20. Model atomu wodoru według Bohra. Wybór i opracowanie zadań – Jadwiga Mechlińska-Drewko. Więcej zadań na ten temat znajdziesz w II części skryptu. 20.1. Opierając się na teorii Bohra znaleźć: a/ promień n-tej orbity elektronu w atomie wodoru, b/ prędkość elektronu na tej orbicie, c/ jego całkowitą energię na n-tej orbicie. 20.2. Wyznaczyć długość fali promieniowania emitowanego przez atom wodoru przy przejściu elektronu z orbity n na orbitę k. 20.3. Przejście elektronu z n-tej orbity na orbitę k=1 zachodzi z emisją fotonu o długości λ=1,026 10-7m. Znaleźć promień n-tej orbity. 20.4. Znaleźć dla dwóch pierwszych orbit atomu wodoru wartość siły przyciągania kulombowskiego między elektronem i jądrem oraz natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez jądro w odległości równej promieniowi pierwszej i drugiej orbity. 20.5. Ile razy zwiększy się promień orbity elektronu w atomie wodoru będącego w stanie podstawowym (n=1) przy wzbudzeniu go kwantem o energii Eν=12,09 eV ? 20.6. W atomie wodoru elektron przeskakuje z drugiej orbity na pierwszą. Wyznaczyć zmianę wartości pędu elektronu oraz zmianę jego energii kinetycznej przy tym przeskoku. 20.7. Seria linii wodorowych z zakresu światła widzialnego (tzw. seria Balmera) powstaje przy przejściu elektronu z wyższych orbit na drugą. Znaleźć granice serii Balmera. 20.8. Wykazać, że częstotliwość fali świetlnej emitowanej przez atom wodoru przy przejściu elektronu z n+1 na n-tą orbitę dąży, przy dużych n, do częstotliwości obiegu elektronu na n-tej orbicie. 20.9. Obliczyć minimalne liniowe rozmiary pozytonium oraz jego energię jonizacji. Pozytonium jest układem złożonym z pozytonu i elektronu krążących wokół wspólnego środka masy. 20.10. Obliczyć wartość orbitalnego momentu magnetycznego elektronu w atomie wodoru w stanie podstawowym.

Rozwiązania: 20.1.R. Korzystając z równań:

2

2

0

2

41

2 nn

nnn r

er

mVihnrVm

πεπ== ,

gdzie: m- masa elektronu, rn- promień n-tej orbity, Vn- prędkość elektronu na n-tej orbicie, h- stała Plancka, e- ładunek elektronu, ε0- przenikalność elektryczna próżni, wyznaczamy:

nh

eVinem

hr nn1

2 0

22

2

20

επε

== .

Całkowita energia elektronu jest sumą energii kinetycznej 2

2n

knmV

E =

i energii potencjalnej oddziaływania elektronu z jądrem n

pn reE

2

041πε

−= czyli

.1009,18

,18

1732

0

4

22220

4−⋅==−=−=+= m

chmeRgdzie

nRhc

nhmeEEE pnknn πεπε

R - stała Rydberga. 20.2.R.

22 kRhc

nRhcEEchh kn +−=−==

λυ .

−=

+−= 2222

11111nk

Rkn

Rλ

.

20.3.R. Z poprzednich zadań mamy zależności:

(1)

−= 22

111nk

Rλ

(2) 22

20 n

emh

rn πε

= .

Po wstawieniu n2 wyznaczonego z równania (1) do równania (2) mamy:

.1075,4)(

1022

220 m

kRemkRhrn

−⋅=−

=λπλε .

20.4.R. Ponieważ

2

2

041

nn r

eFπε

= oraz 22

20 n

emh

rn πε

= to 430

4

62 14 nh

emFn επ

= .

Natężenie pola elektrycznego eF

qFE == .

Wynik obliczeń:

41

241

211

18

1 2,

21013,5,1022,8 EEFForaz

mVENF ==⋅=⋅= − .

20.5.R. W wodorze, przy przejściu elektronu z orbity n-tej na pierwszą orbitę następuje emisja kwantu o energii:

221 1Rhc

nRhcEEhE n +−=−== υυ .

Znając wartość energii kwantu można wyznaczyć wartość n : 3=−

=υERhc

Rhcn .

Elektron w procesie opisanym w zadaniu został wzbudzony na poziom trzeci.

Ponieważ : 22

20 n

emh

rn πε

= i r to 21nrn = 932

1

32

1

===rr

inrrn .

20.6.R.

Z postulatu Bohra wynika: n

nnn rnhpihnrVmπ

π2

==2 .

Ponieważ 22

20 n

emh

rn πε

= to 2220

42

0

2

821

2 nhme

mp

Eoraznh

mep nknn εε

=== .

Z powyższych zależności wynika, że:

220

4

210

2

0

2

21 323

4211

2 hmeEEEoraz

hme

hmeppp

εεε=−=∆=

−=−=∆ .

20.7.R. Przy przejściu elektronu z n-tej orbity na k-tą następuje emisja światła o długości spełniającej

równanie

−= 22

111nk

Rλ

. Dla serii Balmera k=2.

Przy przejściu z n=3 na k=2 nastąpi emisja kwantu o najmniejszej energii (i największej długości fali) w serii Balmera. Jest to długofalowa granica serii przy czym:

.660365

31

211

max22.max

nmczyliRR ==

−= λ

λ

Krótkofalowa granica odpowiada przejściu z ∞=n na k=2 i wynosi nmR

3674.min ==λ .

20.8.R.

Ponieważ nh

eVinem

hr nn1

2 0

22

2

20

επε

== częstotliwość obiegu elektronu w atomie

wodoru jest równa: 3320

4 142 nhme

rV

n

nn ⋅==

επυ .

8 320

4

chmeRε

=

Przy przejściu elektronu z orbity n+1 na orbitę n następuje emisja kwantu o energii:

( ) ( ) 22

22

22221 112

111

)1( nnnnnRc

nnRcczyli

nRhc

nRhcEEhE nn

+−++

=

+−=+

+−=−== + υυυ

Dla n>>1 częstotliwość kwantu dąży do wartości 32nRc

n =υ co jest równe częstotliwości

obiegu elektronu. 20.9.R. Pozyton jest cząstką o masie równej masie elektronu. Ładunek pozytonu jest równy co do wartości bezwzględnej ładunkowi elektronu i wynosi 1,6⋅10-19C. Uwzględniając ruch elektronu i pozytonu wokół wspólnego środka masy wprowadzamy masę zredukowaną µ układu elektron-pozyton:

pe mm111

+=µ

gdzie me i mp odpowiednio masy elektronu i pozytonu.

Korzystając z układu równań:

hnrV nn =µπ2 i

20

22

4 nn

n

re

rV

πεµ

= ,

przyjmując, że me=mp=m wyznaczamy 2

2

202

nemh

rn πε

= .

Minimalne rozmiary pozytonium określa promień pierwszej orbity: 2

20

12

emhr

πε

= .

Energia wiązania pozytonium wynosi:

2220

4

0

2

0

22

16842 nhme

re

reVEEE

nn

npkw επεπε

µ−=−=−=+=

Energia jonizacji z poziomu pierwszego eVh

meE j 8,616 22

0

4

==ε

.

20.10.R. Moment magnetyczny obwodu z prądem

IS=µ I natężenie prądu jaki daje ruch elektronu po orbicie kołowej, S powierzchnia obejmowaną przez ten obwód z prądem.

nTeI = Tn –okres obiegu elektronu na n-tej orbicie

22

nn

nn rS

VrT ππ

==

nnm

eh

reV

rr

eV

Bn

nnn

nn

nn

µπ

µ

µ

ππ

µ

==

=

=

4

2

22

µB=0,93 ⋅10-23J/T -magneton Bohra.