s "._., n: oJ 2(/ +! ",0,0'." .". n: + 211+ ISzukamy ill EN dla ktorego nierownoscjest spelniona dJa kazdego E.Oszacujemy nierownosc po prawej stronie nastepujaeo:1

3Jt'+2 '1_1311'+2-311'-6n-3 6n+1 011+211 8'" .J-., 'I


3/25

Bib lio tec zk .a Opracowan Matematvc zY l ) lch31Opierajac sie na def. granicy niewlasciwe] ciagu, wykazac zeb m ( . r ,; - n ) . . - ,, ,_ '"Wykorzystujac deflIlicJ~ granicy niewlasciwej ciagu mozemy zapisac:! ~ ( . , r , ; -n)=-> . ~ - o . : ; , " , : J . , r , ; - 1 1 < & )Wystarczy wskazae liczbe m taka, ze nierownosc zapisana po prawejstronie bedzie prawdziwa dla kazdego e < 0, Przeksztalcajac te rue-rownosc otrzyrnujemy:. , r , ; -n = n_n2 ::;;tl-II: = ]-11 I -2e,A zatemjako poszukiwana Iiczoe m wystarczy przyjl'lc m = 1-2sabyrozpatrywana nierownosc byla spelniona dla dowolnego s < O .4 J Wykorzystujac tw. 0 trzech ciagach wykazac, i:e lim~3+j"+10' =10.Prawdziwe jest oszacowanie: .,__"10' ,.,3 ' +5 "10 ':: ;; 10" ...10" +10'~ $~h'+5" +10' s \~Wykorzystamy tu fakt, ze limrJ.,1n = 1, Poniewaz lim~ =1 0 orazlim~h'10 = 10 lim V] =10 wi~c"na rnocy tw, 0 trzechciagachI QO. rr-tz

lim~3"+5" la' =10. sin1//+ 2n 251 Wykorzystujqc tw o 0 trzech ciqgach wykazac: !~ 5n _IAby wykazac powyzsza rownosc wykorzystarny wlasnosc:

Ossmln: : ; ; l. Stad mozemy zapisac: 0 + 2 n $sirln + 2 1 1 s1+ Zn. A zatem2" siTlllI+ln 1+2'1--$ O.Nalezy takze pamietac, zeumieszczajqc zmienne tub l i C ' Z g y pod symbolem pierwiastka stopnia k; nalezypodniesc zmienna lub liczbe do potegi k.

I, . J ' ~ . n2+4n+l-nl-2nrr n n: +4n+1--.ln-+211 = 1 1 m J . ~,-,0" "~" n2 + 4 1 1 + 1 +..;nl + 2 11

~+! ?= lim "n =-='=1~-- ~+~+.J,. +In' +~ 211" , , : l , , * n ....

13 1 5( ~+2+ 5 ~.!..n s ( J n : + ~ + ! ! ) "- lim vn-+L n =lim ";1'1-+1., n. = lim n n n = : : : . .__'2Jn1+S+n H"'1Jnl+5+n:1'I .~~',(Jn'+i_+!!') 2. : = -\ . , , 1 1I~ "141 I' 1+2+3+"'+n I' , , ( , ,+1) : , ,1 I 7+ ~ I_ rm Im-,---=Im-,-=-r:_;r ll~ n~T 2n~ :,l rI-+;r .1J~ 2

I. 2n+ 1 :n1m =._..J,l + 4n + 1 +.j 11] + 2 1 7 : n

(WykorzystanoJakt, ze licznikjest ciqgiem arytmetycznym 0roinicy I,)15 I I' 1+3+5+ ... +(2n-l) Ii (1+217-1)2/1 :n1 u ~im m ( ) = m ,2+4+, .. +211 ~...e 2n2+211 :nl n->"iQ.+l!!.16 1 (3?) (3)' 1 l"r_~'I, 1+4+ 7+ ... + 11-_ I' 11-1 TI ,/1 li n' I f' JIITI 1 1m, = im - 11-+ ~ 11 "._. 2,,'" : n l IT_O 2t1... 2ill .2' , (X2)' ~n' + 3,(" + "1 1 m 1-+ - + '" + n = lim n n + I n + I :n = lim 7. -;;0 ; ; 0 -

. 10 "J .......... 6n1 :nJ .-"..- ~ 312,: ,n(n-rIXln-rl) ,,'(Wykor~stano zaleinosc + - ~ ~11 '" 6 )


4/25

Biblioteczka Opracowan Matematycznych

-11 n -.!!=ltm---=Iim~--==-l.~ j;;';].11 h~ ~~ +~Pomocniczo obliczono ~?lmyciqgow arytmetycznych. 1tI nawiasach.1 9 1 ~ 1j+2'+ ... +n' li ( , , ( n + I ) ) ' 1 I. ' 11'+2n'+I1"n' . ~+l: +~ I1m , ill -- -= IDl = 1 1 m " =~n "~:I: 2 n" , , - 3 ; : 411~ 11~ II ~'X i!C. ...:Wykorzystano faki dowodzony indukcyjnie, ie 13+~'.........,' ==(I2+...+n)'2 0 1 . 1 2 n. I ( ) . 1 (n(n +1 ) ) . n' + nIlm+j++j=ltm ,1+2+ ...+ 1 1 =hm--- =1m-=,~-.%n II 11 " - . 7 1 n ".....,.J1 2 (1_7: 2n~l OgdYk>2= = * gdvk=2ro gdy k =1 lub k = = 0

21) 1+1+!+ ...+...!.. . l~., 2 4-lim 1 ~ 2' Im--- =_=~"-"I+i+-i>++~ ~" I t 31 -1Wykorzystano [akr, ;;ew liczniku i mlanowniku sq ciqgi geometryczne nieskoiiczone.2~/~I' {I I 1 I J -I' (( I) (I I) (I I)~ . ( I )II --+-...+-..+ ... +~ ) - tm 1-"} + ~-J +...+ --~ '/= ILm1-- = = I.- 1 2 2 . .J .J .4 " \" + 1 n_ . ". .n .+123/ li 1+ 2 + 3 +. .. + II 1- , , ' T o , II'+ 1 co s 11Przyjmijmy, ze a; ==1+2; ...+n oraz b; =coSn!.

II +1lima = lim~:nl =0 ._1.':" I 'I .. b' .-.," .... '" 2\!11 + . 1 , : n a taxze co s 17. 51, WI~C crag n Jest ograruczony,Na IllOCY twierdzen ia 5, lim Q .b. = o .24 / u 3 5 7 H>O 211+1 f{ I) (1 ) ( . L ) G ' ) ~- IID1, +-


5/25

Biblioteczka Opracowan Matematvcznvch

33 1 J' -JI+2+3+ ... + 11 I' .Jn I' J ' ' ' / : 1 1 1Jm 1m--= lID ---=-....... n __ :K" n n_r n : 11 J2 .341(, (';"I" , V I - 1. - 1 I _ J_ - Ilim~\rl-; -Ill = = lim n = = lim "n->" " "-'';, R->T * " ( V ( L - 1 ; - Y + V I - ~ + J ) 335 1 lim J2 -12 .V1, . .. . _ 1 : . . / 2 = lim2t2~.... 27 = lim 2(~;;-) = lim21= =2(Pomocniczo obliczono sume ciagu geometrycznego: t+++t+ "'+7)l I 2S=-~-=---=I1-1 :2 136 1 4.",I+J.4"-lim _] -

n-r 5.2" + 4n+l J8(Diu ciqgow typu wykladniczego, dzjelimy przez najszybciej rosnacy ciqg z mia--no~.rnika~37l 11+21 ( 11+2 )1-. lim fI) :;;;;:lun -2-'n ';, tim n1.(,. + IX1l + 1) = lim ,,1 + 3" +:2 1

'1 ' " : 2" ' . " 1" ' 238 1-l'- , } l 1 l + .;;;+J- In' - ~ l' ( n 1 + ,J;;"+l-n' + . ; ; ;=TX.Jn+l + -,k)im IDl -- ! -J=~~===~~~;@-~~___:: . : . . : ._[_-.-~ ~ - -,k .~'"( J n 1 +.,J;;+l + , } n ' - . J ; ; -= " ' i ' ) < n + I-II)= lim ( . J , ; + T + . I n= lXFn+ I + JIl) lim~l + 1+ ~ + ~ + ~): n =2" ' " ( J n z +,J;+l + , I n ' - ~ ) . _ r ( I n ! +.J,;+i + J / l l - . . r ; ; : : : J ) 1 139/1 , 0l+I!2n-l) u k+IX2n-l). :(2n-l) I' }12+1;/12- 1m . 1m - - = 1m =. , _ .. , ( 2 1 '1 + r ) . + 1 . . . . . " , (2 1 1 - I}.{ZnX211 + 1 ) + I : (2n -I). . _ L 41ll + 2n : 1 1 1

!C+J.. I= lim n', :' =_. - _ , ~ - + _ ;E _ 4~: ,,~40/lim (11+2)+(n+l) = l im (1 l+1)(n+3)=lim 11+3=1- . . . . ' " V H 2)-(n + 1) ......, (n+ 1 ) ( 1 1 + J) n-+", n + 141/ lim .Jnm - 2n2 + 2", limns /1- + + + . = +00_ ,,4% '"_~ V 1'1 jf

. 3"-2":4" . (1.\n_(q4 1 1 1 m - -- -- '=1 m ~ J 1 0_l ._.~" - 3" : 4'" "-,, I - (f - r7"~" 7" 1 (1)" (7 J "1 lim~= lim + 7 := - =00- ,,-.'" 5" + 3" ,-+75" 1+ C t t 5

Biblioteczka Owacawan Matematycznvch~I lim ~ ( ! ! . . ) " = lim ~ :;!!_ = ex)- it ~ l n ~ : r w 3(Wykorzystano fakt, ze l lmW = a)45/lim W He "!o.!~o~~.A(oX-Xu < 6 ) : : : : : > f jf(x)- gl{ f(t) > E ].1 -11) -IXI F.;:!ood ':>ofi;:,\'t-"o j j{x) < ~&Grantea wlaiciwajunkcji W lliesk01iczonosei (w g Cauchy'ego)Iimj(x)=ge:> ' r / : : 3 'r/ [(x>M)=>~f(x)-gl0 ME R J.s'",)

Granica niewlasciwafankeji w nieskoticzanosci (wg Cauchy'ego)lim f(x)= oo = V : : 3 '< J [(.0 M)=> ({ (x d1c-t&- ~ ; ;-OMER . I "E .V (I ; I; I }

Granica wlasciwafunkcji w punkcie (wg Heinego}lim f(x)= g = '!j ~lim XN = .~o)= Ilim [(x_)= glllT ;t() .i;lIC::- i(.t~)~--+lI; \',--t~ ~Grantee w/aiciwejedllostronne w punkcie (wg Heinego)lim _ I ( X ) = g :) " V ! _f(lirnx" =xo) => Ilim I(x . )= g}11_j.. { s . . " - . " I;,-.~ ]

r---'-l"l:r,~ s... ::: Srr('Granica niewlasciwa funkcji w punkcie (W~O'.einego}l i m f ( x ) = o o < = > V ~li rnx lI=xo)=> li m J ( x ) =0 0 ) 1.r---+ xo ,rl'lcs(.~ )\ ' 00 l-HO ~Granica wlasciwafimkcji w nieskoticzonoici (wg Heinego)lim f(x)= g ~ '!j ~Iim x. = = I t , ) } = Ilim f(x.) = g ) IIr_~ r...c.\'(~}~___ ~ ~-+~ ~Granica niewlaiciwajll/,kcji HI nieskanczonosei (wg Heinego)limf(x) = It,).;::> '!j II jimx. = a : . ) . = : ' ; o II.im f(x.)= O J ) I.e-e-e lI"~c:-s{rt l~...e ~_"_ r ~Wybraoe twierdzeoia 0 granicach funkcjl:

- 14-

B ib lio te cz ka O p ra cowa il M a te ma tv cz ny chJezeli funkcje ftx) ig(x) maja gran ice wlasciwe w punkcie Xo. to:II lim V{x) g ( . T ) ) = lim / ( x ) lim g{x ). . r - 4 0 r . , . . r-Ih J :-__ Y


8/25

Biblioteczka Opracowafl MatematycznychI sinx_IIJD--I"-+t X I

e'-I 1lm-;;. .. .. .. x1 I g : x . 1Im=. , [ " _ . . u .x1 arcsin xIm--=x-.fl ..T Lim ( 1 + _ ! _ ) ' =e~-o:o" :t.lim arcfg:r == I.-011 XIhx l1111-= l i m ( H - ~ ) ' =e

at4!;r" ~l':

Ilmln(l+x)=1< .n

dlo a e R

xl im l og ,, {1 + x) = log. e~-.u .rI thx 1Im=.%40 x dla O~ - 222(2 ~1 8' 12:1 6 2 1 8 181 1 lim x- YJ -Sin_\' lim x - x-y+ D -) ' -smy ==im~==h

- -" .ll +y' +tg2y F-" X1+y'+lg2y ..... XlDla obliczenia wiekszosci granic stosuje sie wzory oraz udowodnionetwierdzenia.

3,1 - t - 2 . 3(, + i X ' - I) 3. I + t 58 2 1 11m =im '" -hm --=-- '-


9/25

1111 Iim:ll"~--3=lim (x-Sl) -lim (x-SI) _I< - " J ., r ; - 9 H~I ( t l x " + 3 ) . . r x + 9 X . . r ; - 9) - r-.Sl ( V ; - + 3X-l:-81) - '6

- 18 -

Biblioteczka Opracowan. Matemafycznych3

1191 zlim~-lx

I " I . + , X=un-:===~-L~U - - J I +X+X l +1


10/25

, 2 ,x .J x2+1=LlIn--;===:-==~-.=======, - - J x ' +Xl +x + 1+J x ' +Xl-.l'-J,J4~'42 1I, x T X :.Tun = =r__r- J x ' + . 1 'j + x + I. + J X +xl-x-I :X ~

U4J W k " lim xn =0=-- y azac, ze . - > : IIINiech k < I x l < k + I , kEN. WOWClliS:

I x " l l x l . t x ' ' ( l l x ' i l x I' ";r= k!-~-J..+2'---;;< k!'~Dla ustalonego k: I : : 1 jest wielkoscia stala,Na mocy zalozenia I I . : : I I< I a dla II --')0 co I k : J - ' ~ 0Ostatecznie iloczyn stalej iwielkosci nieskonczenie rnalej d~ do O.1"'-1 I' 5' 3x~ im sm~~

$-+:a X-7r

Czynnik x : " - - - d i u s+: sin(oo) nie dazy do zadnej okreslonej war-tosci lecz przyjrnuje r o m e wartosci z przedziaru . A zatemgranica 12: j ! Die istnieje,

I cos2 I' cos2-sin1l I' (cos-sinXcus!1l+sin)1261 im '= ir n = = rr n __,___----'------,------"...!..!.._:: ~--!..- ;-o.f Sill - coss I - + f sin - cos'" , ... - (cos - sin )= = -lim(cos +sin) = = -fi

~...,_!:1271 't' sin 2.1' I' 2 sin Ix "'I'. sin 2x-- lm~~-= 1m =.!. Im~~-==2

.->(1 X ll sin 5x :>->05 4x' sin Sx 5 c-+Q sin 5x 4x 51291 lim sin(x+J)=lim sin (x + I) == lim sin(x+I)lim_I_=I,1-==_l_

~--J l:;-xll '--+-'(I-~XI+",) z~-I I+x z--II-;c 2 2":c-a . :,-aXi+a} , x-a1301 11m, ( )=lIm(, ( ) =hm -\ ))(X+Q)""lim(x+a):::2a'HSlnx-a g . . . . , smx-a r~QSIll;c-a '-+n1311 I" sinar li sinarco!'bx '"J a,b,x'sina.TcQsbx a I" bx sinax _L a-- 1111--=1m 1n----cO"X=-

....0 tgb .__'I sinbx x.-.tl abxsinbx b...4Jsinb.'( ax b- 20-

Bibl io tec zka Opracowarl Matematvc znychI, sin(x+h)-sin(x-h) I ' 2 co sl fs in - - "'lim sinh 21321 un 1m =,!. -~cosx= cosxh_O h h_,,, h h II hlim sin! 4x = lim 16 sin 4:( sin 4 _ T =16 lim sin 4x sin 4x = 16s-o x2 r~tI 16x'x ...-u 4x 4x

J. 1"1 . sm x sm x1n1 ,r.. 0 sin s sin :(~

W 3-.? .). 1 J _6lim JC Sill x sm;c = = lim sm:r ~~.'t_~x~= I,-.0 Xlll sin_~.sinx" r~ " x' X -r sinx' sin x~

1351 lim cos 2.r ~ cos 5x:--oQ x~ L im - 2sin ~sin 4' -r-t 0 x:

1361 lim~-~. . .+ f sinr= ccs.r

1hJ 21371lim cospx-COSqIz _ , u Xl

?' px+qx , px-qx-_sm-- SIn~~-lim 2 2N~ : l

e:!I..i!:=!J..sin~sin~-21im 1 1 1 2. . .. . 0 X I~q . X P : ; f

=~2((P+q) (p-q))= q'-- pl2 2 2

1381 lim JI- cosx "lim J'--l--oo-s-x lim J I- cosx = 1 " " " " 1=_l_H~ sin x '-0 . J I - cos 1x .....0 J(I- co s X X I +cosx) V~ ./2

Poniewaz otrzyrnana granica nie jestjednoznaczna, zatem granica nie istnieje1391 lim 1- ~ lim ~~-=~~~__L__

r~fJ sin 5 ..l' r-'O14 01 .-1'- SIlUlmt-==~---===r-iO ~ 1 +tgx-Jl-tgx, sinx(Jl+tgx+Jl-tgx) , COSX( t:': ~)=hm -11m--vl+tgx+vl-tgx =1

. .. .. . 1 2~~~ _0.-.0 2lin (I \; nx I' (I-x)sin T I' . ilX I' 1-)." I I' t(l-x)1411 1 -x}g ~= un rm sm ~ rm--= -um

-- HI 2 z.. ,1 COSK/ .


11/25

Biblioteczka Opracowafl MatematycznychI' '., 5 I' sin 3x, co s 5x1m Sin .JX elg x = un ._O sm :IX

lim 15xSiD 3x' cos 5x '"HO 15x, sin Sx

3. 5.1' sin 3.1 ' 3=-hm----cos 5 . 1 ' =-5 r_') sin 5x 3.1 ' 5lim arcsin 3x,_,0 arcsin 2x 3 li arcsin 3x 2x- 1 m --------2 ,-.1) 3x arcsin 2x

3

1471 lim arctgx = ~1im .1'-arclgxr_" 21gx 2 . n .r'tg;r 21481, rg4x I U = X - 4 - 1 4. tg4(u+t) 5 ( 1 I + 4 - ) 41 1m - - = - =- 1 1 m - = -


12/25

Biblioteczka Opracowait Matematycz7'1vch]2

, J.Iimr- sin J.= lim SID r= 1:~ " .I : . .. .. .. ...l .r

10' 1 I~ _-Lj im _ . .: . :: _ = lim '" ,0'' . .. . :: 1 0 1+:5 ..I:-4::-II1W'+.-LHI ~IJ"I

1 0I, 3'-1 L' ~3'-1 r I' 3'-11 ,' .j;,.j; 1 ~ 1 I' r: 0lm~r:~=un ""lm- 1D-= n.l'-' lIDX "H"S"-! ._" J_r .-,)" X ._ u 5~i_1 In5,...o'li m In 6+ 4 " ( 1 -. . .L \ ,zs

179 1 lim(2.x- 5 ) r - . = l i m ( 2 X + 1- 6 ) r - . = l i m ( I - _ o - J < - 1 " " ' - _ 0 _ = ( _ .1'= -~, --21;1 =- . _ z 2. r + I H'" 2 . 1 ' + 1 r _ . . 2_ T + I Ix 1 '~ I ) h ' - l ~-3=t: ).';I+~ ~ J" ~ I ) l r ' ~ ~ ( I ) ' J ( I)l1+- '" =li J;.- =Ii 1+- :Ii 1+- ,1+- = e ' x-3 X-I>", 10 l -I>f:IO "( , I I ( /

- 25 -


13/25

Biblioteczka Opracowari Matematycznych Biblioteczka OprQcowan Matematycznych18 81 l i~ l+ l g2 x YW = 1 2 x = t ~ x=~ =li~l+tgtr~i= lil)+ S i n t ) ' ; : :=F.J,+ S i n t ) - - ~ =

,-.0 - ,__., , - ! ; t co!'! , : : : . ; t cosr=liro(l + sin t ) : 7 lim(l + s in , ); ;' = e - Ii m ( I + sin f ) ; ; ! - ; - - ! : - = e lim[(1 + sin r)::'r'"!

,~U cos/ ,~U COS I ,_U cost ,~l COSt

~ i m ( 2 . x 1 - 4 J H ] = lim (2 T+ 7 + (- 3) ) .. 1 =Iim(l+ (.-3) ) ' ~ 1 = Iim (l+ ( -3 )) =,_ 2x+7 .~. 21:+7 ~-'" 21:+7 I_~ 2x+7( ) ~ ( ) 1~11-31 ( ( ) )(.':~HH)= lim(l + - - - = 2 . _ ) , = lim(l.L -.- 3 ) _, = lim 1+ --= 2_ '" . =

r-4X 2."+ 7 ~-+1 1x+7 ., 2);+ 7

. [(I+~ rT _,= ! ~ r . ( 1+< -3 )1 =e'2x+71821- { 3 1 ) 2 '- ' ~ '- 1 ()))~(1') ~ J )" ";'1j) ( ) ) " 1 ' 1 / 1x- r .H+ -_ r I -_ r I+--.~ 3x+l = . . 3x+1 + 3x+1 =.Im + 3x+1 =.~ 3x+1 =1831~~ . ( )"- ~2X=t: x = - t ; 1 . ( ) - ' . [ ( )'J.2 -2Itm\ll-2x=llml-2x'= - =hml+t '=hmrl+l' =e~_'D .-.0 ' --)0 0 to I --)0 0 ,->0 , _ , . o1-841 ( \ ' lI2 1 1 g ; > ; = 1 + t; , =tgx - 1 ; 1 ()-1(1") r. ( )lr.!:'-- lim tgx, r=. = lim 1+ 1 ;;;:::;T = lim~l+l ' =....... x --)0 t to f --)0 0 ......t ,...

[11""~ 1= lim L (l+t} -. :'.-1 = e-I=-,->0 e

1951 I" ~-1 [ O ] H , " t(l+x); ,_ rrn :0: - = 1m - =-......0 x 0 K II I 3

- 26 -

1961 rr::': 1 If --=..!l!!...L " I I- Lim '\lcos. x - = [ % - ] = lim 2.ro;;r = lim - sm x . = __z... a x2 r-'O 2x ....0 4x "fe-os x 4

1/(Symbol = oznacza stosowanie tw, de L'Hospitala, Do obliczenia granicy,jezeli zachodzi potrzeba oraz spelnione S e t zalozenia two de L 'Hospitalarnozna stosowac wspomniane tw. wielokrotnie)~27-

1871lim V~I-+-sin-x = l im (I+ s in _ ~) ~= lim ( 1 + sin x ) t . : . . . . . = lim r( l + sin ;r);!-;-r =, ... 0 ..( -.0 ;I-.tJ . I- -- ! oU ~

~ J 1 < , , ,..1-""-;= Iim (t+ sin x)- ' ~ , =1/=


14/25

Biblioteczka Opracowafl Matematycznych

2

do sym bo lu : -; . J ub ~ .cI Zastosowac regule d Hospitala. Ponownie sprawdzic otrzyrnana nieozna-czonose poprzez podstawienie wartosci granicznej argumentu do wyrazenia,dJ Operacje aJ-cl mozna powtarzac wielokrotnie.

I 210 x I n ] H L im + r 2~ O T 0Ull. r==: '" ii= r -,-, -; 1~ 1 1=r-+l " X'" - 1 ) t '2m Z x

1 If __ ( _ _ L \llim tgx - = [ . ! ! . ] = lim ..,.'... = = ./fJ =.J2..~ ~sin x - cos x u < + cos .c t + ..in ,t 1 4 f -[' S-~ [ " ) i f u , I N - ' r ' I' 1 [1m = - = = LDl-"--= 1m,~" )..1 u, r_O 2x x->1l2J25-x1 10

ff 1 H H 1) . . T - sm x [I.]" - cos x [ 0 ] I' S i l l X r" . J " cos .r1m = 0 = = 1m , = '0 = 1m -- = l" = 1 m -- = -: t " x3 ..... 11 3x $~tI 6x r"'U 6 62x H _2_ 2 1(~ ) H 4 s ( 1 J . . ) ' (r ). 19 r~] I' " " " , . ' . r J' cos"4+x rllJ--ll'm- co ~+x 'sm 7+xILDl :::;~= lffi--"-= tm , tilx - - o - f t g { ~ + - , " ) Nf "",'I~'i r-j cos' 2 x Nf -4cos2xsin2x

( f-alim e -e,->C x2 cos s . . , 1 1.. _ o 2 r )I. _\e erm '2r-+IJ 2.lCOSX-X sinrI'I' 4e'T + 4(,-2,' 8=nrn -:: 4

HO 2oosx-2.Tsinx-2.Tsinx-x' cos x 2. e'" _e'rn.r: If. =e"" _ t l U I : t -cosr2011 1 1 m = = [ % ] : h m l - - - - --- "(iT-x)-sinx f" -1-coSX' [O ] ~ I ' e " - X -e


15/25

BibliOleczka OpracowwiMatematycznych Biblioteczko Opracowaft Matematycznvch2181 lim In (In x) = [ " ~ - J ~ im J~t= lim 1....L '"'0

r-1~ X : :r.....: : o c : 1 .I:_~:r!ax219/ x-/UT 1 0THI 1--,- -' x-I l' cos?x-I- - - -- li m - -- "'- ~- =- ~ F irn 015- ~ =- lim ,~~ r ~ = - 1m I

r_U Xl/gx" ~_1I2xlg:t +X1_,_ l l 2x{sin2x+x)H _ sin 2 ) . " [ ( . 2 cos 2x I=[t]=~~ 2(sin 2.'(+ x)+2x(200s 2.1:+ I) = : % = : : ~ 8 c os 2 )." - 8x sin 2x + 4 '" 6231 / :c l I .. 1 I sin _j _ [ .H t - J.. Jcos _L-_._- lim -'--sin - = [ 0 0 .0]= lim --sin - '" lim --' = % } = lim:' , =.(422x-1 X f"_~ ~ X J:-+t: 2~~1 It_E 2~~-~

.1, '- J.- I!

x . cos- r " ' j H cos- _l sin! 1co: linl---l< = G - =lim $" T =-......2x-2 $-->'" 2 2." , 1- elx If. - 2el' . - 2e~'Z o y , , ] l i m ( [ - e" ~tg.r = [ r . o 0] = lim -. --::= [ % ] = lim -1- = 1 1 m . . , -r:JiJ- .1"40 - l'-~I) ~_ 0 __ .. _ _ . , : r . I lm J.'

-- "I.~ sm~;r mD~J" i,:c52%=-liro _2e1, '" -2 ctg !.r

x:->IJ _.J__eQ5~;C

2331 H m(a - x} g( sa.- + ) = [0 . 0 0 ] ,,:Iim t g (~ t - ~J=I~]~im Jr (~ - X )~ =[~]=:.r4.J7 a - . 4Q . X"--I"f:I',acos-(~.r-L) Qa-T" Q' 2

7 . 1 / t J I'. .)X+4-2_[0]_I ( J X + 4 - 2 . p x _ l J X + 4 - 2 _ [ . Q . ]~ I lJk_1 m - - - rrn - - 1 m - - 1 m -z-->~ sin 5x 0 % -->0 5x. sin 5x ~-->O 5x 0 "' . . .. 0 5

= lim 1 =_!_~->II 10''/.1+4 20

22 3 . / ' . I/!' ,-J, I' cos,. [0] I~- ysm T- 1 m ---= j)'''' 1 mr-+trx~~T . J ~ I 2

~241 lim I-COS-l" "" [~]~ lim sin xH~/.JI+x-l) Q r4"~_I+-;:-!:====\ tvl"J lim 2sin x..Jl+; = [~]~r-O 2+3x-2~ a2 cos x ~ + -'1llb= lim ./1... = = I

~ . .. n 3 - __j_JI+rI /r(x + I) [ " ] / 1 I' If I' 3) rv ~irn --.-r-- = n = = irn --- = = Jr un -sx: ='JrI".... ~ \J x + 1 1'--1 * ~-+I. , , ! , / , ', ( I x ) . I - X [ ] H . - I1 m - - - - . - =[oo-oo]=lun---= ~""lll11-=-1.-1 In x in x .-1In .r I-I ~. I! 21 l 4 1 H ""1' + '=Hm.11 x+ nx = [ ! o _ ] = lim x III :i.r~:::I 2x C) I_% 2-sinx 0=l!m =-=0

,-


16/25

Biblioteczka Opracowail Matematycznvch

2391 lim (~) 1 ]' IP iczo obli . Im--InxOlllOCruCZO0 rezone grantee: H1- x

lim _I_In x = [ 00 .0 ]= l im ~= (t]~Inn __=-I.-1 I - X r-


17/25

Biblioteczka Opracowafz MatematvcznychPomocniezo obliczono granice:5 in H !-lim -ln x = [0 < D ] = lim _.t_ = [ . . ] = lim .s:= 2 _._0 2 + 7 inx .-0 2+~I.' " ._0 /. 7~ : _ ( 2 ) ' ~ 1 " ' 1 n ,lDem' 0 I-UU cos- =L = Ime =(1 = =r-t:.: X r-;:cPomocniczo obliczono granice: ~ I ~.,

2 In(cos2) H :""""Isrn~ +tg1.limx Lncos-= ( 0 0 . 0 ) = Lim I =~]= lim' -. 1 = = lim-" I I.I-..~ X ~ ' X - ; .1'---+ Z -~ 1-t~_~=-lim 2tg ~= 0

.l-+~

Pomocniczo obliczono granice:lin 1 In [0] 1- III .T []11 J ' - ; n z../x lim 2 01 I ;r = = lOO' = = 1m r= ;. = In' - = = 1m - - = I =. .. .. .~ v


18/25

Biblioteczka Opracowail Mazematycznych265/ lim a r c t g _ !_ = lu . = + _ I '= lim arclgu = _ 1r-- ~~. AT -+ 0 10 1/ -+ -00 ..-~ 22661 l im, OI'Clg _ !_ =~ =+ ~ I = lim arctgu '=!!_.~ o .T I x -+ 0 - 10 1/ -+ + :< : l . ~ - 2Brak rownosci granic 265/ i 266/ dowodzi, ze funkcja J"=arc(~ oie rnagranicy w punkcie o . x2671 lim _ 2 _ _ = I x - -} L'-- ...... lox

u -+ -


19/25

B ib li ot ec zka Opracowan Mat ema ty cz nyc h Bib lio tec zka Opracol1 'a i J .Matematycznych, I

= ~~2{J25+x':+y2 +5r= 20

Granica wlaiciwafunkcji iiIpunkcie (wg CauchJ"ego)lim /(x,y)=g =V .3 ' I f . [0 < J(X-.Tol' + (,,__vo)l I/(T,y)- g l < to J(.f. I t} - . ( . .c ll l , ~" J , ~ ~:>O!.I ' I-~,"(:r.... 1 . 1 ' 1 1 < J L 31 1= lm---=~-U~ "--.Il.Ju-Ll-l

Granica niewtasciwafunkcji w punkcie (wg Cauchy'ego}L im f(.r,y)=IXlQ V .3 'r { .[ o< J (x -x ol'+ (y -y ,;f j= >/( x,y u][ ,. .- )... .(' . ... 1'111) \/~.Ii'~ .O (r_~~~ (.I'n.~ ..

PRZYKLADYJa k pokazuja przyklady 289/ i290/ do obliczania granic funkcji dw6chzmiennych rnozna wykorzystac te same rnetody, Jakie stosuje sie dla funkcjijednej zmiennej, Poprzez odpowiednie podstawienie mozna sprowadzic gra-nice funkcji dw6ch zmiennych do granicy funkcjijednej zmiennej,2911 Li m 5sin ( 1 : . y ) = lu = -9'. 1=~lim s in 1I =~==~~O 3xy ( x , Y ) - l o ( O , o ) to U - l o O 3040 II 3y__ 'ODo obliczania granic funkcji dw6ch zmiennych wykorzystuje sifttwierdza ,uia stosowane przy obliczaniu granic funkcjijednej zmiennej.

Niech Xn = , ; - ; y" =O. Dla n -). 00, x, -). Ooraz Y - ). O.W6wczas-'--0l im -,,'-=1(r",,'.HO.I;) ~ +0Jezeli wifmiemy ciagi x" =0 Y n ;;: ~. Dla n ---t 00, x, ~ 0, Yo - - - O.

0-4-lim ___tL_ =-1( .t , ,",)-.(0,0) +4-Poniewaz d fa dwoch roznych ciagow otrzyrnalismy rozne graniceoznacza to, ze granica funkeji w punkcie (0,0) Die istnieje.2861 l im ~ = I x " = ~ : y, =; - j = lim _ _ _ _ _ _ _ .= - . - ' -_. - :,:::~x : + y' n --t c() _~" --t 0 y" --t 0 .-.~;!c + :; l+ a1

2 9 2 J ' 4-JXY+16 1 1 I = - l Y J - I . 4-Ju+16 _ r J ! ] : : ) ' 2.~Ii- I1 1 m - llD - [0 - 1m - ---- ->1; xv (x l')~ ( o , o ) to u -lo ...{} U ..0 I 8,'-100 - e , \W przykladzie 292/ wykorzystano regule d'Hospitala.

I l-oost'l"2+y2) 1 ~ z I I' I-cosu [ 0 ] " " sinu - [ o l l i293' irn :c+y=u= un ,==m--o-=: : : : . : : : : ! i (~ -Ho .o ) & 1 + /) (....,)-+Io,Q) u: . _ 1 1 2 1 1=Iim~=.!..

.... 0 2 2 1J I '~ . . I =u2941 lim e - I"_ = -ir+(q-.(0,0) Ix2 + v " ( ) I, )" , x , Y --- t \0,0 to u -lo cc

Poniewaz wartosc graniey jest zalezna od parametru a, wnioskujemy, zegranica nie istnieje.287/ lim l+xy = 1+23=!_

( . r . . . H~3)X1+y:Z 4+9 13Podstawowa metoda wyznaczania granic w punkcie jest podstawieniewartosci granicznych argwnentu.

I. 5rm , (r.!'Hc.u) 2x' + 6y) . , 2 1 T295/ irnSn'--I-- ;:~ x + , 1 1

Dla obliczenia gran icy 295/ mozna obliczyc dwie granice iterowane:1 (,. . 2 1 T ) u . 2ff . 2 0rm nnsm-,--z = Imsm-2 =Sn n =..->1 y-.(J x-+y . - - - > 1 X

- 38 - - 39-


20/25

Biblioteczka Opracowan Matematvcznvch

I ( l i m ' 2 1f J u . 2" 0n san = l ll1 SID -- =. 1 ' . . . . 0 .1 x : : ! + y :Z -,,-.0 1+ ylPoniewaz funkcja sin jest ciagla w calej dziedzinie wiec jest ciagra dla(xy) =(1,0). W tym przypadku r6wnosc granie wystareza do stwierdze-nia.. ze granica dla funkcji 2951 jest rowna O .

. x;+y2961 1 1m _-- I..)~((~.O))2r+Jr'

(X' + / J ] H 2lim lim--)-3 =lim~=[%]=li rn~=O

,..,11 ),...0 2x + y .r-o) 2x ~_(I 2 (. Xl +y J . Y . 11 1mhm--. =lJrn,=l tm-=+a: l.... 0 , 0 2x + y" . " - - + 1 l y- . 1' C y"Pon iewaz obydwie granice iterowane sa rome, jes t to dowod na brakgranicy funkcji 2961 w (0,0).

. -.1'+ v-x' -1/lun _ ';(,-,,}-oro.o l . 1 ' + y . 1' + .1 ' . . 0Iiru(lim -x+ y-xl - y~) = = l im(- X _X2 J 0= lim x(-l-x) -tZ"->(J ~-.a x + _ v .1-0 X r.....l X

l im(lim -.1'+ y_xl_ ; : 2 ) = lim y- y2 =lim y{l- y) = 11--+0 .'r_.f X +J' 1, ., .. Y ),,n YGranica funkcj i 9 71 nie istnieje pon iewaz gran ice iterowane S < l _ rozne,Rowno~(cgranic iterowanych nie zawsze wystarcza Ita stwierdzeniistn ienia granicy. Je ieli granice lterowane sq roine to wystarcza ahystwierdzic, ie granica podwojna JllIlkcji nie istnieje.~--- --I----~ ------~-~ ----~~2 9 8 t x' sin-+ y-- lim x

(x,),)-.(Olll Xl + y2I ' ( I ' X!Sin-;-+y) l i ~ X l S i n ; ) l i m - In 1m , =" - --- '" $LD-x-oO !... ;c +yl r-oO Xl .-o I I .rJedna z granic iterowanych (powyzsza) nie istnieje, co wystarcza abystwierdzic ze granica funkcji 2981 nie istnieje.

- 40-

Biblioteczka OpracOlwffl MaJematycznychI' e2(I'~)')_1 I' 1 I I e'"-I I' e1"_1 ?2991 un , , = = x-+ y =tt '" llTI --= 2 1m--=_3 0 0 / . ; ' . , : , ~ , " I n ' - = ~ Y.";' ~O f lyU - - -- '-0 1 - ; ~ E ~ ,"!;~4~ '~ : "81

. ----.. 10 .t, -+ " ---." n'."Niech teraz ciagi . \, =~ Y.= ,~ .

o

L.1. _ _ l , . Ilim _n_n- = = .!:__ =_...." ~+ - l . - ~ 2n" n" n"PoniewaZ wartosc granicy jest zalezna ad wyboru ciagow, granica nie istnieje301 1 lim simy = I x :;Jr.-- h.I')-o{O .O ) x "" '=Iim-;'=O

I-i~

sin4._!_ lsin '4) , ,, o=_l_;I=l im- '- ' - . . .!! . .=l im~=II1~r :) to 1--+ni=n n-~ e : .1 ,1---1>2: JL II V Jn fT~Niech teraz ciagi X,I = - ! ; - y" = 7 , oraz ajest dowolna stalalim sinxy I sin-;,-.~ I' ; sin ;r J . a 0__ = rm--= un--= Im=[.....)-t{o.o) x n--'= .L !!. ~ '" -";- n-+'" nn,. n-

Jakkolwiek bedzierny dobierac ciagi xn oraz Y u granice iterowane Si t rowne.. . J , ~ . : I-a~Ix = J... y ::: -"- ':::lim _n_ ,_ , : :: --

It It ~ n ~ 'I--,t~ ~ 1 + 01.'Granica 3021jest zalezna od wartosci pararnetru a, stad graniea nie istnieje.u 2x! +y! lim 1+ _X__303} (""'}'~Q.OJ Xl + .1'1 ( r.~d--+(D.OJ X2 + y"

r x:W_przykladzie 2861 wyka za no , z e l,....; , . O l Xl + yl ni e istnieje, a zatem granica3031 takze r u e istnieje.

Wa rt os e g ra n icyjest zalezna od param.etru a :, a zatern granica nie istnieje.

Jakkolwiek dobierzemy ciagi X u oraz Y n granica zawsze bedzie rowna .,0".

- 4 1 -


21/25

Bihlioteczka Opracowan Matematycznych. s: . * J1 1 m - - ~ I x : o : . 1 . y = J ! . I = l u n - = -(~.J'_'lu.n)x+ V n " " ._.., j_ +!!: 1+a. . .

Wartosc granicy jest zalezna od parametru a, stad granica nie istnieje.307/1irn (J T x~ + y' ) " ~ " ' = = = I x ~ + ) ' 2 = 1 1 1 = lim ( I + l l r - = l i m [ ( I + ! . J ! - ] 3 = e 1__ r.,,11 II...... . , . . . . ! ] ; -

}'~DJ3081 I' .rlID , ,

(x d->lo,o) x - + y'Niech Xu ~ 0 oraz Y n ~ 0 oraz an=max(lxnl, [Y o i) >0, czyli a o ~ O .Wowczas:j x . ' I ~ a . J i x.: + y,,' ' 2 : . a.'Oznaczmy: x,,' k ( , )~+ ~ X n ~ J , .Xj , Yn ,.Prawdziwe jest wowczas: 0 s Ik(_'",y.)~"2 = = a. Na mocy two 0 trzechciagach graniea jest rowna O. a.

ji xly =Ix=pcos; y=psill 1 = l i m P':osl;sin!1l1 =3091 (x.d~n.o)x2 +yl (x.y)~ (0,0) to p _ 0 p~O p2 cos' + pl sin =Iimpc{)s~ sinr/J =0p->OWykorzystano tu fakr, ze: I c o s 2 ~ sin ; 1 < I oraz ~ ~ O . Stad na.mocy tw'.o granicy iloczynu ciagu 0 gramcy 0 oraz ogramczonego graruca wynosi,,0" .

4. Dowody wybranych twierdzen 0 granicach11 Of. k ,. . sin x,.,.y azac, zehm--= I.

.r-+U X

Niech Xu bedzie dowolnym ciagiem 0 wyrazach nalezacych do przedzialu(O.~), takim, ze ! ~ m . x n=0. Z rysunku przedstawionego ponizej wynika, ze:y c

- 42-

Biblioteczka Opracowan MatematycznychPole trojiGtta OAD jest mniejsze od pola wycinka kolov ego DAD. kterejest rnniejsze od pola trojkata OeD. Mozemy to zapisac nastepujaco:' ! _ S i D I x , , 1

I I sin x '"' sin x _ sin (- x)co s An < -_'_" < 1 V - )x" .d> X (-xPoniewaz:c o s lx 1 = 1-2sin! I x . I >1-2sin ~ ~ . I > 1-21 x 1 = = I - I x I" 2 2 2 w ie c I' I I sin Xn 1-..r"


22/25

Biblioteczlw Opracawafl Matematycznych. In(l+ x)_41Pokazac, ie: ~~ x-I

Zauwazmy, ze:In O -+ - . x) = _ ! _ I n( l +x )= In (I + x) ~x x

Bibliateczlw OpracO"wan.\{alematycznych5. Pochodne niektorych funkcji

Wiadomo takze, ze:Ostatecznie wiec:I imln( l+xY=lnl im(J+x) ; = = I D e = !..-~tI ~_n

l im ( I + _ , . ) ' = e-0

pay obliczaniu granic z wykorzystaniem tw o de L'Hospitala obi iczamy ~o-chodne funkcji. W rozdziale tym mama znaleze wzory przydatne do oblicza-nia pcehodrrych oraz kilka przykladow obliczania pochodnych funkcji .

Wzory do obliczania pocbodnych fuokcji elementarnychlim In(l + x) =1,....n x Fonkcja Pochodna

5 1 Wy kQ Za c, ie: lim iff ;=I gdiie k jest dowolna Iiczbo dodatniq:Dla k = I, V qf k = V t = = I . A zatem na mocy def. Cauchy'ego spelniony, > E N

y:sinx y' =cos r.Y =cos-x y'= -sinx

jest warunek l i k - I I < e dla kazdego WYTaZU ciagu.Dia k >1 rnozemy zapisac, ze: if k = 1+ xZ nierownosci Bernouliego marny: nk =(I+x.t > I+ Itt"/ 'LT..


23/25

Biblioteczka Opracowaiz Malematycznych Biblioteczka Opracowan MatematvcznvchWzory przydatne do obliczania pochodnycb

fOg j'(g).g'

.tl _ 2 + 4sin a- y - 3-sina, 4COS" . (3-sJll a)- (2 +4sin a:(- cos(l)J' = (3 -4sm a) '

51 s= ( X ' -3x}tgxs=(3X2-3~lg l "+(x ' - 3 ( - - . 1 _ ,)sm-x

6/ y== {4xt5)6y' =6(4x+5y. 4=24(4x + sf

l4-cos (l(J -4sin a yunkcja Zastosowane przeksztaleenie lob WZOT

fog j'g-fg'fE g f'xg'f -g -J -git

logrg lngillf71 y= Igj;3

, I 1 ~1Y = ---.}XCO S 2R.,f;3"j.g) I" .g+2f' g' + r-s'

cos X - pochodna n-tego rzedu ( I I l f )DS X +2

81 Y=hx+~1 ( ') 2+ -1 ... 2+ $ 4x+52 - .{lz 1.


24/25

Biblioteczka OpraCOWal1Matematycznychy -= ~j t+ tgx' -= ( I +tgx; )1

Biblioteczka Opracowan Marematycznvch

'I-x'1,=10--- sin:c, sin x - 2:c Sill X - ( 5 - x' )cos :c)'=-_5 - x' sin' x - 2xsin' x -5 sin x cos x + x: cos x sin x(5- .t'}sin :c

I( ,)-. I _y'=-:- 1+/gx "-,- 3,1 '-) COos"Ily=)x' 5'. 1 " = 12x'5' +3.1: ' 5 '1115} ' - = I n ' 3 s in xv' = 31nosin 4x ,_ I _ . 4 cos - Ix = 1 2 I n!sin -Ix). cos 4x = 1210 ' (S ID ttl} ctgAs sin -Ix sin -Ix

1'= In." __ I _ . . ! . ( _ ! _ ) - ; . ~h- ' I x, ," _ .! .~ (e " r . ,,"(1- 4 . .. )) - )~ 3 ,," ,," ) (x! e"V T '

J-b3x

291 y = 2e 1r arcsin x - 2. JXl + 2-, 2e2~ 2. 3x2 '.. 2e2% 3x2y' =4eoU arcsin x + r:---:l- ~ -= 4e- arcsin x+ .JI _ ,.2 - . JX l +2,,1- Xl 2...,Xl + 2 ~30 / y=4 x . J 3 +x~ +lg5x

, ~ 4x21: 5}' =4vj +x: + r.:--:;- + ,. 2" 3+ x~ c os - 5x5+Xl311 y=arcctg--- 1-2x

c= 4x 54"j+x- + ~+ 2-,,3 + x: co s 'x19 1 }'=S.,[;e"

y' = _ _2 _e -" " - 20.[;,,-"2 . [ ;eJl +I!-~v=--.. e~-e .r

-4 ,_ -1 2x(I-2x)+2(5+x2)_ 2x'-2x-IOy - (5+X~)" ( J _ 2 X ) 1 - x4+14xl-4x+261+ --1-2x

32/ y-=arcsin(cosx)-sin xy' .J I-cos' x33/ y = i l - x ' i

s in , ~-Is inxj

y =sirr'x-4lntgx'~l 4 ( 1 ) 3 ' ! 4=.)SIn XCOS.l--' --,- "; Sin xcusx+ .Igx COS.~ SIllXCOSX

221 y:: 4 " ' - 2e-'cy' = 4" In 4 2x + l2,te-b')' ~ In { : l .l ' } - sin . l " )),,~ I .( ~.x =- co ) Jx' -~ X

'{ -2x -1 0sinr < a

y =3 .t {l x' - 21n x)y' =3(2x= -21n. x) + 3 x ( 4 X - ; J ~ 6(3x' -In. x -I}y= e o " . 0052...... 1 1 1 x

, h ~ Iv=2e~ ccsZx-Jn x=e 2sin2xLnx+e cos2x- x-48 -(T V punlaach, w ktorych sin x = futlkcja me jest roiniczkowalna)

- 49-


25/25

Biblioteczka Opracowan Maternatycznych Biblioteczka Op raCO lVan Matematvcznvch

1 .,jY=cos J;- sm Xy' =-3 c os ' X S iIl X -4 s i ll } xcos = = sin .r C{}sx( - 3cosx - 4sin2 x } Do tej pory z serii BOM ukazaly sie:.v = /:.in (h j + 2)1" = 9x~ cos (3x' + 2). 2.Jsin(hJ+2)

3"v=-~~ 3+ J 3 + 3 " ' -}.3Irlni3+J3+3,)_y,3.3 J'ln3, ~ ~

s ~+J3+3'"

Zeszytl210 calek nieoznaczonych ::pehtymi rozwiazaniami krok po kroku ..Zeszy! 2100 ukiadow r6WI7G17IinioH~ych z pelnymi rozwiqzanianti krok po kroku..Zeszyt 3102 rownania roiniczkowe 1 rzedu Z pelnymi rozwiazaniami krok po kroku ..Zeszyt4107 rawnan rozniczkowych wyzszych rzedaw z pelnymi rozwiqzaniamikrokpo kroku...Ze ,s zy t 5L 05p rz yk la d ow z as to sowan c al ki o zn a cz on ej z p el nym i rozwiqzaniamikrokpo kroku ..Zesf;yt6114 calek funkcji wielu zmiennych z pelnymi rozwiasaniami krok po kroku ..Zeszyt 7155 zadan 0 szeregach z pelnymi rozwiqzaniami krok po kroku .Zeszyl8Tablice matematycsne - matematyka wyzsza.Zeszyt 93 1 0 p r zy ld ad ow g ra nic z p eln ym i r oz wiq za ni am i k ro k p o k ro ku ..

y=xry' =[e rmIl' = = e'u" . (I n x+ 1) = x rO n x + 1 )y =(sin X)"OH =e""r ln( . . . . ).1 " = e,oulo(,..r! . (- Si n x ln (s in x) + C~Sl . 1 ; J ' " ( si n x )mor (o os x ct gx + s in x In(sin x )

Sin Xy""V;y l = { T ~ ) " , , ( e ) l n < ,= e ~ " , ' ( _ l . ~ : + x ll) = ~ (I-Inx)y : : ; ; ; ; ; x J . "y '=(e"~ In>')' = ( e ' I n r) . {eX1n ln x J =x " ' (e 'l n' ( X ln x ) rl nx+e< I " '~ ) ==xr .e ' lnr(ln;:_X+ln.t+~)Y =X"'HI r . " " ' , - I " 'J " " , , 1 " , " ( ' I cos x ) " ' i ' r ( cos x sin x )=le = -510'(-+-- =X -----x x. . x x

- 50 -

310 przykładów granic z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku

Documents

Transcript of 310 przykładów granic z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku