PODRĘCZNIK do szkoły podstawowej

4KLASA

MATEMATYKAWOKÓŁ NAS

Matematykaw ćwiczeniachonlineOferta:sklep.wsip.pl

Autorzy: Helena Lewicka, Marianna Kowalczyk

W książce wykorzystano materiały z publikacji Matematyka wokół nas. Podręcznik. Klasa 4 autorstwa Heleny Lewickiej i Elżbiety Rosłon.

Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty i wychowania i wpisany do wykazu podręczników przeznaczonych do kształcenia ogólnego do nauczania matematyki, na podstawie opinii rzeczoznawców: dr Marii Borowskiej, prof. dr. hab. Tadeusza Stanisza, dr Ewy Ogłozy. Etap edukacyjny: IITyp szkoły: szkoła podstawowaRok dopuszczenia: 2013

Numer ewidencyjny w wykazie: 275/1/e/2013 (dla elektronicznej formy podręcznika)

© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o.Warszawa 2013

Wydanie I

ISBN 978-83-02-13987-1

Opracowanie merytoryczne i redakcyjne: Maria Cieńska (redaktor cyklu, redaktor merytoryczny), Marzena Korycka (redaktor merytoryczny), Jadwiga Odrzywołek (redaktor merytoryczny), Krystyna Rugień (redaktor merytoryczny), Maria Białek (redaktor merytoryczny)Konsultacje: dr Agnieszka DembyRedakcja techniczna: Janina SobońProjekt okładki: Joanna Plakiewicz, Anna PrzygodzkaProjekt graficzny: Eliza GoszczyńskaOpracowanie graficzne: Eliza Goszczyńska, Joanna Plakiewicz (redaktor graficzny)Opracowanie kartograficzne: Ewa BilskaSkład i łamanie: Shift_ENTER

Zalecane wymagania systemowe i sprzętowePodręcznik elektroniczny w formacie PDF otwierany na komputerach PC i MAC wymaga zainstalowania bezpłatnego programu Adobe Reader (http://get.adobe.com/reader/); otwierany na tabletach i telefonach z systemem Apple iOS wymaga zainstalowania bezpłatnego programu iBooks (do pobrania ze sklepu App Store); otwierany na tabletach i telefonach z systemem Android wymaga zainstalowania bezpłatnego programu Adobe Reader (do pobrania z Google Play).Pomoc techniczna: epomoc@wsip.com.pl

Materiały, do których masz dostęp, nie mogą być rozpowszechniane publicznie, nie mogą być przedmiotem dalszego obrotu. Rozporządzanie ich opracowaniem wymaga uzyskania zgody.

Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne spółka z ograniczoną odpowiedzialnością 00-807 Warszawa, Aleje Jerozolimskie 96Tel.: 22 576 25 00Infolinia: 801 220 555www.wsip.pl

Publikacja, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Spis treści

Działania na liczbach naturalnych Liczby naturalne. Oś liczbowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Dodawanie liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Odejmowanie liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Mnożenie liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Mnożenie liczb przez: 10, 100, 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Dzielenie liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Dzielenie liczb przez: 10, 100, 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Porównywanie liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Potęgowanie liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Kolejność wykonywania działań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Szacowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Sprawdź siebie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figury geometryczne, część 1Punkt, prosta, półprosta, odcinek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Mierzenie odcinków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Kąty. Rodzaje kątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Mierzenie kątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Proste prostopadłe i proste równoległe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Sprawdź siebie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Rozszerzenie zakresu liczbowego Dziesiątkowy system pozycyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Rzymski system zapisywania liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Dodawanie liczb sposobem pisemnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Odejmowanie liczb sposobem pisemnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Mnożenie liczb sposobem pisemnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Mnożenie liczb przez liczby jednocyfrowe . . . . . . . . . . . . . . . 104Mnożenie liczb przez liczby wielocyfrowe . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Dzielenie z resztą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Dzielenie liczb sposobem pisemnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Dzielenie liczb przez liczby jednocyfrowe . . . . . . . . . . . . . . . . 113Dzielenie liczb przez liczby wielocyfrowe . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Miary czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Sprawdź siebie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Figury geometryczne, część 2Prostokąt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Obwód prostokąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Pole prostokąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Okrąg i koło . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Sprawdź siebie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Skala i plan. DiagramyPowiększanie i zmniejszanie figur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Odczytywanie odległości z planu i z mapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Odczytywanie diagramów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Zbieranie danych i przedstawianie ich na diagramach . . . . . . . 170Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Sprawdź siebie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Podzielność liczb naturalnychDzielniki i wielokrotności liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Cechy podzielności liczb przez: 2, 5, 10, 100 i 25 . . . . . . . . . . . . 183Cechy podzielności liczb przez 3 i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Sprawdź siebie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Ułamki zwykłeUłamek jako część całości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Porównywanie ułamków o jednakowych licznikach

lub mianownikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Ułamek jako dzielenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Ułamki większe od jedności lub mniejsze od jedności . . . . . . . 205Rozszerzanie i skracanie ułamków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach . . . . . . . . . 214Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach . . . . . . 217Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Sprawdź siebie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

ProstopadłościanyOpis prostopadłościanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Siatka prostopadłościanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Pole powierzchni prostopadłościanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Sprawdź siebie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Ułamki dziesiętneUłamki o mianowniku: 10, 100, 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Rozszerzanie i skracanie ułamków dziesiętnych . . . . . . . . . . . . . 246Porównywanie ułamków dziesiętnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Wyrażenia dwumianowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Dodawanie ułamków dziesiętnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Odejmowanie ułamków dziesiętnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Mnożenie ułamków dziesiętnych przez: 10, 100, 1000 . . . . . . . 261Dzielenie ułamków dziesiętnych przez: 10, 100, 1000 . . . . . . . . 264Kalkulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267Zadania utrwalające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Sprawdź siebie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Odpowiedzi do zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Do UczniaChciałybyśmy, aby ten podręcznik umożliwił Ci poznawanie matematyki. Matematyka – to ważna nauka. Jest pomocna w wielu dziedzinach wiedzy, np. w fizyce, astronomii czy informatyce.

W klasie czwartej nauczysz się przede wszystkim sprawnie liczyć. A ta umiejętność pomoże Ci w życiu codziennym:

dobrze gospodarować pieniędzmi,

umiejętnie kupować potrzebne produkty i materiały,

umiejętnie organizować wycieczki: zaplanować długość trasy, przewidzieć wydatki, odczytać z mapy potrzebne dane,

poprawnie odczytać, rozumieć informacje i umieć z nich korzystać.

W podręczniku znajdziesz wiele zadań, które w różny sposób umożliwią Ci ćwiczenie poznanych umiejętności.

Jeżeli w zadaniu jest polecenie Uzupełnij …, Wpisz …, Podkreśl …, zadanie to trzeba przepisać do zeszytu i wykonać.

Pod hasłem:

Sowa przypomina powtórzysz wiadomości i umiejętności poznane w klasach młodszych;

Sowa uczy dowiesz się o nowych zagadnieniach, które dalej rozwijane są w rozwiązanych Przykładach;

A to ciekawe! znajdziesz interesujące wiadomości matematyczne;

Problem zetkniesz się z zadaniami trudniejszymi, czasami wymagającymi niestandardowego spojrzenia, lub zadaniami nietypowymi, np. mającymi więcej niż jedną odpowiedź;

Czy umiesz? Sprawdź! znajdziesz zadania, na podstawie których sprawdzisz, czy posiadasz już wszystkie potrzebne umiejętności z danego tematu.

Na końcu każdego rozdziału umieszczone są zadania, które pozwolą Ci powtórzyć, utrwalić i sprawdzić wiadomości zdobyte w danym rozdziale, oraz przygotować się do klasówki. Są to:

Zadania utrwalające oraz Sprawdź siebie – testy, w których podano cztery odpowiedzi, ale wśród nich tylko jedna jest poprawna.

– pod wskazanym adresem znajdziesz dodatkowe materiały multimedialne do danego tematu.

Życzymy Ci satysfakcji z nauki.

Autorki

6

Liczby naturalne. Oś liczbowa

Jest 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Zapisujemy nimi wszystkie liczby.

Czasami liczby zapisujemy słowami: 5 – pięć

50 – pięćdziesiąt

500 – pięćset

6 – sześć

60 – sześćdziesiąt

600 – sześćset

9 – dziewięć

90 – dziewięćdziesiąt

900 – dziewięćset

Sowa uczy

Pięciocyfrowa liczba 12 605 zapisana jest cyframi: 1, 2, 6, 0, 5. dziesiątki jedności tysięcy tysięcy setki dziesiątki jedności 1 2 6 0 5

W liczbie 12 605 jest: 5 jedności, 0 dziesiątek, 6 setek, 2 tysiące i 1 dziesiątka tysięcy. Czytamy: dwanaście tysięcy sześćset pięć.

Tymi samymi cyframi można zapisać też inne liczby pięciocyfrowe, np. 21 605, 12 065.

Przygotuj 10 kartek jednakowej wielkości. Na każdej z nich napisz inną cyfrę. Wylosuj 3 kartki i przekładając je, ułóż kilka różnych liczb. Przeczytaj te liczby.

Teraz wylosuj 4 kartki. Czy potrafisz przeczytać liczby czterocyfrowe?

A jakie liczby możesz ułożyć z pięciu wylosowanych kartek?

Na przykład:

Sowa przypomina

Działania na liczbach naturalnych

7

Liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … nazywają się liczbami naturalnymi. Kropki na końcu oznaczają, że po liczbie 12 są jeszcze inne liczby. Każda następna liczba jest o 1 większa od poprzedniej. Nie można wypisać wszystkich liczb naturalnych, bo nie ma wśród nich liczby największej.

Wszystkie liczby, które znasz i jeszcze poznasz, mają swoje miejsce na osi liczbowej. Skoro dwie kolejne liczby naturalne różnią się zawsze o 1, to odległość między nimi na osi liczbowej musi być też jednakowa.

Przykład 1

Na taśmie krawieckiej zatarte są trzy liczby. Odgadnij je.

W czym podobna jest taśma krawiecka do osi liczbowej?

Przykład 2

Jakiej liczbie odpowiada wyróżniony punkt?

Nie zawsze możemy narysować tak długą oś liczbową, aby zaznaczyć na niej duże liczby. Wówczas możemy zaznaczyć inny odcinek, który odpowiada kilku lub kilkunastu jednostkom.

Na tej osi liczbowej każdy kolejny wyróżniony punkt oddalony jest o 3 od poprzedniego.

ODPOWIEDŹ. Wyróżniony punkt na osi liczbowej odpowiada liczbie 15.

8

Przykład 3

Jakim liczbom na osi liczbowej odpowiadają wyróżnione punkty?

Od liczby 0 do liczby 30 jest 5 jednakowych odcinków, więc:

30 : 5 = 6

Punkt wyróżniony kolorem niebieskim odpowiada liczbie: 30 + 6 + 6 = 42

ODPOWIEDŹ. Punkt wyróżniony kolorem zielonym odpowiada liczbie 6, a niebieskim liczbie 42.

Przykład 4

Pan Janek przejechał samochodem 56 km, a pan Rafał 65 km. Który z nich przejechał więcej kilometrów?

1 kilometr zapisujemy w skrócie 1 km, 1 metr – 1 m1 kilometr to 1000 metrów1 km = 1000 m

Liczba 65 na osi liczbowej położona jest dalej od 0 niż liczba 56.

Czy wiesz, gdzie znajduje się liczba 0 na tej osi liczbowej?

Liczba 65 jest większa od liczby 56. Zapisujemy:

65 > 56, czytamy: liczba 65 jest większa od liczby 56 lub

56 < 65, czytamy: liczba 56 jest mniejsza od liczby 65.

ODPOWIEDŹ. Pan Rafał przejechał więcej kilometrów niż pan Janek.

Odczytaj liczby odpowiadające wyróżnionym punktom:

Narysuj oś liczbową i przyjmij na niej odpowiednią jednostkę. Zaznacz liczby:

a) 0, 5, 7, 12

b) 15, 25, 30

c) 200, 400, 700, 1000

1

2

9

Przeczytaj rozmowy uczniów klasy czwartej, wspominających wakacje, i rozwiąż zadania 3–5.

Jeździliśmy z rodziną po kraju. Przejechaliśmy

1602 km.

Byłam na koloniach 284 km od

domu.

Mieszkałem w USA. Do Nowego Jorku przejechaliśmy 1340 km, stamtąd do Warszawy

przelecieliśmy 7200 km.Ile kilometrów od Polski mieszkałeś?

Jeździłem rowerem niedaleko domu, ale w czasie wakacji

na pewno przejechałem około 100 km.

Byłem u dziadków, 30 km od domu.

Ja byłam 300 km od

domu.

Przeczytaj i zapisz słownie każdą wymienioną przez dzieci liczbę.

Która z wymienionych liczb jest największa, a która najmniejsza?

Wymień liczby większe od 500 spośród tych, które podały dzieci. Liczby te uporządkuj od najmniejszej do największej (lub od największej do najmniejszej), używając znaków < lub >.

Ułóż zadanie o wakacjach i rozwiąż je.

3

4

5

6

10

Zapisz cyframi liczby:

a) sześćset osiem, b) jeden tysiąc trzysta dwa,

c) dziesięć tysięcy siedemset, d) osiem tysięcy osiem,

e) dziesięć tysięcy trzy, f) piętnaście tysięcy.

Zapisz cyframi i słownie liczbę, w której:

a) cyfrą setek jest 8, dziesiątek 2, a jedności 0,

b) cyfrą jedności jest 5, dziesiątek 2, setek 6, a jedności tysięcy 3,

c) cyfrą dziesiątek jest 9, setek 2, a jedności 3.

Rodziny Ani i Zosi pojechały samochodami do Grecji. Każdy samochód przejechał po cztery tysiące osiemset pięćdziesiąt kilometrów. Rodzina Ani wydała osiem tysięcy sześćset pięć złotych, a rodzina Zosi 9400 zł.

a) Liczby zapisane słownie zapisz cyframi i podkreśl cyfrę setek.

b) Wydatki rodziny Zosi zapisz słownie.

c) Która rodzina wydała więcej pieniędzy: rodzina Ani czy Zosi? Zapisz to za pomocą znaku < lub >.

Przeczytaj liczby. W miejsce kropek wstaw odpowiedni znak: >, < lub =.

a) 688 … 886 b) 5556 … 5556 c) 10 000 … 1000

999 … 1001 8778 … 7887 9999 … 10 000

2030 … 2003 6040 … 7000 4987 … 5001

Napisz liczbę zgodnie ze znakiem: < , > lub =.

a) 49 < … b) … = 1060 c) 5002 < …

100 > … … > 8888 10 000 > …

205 = … … < 7006 3001 < …

1. Liczbę: dziewięć tysięcy osiemdziesiąt zapisz cyframi.

2. Wstaw między liczby odpowiedni znak: > lub

11

Dodawanie liczb

Pierwszym działaniem, które poznaliśmy, było dodawanie. Jest to działanie, którym często posługujemy się w życiu, np. w sklepie czy w domu. Znak „+” jako znak działania został użyty po raz pierwszy w Niemczech w 1489 r. Natomiast znak „=” został wprowadzony po raz pierwszy w Anglii około 500 lat temu.

24 + 8 = 32

składnik składnik suma

14 + 6 + 17 = 37

składniki suma

Wynik dodawania nazywamy sumą.

32 – to suma liczb 24 i 8 37 – to suma liczb 14, 6 i 17

Kolejność dodawanych liczb (składników) nie ma wpływu na wynik (sumę).

3 + 5 = 8 5 + 3 = 8

3 + 5 = 5 + 3

Jeżeli do pewnej liczby dodamy zero, to ta liczba się nie zmieni.

15 + 0 = 15 0 + 320 = 320

Sowa uczy

Dodawanie możemy przedstawić na osi liczbowej, np.

5 + 6 = 11 15 + 0 = 15

Sowa przypomina