2. ZAGADNieNiA GeOMetrYcZNe GeODeZJi WYŻSZeJ

31

Elipsoida obrotowa spłaszczona jest następną po geoidzie powierzchnią odniesienia przybliżającą kształt Ziemi. Elipsoida jest powierzchnią, którą można opisać analitycz-nie (geoidy nie). Powierzchnia ta została wprowadzona w geodezji po to, aby w stosun-kowo prosty sposób można było rozpatrywać związki matematyczne między elementami sieci geodezyjnej zrzutowanej na powierzchnię elipsoidy i obliczać współrzędne punktów sieci, by można było na podstawie sieci sporządzać mapy, odwzorowawszy uprzednio po-wierzchnię elipsoidy na płaszczyznę.

Zdefiniujemy najpierw kształt i rozmiary elipsoidy. Oznaczymy przez a dużą, równi-kową półoś elipsoidy, zaś przez b małą, biegunową półoś. Kształt elipsoidy określa się za pomocą parametru zwanego spłaszczeniem elipsoidy. Spłaszczenie określimy jako:

2. ZAGADNieNiA GeOMetrYcZNe GeODeZJi WYŻSZeJ

2.1. eLipSOiDA OBrOtOWA JAKO pOWierZcHNiA ODNieSieNiA

2.1.1. elementarne związki pomiędzy parametrami elipsoidy

Rys. 2.1. Powierzchnie odniesienia: geoida i elipsoida

Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej

32

(2.1)

Niekiedy f nazywamy spłaszczeniem elipsy południkowej, tzn. takiej, jaka powstaje w wyniku przekroju elipsoidy płaszczyzną zawierającą małą półoś b. Do oznaczenia spłaszczenia używa się także litery greckiej α.

Mimośrody elipsoidy: ‘pierwszy’ e i ‘drugi’ e´ definiują następujące wzory:

Satelitarne wyznaczenia spłaszczenia i dużej półosi elipsoidy ziemskiej, aproksymują-cej geoidę na obszarze całej Ziemi, dały następujące wyniki (Geodetic Reference System 1980, Moritz, 1984):

Dwa parametry liniowe (a,b) albo jeden parametr liniowy i jeden parametr kształtu, a więc (a,f ), (a,e2), (a,e´2) itd., określają elipsoidę. Z definicji spłaszczenia można wyli-czyć, że mała półoś elipsoidy GRS’80 wynosi b = 6 356 749 m, zaś różnica długości dużej i małej półosi6 a – b = 21 358 m.

Można łatwo wykazać następujące, ważniejsze związki pomiędzy parametrami elip-soidy obrotowej:

(2.3)

6 Zapamiętanie przybliżonych wartości: a ≈ 6 378 km, f ≈ 1/300, a – b ≈ 21 km daje pogląd na rozmiary i kształt naszej Planety.

fa b

a= − .

ea b

ae

a b

b2

2 2

22

2 2

2= − ′ = −, .

f = 298.257–1 ± 5×10–6, a = 6 378 137 m ± 3 m.

Rys. 2.2. Elipsoida obrotowa

ab

eb a e f

b

ae=

−= − = − = − −

11 1 1 1

2

2 2, , ,

Elipsoida obrotowa

33

Równanie powierzchni elipsoidy obrotowej, wyrażone przez współrzędne prostokątne, po-daje się zazwyczaj w postaci:

(2.4)

Wprowadziwszy oznaczenia:

albo (2.5)

równanie elipsoidy (2.4) będziemy często zapisywać w postaci:

(2.6)

( ) ( ) , , ,1 1 11 1

2 2 22

22

2

2− + ′ = =−

=′

+ ′e e e′ e

ee e

e

e2 = 2f – f 2, e2 ≈ 2f .

x y

a

z

b

2 2

2

2

2 1+ + = .

τ − = −1 21 e ,τ = = + ′a

be

2

221

x2 + y2 + τ z2 = a2 .

Współrzędne geodezyjne (krzywoliniowe) na powierzchni elipsoidy obrotowej definiujemy analogicznie jak współrzędne naturalne [1.2.4]. Szerokość geodezyjna B (0º÷±90º ) to kąt, jaki tworzy normalna do elipsoidy z płaszczyzną równika geo-dezyjnego. Ten zaś jest kołem powstałym w wyniku przekroju elipsoidy obrotowej płaszczyzną, do której oś obrotu elipsoidy jest prostopadła i która zawiera środek elipsoidy O.

Prowadząc pęk płaszczyzn przez oś Oz (małą półoś b), uzyskamy przekroje o kształ-cie elips zwanych południkami geodezyjnymi. Kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyzną południka początkowego zawierającego oś Ox i płaszczyzną południka zawierającego punkt P nazywamy długością geodezyjną L (00÷360º ) lub (0º÷±180º ). Południk geo-dezyjny jest linią stałej długości L = const. Linia stałej szerokości geodezyjnej (równo-leżnik geodezyjny) B = const. jest kołem, którego płaszczyzna jest prostopadła do osi Oz. Równoleżnik, dla którego B = 0, to równik.

Promień równoleżnika łatwo wyliczymy ze współrzędnych prostokątnych, rzutując punkt P na płaszczyznę równika

(2.7)

2.1.2. Układ współrzędnych geodezyjnych B, L

SN(

WE( W

E(

p x y= +2 2 .


34

Normalna do elipsoidy w punkcie P leży w płaszczyźnie południka i przecina oś elip-soidy w punkcie OP (rys. 2.4). Ze względu na spłaszczenie biegunowe elipsoidy punkt OP znajduje się po przeciwnej stronie równika niż punkt P.

Prowadząc przez normalną w punkcie P pęk płaszczyzn, otrzymamy przekroje nor-malne elipsoidy. W teorii powierzchni (np. Finikow, 1956) dowodzi się, że w każdym punkcie powierzchni istnieją takie dwa wzajemnie prostopadłe przekroje normalne, któ-rych krzywe charakteryzują się ekstremalnymi krzywiznami. Nazywa się je przekrojami w kierunkach głównych. Na powierzchni elipsoidy obrotowej, z wyjątkiem jej biegunów, są to kierunki południka geodezyjnego (krzywizna maksymalna M –1) oraz kierunek wertykału prostopadłego do południka, zwanego pierwszym wertykałem (krzywizna minimalna N –1).

Krzywiznę dowolnego przekroju normalnego o azymucie A można wyznaczyć na pod-stawie krzywizn w kierunkach głównych M –1, N –1, korzystając z twierdzenia Eulera

(2.8)

Promień krzywizny południka M wyznaczymy na podstawie rysunku 2.4 jako:

(2.9)

Rys. 2.3. Współrzędne geodezyjne i współrzędne prostokątne

2.1.3. przekroje normalne elipsoidy obrotowej i ich krzywizny

RA

M

A

NA− = +1

2 2cos sin .

Mds

dB= .

Elipsoida obrotowa

35

Wzór ten można łatwo przekształcić do postaci

(2.10)

uwzględniając ds wyrażone poprzez dp i dz. Wstawiwszy następnie (2.7) do równania elip-soidy (2.4) otrzymamy po zróżniczkowaniu i konfrontacji z rysunkiem 2.4:

(2.11)

To ostatnie wyrażenie skojarzone z równaniem elipsoidy (2.4) pozwala zapisać promień równoleżnika p w postaci:

(2.12a)

zaś współrzędną z jako:

(2.13)

We wzorze (2.10) występuje różniczka dp/dB, którą wyznaczamy z (2.12a). Po podstawie-niu wyniku różniczkowania do (2.10) otrzymamy:

(2.14)

Rys. 2.4. Promień krzywizny południka M

MB

dp

dB= 1

sin,

dz

dp

b

z

p

aB= − = −

2

2 cot .

pa B

e B=

−cos

sin,

1 2 2

za e B

e B= −

−( )sin

sin.1

1

2

2 2

Ma e

e B= −

−( )

( sin ).1

1

2

2 2 3


36

Wyrażenie na promień równoleżnika (2.12a) daje podstawę do wyznaczenia promienia krzywizny w pierwszym wertykale, jeśli skorzystamy z twierdzenia Meusniera (por. Finikow, 1956, str. 218) mówiącego, że promień krzywizny przekroju ukośnego, mającego wspólną styczną z przekrojem normalnym, może być wyrażony przez zrzutowanie promienia krzywi-zny przekroju normalnego na kierunek promienia przekroju ukośnego. Wobec tego

p = N cos B , (2.12b)oraz

(2.15)

Z porównania wzorów na M i N wynika, że N ≥ M. Zauważymy także, że na równiku (B = 0) będzie:

N0 = a ,

na biegunach zaś

M90 = N90 = (2.16)

Powtarzające się wyrażenia w mianownikach wzorów (2.12÷2.15) oznaczymy przez

(2.17a)

a także wprowadzimy inne oznaczenie (2.17b)

Wykorzystując te oznaczenia oraz (2.16), możemy zapisać wyrażenia na M i N zwięźle, w postaci dogodnej do rachunków

Na

e B=

−1 2 2sin

Rys. 2.5. Promień krzywizny pierwszego wertykału N

Mb

a0

2

= ,

a

bc

2

=

W e B= −1 2 2sin ,

V e B= + ′1 2 2cos .

Elipsoida obrotowa

37

(2.18)

Cytowany wyżej wzór Eulera (2.8) daje podstawę do wyznaczenia średniego promienia krzywizny RS jako granicy, do której dąży średnia arytmetyczna krzywizn wszystkich przekrojów normalnych w rozpatrywanym punkcie. Tworząc sumę nieskończenie wielu promieni krzywizny RA , otrzymamy RS w postaci średniej wartości całki

której rozwiązanie

(2.19)

daje proste wyrażenie dla zastosowań praktycznych. Wiele zagadnień geodezji wyższej roz-wiązuje się za pomocą kuli o promieniu równym średniemu promieniowi krzywizny RS.

Szerokością geocentryczną ψ nazywamy kąt, jaki tworzy promień wodzący punktu P znajdującego się na powierzchni elipsoidy z płaszczyzną równika. Z rysunku 2.6 wynika, że

Uwzględniając (2.12) i (2.13) otrzymamy:

tan ψ = (1 – e2) tan B . (2.20)

Szerokość geocentryczna pozwala wyrazić współrzędne prostokątne punktów leżących na powierzchni elipsoidy przez współrzędne biegunowe

(2.21)

Promień wodzący r x y z= + +2 2 2 możemy zapisać inaczej, podstawiając (2.21) do równania elipsoidy (2.4)

(2.22)

Ma e

W

c

VN

a

W

c

VM

N

V= − = = = =( ) , , .1 2

3 3 2

RM N

N A M AdAS =

+∫2

2 20

2

π

π

cos sin

,

02π(

R M Nc

VS = = 2

2.1.4. Szerokość geocentryczna i szerokość zredukowana

tan .ψ = z

p

x

y

z

r

L

L

=

cos coscos cos

sin.

ψψ

ψ

r ae

e= −

−1

1

2

2 2cos ψ


38

Wzór 2.20 można przekształcić i otrzymać wzór przybliżony

(2.23)

przydatny do oszacowania różnicy

Szerokość zredukowaną β otrzymamy, rzutując punkt P prostą równoległą do osi Oz z po-wierzchni elipsoidy na kulę o promieniu a. Promień wodzący rzutu P∗ tworzy z płaszczy-zną równika kąt β – szerokość zredukowaną. Z rysunku 2.6. wynika, że

Po prostych przekształceniach otrzymamy

Be tan1tan 2−=β . (2.24)

Różnica B – β wyrazi się w przybliżeniu przez

Wobec tego B – β można oszacować

Rys. 2.6. Szerokość geocentryczna ψ i szerokość zredukowana β

Be

B− ≈ψ2

22sin ,

( ) . ,max( )

BB o− ≈ ′

=ψ

4511 6

tan .β =−a p

p

2 2

B e B− ≈β14

22 sin .

( ) . .max( )

BB o− ≈ ′

=β

455 8

Elipsoida obrotowa

39

Biorąc wzór (2.12):

p = N cos B ,

a następnie (2.13) i (2.15), napiszemy

z = N (1 – e2) sin B .

Wziąwszy ponadto wzór (2.7) możemy, patrząc na rysunek 2.3, napisać

x = p cos L , y = p sin L .

Powyższe stanowią podstawę równań

(2.25a)

zwanych parametrycznymi równaniami elipsoidy obrotowej. Wprowadźmy jednostkowy wektor normalny elipsoidy n (zaznaczony na rys. 2.3)

(2.26)

oraz diagonalną macierz kształtu elipsoidy

F = diag(1, 1, τ).

Równanie parametryczne elipsoidy możemy teraz zapisać następująco:

2.1.5. równania parametryczne elipsoidy obrotowej

x

y

z

N

B L

B L

B

=

−

cos coscos sin

sin,

ττ

1

−− = −1 21 e ,

n =

cos coscos sin

sin,

B L

B L

B

Rys. 2.7. Współrzędne elipsoidalne przestrzenne B, L, H i współrzędne prostokątne x, y, z


40

(2.25b)

Z rysunku 2.7 wynika, że r = re +n H . (2.27)

Zatem, znając współrzędne geodezyjne punktu B i L oraz wysokość elipsoidalną punktu H, możemy znaleźć współrzędne prostokątne punktu P(x, y, z) określone wektorem wodzącym r.

Zadanie odwrotne, tzn. obliczenie współrzędnych geodezyjnych B, L, H na podstawie współrzędnych prostokątnych x, y, z, zazwyczaj proponuje się rozwiązywać iteracyjnie (zob. Heiskanen i Moritz, 1981, str. 183). Inne, bezpośrednie rozwiązanie tego zadania podamy w [6.3.2], przy okazji prezentacji metod wykorzystania pomiarów satelitarnych w zagadnieniach geodezji wyższej.

Normalne do powierzchni elipsoidy obrotowej w punktach P1, P2 są wichrowate, z wyjąt-kiem szczególnego wzajemnego usytuowania punktów (obydwa punkty znajdują się na tym samym południku lub równoleżniku). Zatem płaszczyzny przekrojów normalnych z P1 do P2 i z P2 do P1 (tzw. wzajemnych przekrojów normalnych) i krzywe tych przekrojów z reguły nie pokrywają się (rys. 2.8). Rozbieżność przekrojów normalnych ( ′ − ′′α α1 1 ) może osiągać 0.02” dla s = 50 km i powinna być brana pod uwagę przy obliczeniach. Przy odległościach mniejszych, rzędu 20 km, co miało miejsce w sieciach geodezyjnych zakładanych tradycyj-nymi technikami obserwacji naziemnych, można było te rozbieżności zaniedbywać.

Nowe, satelitarne technologie wprowadziły do sieci geodezyjnych boki o długościach kilkusetkilometrowych. W technologiach opracowania sieci tradycyjnych także wyliczano ‘łącznice’ długich łańcuchów triangulacyjnych osiągające ten sam rząd. Przy takich odle-głościach rozbieżności przekrojów normalnych prowadziłyby już do poważnych niejedno-znaczności w definicji figur na powierzchni elipsoidy.

r F ne

x

y

z

N=

= − 1 .

2.2. LiNiA GeODeZYJNA NA pOWierZcHNi eLipSOiDY OBROTOWEJ

2.2.1. Linia geodezyjna a przekroje normalne

Rys. 2.8. Wzajemne przekroje normalne i linia geodezyjna

Linia geodezyjna

41

Stąd wyniknęła konieczność zdefiniowania linii łączącej jednoznacznie dwa punkty na elipsoidzie. Jest nią linia geodezyjna – najkrótsza odległość dwóch punktów na po-wierzchni. Linia geodezyjna na pewnej powierzchni to taka linia, której normalna główna w każdym punkcie ma kierunek normalnej do powierzchni. To samo można wyrazić po-przez warunek zerowej wartości krzywizny geodezyjnej κg , którą zapisujemy jako iloczyn mieszany wektorów: r′, r″ i n

κg = (r´ × r″ ) ⋅ n = 0 (2.28a)

gdzie r´ oznacza wektor styczny do powierzchni, r″ oznacza wektor krzywizny (´ i ″ to sym-bole pierwszych i drugich pochodnych względem parametru naturalnego), n to wprowadzony już wyżej wektor normalny do powierzchni (2.26). Przypomnijmy, że krzywizną geodezyjną nazywa się krzywiznę rzutu prostokątnego krzywej na płaszczyznę styczną do powierzchni.

Warunek (2.28a) stanowi ogólny zapis własności linii geodezyjnej na dowolnej po-wierzchni i przedstawia sobą równanie różniczkowe drugiego rzędu. Mając na myśli elip-soidę obrotową, wprowadzimy do tego równania współrzędne geodezyjne B i L (L = L(B) dla powierzchni obrotowej). Wynik takiego podstawienia ma postać:

(2.28b)

Całkowanie tego równania prowadzi do ważnej własności linii geodezyjnej. Aby do-konać całkowania, trzeba najpierw wprowadzić podstawowe zależności różniczkowe dla linii geodezyjnej na powierzchni elipsoidy obrotowej. Rozpatrzmy zależności wynikające z rysunku 2.9. Element łuku południka odpowiadający elementowi ds łuku linii geodezyj-nej wyrazimy przez M dB. Odpowiedni element łuku równoleżnika to p dL = N cosB dL. Z prostokątnego trójkąta elementarnego wynikają natychmiast dwa równania różniczkowe pierwszego rzędu:

(2.29a)

d B

dL p

dp

dB M

dM

dB

dL

dB

p

M

dp

dB

dL

dB

2

2 2

32 1 0+ −

+

= .

dB

ds

A

M

dL

ds

A

N B= =cos , sin

cos.

Rys. 2.9. Elementarny trójkąt na powierzchni elipsoidy


42

W wyniku całkowania równania (2.28b), wykorzystując równania (2.29a), otrzymamy tzw. równanie Clairauta linii geodezyjnej

N cos B sin A = c = const. (2.30a)

Równanie to wyraża własność linii geodezyjnej mówiącą o tym, że iloczyn promienia równoleżnika (p = N cosB) i sinusa azymutu linii geodezyjnej jest wielkością stałą dla całej linii. Tę stałą można interpretować jako promień równoleżnika pc, do którego linia geodezyjna jest styczna i ma azymut 90º (c = pc sin 90º = pc ).

Rys. 2.10.

Równanie Clairauta wyrażone poprzez szerokość zredukowaną β ma następującą postać:

a cosβ sin A = c. (2.30b)

Trzecie równanie różniczkowe pierwszego rzędu względem parametru naturalnego s (dla azymutu) otrzymamy różniczkując równanie Clairauta względem s. Posiłkując się rysunkiem 2.10 otrzymamy

(2.29b)

Linię geodezyjną i wzajemne przekroje normalne charakteryzują następujące przybli-żone wzory (odnoszące się do rysunku 2.8):

,

(2.31) ,

na których podstawie można wyliczyć:

dp

dsA B= cos sin

dA

ds

A B

N= sin tan .

′ − = +α α α1 1

2 2

22

1 1122e s

aBcos sin ...

′ − = +s se s

aB

4 5

44

12

13602cos sin ...α

Linia geodezyjna

43

s = 50 km 100 km 200 kmα´1 – α1 0.007″ 0.028″ 0.112″S´ – s 2⋅10–11 m 9⋅10–10 m 2⋅10–8 m

Trójkątem geodezyjnym nazywamy trójkąt na powierzchni elipsoidy obrotowej utwo-rzony przez trzy łuki linii geodezyjnych. Pod pojęciem rozwiązywania trójkąta geode-zyjnego rozumiemy obliczanie jego elementów na podstawie znanych trzech elementów, w tym przynajmniej jednego boku oraz znanego położenia trójkąta na elipsoidzie.

Małe trójkąty geodezyjne, tzn. takie, których boki nie są dłuższe niż 90 km, można rozwiązywać traktując je jako trójkąty położone na kuli o promieniu równym średniemu promieniowi krzywizny, obliczonemu dla szerokości równej średniej arytmetycznej z war-tości szerokości wierzchołków trójkąta. W celu rozwiązania trójkąta posługujemy się tzw. twierdzeniem Legendre’a, które mówi, że mały trójkąt sferyczny można rozwiązać zamie-niając go na trójkąt płaski, w którym długości boków pozostają niezmienione w stosunku do odpowiednich długości na sferze, każdy kąt zaś jest zmniejszony o 1

3 tzw. nadmiaru sferycznego.

Wyrażenie określające nadmiar sferyczny albo eksces sferyczny łatwo wyprowadzić pi-sząc wzory cosinusowe dla boków trójkąta sferycznego, wyznaczając cosinusy kątów z tych wzorów, rozwijając sinusy i cosinusy w ich szeregi i sumując te szeregi. Wykorzystując wzór wyrażający cosinus kąta w trójkącie płaskim, można łatwo wykazać, że suma kątów sferycznych w trójkącie przewyższa 180º o wartość ε zwaną nadmiarem albo ekscesem sferycznym, zaś każdy z kątów sferycznych jest większy od odpowiadającego mu kąta płaskiego o 1

3 ε. Nadmiar sferyczny ε = P

R∆2 , gdzie P∆ oznacza pole trójkąta, które można wyznaczać

jak dla trójkąta płaskiego w przypadku niezbyt dużych trójkątów. Oznacza to, że można się posługiwać następującym wzorem:

(2.32)

w którym b i c oznaczają boki trójkąta płaskiego, zaś A1 – kąt między nimi zawarty; R to promień kuli, na której położony jest trójkąt.

Jeżeli mamy do czynienia z trójkątem, którego boki są dłuższe niż 90 km, w wyznacze-niu nadmiaru sferycznego musimy uwzględnić fakt, że powierzchnia trójkąta we wzorze na ε powinna być obliczana dla trójkąta sferycznego, a nie płaskiego. Odpowiedni wzór, odnoszący się do tzw. rozszerzonego twierdzenia Legendre’a, ma postać:

(2.33)

2.2.2. trójkąty geodezyjne i ich rozwiązywanie

ε = b c A

R

sin ,122

ε ε1

2

22

2 2 2

18 3

= +

= + +m

Rm

a b c, .

44

Łatwo wykazać, że nadmiar sferyczny obliczony na podstawie tego wzoru będzie się różnił nie więcej niż o 0.0005″ od wartości wyznaczonej ze wzoru (2.32), jeżeli boki trój-kąta równobocznego nie przekraczają długości 90 km. Dokładność rachunku 0.001″ po-zwala ograniczać się do pierwszej, uproszczonej wersji wzoru na ε aż do długości boków trójkąta rzędu 200 km. Dla trójkątów o długościach boków tego rzędu – a może mieć to miejsce w przypadku stosowania satelitarnych metod pomiaru w sieci – musimy uwzględ-nić ponadto różnice pomiędzy wartościami kątów sferoidalnych (utworzonych przez linie geodezyjne na elipsoidzie) i sferycznych. Odpowiednie wzory do redukcji kątów sferoidal-nych (A, B, C) na płaskie (A1, B1, C1) podajemy niżej.

(2.34)

Obszerniejszy opis przytoczonych wzorów można znaleźć w książce Szpunara (1982)7 .

Inną metodą stosowaną do rozwiązywania trójkątów sferycznych jest metoda addita-mentów (Soldnera). Zamiana trójkąta sferycznego na trójkąt płaski w tej metodzie polega na pozostawieniu dwóch kątów sferycznych niezmienionych, zaś boki trójkąta płaskiego uzyskuje się poprzez dodanie do boków trójkąta sferycznego tzw. additamentów liniowych albo inaczej algebraicznych8. Idea metody jest bardzo prosta a wzory przejrzyste i dogodne do obliczeń. Pisząc wzory sinusowe dla trójkąta sferycznego i płaskiego o dwóch takich samych kątach, jak w trójkącie sferycznym, możemy następnie porównać lewe strony tych wzorów:

Rozwinięcie funkcji sinus w szereg daje podstawę do napisania następujących przy-bliżonych równości:

(2.35)

7 Wyprowadzenie wzorów podają Jordan i in. (1958) oraz Krasowskij (1952).8 W odróżnieniu od additamentów logarytmicznych stosowanych dawniej, w czasach obliczeń za pomocą logarytmów.

A

B

C

A

B

C

nm a

m b

m c

1

1

1

2 2

2 2

2 23 60

=

− −

−−−

ε ε

−−−−

ε12n

n n

n n

n n

A

B

C

,

nRA B C

A B C, ,

, ,

,= 12 n

n n nA B C= + +3

.

sin

sin.

aRbR

a

b= 1

1

a aa

R

a

R1

3

2

5

46 120= − + + ...

b bb

R

b

R1

3

2

5

46 120= − + + ...


Obliczanie współrzędnych na powierzchni elipsoidy obrotowej

45

Trzeba pamiętać jednak, że metoda additamentów dotyczy trójkątów sferycznych, a nie geodezyjnych. Aby można było z niej korzystać do rozwiązywania trójkątów na elip-soidzie o bokach znacznej długości (dochodzących lub przekraczających 200 km), należy najpierw dokonać redukcji kątów, jakie tworzą linie geodezyjne na elipsoidzie będące bo-kami trójkątów, na kąty sferyczne. Można to zrobić za pomocą ostatniego członu wzorów (2.34) podanych dla metody Legendre’a. Natomiast we wzorach (2.35) podaliśmy spe-cjalnie drugi wyraz additamentu, aby wzory te mogły służyć do rozwiązywania dużych trójkątów geodezyjnych.

Wielkie trójkąty geodezyjne nie mogą być rozwiązywane (z dokładnością zadowala-jącą w sieciach geodezyjnych) przez ich zamianę na trójkąty płaskie metodami omówio-nymi powyżej. Trójkąty o bokach dochodzących do 500 km i przekraczających tę wartość można rozwiązywać przez specjalne odwzorowania powierzchni elipsoidy na powierzch-nię sfery, wykorzystując np. odwzorowanie Bessela, omówione szczegółowo w podręcz-niku Warchałowskiego (1952), albo za pomocą geometrii przestrzennej, przez cięciwy elipsoidy (Mołodenski, 1954).

Klasyczny problem obliczania współrzędnych geodezyjnych na powierzchni elipsoidy obrotowej oraz azymutów i długości linii geodezyjnych nosi nazwę przenoszenia współ-rzędnych lub podstawowego zadania geodezji wyższej. Wyróżnia się dwa rodzaje prob-lemu: tzw. zadanie wprost i zadanie odwrotne. • Zadanie wprost dotyczy obliczenia współrzędnych geodezyjnych B2, L2 punktu P2 i azymutu (odwrotnego) A21 linii geodezyjnej, gdy znane są współrzędne geodezyjne B1, L1 punktu P1, długość linii geodezyjnej s12 oraz azymut (wprost) A12, pod jakim linia geode-zyjna wychodzi z punktu P1. • Zadanie odwrotne dotyczy obliczenia długości linii geodezyjnej s12 łączącej na powie-rzchni elipsoidy dwa punkty o znanych współrzędnych P1(B1, L1) i P2(B2, L2) oraz oblicze-nie azymutów linii geodezyjnej (wprost i odwrotnego) A12 i A21.

W geodezji wyższej znane są liczne sposoby rozwiązywania podstawowych zadań. Można podzielić je na pewne grupy, biorąc za podstawę podziału stosowaną metodę rozwiązania za-dań, albo osiąganą dokładność obliczeń. To drugie kryterium podziału metod wiązano zazwy-czaj z możliwością ich stosowania dla określonych odległości między punktami P1 i P2.

Mnogość powstałych niegdyś metod tłumaczy stopień skomplikowania zadań i ów-czesna uciążliwość rachunków. Stworzono wiele algorytmów i różnych pomocy rachun-kowych, zazwyczaj w formie tablic. W naszych czasach, z uwagi na automatyzację obli-czeń, wiele klasycznych metod obliczania współrzędnych utraciło swoje dawne znaczenie. Powstały nowe metody.

2.3. OBLicZANie WSpÓŁrZĘDNYcH NA pOWierZcHNi ELIPSOIDY OBROTOWEJ

2.3.1. Klasyfikacja metod


46

Najogólniej metody klasyczne obliczania współrzędnych można podzielić na cztery grupy:

1) Metody bezpośrednie polegające na rozwiązaniu trójkąta elipsoidalnego, którego dwa punkty są punktami początkowym i końcowym linii geodezyjnej P1 i P2, a punkt trzeci jest biegunem elipsoidy.

W metodach bezpośrednich budowano zazwyczaj pomocniczą kulę o promieniu N1 lub a i środku w n1 (patrz oznaczenie na rysunku 2.12). Punkty P1 i B rzutowano na tę kulę tak, aby niektóre elementy trójkąta pozostały niezmienione. Rozwiązywano trójkąt sferyczny, a wyznaczone elementy przenoszono następnie na elipsoidę, uzyskując w ten sposób ostateczne rozwiązanie zadania. Jako przykład mogą służyć metody Bessela z roku 1826 i Helmerta z roku 1880, w których trójkąt P1P2B został odwzorowany na kulę o pro-mieniu a w taki sposób, aby szerokości zredukowane β (2.24) były równe szerokościom na kuli. W odwzorowaniu azymutów zachowano wierność przez wykorzystanie równania Clairauta dla linii geodezyjnej (2.30b). Zniekształceniu ulegają długość linii geodezyjnej s i różnica długości geodezyjnych ∆L. Różniczki pierwszego rzędu na kuli (względem długości σ odpowiadającej s) odpowiednie do (2.29) na elipsoidzie

Rys. 2.11. Duży trójkąt geodezyjny Rys. 2.12. Rzut trójkąta geodezyjnego na sferę pomocniczą


47

można przekształcić do postaci:

(2.36)

Całkowanie powyższych równań prowadziłoby do całek eliptycznych. Po rozwinię-ciu w szeregi, scałkowaniu wyraz po wyrazie, a następnie ‘odwróceniu’ szeregów wy-prowadzono wzory do obliczeń metodą Bessela (zob. np. Warchałowski, 1952). Metoda jest znana w wielu odmianach i można ją stosować dla bardzo dużych odległości, nawet dochodzących do 20 tys. km.

Do grupy metod bezpośrednich można by także zaliczyć przedstawioną niżej metodę Clarke’a-Robbinsa, a także metodę Levallois-Dupuy (zob. Śledziński, 1964).

2) Metody wykorzystujące szeregi potęgowe Legendre’a polegają na rozwinięciu w szereg Maclaurina różnic ∆B, ∆L, ∆A względem parametru naturalnego, czyli długości linii geodezyjnej s.

(2.37)

Występujące w tych wzorach pochodne wyższych rzędów względem ds wyznacza się przez różniczkowanie równań pierwszego rzędu (2.29a,b). Powolna zbieżność szere-gów limituje ich wykorzystanie do odległości nieprzekraczających 150 km. W literaturze można znaleźć wiele modyfikacji i usprawnień dotyczących rozwiązywania zadań oblicza-nia współrzędnych za pomocą szeregów potęgowych, m.in. przez wykorzystanie metod całkowania numerycznego.

Znana i powszechnie używana, szczególnie dla zadania odwrotnego, jest metoda śred-niej szerokości Gaussa, polegająca na wprowadzeniu do szeregów potęgowych Legendre’a punktu o szerokości Bm , odpowiadającej punktowi znajdującemu się w połowie długości linii geodezyjnej s pomiędzy punktami P1 i P2. Modyfikacja Gaussa daje krótsze szeregi o szybszej zbieżności. Można tę metodę stosować dla odległości do 200 km. Dalej przed-stawione są wzory metody średniej szerokości Gaussa z uwagi na jej powszechne stosowa-nie do rozwiązywania zadania odwrotnego w klasycznych naziemnych sieciach geodezyj-nych, a także w niektórych algorytmach redukcji różnicowych obserwacji wykonywanych w satelitarnym systemie GPS.

d

dA

d

d

Aβσ

λσ β

=′

=cos , sincos

,

ds a e d dL e d= − = −1 12 2 2 2cos , cos '.β σ β λ

B BdB

dss

d B

dss

L LdL

ds

2 11

2

21

2

2 1

12

− =

+

+

− =

... ,

+

+

− =

+

1

2

21

2

2 11

2

12

12

sd L

dss

A AdA

dss

d A

ds

... ,

221

2

+

s ... .


48

3) Metody wykorzystujące punkt pomocniczy. W przypadkach odległości kilku-dziesięciu kilometrów pomiędzy punktami początkowym i końcowym linii geodezyjnej s, trójkąt geodezyjny P1P2B jest bardzo ‘smukły’, gdyż dwa jego boki łączące punkty linii geodezyjnej z biegunem mogą osiągać znaczne długości. Niekorzystne byłoby z uwagi na dokładność rachunku stosowanie bezpośrednich metod rozwiązywania takiego trójkąta.

Rys. 2.13. Metoda punktu pomocniczego

Prowadząc przekrój normalny przez punkt P2, prostopadły do południka punktu P1, otrzymamy mały prostokątny trójkąt P P P1 2 2′ , który rozwiązuje się na sferze o promieniu Rs1

. Wyznaczenie boku u tego trójkąta pozwala na wyliczenie szerokości punktu P P P1 2 2′, którą można traktować jako przybliżenie poszukiwanej szerokości punktu P2. Poprawkę do ta-kiej przybliżonej szerokości można dostatecznie dokładnie wyznaczyć z trójkąta ′P BP2 2 . Dla wyznaczenia ∆L i ∆A21 buduje się pewien sferyczny trójkąt biegunowy.

Metoda punktu pomocniczego w wersji Clarke’a służy zazwyczaj do rozwiązywania zadania wprost dla odległości do 30 km; w wersji Schreibera, połączona z szeregami potę-gowymi, nadaje się do odległości 60 km, a nawet 120 km w zależności od rzędu wyrazów (różniczek) wykorzystanych w szeregach potęgowych (trzeci lub czwarty rząd).

4) M.S. Mołodeński zaproponował obliczanie współrzędnych za pomocą cięciw elip-soidy (Mołodeński, 1954). Niekonwencjonalne, trójwymiarowe podejście Mołodeńskiego wymagało nowych definicji podstawowych wielkości geodezyjnych. Odległością s12 dwóch punktów na elipsoidzie nazywa Mołodeński długość odcinka prostej-cięciwy elip-soidy przechodzącej przez te punkty. Azymutem geodezyjnym cięciwy (A12) autor metody nazywa kąt dwuścienny, jaki tworzy płaszczyzna południka geodezyjnego punktu P1 z płaszczyzną wertykalną tego punktu zawierającą cięciwę P1P2. Mołodeński posługuje się także odległością zenitalną cięciwy9. W konsekwencji tych definicji autor traktuje trójkąty płaskie utworzone z cięciw elipsoidalnych jako trójkąty geodezyjne nowego typu.

9 Przypomnimy ten fragment wykładu, wykorzystując koncepcję Mołodeńskiego do wyznaczenia odchyleń pionu na podstawie pomiarów satelitarnych GPS i niwelacji trygonometrycznej [6.7.3].


49

Rozwiązanie zadań wprost i odwrotnego w ujęciu Mołodeńskiego polega na rozwiąza-niu trójkątów sferycznych Z1Z2B i Z1BK, przy czym K jest śladem cięciwy P1P2 na sferze o promieniu jednostkowym zatoczonej w punkcie P1.

Rys. 2.14. Kula jednostkowa w punkcie P1 objaśnia metodę Mołodeńskiego

Wzory robocze, a także tablice do obliczania współrzędnych metodą Mołodeńskiego (1954) podał Jeremiejew (1957). Zasługą Jeremiejewa jest także metoda wyznaczenia wiel-kości geodezyjnych – azymutów i długości linii geodezyjnej – na podstawie odpowiednich wielkości uzyskanych metodą Mołodeńskiego poprzez wyliczenie współrzędnych tzw. punktu średniego. Publikacje Mołodeńskiego i Jeremiejewa w tym zakresie stanowią łącz-nie metodę rozwiązania zadań wprost i odwrotnego, a więc słuszne wydaje się nazywanie metody obu nazwiskami Mołodeńskiego-Jeremiejewa. Zmieniony, przystosowany do ob-liczeń komputerowych algorytm tej metody zawiera praca dyplomowa Hatowskiej-Życkiej (1988).

Rysunek 2.13 i zamieszczony wyżej ogólny opis metod punktu pomocniczego dają za-sadniczy pogląd na ideę tej grupy metod. Metoda Clarke’a dla niewielkich odległości (do 30 km) była powszechnie stosowana w polskiej sieci do rozwiązywania zadania wprost. Z tego powodu omówimy tę metodę nieco bardziej szczegółowo.

Dysponując współrzędnymi punktu P1, obliczamy średni promień krzywizny elipso-idy w tym punkcie R1 (wzór 2.19). Na kuli o takim promieniu rozwiązujemy mały pro-stokątny trójkąt sferyczny PP P1 2 2′ , który powstał przez poprowadzenie przekroju normal-nego w punkcie P2, prostopadłego do południka punktu P1. Aby skorzystać z twierdzenia Legendre’a należy najpierw wyznaczyć nadmiar sferyczny w tym trójkącie ε (wzór 2.32). Przyprostokątne u i v wyrażą się następująco:

2.3.2. Metoda clarke’a (zadanie wprost)


50

(2.38)

Dodając do B1 kątową wartość 12 u możemy wyznaczyć średni promień krzywizny Mm

łuku południka PP1 2′ . Odniesiona do tego promienia wartość kątowa u wyznacza szerokość ′ − =

′ ′′B B

v

M NB2 2

2

2 222

tan .punktu PP1 2′, różną od poszukiwanej w zadaniu wprost szerokości B2. Interesującą nas różnicę szerokości ′ − =

′ ′′B B

v

M NB2 2

2

2 222

tan .– B2 Clarke wyznacza z prostokątnego trójkąta ′P BP2 2 , w którym mamy wcześniej wyznaczoną przyprostokątną v. Pisząc wzór cosinusowy dla tego trój-kąta, otrzymamy, po pewnych tożsamościowych przekształceniach trygonometrycznych, następujący wzór:

(2.39a)

w którym v jest liniową wartością łuku ′P P2 2 . Sprowadzimy różnicę szerokości wyrażoną tym wzorem do postaci kątowej wartości łuku na sferze o promieniu równym średniemu promieniowi krzywizny w punkcie P2. Otrzymamy:

(2.39b)

Ostatecznie szerokość punktu P2 wyrazi się następująco:

(2.40)

Aby znaleźć odpowiednie związki dla wyznaczenia różnicy długości, Clarke ucieka się do pewnej konstrukcji pomocniczej, którą objaśniamy za pomocą rysunku 2.15. Na sferze o pro-mieniu R1 (średni promień krzywizny w punkcie P1) prowadzimy koło wielkie przez punkt P2 prostopadle do łuku ′P P2 2 . Koło to przetnie południk punktu P1 w punkcie T odległym o 90º od punktu P2, gdyż punkt T jest biegunem łuku ′P P2 2 . Następnie budujemy trójkąt biegunowy względem trójkąta sferycznego P2B2T, tzn. taki, który powstaje w wyniku zakreślenia łuków na sferze z wierzchołków trójkąta P2B2T promieniem 90º. Zatem sumy odpowiednich ką-tów danego trójkąta (P2B2T) i odpowiednich boków trójkąta biegunowego wynoszą po 180º. Komentarza wymaga kąt γ pomiędzy łukami P2B1 i P2T w punkcie P2. Wobec tego, że łuk P2T jest równoległy do południka punktu P1, γ jest zbieżnością południków. Jak wynika z definicji trójkąta biegunowego i z oznaczeń boków na rysunku 2.15, trójkąt ptb jest niewielkim trójką-tem sferycznym, a zatem można go rozwiązać za pomocą twierdzenia Legendre’a. Sumując kąty w tym trójkącie łatwo ustalimy, że jego nadmiar sferyczny wynosi

ε1 = ′ ′B P2 2 – B2 ,

co mieliśmy już wcześniej wyrażone wzorem (2.39). Poprawiwszy kąty w trójkącie ptb,

o każdy, otrzymamy na podstawie wzoru sinusowego:

(2.41)

u s A v s A= − = −12 12 12 1223

13

cos( ) , sin( ).ε ε

′ − = ′B Bv

B2 2

2

22tan ,

′ − =′ ′

′B Bv

M NB2 2

2

2 222

tan .

B Bu

M

v

M NB

m2 1

2

2 222

= + −′ ′

′tan .

L Lv

NB2 1

22 1

13

= +′

+sec( ).ε

L Lv

NB2 1

22 1

13

= +′

+sec( ).ε


51

Rys. 2.15. Biegunowy trójkąt Clarke’a

Różnica długości pomiędzy punktami P1 i P2 została wyrażona w tym wzorze przez wartość kątową łuku pierwszego wertykału ν zrzutowanego na płaszczyznę równika (stąd

′N2 we wzorze 2.41). Aby wyznaczyć azymut A21 (odwrotny), trzeba najpierw obliczyć wartość kąta zbież-

ności południków γ. Wzór wyrażający γ otrzymamy z trójkąta ptb za pomocą wzoru sinu-sowego w postaci:

(2.42a)

lub

(2.42b)

Wyznaczywszy kąt β w trójkącie PP P1 2 2′ jako β = 90º – A12 + ε, po zsumowaniu kątów w ho- ryzoncie punktu P2, otrzymamy:

(2.43)

2.3.3. Wzory clarke’a-robbinsa

A.R. Clarke zaproponował kilka podejść do problemu obliczania współrzędnych, azy-mutów i długości linii na powierzchni elipsoidy obrotowej. Jedno z nich przeszło do anglo-saskiej literatury geodezyjnej jako tzw. najlepszy wzór Clarke’a dla zadania wprost (zob. Bomford, 1971, s. 133). A.R. Robbins opublikował w roku 1962 wzory do rozwiązania zadania odwrotnego korespondujące z ,,najlepszym wzorem Clarke’a” oraz pewną, nie-

γ ε= − ′ −( ) sin ( ) ,L L B2 1 2 113

γ ε= − +( ) sin( ) ,L L B2 1 2 123

B2 '


52

wielką modyfikacją zadania wprost Clarke’a. W wielu krajach zachodnich i w niektórych krajach rozwijających się przyjęto takie wzory Clarke’a-Robbinsa jako wzory standardowe do obliczeń w sieciach geodezyjnych. Z tego powodu warto wzory te spopularyzować w polskiej literaturze. Bomford (1971, s. 136) podaje, że wzory Clarke’a-Robbinsa zapew-niają dokładność obliczeń 0.001×10–6 dla linii do 1600 km. Doświadczenia prowadzone w ramach prac dyplomowych w Politechnice Warszawskiej nie w pełni potwierdzają takie optymistyczne oszacowanie dokładności metody Clarke’a-Robbinsa.

Rysunek 2.12 będzie pomocny do prześledzenia sposobu wyprowadzenia wzorów Clarke’a-Robbinsa. Przedstawia on rzut trójkąta geodezyjnego P1P2B na kulę pomocniczą o promieniu N1. Azymut A12, kąt ∆L12 oraz bok 90º–B1 zostaną odwzorowane wiernie na kulę. Pozostałe elementy trójkąta będą zniekształcone. Wprowadźmy za Robbinsem nastę-pujące oznaczenia:

(2.44)

oraz

(2.45)

Kąt środkowy σ odpowiadający długości łuku s12 przekroju normalnego elipsoidy mo-żemy wyrazić przez:

(2.46)

(wyprowadzenie podaje się w obszernych wykładach geodezji w zakresie geometrii elipsoidy np. Szpunar, 1982, s. 133–147).

Oznaczymy jeszcze dodatkowo ψ2 = 90º- δ2, a następnie, stosując wzór cosinusowy dla sferycznego trójkąta PP B1 2′ ′ , otrzymamy:

(2.47)

Wzór sinusowy w tym samym trójkącie daje:

(2.48)

Wyrażenie określające tanB2, w zależności od ilorazu promieni N1/r2 (r2 = ′P n2 1 ), sze-rokości B1 i B2 oraz mimośrodów elipsoidy, bywa wyprowadzane również tylko w obszer-nych wykładach geometrii elipsoidy (patrz także Szpunar, 1982, s. 116–134). Przytaczamy potrzebne wzory za cytowanym źródłem, przekształcając je odpowiednio i dostosowując oznaczenia do przyjętych przez Robbinsa.

(2.49)

h e B A

g e B

= ′= ′

cos cos ,sin

1 12

1

θ = s

N12

1

.

σ θθ θ θ θ= + − − − − − − − +16

18

1 2120

4 17 3 1 72

2 23

24

2 2 2 2h h gh h h h g h( ) ( ) ( ) ( )55

48gh

.

sin sin cos cos cos sin .ψ σ σ2 1 1 12= +B B A

sin sin sin sec ,sin cos sin sec cos sin

∆∆

L A

A B A B

=′ = − = −

σ ψψ

12 2

21 1 12 2 1 LL csc .σ

N

re B1

2

22 1

21 12

= + ′ −(sin sin ) ,ψ


53

(2.50)

Skojarzenie wzorów (2.47) i (2.48) daje, po pewnych przekształceniach tożsamościo-wych, wyrażenie pozwalające wyliczać wartości azymutów odwrotnych:

(2.51)

W ten sposób mielibyśmy komplet wzorów Clarke’a, opracowanych przez Robbinsa do rozwiązywania zadania wprost. Wzorom tym Robbins nadał taką postać, że zadanie odwrotne można rozwiązywać odwróciwszy wzory (2.47) ÷ (2.51).

Zestawienie wzorów dla zadania odwrotnego rozpoczniemy od skompilowania wzo-rów (2.49) i (2.50) w taki sposób, aby następnie wyznaczyć z nich tan ψ2 w postaci:

(2.52)

Korzystając z wzoru sin⋅cot dla kątów w trójkącie sferycznym PP B1 2′ ′ otrzymamy nastę-pujące wyrażenia:

(2.53)

Wzory (2.47 i (2.48), po pewnych przekształceniach, dają dwa wyrażenia na sin σ.

(2.54)

Powołując raz jeszcze na podręcznik Szpunara (1982, s.143) oraz korzystając z cy-towanych oznaczeń Robbinsa (2.44), można sprawdzić, że wzór Robbinsa na s stanowi wyrażenie długości łuku przekroju normalnego elipsoidy w funkcji kąta środkowego σ, parametrów elipsoidy i usytuowania przekroju normalnego na elipsoidzie.

(2.55)

Należałoby jeszcze tylko przepisać wzór (2.51), wyrażający azymut odwrotny, aby mieć komplet wzorów Clarke’a-Robbinsa do rozwiązania obu podstawowych zadań na elipsoidzie obrotowej. Choć dawaliśmy temu wyraz kilkakrotnie objaśniając wzory, to jed-nak raz jeszcze podkreślmy, że w metodzie Clarke’a-Robbinsa posługujemy się przekro-jami normalnymi elipsoidy, a nie liniami geodezyjnymi, co przy większych odległościach pomiędzy punktami musi być wzięte pod uwagę przy obliczaniu azymutów i kątów, jak to pokazują wzory (2.31).

tan tan ( ) sinsin

.B e eN

r

B2 2

2 2 1

2

1

2

1 1= + ′ −

ψ

ψ

A A B A21 21 2 2 2112

= ′ − − ′( )sin tan .ψ σ

tan ( ) tan sincos

.ψ 22

22 1 1

2 2

1= − + ′e B eN B

N B

cot (cos tan sin cos ) csc ,cot (sin cos co

A B B L L

A L12 1 2 1

21 2

= −′ = −

ψψ

∆ ∆∆ ss tan )csc .ψ 2 1B L∆

sin sin cos csc sin cos csc .σ ψ= = − ′∆ ∆L A L B A2 12 1 21

s N h h gh h h h g h= − − + − + − − −1

22 2

32

42 2 2 21

61

81 2

1204 7 3 1 7σ

σ σ σ( ) ( ) ( ) ( ) −

σ 5

48gh .


54

C.F. Gauss zaproponował w roku 1846 metodę obliczania współrzędnych, polegającą na wykorzystaniu szeregów potęgowych Legendre’a, ale nie w postaci (2.37), gdzie po-chodne względem parametru naturalnego s odnosi się do punktu początkowego P1, lecz do pewnego pomocniczego punktu Pm usytuowanego w połowie długości linii geodezyjnej.

Spłaszczenie elipsoidy sprawia, że współrzędne punktu Pm i azymut linii w tym punk-cie są w ogólności różne od wartości średnich.

Rozwinięcie różnic B2 – Bm i B1 – Bm w szereg potęgowy według propozycji Gaussa otrzyma postać:

(2.56a)

(2.56b)

Ustaliwszy, że wzrost wartości parametru s następuje w kierunku od P1 do P2, przyrost s w kierunku PmP1 trzeba uznać jako ujemny. Znaki “–” przy wyrazach zawierających nieparzyste potęgi s są tego konsekwencją. Wyrażenia analogiczne do (2.56) moglibyśmy napisać dla L2 – Lm i L1 – Lm oraz dla A2 – Am i A1 – Am .

2.3.4. Metoda ‘średniej szerokości’ Gaussa

B B BB B

L L LL L

A Am m m≠ = + ≠ = + ≠, , , , , 1 2 1 2

2 2 A A A= +1 2

2.

B BdB

ds

s d B

ds

s d B

ds

sm

m m m

2

2

2

2 3

3

3

2 8 48− =

+

+

+ ...

B BdB

ds

s d B

ds

s d B

ds

sm

m m m

1

2

2

2 3

3

3

2 8 48− = −

+

−

+ ....

Rys. 2.16. Pomocniczy punkt Gaussa w połowie długości s


55

Tworząc różnice równań (2.56a) i (2.56b) oraz analogicznych równań dla długości i azymutów otrzymamy:

(2.57)

tworząc zaś sumy tych równań i dzieląc je przez 2 otrzymamy:

(2.58)

Wystarczy rzut oka na wzory (2.57) i porównanie ich z wzorami (2.37), aby zauważyć, że wzory Gaussa zawierają tylko pochodne nieparzystego rzędu; są więc niemal o połowę krót-sze. Ponadto współczynniki przy odpowiednich pochodnych w tych wzorach są mniejsze.

Zasadniczy problem polega na wyznaczeniu wartości pochodnych w punkcie Pm, któ-rego współrzędnych nie znamy. Z wzorów (2.58) wynika, że różnice B–Bm, L–Lm i A–Am są wielkościami małymi drugiego rzędu względem B2–B1, L2–L1, i A2–A1. Toteż Gauss pro-ponuje zastąpienie pochodnych w punkcie Pm rozwinięciem w szereg Taylora w otoczeniu punktu P, zachowując tylko wyrazy pierwszego rzędu w tym rozwinięciu. Czyli, że

(2.59)

Jeśli zróżniczkujemy wzory (2.29a,b) względem B i A, a wyniki różniczkowań pod-stawimy do (2.59), pozostaną nam jeszcze Lm i Am w różnicach (Lm – L), (Am – A). Zanim te zastąpimy wyrażeniami (2.58), w których drugie pochodne powinny być wyznaczone również w punkcie Pm, zauważmy, że aczkolwiek wyrażenia te są wielkościami ma-łymi drugiego rzędu, to zaniedbaliśmy w nich wyrazy czwartego rzędu (wyrazy trze-ciego rzędu wchodzą do wyrażeń (2.57)). Wobec tego pochodne w (2.58) wyznaczymy w punkcie P, tzn.:

B BdB

dss

d B

ds

s

L LdL

ds

m m

2 1

3

3

3

2 1

24− =

+

+

− =

... ,

mm m

m

sd L

ds

s

A AdA

dss

d A

ds

+

+

− =

+

3

3

3

2 1

3

3

24... ,

mm

s3

24+ ... .

B Bd B

ds

sL L

d L

ds

sA Am m m− =

+ − =

+ −

2

2

2 2

2

2

8 8..., ..., ==

+d A

ds

s2

2

2

8... .

B BdB

dss

d B

ds

s

L LdL

ds

m m

2 1

3

3

3

2 1

24− =

+

+

− =

... ,

mm m

m

sd L

ds

s

A AdA

dss

d A

ds

+

+

− =

+

3

3

3

2 1

3

3

24... ,

mm

s3

24+ ... .

B BdB

dss

d B

ds

s

L LdL

ds

m m

2 1

3

3

3

2 1

24− =

+

+

− =

... ,

mm m

m

sd L

ds

s

A AdA

dss

d A

ds

+

+

− =

+

3

3

3

2 1

3

3

24... ,

mm

s3

24+ ... .

dB

ds

dB

ds B

dB

dsB B

dA

dB

dsA A

mm m

= +

− +

− +∂∂

∂( ) ( ) . .. . ,

dL

ds

dL

ds B

dL

dsB B

dA

dL

dsA A

mm m

= +

− +

− +∂∂

∂( ) ( ) . .. . ,

dA

ds

dA

ds B

dA

dsB B

dA

dA

dsA A

mm m

= +

− +

− +∂∂

∂( ) ( ) . .. . .


56

i analogicznie dla L i A. Tak samo mamy prawo podejść do pochodnych wyższych rzędów (trzeciego i piątego) w punkcie Pm w wyrażeniach (2.57), zastępując je odpowiednimi pochodnymi w punkcie P, czyli innymi słowy, obliczyć wartości tych pochodnych dla sze-rokości, długości i azymutu będących średnimi arytmetycznymi odpowiednich wartości w punktach P1 i P2.

Tak więc, po wykonaniu opisanych różniczkowań, po podstawieniu wyników do wzorów (2.59), a następnie podstawieniu tych wzorów do (2.57), po zastąpieniu w (2.57) pochodnych wyższych rzędów w punkcie Pm pochodnymi w punkcie P, otrzymamy wyrażenia Gaussa dla

różnic (B2 – B1), (L2 – L1) i (A2 – A1). W ostatecznych wzorach zachowano generalnie wyrazy małe

czwartego rzędu, a także wyrazy zawierające s

Ne

32 , a nawet s

Ne

34 . Odrzucono zaś wy-

razy, w których pojawiły się s

N

5

itd. Wzory można stosować dla s dochodzących do 200 km,

uzyskując dokładności obliczeń 0.0001” w szerokości i długości oraz 0.001” w azymucie.W otrzymanych w ten sposób (na podstawie ogólnego zapisu (2.57)) wzorach zastoso-

wano następujące oznaczenia:

a także V wprowadzone już wcześniej wzorem (2.17b). Ostateczne wzory mają następu-jącą postać:

(2.60a)

(2.60b)

(2.60c)

Przy rozwiązywaniu zadania wprost trzeba stosować postępowanie iteracyjne, gdyż po

prawych stronach wzorów występują nieznane b i l. Wystarczy wyjściową wartość tych wielkości pomierzyć na mapie topograficznej (± 5”), aby po dwóch krokach iteracyjnych uzyskać wyniki z zadowalającą dokładnością.

18

18

2

2

2

2

d B

ds

d B

dsm

≈

b B B l L L

e B t B

= − = −

= ′ =2 1 2 1

2 2 2

, ,

cos , tan ,η

L Ls

N BA

l Bb

Vt

2 1

2 22

42 2 2

1

124

124

1 9

− = +

= − + −

cossin ( ) ,

sin ( ) ,

∆Λ

∆Λ η η

L Ls

N BA

l Bb

Vt

2 1

2 22

42 2 2

1

124

124

1 9

− = +

= − + −

cossin ( ) ,

sin ( ) ,

∆Λ

∆Λ η η

A A L L B

V l Bb

V

2 1 2 1

2 2 22

42 4

1

112

124

3 8 5

− = − +

= + + +

( )sin ( ) ,

cos ( )

∆

∆

α

α η η ..

A A L L B

V l Bb

V

2 1 2 1

2 2 22

42 4

1

112

124

3 8 5

− = − +

= + + +

( )sin ( ) ,

cos ( )

∆

∆

α

α η η ..

B Bs

NV A

l B tb

V

2 12

2 2 2 22

42

1

124

2 3 2 18

− = +

= + + −

cos ( ) ,

cos ( )

∆

∆

η η (( ) ,1 42 2 2 2− + +t tη η

B Bs

NV A

l B tb

V

2 12

2 2 2 22

42

1

124

2 3 2 18

− = +

= + + −

cos ( ) ,

cos ( )

∆

∆

η η (( ) ,1 42 2 2 2− + +t tη η

Φ

Φ


57

Zadanie odwrotne można rozwiązać wzorami Gaussa po ‘odwróceniu’ tych wzorów. Zauważmy, że można tego dokonać w bardzo prosty sposób10:

(2.61)

(2.62)

Ze wzoru (2.62) obliczymy wartość A A A= +12 1 2( ) , zaś ze wzoru (2.60c) obliczymy war-

tość różnicy azymutów ∆A = A2 – A1. Interesujące nas azymuty ‘wprost’ i ‘odwrotny’ będą się wyrażały następująco:

(2.63)

Wynika stąd, że wzór (2.60c) trzeba dołączyć do trzech ostatnich, aby mieć komplet wzo-rów metody Gaussa dla zadania odwrotnego. Ta metoda najczęściej była stosowana właś-nie do rozwiązania odwrotnego zadania geodezji wyższej.

Pośród kilku znanych metod obliczania współrzędnych punktu na elipsoidzie oraz azy-mutu odwrotnego linii geodezyjnej przez całkowanie numeryczne, metoda Kivioja (1971) jest najprostszą, a zarazem dostatecznie skuteczną, aby można ją było stosować dla od-ległości nieprzekraczających 200 km, gdy dysponujemy komputerem osobistym średniej klasy. Metoda polega na wykorzystaniu równań różniczkowych pierwszego rzędu dla linii geodezyjnej (2.29a) oraz równania Clairauta linii geodezyjnej (2.30a). Sukcesywna reali-zacja tych związków dla niewielkich, np. jednokilometrowych, odcinków linii geodezyjnej pozwala rozwiązać zadanie wprost. Jedynym ograniczeniem metody jest ‘zjawisko nara-stania błędów numerycznych’. Standardowa dokładność obliczeń za pomocą komputerów osobistych typu IBM-PC umożliwia rozwiązanie zadania wprost, gdy długość linii geode-zyjnej nie przekracza 150 km (Cross i in., 1981).

Algorytm Kivioja rozpoczyna się od ustalenia długości elementu linii geodezyjnej ds, który dobiera się poprzez podzielenie długości linii s przez liczbę elementów n.

Autor zaleca, aby ds < (1÷1.5) km. Można zatem postąpić inaczej: przyjąć skończoną wartość, np. dsi = 1000.0 m, końcówkę zaś, równą niepełnej wielokrotności kilometrów w s traktować jako ostatni element dsn.

10 W literaturze anglosaskiej, a także w wielu komputerowych edytorach równań stosuje się oznaczenie tan–1, które nie jest odwrotnością funkcji tan, lecz funkcją arctan (arctg).

A A A A A A1 212

12

= − = +∆ ∆, .

2.3.5. Rozwiązanie zadania ‘wprost’ metodą całkowania numerycznego. Algorytm Kivioja

dss

n= .

sB B N

V A

L L N B

A= −

+= −

+( )( ) cos

( ) cos( )sin

,2 12

2 1

1 1∆ ∆Λ Φ

AL L

B BV B= −

−++

arctan cos .2 1

2 1

211

∆∆Λ

Φ


58

Rys. 2.17. Całkowanie wzdłuż linii geodezyjnej według metody Kivioja

Poniżej zestawiamy znane nam już wzory w takiej kolejności i postaci, jaka występuje w iteracyjnym algorytmie Kivioja. Najpierw należy wyznaczyć główne promienie krzywi-zny w punkcie wyjściowym (i = P1):

Następnie wyznaczamy pierwsze przybliżenie przyrostu szerokości δBi

( )1 (i = 1 – numer pierwszego elementu ds; górny indeks oznacza numer przybliżenia)

(2.64)

Biorąc średnią wartość szerokości elementu dsi tzn.

należy wyznaczyć średnie wartości M Nim

im, .

(2.65)

Można teraz uzyskać lepsze niż z (2.64) przybliżenie wartości δBi oraz wartość δLi, wykorzystując niejednoznaczność M Ni

mim, oraz A

i

m

(2.66)

Ma e

e BN

a

e Bi

i

i

i

= −−

=−

( )( sin )

,sin

11 1

2

2 2 3 2 2

δBds A

Mii

i

( ) cos .1 12=

B B Bi

mi i= + 1

21δ ( ) ,

A Ads

NA tg Bi i

mi i

i

im i i i

m, , ,sin+ + += +1 1 1

δ δ

δ

Bds A

MB B B

Lds A

N

i

i i

i

i

i

i i

i

m im

m i im

m im

m

= = +

=

+

+

+

cos, ,

sin

co

,

,

1

1

1

ss, .

BL L L

i

im i im

+ = +1 δ

δ δ

δ

Bds A

MB B B

Lds A

N

i

i i

i

i

i

i i

i

m im

m i im

m im

m

= = +

=

+

+

+

cos, ,

sin

co

,

,

1

1

1

ss, .

BL L L

i

im i im

+ = +1 δ

,

Redukcja elementów sieci geodezyjnej na płaszczyznę

59

Podstawiając teraz i = 2,3...n, powtarzamy opisaną wyżej procedurę obliczeń, aż osiąg-niemy punkt końcowy linii geodezyjnej P2. W każdym punkcie pośrednim obliczamy naj-pierw azymut na podstawie wzoru (2.65), zapisanego w postaci

(2.65a)

a następnie promienie krzywizny Mi, Ni. Współrzędne geodezyjne punktu końcowego P2 otrzymamy przez zsumowanie

W celu obliczenia azymutu odwrotnego A21 realizujemy jeszcze raz wzór (2.65a) dla i = n+1, otrzymując A2. Ostatecznie

A21 = A2 ± 180º .

Należy zaznaczyć, że dokładność obliczenia współrzędnych i azymutu tą metodą wzro-śnie, gdy przyjmiemy mniejszą długość elementu ds. Jednak z uwagi na błędy numeryczne nie należy doprowadzać do bardzo wielkiej liczby n elementów ds. Autor metody twierdzi, że dla odległości nieprzekraczających 150 km n = 100 zapewni pożądaną w praktyce geo-dezyjnej dokładność obliczenia B2, L2 i A21.

Odwzorowanie, które obecnie nazywamy odwzorowaniem Gaussa-Krügera, jest wiernokątnym, poprzecznym, walcowym odwzorowaniem elipsoidy na płaszczyznę. Odwzorowanie zostało opracowane przez K. Gaussa w roku 1825. Opublikowanie wzorów odwzorowania zawdzięczamy O. Schreiberowi (rok 1866). W roku 1912 L. Krüger podał rozwinięcie i modyfikację wzorów Gaussa.

Pewną wersją odwzorowania Gaussa-Krügera, opartą na tych samych podstawach teoretycznych, lecz różniącą się skalą na tzw. południku osiowym, jest odwzorowanie nazwane uniwersalnym poprzecznym odwzorowaniem Merkatora (UTM – Universal Transverse Mercator projection), na cześć jednego z głównych twórców idei konforemno-ści odwzorowań – Merkatora, który w roku 1569 sporządził na tej zasadzie morską mapę świata. Czytelnika zainteresowanego teorią odwzorowania Gaussa-Krügera odsyłamy do podręczników kartografii matematycznej (Biernacki, 1949 i Różycki, 1973). W naszym wykładzie ograniczymy się do wywodu, który pozwoli zrozumieć wzory, jakimi posługuje się geodeta w swojej codziennej pracy.

Element łuku zapisany za pomocą tzw. pierwszej formy Gaussa wyraża się jako:

sincos

,Ac

N Bii i

=

B B B L L Li i

m

i

nm

i

n

2 11

2 11

= + = += =∑ ∑δ δ, .

2.4. REDUKCJA ELEMENTÓW PODSTAWOWEJ POZIOMEJ SIECI GEODEZYJNEJ Z ELIPSODY ODNIESIENIA NA PŁASZCZYZNĘ

2.4.1. Podstawowe wzory odwzorowania Gaussa-Krügera; odwzorowanie UTM


60

ds2 = E dB2 + 2F dB dL + G dL2 .

Wielkości E, F i G obliczone dla elipsoidy obrotowej i podstawione do formy Gaussa dadzą wyrażenie:

ds2 = (M dB)2 + (N cosB dL)2 .

Łuki odpowiadające równym przyrostom argumentów B i L nie są sobie równe. Wprowadzimy szerokość izometryczną q taką, żeby

,

tzn., że

Szerokość izometryczna q sprawia, że otrzymujemy równe wartości łuków południka i równoleżnika dla równych przyrostów q i L.

Odpowiadająca ds długość elementu łuku na płaszczyźnie wyraża się jako:

Skalę odwzorowania m można zapisać w postaci wyrażenia

lub też, wprowadzając jednostkę urojoną i = −1 i oznaczając l = L – Lo (różnicę pomiędzy długościami południka L i tzw. południka osiowego Lo), w postaci:

Warunek wiernokątności odwzorowania oznacza niezależność skali odwzorowania od azymutu elementów liniowych dS i ds. Warunek ten określają stosunki różniczek:

dy

dx na płaszczyźnie i dB

dl lub dq

dl na elipsoidzie.

Wyrażenie opisujące skalę będzie niezależne od powyższych stosunków, jeżeli

x + iy = f (q + il) oraz x – iy = f (q – il),

przy czym f (...) oznaczają pewne funkcje analityczne odpowiednich wyrażeń w nawia-sach. Oznaczając przez f´ pochodne funkcji f (...), możemy następująco wyrazić skalę od-wzorowania:

Gauss określił postać funkcji f tak, aby spełniała ona dodatkowo następujące warunki:

ds N B dq dL= +cos ( )2 2

dqMdB

N B

dB

V B= =

cos cos.2

dS dx dy= +2 2 .

mdS

ds= ,

mN B

f q il f q il22 2

1= + −cos

'( ) '( ).

mdx idy dx idy

N B dq idl dq idl2

2 2= + −+ −

( ) ( )cos ( ) ( )

.mdx idy dx idy

N B dq idl dq idl2

2 2= + −+ −

( ) ( )cos ( ) ( )

.


61

1) y = 0 dla l = 0,2) x = f(q) = X dla y = 0.

drugi warunek oznacza, że odcięte x mają być równe łukom południka, oznaczanym przez X, zawartym między równikiem i punktem o szerokości B.

Rozwijając f (q + il) = x + iy w szereg Taylora względem niewielkich il otrzymamy:

Gaussowskie warunki początkowe 1) i 2) prowadzą do zastąpienia w powyższym wzo-rze f (q) przez X oraz pozwalają na wyznaczanie odpowiednich pochodnych na podstawie

wyrażeń o postaci dX

dq. Biorąc wyrażenie określające różniczkę szerokości izometrycznej

dq oraz wyrażenie określające różniczkę łuku południka dX = M dB, a także wprowadzając oznaczenia:

można wyznaczyć kolejne pochodne dX

dq

d X

dq, , ,

2

2 , a następnie, rozdzielając we wzorze

określającym x + iy część rzeczywistą i część urojoną, można otrzymać, uwzględniwszy wartości kolejnych potęg i, następujące wzory:

(2.67a)

(2.67b)

(ρ oznacza sin–1 1”)Powyższe wzory można wykorzystywać do obliczania współrzędnych, zastąpiwszy w nich X wyrażeniem długości łuku południka. W tym celu należy rozpatrzyć całkę:

Jest to całka eliptyczna, niemająca rozwiązania w dziedzinie funkcji elementarnych. Obliczamy jej wartość, rozwijając wyrażenie podcałkowe według wzoru Newtona na dwu-mian i całkując następnie ten szereg wyraz po wyrazie. Po rozwinięciu otrzymamy całkę:

x iy f q ildf

dqil

d f

dqil

d f

dq+ = + + + +( ) ( ) ( ) .1

216

22

23

3

3

t B e B V= = + =tan , ' cos , ,η η2 2 2 2 21

x Xl

N B Bl B

tl B= + + − + + +

2

2

2 2

22 2 4

4 4

421

125 9 4

360ρ ρη η

ρsin cos cos ( ) cos (( ) ,61 58 2 4− +

t t

yl

N Bl B

tl B

t t= + − + + − + +ρ ρ

ηρ

ηcos cos ( ) cos (16

1120

5 18 142 2

22 2

4 4

42 4 2 −−

58 2 2η t ) .

X MdB a edB

e B

BB

= = −−∫∫ ( )

( sin ).1

12

2 2 300

X a e A A B A B A B dBo

B

= − − + − +∫( ) ( cos cos cos ) ,1 2 4 622

04 6


62

a po scałkowaniu

(2.68)

przy czym

Za pomocą tych wzorów można osiągnąć dokładność obliczeń x, y lepszą niż 1 mm dla l≤3º.

Zamiana współrzędnych prostokątnych x, y na geodezyjne B, L wyraża się wzorami, które można otrzymać rozwiązując najpierw iteracyjnie równania (2.67) względem B i l (zob. Zakatow, 1959, str. 152). Objaśnimy pokrótce ten proces. Najpierw wyznacza się pierwsze przybliżenie l, biorąc tylko pierwszy wyraz wzoru (2.67b), tzn.

.

Po podniesieniu do trzeciej potęgi podstawia się otrzymaną wartość do (2.67b). Z dwóch pierwszych wyrazów tak przekształconego wzoru wyznacza się l w drugim przy-bliżeniu. Kontynuacja takiego postępowania pozwala na wprowadzenie do wzoru na l ko-lejne wyrazy. Otrzymamy:

Po prawej stronie wzoru występują funkcje nieznanego argumentu B, tzn. N, t, η i cosB. Aby wyliczyć l, trzeba najpierw wyznaczyć B. Wyprowadzenie wzoru na B jest nieco bar-dziej złożone. Najpierw należy obliczyć kolejne parzyste potęgi ostatniego wzoru na l. Otrzymane wyrażenia wprowadza się do wzoru (2.67a). Po przeniesieniu X na lewą stronę otrzymamy wyrażenie na (x–X) w funkcji y, N, t i η, z którego wyeliminowaliśmy l:

Następnie biorąc X ≡ x, wyznacza się poprzez postępowanie iteracyjne ze wzoru (2.68) pewną wartość szerokości B1 odpowiadającą kątowej mierze łuku południka o długości x. Różnica długości łuków południka (x–X) może być wyrażona z dostatecznym przybliże-niem przez równanie drugiego stopnia względem (B1 – B) (Krasowski, 1956):

Porównanie prawych stron dwóch ostatnich wyrażeń uwolni nas od wartości (x–X). Rozwiązanie otrzymanego równania względem (B1 – B) metodą kolejnych przybliżeń daje wyrażenie na różnicę (B1 – B). Na koniec, rozwinięcie t, η i (MN)–1 w szeregi względem małej wartości (B1 – B) prowadzi do wzoru, w którym – oprócz y – wszystkie inne wielko-ści są zależne od B1. Wzór ten przedstawia się następująco:

X a A B A B A B A Bo= − + − +( sin sin sin ) ,2 4 62 4 6

Ae e e

A ee

A ee

0

2 4 6

44

6

22

4

14

364

5256

15256

34

38 4

15= − − − = +

= + +, , ee

Ae6

6

6

128353072

=, .

ly

N B=

cosρ

ly

N B

y

N Bt

y

N Bt t= − − + + − + + +

cos cos( )

cos(ρ ρ η ρ η

3

32 2

5

52 4 2

61

1205 2 9 6 388 2 2η t ).

x XM B B t e B e B

a e

B B M− ≈ − + −−

−( ) cos sin( )

( ) .12 2 2 2

21

2 2

2

32

11ρ ρ

x Xyt

N

y t

Nt

y t

Nt t− = + + + + + + +

2 241 3 5 4

7201 30 45

4

32 2 4

6

52 4( ) ( ).η η


63

(2.69a)Jak widać, jest to wzór iteracyjny ze względu na M1, N1, η1 i t1, które są funkcjami

argumentu B1 wyznaczanego iteracyjnie z równania (2.68). Gdy mamy wyliczoną wartość B1, różnicę długości l możemy wyznaczać na podstawie następującego wzoru:

(2.69b)

*

Dla odwzorowania UTM podaje się zazwyczaj nieco inną postać wzorów (Bomford, 1971 oraz Cross i in., 1981). Cytujemy te wzory dalej, przystosowując częściowo oznaczenia różnych wielkości do systemu oznaczeń przyjętych w naszym wykładzie. Pozostawiamy jednak charakterystyczne dla anglosaskiej literatury geodezyjnej oznaczenia E (Easting) ≡ y, N (Northing) ≡ x, a także ϕ ≡ B. Przez mo oznacza się skalę na południku osiowym. Przyjmuje się w odwzorowaniu UTM mo= 0.9996. Wobec tego, że N zostało wy-korzystane do oznaczenia współrzędnej x, przyjmiemy dla promienia krzywizny w pierw-szym wertykale oznaczenie ν ≡ N. Parametr ψ oznacza stosunek promieni krzywizny prze-

krojów w pierwszym wertykale i w południku ψ ν= ≡M

N

M..Wzory poniższe przytaczamy

także dlatego, że chyba nie sposób ich znaleźć gdzie indziej w polskiej literaturze.

(2.70a)

(2.70b)

Przeliczenie odwrotne E m N E lo= { }⇒{ }, ,ϕ opisują następujące wzory, w których ρ ozna-cza promień krzywizny południka (ρ ≡ M):

B By

M Nt

y

Nt t

y

N1

2

1 11

2

12 1

212

12

12

4

142

112

5 3 9360

61 90− = − + + − + +( ) (η η tt t12

1445+

) ,

ly

N B

y

Nt

y

Nt t= − + + + + + + +

1

2

12 1

212

4

14 1

214

121

61 2

1205 28 24 6

cos( ) (η η 88 1

212η t ) .

N m

Xl l

t

lo=

+ + + − +

+

ν ϕ ϕ ν ϕ ϕ ψ ψ

ν ϕ

2 43 2 2

62 24

4

720

sin cos sin cos ( )

sin cos55 4 2 3 2 2 2 2 4

8

8 11 24 28 1 6 1 32 2

40320

ϕ ψ ψ ψ ψ

ν

( ) ( ) ( )− − − + − − +( ) +

+

t t t t t

l ssin cos ( )

,

ϕ ϕ7 2 4 61385 3111 543+ + −

t t t

E ml

lt

lt t

o=+ − + − + +ν ϕ ν ϕ ψ ν ϕ ψ ψcos cos ( ) cos ( ) ( )

33 2

55 3 2 2 2

6 1204 1 6 1 8 −− +( ) +

+ − + −

2

504061 479 179

2 4

77 2 4 6

ψ

ν ϕ

t t

lt t tcos ( )

..


64

(2.71a)

(2.71b)

W tych wzorach ϕ´ oznacza szerokość, dla której XN

mo

= . Szerokość taką trzeba obli-

czać za pomocą iteracji, wykorzystując wzór (2.68). Pozostałe wielkości oznaczone indek-sem (´) oblicza się dla argumentu ϕ´.

Nadmieńmy, że wzory odwzorowania UTM (2.70ab) i (2.71ab) można z powodzeniem stosować do odwzorowania Gaussa-Krügera, podstawiając mo=1.

*

Zbieżność południków. Kąt, jaki tworzy równoległa do południka osiowego przesu-nięta przez punkt P z obrazem południka tego punktu nazywa się zbieżnością południków na płaszczyźnie i oznacza przez γ. Na podstawie rysunku (2.18) można napisać:

Różniczkując (2.67) względem l i podstawiając do powyższego wyrażenia otrzy-mamy:

(2.72a)

Zbieżność południków można wyrazić również przez współrzędne płaskie x, y.

(2.72b)

l

E

m

E

mt

E

m

t

o o o=− + +

− − +

sec '' '

( ' ' )'

( ' )'

ϕν ν

ψν

ψ ψ3

3 32

5

5 5

3 2

62

1204 1 6 '' ( ' )

' ' '

'( '

2 2

2 4

7

7 72

9 6872 24

504061 662

− ++ +

+

− + +

t

t t

E

mt

o

ψ

ν11320 7204 6t t' ' )

.

+

tan .γ =

dxdldydl

γ η η= + + + + −l Bl

B Bl

B B tsin sin cos ( ) sin cos ( ).3

2 2 45

4 2

31 3 2

152

γ η η= − + − − + + +

y

Nt

y

Nt

y t t

N11

2

12 1

212

14

412

14

141

31 2 2 5 3

15( ) ( ) ..


65

Skala odwzorowania. Zauważmy, że

dq

dl= 0, ponieważ

Wobec tego wzór wyrażający skalę odwzorowania w postaci stosunku elementów linio-wych obrazu i oryginału można łatwo przekształcić do następującej postaci:

W powyższym wzorze pojawia się sec γ, ponieważ w wyrażeniu na skalę odwzorowania zastąpiliśmy tą funkcją następujące wyrażenie:

Wystarczy teraz rozwinąć ten secγ w szereg, podstawić wartości γ z (2.72), a wzory na skalę odwzorowania można wyrazić w postaci:

(2.73a)

poprzez współrzędne geodezyjne B, l, albo poprzez współrzędne prostokątne

(2.73b)

Prostszą postać ostatniego wzoru można uzyskać podstawiając:

Rys. 2.18. Zbieżność południków

m dydl N B

= 1cos

sec .γ

1 1 12

2 22+

= + = =dx

dytan sec

cos.γ γ

γ

ml

Bl B

t= + + + −12

124

5 42

2 24 4

2cos ( ) cos ( )η

my

N

y

N= + + +1

21

24

2

12 1

24

14( ) .η

dB

dl= 0.


66

i wtedy (2.73c)

Odpowiednie wzory dla odwzorowania UTM otrzymamy mnożąc prawe strony wzorów (2.73) przez mo, np.

(2.74)

Zmienność skali w zależności od współrzędnej y w odwzorowaniu UTM ilustruje rysu-nek 2.19. Trzeba jednak zaznaczyć, że bezwzględne wartości zmiany skali są w odwzoro-waniu UTM mniejsze niż w odwzorowaniu Gaussa-Krügera dla takich samych rozpiętości l = ∆L. Z tego też względu w odwzorowaniu UTM szerokości tzw. stref odwzorowania bywają zazwyczaj dwa razy większe (l = 6º) niż w odwzorowaniu Gaussa-Krügera (l = 3º) przy zbliżonych wartościach zniekształceń liniowych κ (κ = 1 – m)11.

2.4.2. Redukcje długości i kierunków

Redukcja długości. Przepisując inaczej wzór definiujący skalę odwzorowania

i podstawiając (2.73c) do tego wzoru, otrzymamy:

11 Trzeba zaznaczyć, że dla różnych celów (różnych skal map) w obu odwzorowaniach stosuje się zarówno strefy 3º, jak i 6º.

1 112

12

12

12

12

+ = =ηN

V

N Rm

y

R

y

R= + +1

2 24

2

12

4

14 .

Rys. 2.19. Zmienność skali w odwzorowaniu UTM

m mE E

o= + + +

12

124

2

12 1

24

14ν

ην

( ) .

dsm

dS= 1


67

∫Wykonamy całkowanie po prawej stronie wyrażenia, przyjmując R=Rm – średni promień krzywizny środkowego punktu linii. Otrzymamy w przybliżeniu:

(2.75)

W powyższym wzorze ograniczyliśmy się do wyrazów zawierających drugie potęgi rzędnych y. Taka dokładność wzoru wystarcza dla większości przypadków spotykanych w praktyce. Trzeba zauważyć, że długości S na płaszczyźnie są w odwzorowaniu Gaussa-Krügera zawsze większe lub co najwyżej równe oryginalnym długościom na elipsoidzie S ≥ s. Tylko na południku osiowym, gdy y = 0, S = s. W miarę oddalania od południka osiowego wartości redukcji rosną. Zniekształcenia długości w odwzorowaniu UTM mają bardziej złożony charakter. Rysunek 2.19 będzie pomocny do poglądowej analizy tego zagadnienia.

Redukcje kierunków. Wiernokątność odwzorowania odnosi się do kątów między li-niami krzywymi. Na płaszczyźnie jednakże chcielibyśmy mierzyć kąty między cięciwami tych krzywych, zaś odpowiedniki azymutów pomiędzy kierunkami równoległymi do połu-dnika osiowego i cięciwami odpowiednich krzywych. Na rysunku 2.20 widzimy kąty, jakie tworzy cięciwa z łukiem krzywej boku trójkąta na płaszczyźnie, oznaczone przez δ. Kąty te nazywamy redukcjami kierunków. Pojęcie zbieżności południków jest również inne na elipsoidzie, inne na płaszczyźnie (odpowiednio t i γ). Różnica między wartościami zbież-ności jest wielkością małą czwartego rzędu i wyraża się następująco:

elipsoida: płaszczyzna:

Rys. 2.20. Trójkąt na elipsoidzie i jego obraz na płaszczyźnie

sy

R

y

RdS

s

= + +

−

12 24

2

2

4

4

1

0

.sy

R

y

RdS

s

= + +

−

12 24

2

2

4

4

1

0

.s =0

S sy y y y

Rm

= + + +

1

612

1 2 22

2 .

γ η− = +t l B B23

2 2 2sin cos .


68

Wielkości α12 w punkcie ′P1 odpowiednią α21 w punkcie ′P2 nazywa się kątami kierun-kowymi i wyraża następująco poprzez azymuty, zbieżności południków na płaszczyźnie i redukcje kierunków:

α12 = A12 – γ1 – δ12 , α21 = A21 – γ2 + δ21 , (2.76)

Wzory na redukcje kierunków można wyprowadzić analizując figurę utworzoną przez punkty P1, P2 połączone linią geodezyjną na elipsoidzie i zrzutowane za pomocą równo-leżników na południk osiowy oraz odpowiednią figurę na płaszczyźnie. Wiernokątność odwzorowania zapewnia równość odpowiednich kątów naszych figur na powierzchni elip-soidy i na płaszczyźnie. Suma kątów wewnętrznych figury na elipsoidzie wynosi 360º + ε (ε to nadmiar sferyczny w trapezie sferycznym). Suma kątów figury płaskiej wynosi

360º + δ12 + δ21 i stąd ε = δ12 + δ21 .

Przyjmując upraszczające założenie, że łuk krzywej ′ ′PP1 2 jest łukiem kołowym, tzn. że δ12 = δ21, otrzymamy:

elipsoida: płaszczyzna:

Rys. 2.21. Trapez elipsoidalny i jego obraz na płaszczyźnie

Powierzchnię figury potrzebną do obliczenia przybliżonej wartości nadmiaru sferycz-nego ε można łatwo wyznaczyć, biorąc płaski trapez ′ ′ ′ ′PP O O1 2 2 1

Powierzchnia trapezu = ( ) , .x x y yy y

m m2 11 2

2− = +

Przybliżony wzór na redukcję kierunku przyjmie zatem następującą postać:

(2.77)

Wielkość redukcji i potrzeba dokładniejszego jej wyznaczania zależą od długości boków, odległości od południka osiowego, azymutu boku, a także od przyjętej szerokości pasów

δε

12 2≈ .

δε

122 1

22 2≈ = −( ) .x x y

Rm

m


69

odwzorowawczych. Niżej przedstawiamy wzory, zapewniające dokładności redukcji wy-magane w podstawowych sieciach geodezyjnych zakładanych metodami obserwacji na-ziemnych, w sieciach mających nawet kilkudziesięciokilometrowe boki

(2.78)

do obliczeń prowadzonych za pomocą tego wzoru z dokładnością 0.001” trzeba jed-nakże znać przybliżone współrzędne (x, y) z dokładnością zawartą w przedziale 1.0÷0.1 m, co w pewnych przypadkach może powodować nawet konieczność postępowania iteracyjnego.

2.4.3. Transformacja do sąsiednich pasów odwzorowawczych

Istnieje wiele wzorów i tablic do transformacji współrzędnych płaskich x, y do sąsiednich pasów odwzorowawczych. Zadanie to bowiem występuje stosunkowo często w praktyce: zawsze wtedy, gdy obiekt objęty pomiarami, które opracowujemy, leży w więcej niż jednym pasie odwzorowania. Sąsiednie stacje obserwacyjne, położone w różnych pasach, muszą zo-stać przyłączone do któregoś z pasów, aby można było prowadzić opracowanie wyników pomiarów na płaszczyźnie odwzorowania. Stare wzory i tablice mają już dzisiaj nieledwie historyczne znaczenie. Częstokroć obecnie prościej jest wykonać nawet skomplikowane ob-liczenia, gdy dysponuje się odpowiednim narzędziem, niż uciążliwie szperać w tablicach. Jednakże spośród istniejących tablic i wzorów godna jest odnotowania metoda transformacji, opracowana przez profesora Politechniki Warszawskiej Stefana Hausbrandta, polegająca na bezpośredniej interpolacji wielomianowej funkcji dwóch zmiennych niezależnych.

Gdy dysponujemy komputerem i odpowiednim programem do transformacji współ-rzędnych (B, L)⇔ (x, y), to w celu wykonania transformacji na pas sąsiedni wystarczy, przeszedłszy do współrzędnych B, L, zamienić je ponownie na x, y, przyjmując południk osiowy pasa sąsiedniego. Ilustruje to poniższy schemat.

pas pierwszy pas drugi (sąsiedni)

południk osiowy L1 południk osiowy L2

(x, y)´ (x, y)´́⇓ ⇑

(B, L) (B, L)⇓ ⇑

Odwzorowanie Gaussa-Krügera elipsoidy Bessela z punktem przyłożenia w Borowej Górze było przyjęte w Polsce w roku 1928 do obliczenia wyników triangulacji państwowej. Stosowano wówczas pasy o szerokości l=∆λ=2º. Ponownie w roku 1947 wprowadzono to odwzorowanie w Polsce do opracowania mapy gospodarczej w skalach 1:10 000 i więk-

zmiana południka osiowego z L1 na L2

δδ12

21

2 12

2 1 2 14

3 2 122 6 6

= ± − −

− ± −x xR

y y y x xR

y y yR

ym

mm

mm

∓ ∓ mm m mt2 2η .


70

szych, z pasami 3-stopniowymi i skalą południków osiowych mo= 0.999935. Nazwano to odwzorowanie południkowo-wiernokątnym. Stosowano je jednak tylko do roku 1950, kiedy to przyjęto skalę mo= 1. Elipsoidą odniesienia pozostawała do roku 1952 elipso-ida Bessela przyłożona w Borowej Górze. Potem w Polsce i w innych byłych krajach socjalistycznych wprowadzono odwzorowanie Gaussa-Krügera elipsoidy Krasowskiego z punktem przyłożenia w Pułkowie (układ ‘42). Dla skal małych (1:500 000 ÷ 1:10 000) pasy 6-stopniowe (nr 3 i 4; południki osiowe odpowiednio: 15º i 21º). Dla skali 1:5 000 i większych stosowano pasy 3-stopniowe (nr 5, 6, 7 i 8 o południkach osiowych 15º, 18º, 21º i 24º). Numeracja pasów od południka Greenwich na wschód. Współrzędną y poprze-dzano numerem pasa, a ponadto, w celu uniknięcia ujemnych wartości rzędnych, przyj-mowano wartość yo= 500 000 m dla południka osiowego. W związku z rozwinięciem na obszar Polski układu EUREF (zob. [6.6]), układ’42 w roku 2008 został zastąpiony „ukła-dem geocentrycznym” z elipsoidą GRS’80 dla celów praktycznych tożsamą z elipsoidą satelitarnego układu WGS-84. W wielu krajach, w USA i Kanadzie oraz w niektórych krajach Europy Zachodniej, do obliczeń podstawowych sieci poziomych i do opracowania map topograficznych stosuje się odwzorowanie UTM (mo= 0.9996) elipsoidy Hayforda w pasach 6-stopniowych, z numeracją od anty-Greenwich (λ= 180º) na wschód, zgod-nie z podziałem Międzynarodowej Mapy Świata w skali 1:1 000 000. W krajach Paktu Północnoatlantyckiego (NATO) odwzorowanie UTM stosuje się dla topograficznych map wojskowych12. Problemy związane z obliczeniami podstawowych poziomych sieci geode-zyjnych w jakimś odwzorowaniu, w związku z powszechnym stosowaniem komputerów, zeszły obecnie na plan dalszy. Zarówno bowiem transformacja współrzędnych pomiędzy różnymi układami, jak i odwzorowanie elementów sieci geodezyjnej na płaszczyznę ja-kiegokolwiek odwzorowania przestaje być pracochłonnym (i czasochłonnym) zadaniem geodezyjnym. Wobec coraz powszechniejszego stosowania cyfrowych geodezyjnych baz danych w postaci cyfrowej, umożliwiających doraźne generowanie różnych form graficz-nych zobrazowań przestrzeni, np. do celów projektowych oraz dla dokumentacji formalno-prawnej itd., zmienia się także rola tradycyjnych opracowań kartograficznych w dużych skalach.

2.5. TRANSFORMACJA WSPÓŁRZĘDNYCH B, L

2.5.1. Ogólne omówienie zadania transformacji współrzędnych

Zadanie transformacji współrzędnych pomiędzy dwoma układami geodezyjnymi (zwanymi często układami pierwotnym i wtórnym) polega na obliczeniu współrzędnych w układzie wtórnym dla punktów, których współrzędne znane są w układzie pierwotnym, na podstawie współrzędnych pewnych punktów znanych w obu układach, zwanych punk-tami łącznymi. Można powiedzieć inaczej: punkty układu pierwotnego i wtórnego to dwa zbiory, których częścią wspólną jest zbiór punktów łącznych.

12 Odwzorowanie UTM jest także wprowadzane w Polsce dla map topograficznych w skali 1:50000.

Transformacja współrzędnych B, L

71

Punkty łączne mogą służyć do określenia tzw. modelu transformacji (albo ‘prawa trans-formacji’). Gdy jednak model ten jest znany w postaci ogólnych związków matematycznych pomiędzy współrzędnymi w obu układach, punkty łączne stanowią tylko podstawę do wyzna-czenia tzw. parametrów transformacji (współczynników w owych związkach matematycz-nych w równaniach transformacji). Istotę transformacji przedstawia powyższy schemat.

Rysunek 2.22 ilustruje różne przypadki transformacji. W przypadku klasycznych geode-zyjnych układów odniesienia (elipsoid) punkty łączne pokrywały z reguły tylko nieznaczny obszar brzeżny obu układów. Metody pomiarów satelitarnych – o odległościach kilku setek kilometrów pomiędzy sąsiednimi punktami – sprawiają, że obszary objęte obydwoma ukła-dami przenikają się całkowicie. Bywa też, że punkty należące do ‘układu satelitarnego’ wiążą ze sobą dwa układy geodezyjne niemające punktów łącznych.

Rys. 2.22. Różne przypadki transformacji

Należy zauważyć, że zagadnienie transformacji występuje częstokroć w geodezji w po-staci niejako ‘zakrytej’ poprzez problem wyrównawczy metody parametrycznej (pośred-niczącej), prowadzącej w istocie również do transformacji do układu, w którym przyjęto punkty stałe. Zmierzch monopolu klasycznych, naziemnych metod pomiarów geodezyj-nych w zakładaniu podstawowych sieci geodezyjnych sprawia, że zadanie transformacji współrzędnych prostokątnych z globalnego układu geocentrycznego (satelitarnego) do istniejących krajowych układów elipsoidalnych jest najczęstszym zadaniem transforma-cji, jakie obecnie przychodzi rozwiązywać. Z tego też względu większą wagę w naszym wykładzie przyłożymy do nowszych metod i modeli transformacji. Przedstawimy je w roz-dziale 6. Tymczasem zaprezentujemy metodę klasyczną transformacji współrzędnych krzywoliniowych B, L.


72

2.5.2. Transformacja Helmerta-Hristowa

Metoda transformacji współrzędnych krzywoliniowych (elipsoidalnych), która ciągle jeszcze bywa stosowana w praktyce dla obszarów nie przekraczających kilku milionów kilometrów kwadratowych (o promieniu ok. 1 000 km), została opracowana przez F.R. Helmerta, a następnie ulepszona przez wykorzystanie koncepcji W.K. Hristowa (Hristow, 1942). Helmert podał wzory różniczkowe do transformacji z jednego układu (elipsoidy odniesienia o odpowiednich parametrach i elementach orientacji) do innego, wychodząc z ogólnych zależności funkcyjnych o postaci:

B = Bo + b = Bo + f1 (Bo, s, A, a, f) , L = Lo + l = Lo + f2 (Bo, s, A, a, f) , (2.79)

w których

b = B – Bo , l = L – Lo , s oznacza długość linii geodezyjnej, A – azymut początkowy linii, a, f – to duża półoś i spłaszczenie elipsoidy odniesienia, Bo , Lo – współrzędne punktu początkowego linii s, B, L – współrzędne punktu końcowego linii geodezyjnej.

Zmiany punktu początkowego o , , długości linii geodezyjnej o ds i parametrów elipsoidy o da, df pociągną za sobą zmiany położenia punktu końcowego o dB, dL, które wyrażają różniczki zupełne funkcji (2.79). W postaci ogólnej można napisać:

Wzory te, po wstawieniu wartości odpowiednich pochodnych cząstkowych, byłyby podstawowymi wzorami transformacji Helmerta. Hristow wykorzystał szeregi potęgowe Legendre’a (2.37) do wyznaczenia różniczek występujących we wzorach Helmerta. Innymi słowy, zróżniczkował on wyrażenia (2.37) względem B, s, a, f, a wyznaczone w ten sposób pochodne podstawił do wzorów Helmerta. Tak powstały równania transformacji Helmerta-Hristowa o następującej postaci (podajemy je dla przypadku transformacji między ukła-dami odniesionymi do tej samej elipsoidy o parametrach a, f ):

(2.80)

w których dpds

s= ,

zaś

dB dB dbf

dBdB

f

dsds

f

dAdA

f

dada

f

dfdo

oo= + = +

+ + + +1 1 1 1 1 1∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ff ,

dL dL dl dLf

dBdB

f

dsds

f

dAdA

f

dada

f

dfdfo o o= + = + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 2 2 2 2 .

dB A dL B dB C dp D dA

dL A dL B dB C dpi i o i o i i

i i o i o i

= ′ + ′ + ′ + ′= ′′ + ′′ + ′′ + ′

,′′D dAi ,

Transformacja współrzędnych B, L

73

Ai = 0,

przy czym

W ostatnich wyrażeniach zachowano wcześniej wprowadzone oznaczenia: t = tan B, η2 = e´2cos2B, zaś ρ = sin–1 1˝.

W każdej transformacji ta sama postać równań transformacyjnych jest wykorzysty-wana zarówno do wyznaczenia parametrów transformacji, jak i transformowania punktów. W pierwszej części zadania w miejsce dB, dL, po lewej stronie równań (2.80) podstawia się

′ = − − −B b b li i i i1 1 3 62 2( ) ( ) ( ) ,

′ = − − −Cb

b l b lii

i i i iρ( ) ( ) ( ) ,4 7 82 2 2 ′ = − + +D l b l li i i i i( ) ( ) ( ) ,2 5 9 3

′′=Ai 1, ′′= + + −B l b l b l li i i i i i i( ) ( ) ( ) ( ) ,12 14 18 212 3

′′= + + −Cl

b l b l lii

i i i i iρ( ) ( ) ( ) ,15 19 222 3 ′′= + − + −D b b l b b li i i i i i i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,11 13 16 17 202 2 3 2

dB A dL B dB C dp D dA

dL A dL B dB C dpi i o i o i i

i i o i o i

= ′ + ′ + ′ + ′= ′′ + ′′ + ′′ + ′

,′′D dAi ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) cos ,

( ) cos

1 3

3 32

5 3

7

2 4

2 2 2

2

2

2

2

= −

= −

=

=

t

t

Bt

Bt

η ηρ

η ηρ

ηρ

(( ) ,

( ) cos ( ) ,

( ) ( ) ,

( )

12

9 16

12 1

14 1

2

2

3 2

3

2 2 4

2

+

= +

= − +

= + −

ηρ

ρ

η ηρ

B t

t

t ηη ηρ

ρ

ρ

ρ

2 2 2

2

2

2

3

2

2

162

18 1

20 12

−

=

= +

= +

t

Bt

t t

B t

,

( ) cos ,

( ) ( ) ,

( ) cos ( )33

2 2

2226

,

( ) cos .= Bt

ρ

( ) cos ( ) ,

( ) ,

( ) cos ( ) ,

( ) cos

2 1

4 32

6 12

8

2

2

2

2 2 2

2

2

= +

=

= + +

=

B

t

B t

ηρ

ηρ

ηρ

BB

B

t

B

t

3

11 1

131

2

15 1

3

2 4

2

2

2

2

ρ

η ηρ

η

ρ

ηρ

,

( )cos

,

( )( )

cos,

( ) ( )

= − +

=−

= − ,,

( )cos

,

( ) ,

( ) cos ( ) ,

17 1 33

19 2 33

21 16

2

3

2

3

2 2

3

= +

= +

= +

t

B

t

Bt t

ρ

ρ

ρ

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) cos ,

( ) cos

1 3

3 32

5 3

7

2 4

2 2 2

2

2

2

2

= −

= −

=

=

t

t

Bt

Bt

η ηρ

η ηρ

ηρ

(( ) ,

( ) cos ( ) ,

( ) ( ) ,

( )

12

9 16

12 1

14 1

2

2

3 2

3

2 2 4

2

+

= +

= − +

= + −

ηρ

ρ

η ηρ

B t

t

t ηη ηρ

ρ

ρ

ρ

2 2 2

2

2

2

3

2

2

162

18 1

20 12

−

=

= +

= +

t

Bt

t t

B t

,

( ) cos ,

( ) ( ) ,

( ) cos ( )33

2 2

2226

,

( ) cos .= Bt

ρ


74

różnice współrzędnych punktów łącznych (wyrazy wolne równań). Współczynniki przy niewiadomych ′ ′ ′ ′A B C D, , , oraz ′′ ′′ ′′ ′′A B C D, , , wyznacza się na podstawie bi, li obli-czonych jako różnice współrzędnych punktów łącznych w układzie pierwotnym ′ ′B Li i, z odpowiednimi wartościami Bo, Lo tzw. bieguna transformacji w tym samym układzie (pierwotnym).

Niewiadome:

przesunięcie punktu głównego dBo , dLo , zmianę skali dp = ds/s , obrót układu pierwotnego dA

wyznacza się z rozwiązania układu równań (2.80) metodą najmniejszych kwadratów, gdy liczba punktów łącznych jest większa niż 2.

Wyznaczone wartości wstawia się do równań (2.80). Następnie tworzy się różnice bj, lj współrzędnych punktów do transformacji i współrzędnych bieguna transformacji (j jest te-raz wskaźnikiem punktów, które należy przetransformować z układu pierwotnego do wtór-nego). Potem oblicza się współczynniki A ' '' D dla każdego punktu “j”. Podstawiając te współczynniki do równań (2.80) można wyznaczyć wartości poprawek transformacyjnych dBj, dLj, które po dodaniu do współrzędnych punktów w układzie pierwotnym dadzą war-tości współrzędnych przetransformowanych.

Dokładność transformacji ocenia się na podstawie rozbieżności współrzędnych punk-tów łącznych przetransformowanych ‘na siebie’ za pomocą wyznaczonych parametrów transformacji. Należy też pamiętać, że ‘wierność’ transformacji zależy w dużej mierze od rozmieszczenia punktów łącznych. Punkty te powinny być w miarę możności równomier-nie rozłożone na obszarze objętym transformacją.

Gdy transformacja dotyczy współrzędnych odniesionych do różnych elipsoid, równa-nia (2.80) należy poszerzyć o wyrazy zależne od da i df. Liczba punktów dostosowania musi w takim przypadku wynosić co najmniej 3. Więcej szczegółów dotyczących tego przypadku transformacji można znaleźć w oryginalnej publikacji Hristowa (1942). Inne polskie publikacje wzorów Helmerta-Hristowa zawierają niestety pomyłki. Do transfor-macji Helmerta-Hristowa powrócimy w rozdziale 6.5.5, rozważając przydatność tej trans-formacji do łączenia punktów wyznaczonych satelitarną techniką GPS z klasyczną siecią geodezyjną na powierzchni elipsoidy odniesienia.

–••

2. ZAGADNieNiA GeOMetrYcZNe GeODeZJi WYŻSZeJ

Documents

Transcript of 2. ZAGADNieNiA GeOMetrYcZNe GeODeZJi WYŻSZeJ