3.0. Podstawowy warunek wytrzymało ś · PDF file3.0. Podstawowy warunek wytrzymało ściowy...

3.0. Podstawowy warunek wytrzymałościowy

– 33 –

zv

0

maxs,maxt,zvzu

x

maxg,maxr,zu k

W

M

A

Pk

W

M

A

P≤∪=τ≤∪=σ


Podstawowy warunek wytrzymałościowy (PWW) służy do określania stopnia wytęże-

nia materiału w funkcji obciążeń statycznych lub zmęczeniowych i wymiarów przekroju. W

technice stosuje się dwie podstawowe metody do opisu podstawowego warunku wytrzymało-

ściowego różniące się sposobem określania naprężeń dopuszczalnych.

1. Metodę naprężeń dopuszczalnych stosowaną w ogólnej budowie maszyn w przypadku

obciążeń statycznych i zmęczeniowych.

2.. Metodę stanów granicznych wytężenia materiału przedstawioną w normie [4] służącą

do obliczeń konstrukcji metalowych (patrz rys. 1.1). Do wymiarowania ustrojów nośnych

dźwignic stosuje się normę PN-M-06515:1979 opartą także na tej metodzie.

3.1 Charakter obciążenia konstrukcji

Wybór postaci PWW, o ile nie jest obligatoryjnie określany specjalnymi przepisami

np. Urzędu Dozoru Technicznego, Polskiego Rejestru Statków itp., dokonuje się na podstawie

charakterystyk czasowych obciążenia działającego na obliczaną lub sprawdzaną konstrukcję.

Na rysunku 3.1 przedstawiono przykładowe charakterystyki obciążeń statycznych i zmęcze-

niowych.

3.2 Metoda naprężeń dopuszczalnych

Podstawowy warunek wytrzymałościowy w postaci ogólnej opisywany jest wzorem:

(3.1)

gdzie: σσσσ - naprężenia normalne (prostopadłe) w obliczanym przekroju, τ τ τ τ - naprężenia styczne

w obliczanym przekroju, k - naprężenia dopuszczalne (patrz pkt. 3.2.1 i 3.2.2.), A – wiel-

kość pola przekroju, W – wielkość wskaźnika wytrzymałości przekroju, Pr, Pt, Mg, Ms –

obciążenie odpowiednio: siłą rozciągającą lub ściskającą, siła tnącą, momentem gnącym i

momentem skręcającym.

Rys. 3.1. Przypadki obciążenia konstrukcji w funkcji czasu, s -

statyczne, q - quasistatyczne, z - zmęczeniowe.

s

Obciążenie

Czas

q

z

Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie

– 34 –

indeksy: z - określa przypadek obciążeń zmęczeniowych, w przypadku obciążeń statycz-

nych, pomijany; u - określa rodzaj dominujących, w obliczanym przekroju, naprężeń nor-

malnych, przyjmuje następujące oznaczenia: r - rozciąganie, c -ściskanie, g - zginanie, d -

nacisk powierzchniowy, dH - nacisk kontaktowy wg Hertza; v - określa rodzaj dominują-

cych, w obliczanym przekroju, naprężeń stycznych, przyjmuje następujące oznaczenia: t -

ścinanie, s - skręcanie; w - określa rodzaj wskaźnika: x - dla zginania (oznaczenie osi), o -

dla skręcania; max – wartość maksymalna obciążenia (przy obciążeniach zmęczeniowych.

W przypadku równoczesnego działania złożonego stanu naprężeń normalnych lub

stycznych, warunek ten przyjmuje postać (np. dla obciążeń statycznych):

sts

ggr

k

k

⋅≤τ+τ=τ

⋅≤σ+σ=σ

1,1

1,1 (3.2)

W przypadku równoczesnego działania naprężeń normalnych i stycznych w oblicza-

nym przekroju podstawowy warunek wytrzymałościowy przyjmie postać (indeksy jak przy

3.1):

- gdy dominującymi są naprężenia normalne (σu > τv):

zu

2

zv

zvzu2

zuz

u

2

v

2

u

k1,1k

k

k1,13

⋅≤

τ⋅+σ=σ

⋅≤τ⋅+σ=σ

(3.3)

- gdy dominującymi są naprężenia styczne (σu < τv):

zv

2

zv

2

zu

zuzvz

v

2

v

2

u

k1,1k

k

k1,13

⋅≤τ+

σ⋅=τ

⋅≤τ+σ

=τ

(3.4)

3.2.1. Momenty bezwładności i wskaźniki wytrzymałości przekrojów

Obliczenie wielkości pól przekrojów jest stosunkowo proste. W tym celu wykorzystuje

się dla typowych kształtów gotowe wzory lub też, gdy pole ograniczone jest krzywymi opisa-

nymi znanymi funkcjami – za pomocą różnicy całek pojedynczych lub całki podwójnej. Po-

wszechnie stosuje się podział obliczanego pola (lub momentu bezwładności przekroju) na

figury proste o znanych rozwiązaniach – wówczas pole całkowite jest sumą pól tych figur.

W celu obliczenia wskaźników wytrzymałości przekroju na zginanie (osiowego) i na

skręcanie (biegunowego) należy wykonać kolejno kroki zgodnie z przedstawionym algoryt-

mem.

- obciążenia statyczne;

- obc. zmęczeniowe.

- obciążenia statyczne;

- obc. zmęczeniowe.


– 35 –

1. Podzielić obliczany przekrój na figury proste o znanych wzorach na pole i momenty bez-

władności przekrojów we wzajemnie prostopadłych osiach: 1, 2. Otrzymuje się zbiór i-tych

wartości Fi, J1i, J2i, gdzie: i – liczba figur, Fi – pole przekroju i-tej figury, J1i, J2i – momenty

bezwładności i-tej figury liczone względem jej środka ciężkości Oi.

2. Wybrać dowolnie punkt A o współrzędnych: t, w.

3. Dla każdej figury obliczyć momenty bezwładności względem punktu Oi uwzględniając

obrót osi 1, 2 o kąt αi, do współrzędnych: u, v. Współrzędne: u, w są równoległe do współ-

rzędnych: w, t.

iiiiiviiiiiiui JJJJJJJJJJ α−−+=α−++= cos)()(5,0cos)()(5,0 21212121 (3.5)

4. Obliczyć odległości: w01, t0i punktów Oi od punktu A w kierunkach równoległych do osi:

w, t.

5. Obliczyć sumaryczne momenty bezwładności przekroju względem punktu A

( ) ( )∑∑ +=+=i

iivit

i

iiuiw FvJJFuJJ 20

20 (3.6)

6. Obliczyć współrzędne środka ciężkości: x0, y0 całego przekroju O od punktu A.

∑

∑

∑

∑==

i

i

i

ii

i

i

i

ii

F

tF

yF

wF

x

0

0

0

0 (3.7)

7. Obliczyć sumaryczne momenty bezwładności przekroju względem punktu O.

∑∑ +=+=i

ity

i

iwx FyJJFxJJ 20

20 (3.8)

8. Obliczyć wskaźniki wytrzymałości przekroju przy zginaniu.

maxmax x

JW

y

JW

y

yx

x == (3.9)

Rys. 3.2. Szkic do wyznaczania wskaźni-

ków wytrzymałości przekrojów na

przykładzie figury prostokątnej i

kształcie pierścienia


– 36 –

gdzie: ymax – maksymalna odległość wzdłuż osi y od osi x do skrajnego punktu przekroju, xmax

– maksymalna odległość wzdłuż osi x od osi y do skrajnego punktu przekroju,

9. Obliczyć wskaźnik wytrzymałości przekroju przy skręcaniu.

min

0r

JJW

yx += (3.10)

gdzie: rmin – najmniejsza odległość od środka ciężkości do skrajnego punktu przekroju.

3.2.1. Naprężenia dopuszczalne dla obciążeń statycznych

Naprężenia dopuszczalne dla obciążeń statycznych i quasi statycznych określa się ze

wzoru:

m

mvmuvu

e

eveuvu

x

Rk

x

Rk ∪

∪∪

∪ =∪= (3.11)

gdzie: Reu, Rev – granica plastyczności lub umowna granica plastyczności (tab. 3.2) dla okre-

ślonego stanu naprężeń (indeksy jak we wzorze 3.1), Rmu, Rmv – wytrzymałość doraźna dla

określonego stanu naprężeń, używana dla materiałów kruchych lub bez wyraźnej granicy pla-

styczności, xe, xm – współczynniki bezpieczeństwa liczone odpowiednio względem granicy

plastyczności lub wytrzymałości doraźnej (tab. 3.1).

Tab. 3.1. Typowe wartości ogólnych współczynników bezpieczeństwa stosowanych w obliczeniach

wstępnych w budowie maszyn

Materiały xe xm xz

Stale, staliwa, żeliwa ciągliwe 2 ÷ 2,3 - 3,5 ÷ 4

Żeliwa szare - 3,5 3

Mosiądze 3 - 5

Brązy 3,5 - 4,5

Spiże 3,6 - 5

Brązale 3,6 - 5,5

Stopy glinu i magnezu 3,9 - 6

xe – liczony względem granicy plastyczności,

xm – liczony względem wytrzymałości doraźnej,

xz – przy obciążeniach zmęczeniowych.

3.2.2. Naprężenia dopuszczalne dla obciążeń zmęczeniowych

Dla obciążeń zmęczeniowych, naprężenia dopuszczalne oblicza się ze wzoru:

z

vNu

z

vuzu

x

Z

x

Zk N

zv∪∪

∪ ∪= (3.12)


– 37 –

gdzie: Zu, Zv – długotrwała (niezależna od ilości cykli zmian zmęczeniowych) granica wy-

trzymałości zmęczeniowej (tab. 3.2 lub wz. 3.10) dla określonego rodzaju naprężeń

(rys. 3.1), ZNu, ZNv – krótkotrwała (zależna od założonej ilości cykli zmęczeniowych)

granica wytrzymałości zmęczeniowej dla określonego rodzaju naprężeń (wz. 3.11), xz

- ogólny zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa (tab. 3.1). Z uwagi na znaczące

oddziaływanie karbu, stanu powierzchni i wielkości przekroju, w przypadku elemen-

tów obciążonych zmęczeniowo współczynnik ten sprawdzany jest, w wybranych miej-

scach konstrukcji, jak przedstawiono w tablicy 3.2:

Tab. 3.2. Wyznaczanie rzeczywistej wartości zmęczeniowego współczynnika bezpieczeństwa

Rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa ε

δβ ⋅=zx

Ogólny 22τσ βββ +=

Normalny do przekroju 1−+= pk βββ σσ Współczynnik osłabienia

Styczny do przekroju 1−+= pk βββ ττ

Współczynnik działania karbu ( )kkkk ,f ηαββ τσ =∨

Współczynnik wrażliwości ( )ρη ,Rf mk =

βp - współczynnik stanu powierzchni, αk – współczynnik kształtu karbu, Rm – wy-

trzymałość doraźna materiału przy rozciąganiu, ρ - promień zaokrąglenia karbu, δ -

podstawowy współczynnik bezpieczeństwa (tab. 3.4 lub tab. 3.5), ε - współczynnik

wielkości przekroju..

Tab. 3.3. Wartości podstawowego zmęczeniowego współczynnika bezpieczeństwa stosowane w budo-

wie maszyn

δ Warunki zastosowania

1,3 ÷ 1,5

Znany rozkład naprężeń i charakterystyk zmęczeniowych określonych w wa-

runkach obciążeń eksploatacyjnych, wysoka technologia wykonania, materiał

kontrolowany defektoskopowo w określonych okresach użytkowania.

1,5 ÷ 1,7 Zwykła dokładność obliczeń i możliwość określenia obciążeń i naprężeń, dobra technologia wykonania i czynności kontrolnych.

1,7 ÷ 2,2

Elementy o większych wymiarach dla których nie dysponuje się możliwo-

ściami badań zmęczeniowych, elementy spawane z możliwymi wadami spa-

walniczymi, średnia technologia wykonania.

2,0 ÷ 2,5 Przy orientacyjnym określaniu obciążeń i naprężeń, dla mało dokładnie zna-

nych i specjalnie ciężkich warunków pracy, dla elementów odlewanych.

Charakter zmienności obciążeń określany jest współczynnikiem stałości (zmienności)

obciążenia:


– 38 –

minmax

minmax

minmax

minmax

minmax

minmax

minmax

minmax

MM

MM

M

M

PP

PP

P

P

a

m

a

m

a

m

a

m

−

+==χ∪

−

+==χ

τ−τ

τ+τ=

τ

τ=χ∪

σ−σ

σ+σ=

σ

σ=χ

(3.13)

gdzie: σ, τ, - wartości naprężeń normalnych i stycznych, P, M – wartości siły i momentu ob-

ciążającego element, indeksy: m – wartość średnia, a – amplituda zmian wartości.

Długotrwałą granicę wytrzymałości zmęczeniowej wyznacza się z następujących wzo-

rów:

greveuvu

vjuj

vouoeveuovu

vouoeveugr

vjuj

vouo

vouovu

RZ

Z

ZRZ

ZR

Z

Z

ZZ

χ>χ=

⋅−⋅−

−=χ≤χ

⋅−⋅χ−

⋅+χ=

∪∪

∪

∪∪

∪∪

∪

∪

∪∪

21

211

)1(

)( (3.14)

gdzie: Zuo, Zvo- długotrwała granica wytrzymałości zmęczeniowej dla obciążeń naprzemien-

nych (χ= 0, rys. 3.2d, tab. 3.2) (indeksy jak we wzorze 3.1), Zuj, Zvj- jw. dla obciążeń

odzerowo-tętniących (χ= 1, rys. 3.2c, tab. 3.5),

Rys. 3.3. Przykład zmęczeniowego stanu naprężeń, a) naprężenia lub obciążenie w funkcji czasu, b)

wykres Wőhlera, c) naprężenia odzerowo-tętniące, d) naprężenia naprzemienne.

σa = 1/2 Zj

a

m

= 0

a σσσσ

σmax = Zj

σm

σmin

σa

σ, τ, P, M

a)

lgσσσσmax

gr

d)

t

σmax = Zo

lg Ngr

lgZ

lg N1

lgRe

lgZN

lg N

χ = const

σmax

b)

σm = 1/2 Zj

σmin = 0

t

σmin = -Zo

t

σa = Zo

σm = 0

c) χ = 1 χ = 0


– 39 –

Tab.3.4. Długotrwałe granice wytrzymałości statycznej i zmęczeniowej w zależności od wyników próby rozrywania.

Rozciąganie Ściskanie Zginanie Ścinanie i skręcanie Lp. Materiały

Re Zrj Zro Rec Zcj Reg Zgj Zgo Res Zsj Zso

1 Stale węglowe Re 0,56 Rm 0,31 Rm Re 0,56 Rm 1,19 Re 0,76 Rm 0,42 Rm 0,62 Re 0,56 Rm 0,25 Rm

2 Stale stopowe Re 0,52 Rm 0,31 Rm Re 0,52 Rm 1,10 Re 0,66 Rm 0,42 Rm 0,60 Re 0,46 Rm 0,25 Rm

3 Staliwa węgl. Re 0,50 Rm 0,30 Rm 1,35 Re 0,68 Rm 1,15 Re 0,60 Rm 0,34 Rm 0,60 Re 0,40 Rm 0,24 Rm

4 Żeliwa szare 0,6 Rm1)

0,44 Rm 0,30 Rm 1,8 Rm1)

1,20 Rm 1,2 Rm1)

0,80 Rm 0,50 Rm 0,6 Rm1)

0,46 Rm 0,35 Rm

5 Żeliwa ciągl. Re 0,50 Rm 0,30 Rm 1,30 Re 0,64 Rm 1,10 Re 0,56 Rm 0,33 Rm 0,70 Rm 0,36 Rm 0,21 Rm

6 Mosiądze 0,6 Rm 0,50 Rm 0,31 Rm 0,6 Rm 0,50 Rm 0,65 Rm 0,62 Rm 0,36 Rm 0,40 Rm 0,36 Rm 0,21 Rm

7 Brązy, spiże 0,6 Rm 0,44 Rm 0,26 Rm 0,6 Rm 0,44 Rm 0,50 Rm 0,54 Rm 0,31 Rm 0,34 Rm 0,30 Rm 0,17 Rm

8 Brązale 0,6 Rm 0,52 Rm 0,31 Rm 0,6 Rm 0,52 Rm 0,58 Rm 0,64 Rm 0,38 Rm 0,42 Rm 0,38 Rm 0,22 Rm

9 Stopy glinu 0,6 Rm 0,48 Rm 0,29 Rm 0,6 Rm 0,48 Rm 0,64 Rm 0,60 Rm 0,34 Rm 0,40 Rm 0,36 Rm 0,20 Rm

10 Stopy magnezu 0,6 Rm 0,52 Rm 0,30 Rm 0,6 Rm 0,52 Rm 0,68 Rm 0,64 Rm 0,38 Rm 0,42 Rm 0,38 Rm 0,22 Rm

1) Umowna granica plastyczności Re0,2.


– 40 –

Tab. 3.5. Wyznaczanie wartości podstawowego współczynnika bezpieczeństwa

Nazwa

współczynnika Wielkość Zastosowanie Przykłady zastosowania

1,1

Przeprowadzono badania wy-

trzymałościowe materiału i

zastosow. ścisłą metodę obli-

czeń

Badanie specjalnych nadlewów,

naddatków lub odcinków dane-

go materiału.

1,2 ÷ 1,4 Znany gatunek materiału, zwy-

kłe metody obliczeń

1,2 – bardzo prosty układ ob-

ciążeń, 1,4 – gat. materiału określony

porównawczo lub skom-

plikowany układ obcią-żeń.

δ1

pewności

założeń

1,5 ÷ 2,0 Obciążenie udarowe

1,5 – uderzenia łagodne z reso-

rowaniem,

1,6 – obciążenia dynamiczne

bez prędkości początko-

wej,

2,0 – uderzenia bez resorowa-

nia.

1,0 ÷ 1,1

Gdy zniszczenie elementu:

- spowoduje zatrzymanie ma-

szyny,

1,1 ÷ 1,2 - spowoduje uszkodzenie ma-

szyny, 1,1 – łatwa, tania naprawa. δ2

ważności

przedmiotu

1,3 ÷ 1,5 - może spowodować wypadek.

1,3 – poważne uszkodzenie

wielu elementów,

1,4 – zniszczenie urządzenia,

1,5 – wypadek (zagrożenie dla

ludzi).

1,0 ÷ 1,05 Defektoskopowa kontrola jed-

norodności.

1,0 – elementy o małej grubo-

ści.

1,1 Materiały kute, walcowane,

ciągnione.

1,2 Odlewy ciśnieniowe, odśrod-

kowe.

1,3

Odlewy kokilowe, staranne

połączenia spawane z kontrolą rentgenowską.

δ3

jednorodności

materiału

1,4 ÷ 1,7

Odlewy piaskowe, elem. har-

towane, prawidłowe połącze-

nia spawane

1,4 – małe odlewy,poł. spawane

ze stali o sprawdzonej

spawalności np. St3S,

1,7 – duże odlewy, poł. spawa-

ne z materiałów niesta-

lowych.


– 41 –

σ

RZ

Z

e

o

j

maks

min

σ

σσ

σm

m

Z j0,5

∆σ

∆σ ∆

σ

m

a

a

= c

onst

= c

onst

σm χ

= constχ

σm

σaω

= χ + 1

χtg ω

45°

Z

1,0 ÷ 1,05 Ścisła kontrola wym. każdego

elementu.

1,0 – gdy geometria przedmiotu

jest prosta

1,05 ÷ 1,1 Kontrola wyrywkowa po obr.

skrawaniem. 1,1 – skomplikowane kształty

1,1 ÷ 1,15

Pręty, profile walcowane, bla-

chy, dokładne odlewy, elemen-

ty tłoczone.

1,1 – pręty ciągnione, krótkie

profile , odlewy kokilo-

we bez rdzeni,

1,15 – utrudniony pomiar (np.

blachy w środku), duże

profile walcowe.

δ4

zachowania

wymiarów

1,2 Kontr. spawane, odlewy, od-

kówki.

Podstawowy

współcz. bez-

pieczeństwa. 4321 δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ ⋅⋅⋅=

Krótkotrwałą granicę wytrzymałości zmęczeniowej dla N < Ngr cykli zmęczeniowych

wyznacza się ze wzoru:

h

h

g

ge

kN

LfN

LnN

Nlg

N

Nlg

Z

Rlg

kZZ

⋅⋅=

⋅⋅=

==

3600

60

10

(3.15)

gdzie: N – planowana liczba cykli zmęczeniowych, Ngr – graniczna ilość cykli (dla stali ~

107, dla stopów miedzi ~ 10

8), n – prędkość obrotowa np. wału [obr/min], Lh – pla-

nowana trwałość elementu (w godzinach pracy), f – częstotliwość [Hz].

Gdy w sprawdzanej konstrukcji zachodzi: σmaks ≤ Z (rys. 3.4.) wówczas istnieje zapas

wytrzymałościowy amplitudy i/lub wartości średniej naprężenia które obliczyć można ze wzo-

rów z tab. 3.6.

Rys. 3.4. Wykres Smitha z oznaczonymi zapasami

wytrzymałości zmęczeniowej przy założeniu

stałej wartości średniej lub stałej wartości

współczynnika stałości onciążenia


– 42 –

Tab. 3.6. Wzory do wyznaczania zapasu amplitudy i wartości średniej naprężenia

Zapas amplitudy

∆σa

Zapas wart. średniej

∆σm

σm = const

−

j

omaks

Z

Z1σ 0

χ = const maksZ σ− ( )1+

−χ

χσ maksZ

3.4. Obliczenia

3.4.1. Zadania konstrukcyjne

Podstawowy warunek wytrzymałościowy wykorzystuje się na dwa sposoby.

1. Wyznaczenie wielkości przekroju krytycznego elementu konstrukcyjnego.

Zazwyczaj zakłada się kształt przekroju na podstawie typowych kształtów obliczanego

elementu np. wały i osie posiadają przekroje kołowe i pierścieniowe, belki podsuwnicowe

– to przekroje dwuteowe lub skrzynkowe (przekrój rury prostokątnej), słupy – to przekro-

je pierścieniowe lub otrzymane z hutniczych profili walcowanych itp. Należy pamiętać,

że kształt przekroju decyduje o masie elementu, co przedstawiono na przykładzie w tabli-

cy 3.7.

Wielkość przekroju określa się przez obliczenie pola powierzchni lub wskaźnika wy-

trzymałości:

k

MW

k

PA ≥≥ (3.16)

gdzie: P – siła rozciągająca, ściskająca lub tnąca, M – moment gnący lub skręcający, k

– odpowiednie naprężenia dopuszczalne.

Zazwyczaj każda z tych wielkości opisana bywa kilkoma parametrami geometryczny-

mi, których wyznaczenie zmusza do wykonywania obliczeń w kolejnych przybliżeniach.

Ma to miejsce szczególnie wtedy, gdy wielkość przekroju wyznaczana jest z naprężeń

zredukowanych. W przypadku przekrojów opisanych jednym parametrem można skorzy-

stać z wzorów przedstawionych w pkt. 3.4.2.

2. Sprawdzenie wartości naprężeń w przekroju krytycznym.

Znając kształt i wielkość przekroju krytycznego elementu konstrukcyjnego należy wy-

znaczyć naprężenia powstające na skutek działania obciążeń i porównać ich wartość z

naprężeniami dopuszczalnymi. Czyli należy sprawdzić podstawowy warunek wytrzyma-


– 43 –

29

10

0

10010

75

10

0

10

10

10

10

100

100

łościowy.

Tab. 3.7. Porównanie wytrzymałości i sztywności dla profili belek o tej samej powierzchni przekroju

poprzecznego 29 cm3 (masa 22 kg/m).

Największy dopuszczalny

moment gnący ze względu na:

Największy dopuszczalny moment

skręcający ze względu na:

Naprężenia Ugięcie Naprężenia Kąt skręcenia Lp.

Przekrój

poprzeczny

Nm Stosunek Stosunek Nm Stosunek kNm Stosunek

1

48,3⋅kg 1,0 1,0 23⋅ks 1,0 66⋅G⋅ϕ 1,0

2

58,2⋅kg 1,2 1,15 116⋅ks 5,0 590⋅G⋅ϕ 8,9

3

66,3⋅kg 1,4 1,5 105⋅ks 4,5 441⋅G⋅ϕ 6,7

4

90⋅kg 1,8 1,9 12⋅ks 0,52 12⋅G⋅ϕ 0,18

kg, ks – naprężenia dopuszczalne na zginanie i skręcanie w MPa, G –współczynnik spręży-

stości postaciowej w MPa, ϕ - względny dopuszczalny kąt skręcenia w rd/mm

3.4.2. Przekroje jednoparametryczne

W celu wyznaczenia parametru przekroju d należy z wzorów przedstawionych w tabli-

cy 3.8 wyznaczyć pola powierzchni lub wskaźniki wytrzymałości dla wybranych kształtów.

Współczynnik α zdefiniowany w tablicy 3.9. jako stosunek naprężeń dopuszczalnych

można, przy założeniu jednakowych wartości współczynników bezpieczeństwa, przedstawić

jako stosunek granic plastyczności – dla obciążeń statycznych (z tablicy 3.4.) lub granic wy-

trzymałości zmęczeniowych – dla obciążeń zmęczeniowych.


– 44 –

Tab. 3.8. Pola przekrojów lub wskaźniki wytrzymałości do wzorów przedstawionych w tab. 3.9.

Obliczeniowe: wskaźniki w mm3 i pola przekroju w mm

2

Kształt przekroju Rozciąganie Zginanie Ścinanie Skręcanie

r = 0,273⋅Pr g = 10,186⋅Mg t = 0,273⋅Pt s = 5,093⋅Ms

r = 1,155⋅Pr gx = 32,000⋅Mg

gy = 27,713⋅Mg t = 1,155⋅Pt s = 20,000⋅Ms

r = 1,000⋅Pr gx = 6,000⋅Mg

gη = 8,485⋅Mg t = 1,000⋅Pt s = 4,808⋅Ms

r = 1,155⋅Pr gx = 8,313⋅Mg

gy = 9,597⋅Mg t = 1,155⋅Pt s = 5,291⋅Ms

Pr – siła rozciągająca w N, Mg – moment zginający w Nmm,

Pt – siła ścinająca w N, Ms – moment skręcający w Nmm,

x, y, η - oznaczenia osi zginania.

W przypadku występowania równocześnie dwóch rodzajów naprężeń parametr prze-

kroju wyznacza się z wzorów przedstawionych w tablicy 3.9. Natomiast, gdy w przekroju

występują równocześnie trzy lub cztery rodzaje naprężeń należałoby wyznaczyć pierwiastki

równania 6-go stopnia: 0cdbdad 26 =+⋅+⋅+ (3.17)

gdzie: dla dominujących naprężeń normalnych:

( )2

2

22

22

22

k

k;

k

sgc;

k

stgr2b;

k

tra

=α

⋅α+−=

⋅⋅α+⋅⋅−=

⋅α+−=

τ

σ

σσσ

(3.17a)

dla dominujących naprężeń stycznych:

( )2

2

22

22

22

k

k;

k

sgc;

k

stgr2b;

k

tra

=α

⋅α+−=

⋅⋅α+⋅⋅−=

⋅α+−=

σ

τ

τττ

(3.17b)

gdzie: r, g, t, s – jak w tablicy 3.9, α - stosunek większych z naprężeń dopuszczalnych nor-

malnych do naprężeń stycznych.

Ze względu na nieznajomość rozwiązania analitycznego takiego równania, uzyskano

rozwiązanie przybliżone.

6*6 cd0cd −==+ (3.18)

gdzie: c – jak we wzorach (3.17a) i (3.17b), d* - pierwsze przybliżenie parametru przekroju.

Rozwiązanie można uściślić stosując pojedynczy krok iteracyjny wg metody Newtona-

Raphsona:

d

x

ηηηη

dx

ηηηη

y

y

x

d

x

x d

y

y

x


– 45 –

Tab. 3.9. Wzory do obliczenia parametru przekroju w przypadku naprężeń złożonych

Napr.

domi-

nujące

Złożenie naprężeń Parametr przekroju α c

rozciąg. zginanie 3

32

322,;

⋅−

⋅±

⋅=+=

c

r

c

g

c

gBABAd 1,1⋅kg

-

ścinanie skręcanie 3

32

322,;

⋅−

⋅±

⋅=+=

c

t

c

s

c

sBABAd

-

1,1⋅kt

ścinanie 221

trc

d ⋅α+⋅=

2

t

r

k

k

rozciąg.

skręcanie 3

6422

27

1

22,;

⋅−

⋅

α±

⋅

α=+=

c

r

c

s

c

sBABAd

2

s

r

k

k

1,1⋅kr

ścinanie 3

6342

34

1

2

1,;

⋅

α−

⋅±

⋅=+=

c

t

c

g

c

gBABAd

2

t

g

k

k

nor-

malne

zginanie

skręcanie 221

sgc

d ⋅α+⋅=

2

s

g

k

k

1,1⋅kg

ścinanie 221

trc

d +⋅α⋅=

rozciąg.

skręcanie 3

6342

34

1

2

1,;

⋅

α−

⋅±

⋅=+=

c

r

c

s

c

sBABAd

2

r

s

k

k

ścinanie 3

6422

27

1

22,;

⋅−

⋅

α±

⋅

α=+=

c

t

c

g

c

gBABAd

styczne

zginanie

skręcanie 221

sgc

d +⋅α⋅=

2

g

s

k

k

1,1⋅ks

r, g, t, s – obliczeniowe pola powierzchni lub wskaźniki wytrzymałości przekroju obciążonego odpowiednio:

rozciąganiem, zginaniem, ścinaniem lub skręcaniem (tab. 3.2),

kr, kg, kt, ks – naprężenia dopuszczalne dla statycznego lub zmęczeniowego, odpowiednio: rozciągania, zgina-nia,

ścinania i skręcania

( ) ( )( ) bda2d6

cdbdaddd

*5*

*2*6****

+⋅⋅+⋅

+⋅+⋅+−= (3.19)

3.3 Metoda stanów granicznych

3.3.1. Podstawowy warunek wytrzymałościowy

Podstawowy warunek wytrzymałościowy jest opisany następującą nierównością:


– 46 –

dr

w

fW

M

A

P≤∪=τ∪σ (3.20)

gdzie: σ - naprężenia normalne (prostopadłe) w obliczanym przekroju, τ - naprężenia styczne

w obliczanym przekroju, P – siła obciążająca (rozciągająca, ściskająca lub ścinająca),

M – moment obciążający (gnący lub skręcający), A – powierzchnia rozpatrywanego

przekroju, W – wskaźnik wytrzymałości przekroju (na zginanie i na skręcanie), fd –

naprężenia obliczeniowe (tabl. 3.7), indeksy: w – określa rodzaj wskaźnika

przekroju: x – na zginanie, o – na skręcanie; r – określa rodzaj naprężeń obliczenio-

wych: bez indeksu – dla naprężeń normalnych (rozciąganie, ściskanie i zginanie), v –

dla naprężeń stycznych (ścinanie i skręcanie), b – dla nacisku powierzchniowego, bH

– dla nacisku kontaktowego.

Naprężenia obliczeniowe dla materiałów nie ujętych w tablicy 3.7 można obliczyć ze

wzorów:

MPa 600R47025,1

MPa 470R 36020,1

MPa 360R15,1

f6,3f f25,1f f58,0f R

f

mines

mines

mines

ddbHddbddv

s

mined

<<→=γ

≤<→=γ

≤→=γ

⋅=⋅=⋅=γ

=

(3.21)

3.3.2. Właściwości wytrzymałościowe materiałów

W tablicy 3.9. przedstawiono wartości właściwości mechaniczne typowych materiałów

na konstrukcje stalowe oraz ich wytrzymałość obliczeniową do obliczeń metodą określania

stanów granicznych wytężenia.

Tab. 3.10. Minimalne właściwości wytrzymałościowe stali konstrukcyjnych[4].

Właściwości mechaniczne 2)

[MPa] Rodzaj stali Symbol stali

Rodzaj wyrobu, grubości 1)

t

[mm] Re min Rm min fd

t ≥ 16 195 315 175 St0S

16 < t ≤ 40 185 315 165

t ≥ 16 235 215

16 < t ≤ 40 225 205

St3SX, St3SY,

St3S, St3V,

St3W 40 < t ≤ 100 215

375

195

t ≥ 16 255 410 235

Stal węglowa

konstrukcyjna

PN-88/H-84020

St4VX, St4VY,

St4V,St4W 16 < t ≤ 40 245 410 225

t ≥ 16 355 305

16 < t ≤ 30 345 295 18G2, 18G2A

30 < t ≤ 50 335

490

285

Stal

niskostopowa

PN-86/H-84018

18G2AV

Blachy,

kształtowniki,

pręty,

rury

t ≥ 16 440 560 370


– 47 –

16 < t ≤ 30 430 360

30 < t ≤ 50 420

350

10HA walcowane

na zimno 315 440 275

10H, 10HA walcowane

na gorąco 345 470 290

10HAV,10HAVP,

10HNAP 3)

walcowane

na zimno 355 490 290

Stal trudno-

rdzewiejąca

PN-83/H-84017

10HAV, 10HAVP

walcowane

na gorąco 390 510 310

R Nie określa się 165

R35 235 345 210

R45 255 440 225

Stal do produk-

cji rur 4)

PN-89/H-

84023.07 12X

Rury walcowane lub

ciągnione,

rury zgrzewane 205 330 180

L400 250 400 225

L450 260 450 235 Staliwo

PN-85/H-83152 L500

Odlewy staliwne grupy II

320 500 280

1) Dla kształtowników walcowanych miarodajna jest średnia grubość półki (stopki).

2) Podane w tablicy wartości dotyczą kategorii wytrzymałościowej E440.

3) Stal 10HNAP jest walcowana na gorąco.

4) Rury walc. lub ciągn. są produkowane także ze stali 18G2A, a zgrzewane ze stali St3S i 18G2A.

3.4. Stateczność konstrukcji przy ściskaniu

Wyboczenie – utrata stateczności (prostoliniowości i zdolności do przenoszenia ob-

ciążeń) elementu ściskanego siłą większą od krytycznej. Wartość siły krytycznej lub naprężeń

granicznych wyboczenia R (rys. 3.4) zależy od smukłości elementu (pręta) określonej wzo-

rem:

sl

i=

⋅µ

min

(3.22)

gdzie: µ - współczynnik określający sposób mocowania końców pręta, rys. 3.4, l – długość

geometryczna pręta podlegająca odkształceniom, imin – najmniejszy promień bezwład-

ności przekroju pręta, ze wzoru:

iI

Amin

min= (3.23)

Imin - najmniejszy moment bezwładności przekroju pręta, A – pole przekroju.


– 48 –

s

Re

R

s =25 sgr0

Wyboczenieniecalk.-sprezyste

Tetmajera-Jasinskiegowzor:

Wyboczeniesprezyste

wzor:Eulera

Br a

k w

ybo

czen

ia

µ=2 (2,1)µ=2 (2,1)µ=2 (2,1)µ=2 (2,1)

P

µ=2 (2)µ=2 (2)µ=2 (2)µ=2 (2) µ=1 (1,2)µ=1 (1,2)µ=1 (1,2)µ=1 (1,2) µ=1 (1)µ=1 (1)µ=1 (1)µ=1 (1)

P PP

l

µ=0,7 (0,8)µ=0,7 (0,8)µ=0,7 (0,8)µ=0,7 (0,8) µ=0,5 (0,65)µ=0,5 (0,65)µ=0,5 (0,65)µ=0,5 (0,65)

PP

- brak wyboczenia (s ≤ s0 =25): R = Re

(obowiązuje podstawowy warunek wytrzymałościowy na statyczne ściskanie)

- wyboczenie niecałkowicie sprężyste (s0 ≤ s ≤ sgr):

R a b s c s

R A B sTJ

JO

= − ⋅ + ⋅

= − ⋅

2

2 (3.24)

gdzie: a, b, c, A, B – współczynniki zależne od materiału pręta, z tablicy 3.11 lub obliczane ze

wzorów:

⋅π

−=

≈

E

RRRb

Ra

HHe

e

(3.24a)

RH - granica proporcjonalności (granica Hooke’a), E - moduł sprężystości podłużnej

(moduł Younga – dla stali ok. 2,1⋅105 MPa), sgr - smukłość graniczna:

sE

Rgr

H

= ⋅π (3.24b)

Rys. 3.5. Zależność naprężeń granicznych przy wybo-

czeniu od smukłości pręta.

wzór Tetmajera - Jasińskiego

wzór Johnsona - Ostenfelda

Rys. 3.6. Wartości współ-

czynnika zamocowania

końców pręta – w nawia-

sach wartości rekomen-

dowane.


– 49 –

25s 0 = - smukłość „zerowa” (poniżej której nie zachodzi groźba wyboczenia).

- wyboczenie sprężyste (s > sgr): Eulerazór ws

ER

2

2

E

⋅π= (3.25)

Tabl. 3.11. Wartości współczynników materiałowych do wzoru T-J (3.18) dla wybranych materiałów.

Materiał Rm, MPa Re, MPa A5 % sgr a, MPa b, MPa c, MPa

St3 400 230 25 105 310 1,19 0

St4 500 270 23 90 335 0,62 0

St5 600 300 19 90 335 0,62 0

35 600 360 20 90 335 0,62 0

Stal

45 700 420 16 90 335 0,62 0

Żeliwo 200 600 600 - 80 776 12,00 0,54

Stal do 5% Ni - - - 86 470 2,30 0

Piśmiennictwo

[1] Dietrych M. i inni: Podstawy konstrukcji maszyn, t. 1, PWN, Warszawa 1986.

[2] PN-90/B-02000: Konstrukcje stalowe, obliczenia statyczne i projektowanie, PKNMiJ.

[3] PN-90/B-03001: Konstrukcje stalowe, obliczenia statyczne i projektowanie, PKNMiJ.

[4] PN-90/B-03200: Konstrukcje stalowe, obliczenia statyczne i projektowanie, PKNMiJ


– 50 –

.

Zmiana powierzchni

przekroju

Smukłość rzeczywista

Dobór przekroju

Ustalenie sposobu mocowania końców

( )E

xlPI

2

w

2

min⋅π

⋅⋅µ⋅=

Irz ≥ Imin

s (wz. 3.13)

µ (rys.3.3)

P, l, xw, E (materiał)

s < s0 s0 < s < sgr s > sgr

AP x

R

e

ec

min =⋅ ( )

P

sbaAx w

⋅−⋅= KONIEC

KONIEC

xw < 3 3 < xw < 6 xw > 6

An > An-1 An < An-1

s (wz. 3.13)

a, b (tab. 3.8)

xe, Rec

KONIEC

Smukłość rzeczywista

Dobór przekroju

( )E

xlPI

2

w

2

min⋅π

⋅⋅µ⋅=

Irz ≥ Imin

s (wz. 3.13)

P, l, xw, E (materiał)

s < s0 s0 < s < sgr s > sgr

AP x

R

e

ec

min =⋅ ( )

P

sbaAx w

⋅−⋅= KONIEC

KONIEC

xw < 3 3 < xw < 6 xw > 6

An > An-1 An < An-1

s (wz. 3.13)

KONIEC

START

Rys. 3.6. Algorytm doboru przekroju pręta

wybaczanego.

3.0. Podstawowy warunek wytrzymało ś · PDF file3.0. Podstawowy warunek wytrzymało ściowy...

Documents

Transcript of 3.0. Podstawowy warunek wytrzymało ś · PDF file3.0. Podstawowy warunek wytrzymało ściowy...