15 - Drgania własne ram - obliczanie częstości kołowych

Część 2 15. DRGANIA WŁASNE RAM – OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 1

15.

15. DRGANIA WŁASNE RAM – OBLICZANIE CZĘSTOŚCIKOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

15.1. Wprowadzenie

Rozwiązywanie zadań z zakresu dynamiki budowli sprowadza się aż do dwóch zagadnień. Należyokreślić częstość drgań własnych układu w przypadku drgań swobodnych oraz wartość amplitudyprzemieszczenia w przypadku drgań wymuszonych obciążeniem zewnętrznym.

Znajomość częstości drgań własnych konstrukcji pozwala uniknąć zjawiska rezonansu. Nie wolnoobciążać konstrukcji urządzeniami, których częstość kołowa pokrywa się z częstością drgań własnych, gdyżwtedy amplitudy przemieszczeń układu wzrastają w sposób niekontrolowany. W drugim typie zadań układobciążony jest urządzeniem o znanej sile wymuszania i częstości drgań. Trzeba wtedy wyliczyć amplitudyprzemieszczeń i porównać je z dopuszczalnymi.

Analizę układu należy rozpocząć od ustalenia stopnia swobody dynamicznej (niezależne, możliwekierunki ruchu masy). Dalej należy zapisać równania ruchu po kierunkach swobody dynamicznej, określićwartości przemieszczeń powstałych od sił dynamicznych.

W układach statycznie wyznaczalnych przemieszczenia liczymy w prosty sposób korzystając zrównania pracy wirtualnej. W układach statycznie niewyznaczalnych obliczenia komplikują się, gdyżpotrzebne są wykresy momentów od sił jednostkowych w układach niewyznaczalnych.

Przemieszczenia od sił jednostkowych (wyznaczony w ten sam sposób jak w metodzie sił) dają układzwany macierzą podatności [D]. Ten sposób rozwiązywania zadania nazywa się często rozwiązaniem “przezpodatność”.

Istnieją jednak układy, które prościej rozwiązuje się metodą przemieszczeń aniżeli metodą sił (nakładpracy jest mniejszy). Tego typu ramy łatwiej rozwiązać “przez sztywność”, klasyczną metodą przemieszczeńprzyjmując układ podstawowy (muszą być zablokowane kierunki swobody dynamicznej) obciążony siłamidynamicznymi. W tym przypadku trzeba stworzyć macierz sztywności układu [K], czyli określić reakcje odjednostkowych przemieszczeń.

Ramy statycznie wyznaczalne rozwiązujemy zazwyczaj korzystając z koncepcji metody sił(wyznaczamy macierz podatności), natomiast układy statycznie niewyznaczalne rozwiązujemy korzystając zmetody przemieszczeń (wyznaczając macierz sztywności) lub metody sił. Podział ten wynika z nakładu pracy,jaką trzeba wykonać przy rozwiązywaniu układu poszczególnymi metodami.

W układach statycznie wyznaczalnych obliczenie współczynników δik nie jest skomplikowane. Ten samukład, rozwiązywany metodą przemieszczeń wymagałby zapewne blokowania obrotów i przesuwów, cozwiększyłoby liczbę współczynników rik.

Obie macierze charakterystyczne: podatności [D]=[ik ] i sztywności [K ]=[r ik ] są symetryczne:

ik=ki

r ik=rki

oraz zachodzi między nimi zależność:

[D ]−1=[K ][D ]⋅[K ]=[K ]⋅[D ]=[ I ]

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater


15.2. Rozwiązywanie przez sztywność (metoda przemieszczeń)

Dla dowolnego układu o zadanej geometrii, sposobie podparcia i rozkładzie masy

3

1 2

0J1, A1

J2, A2

J3, A3

ρ, μ

znamy wzory transformacyjne na przywęzłowe momenty przęsłowe, siły tnące i normalne.

N10N23

T10 T23

T21T12

N12 N21 M21M12

M10 M23

1 2

Niewiadome przemieszczenia z węzła 1 (φ1, u1, v1) i 2 (φ2, u2, v2) wyznaczymy zapisując dla każdego z tychwęzłów równania równowagi:

∑ X =0 ∑ Y=0 ∑M =0

Otrzymany w ten sposób układ równań jednorodnych, ma rozwiązanie nieosobliwe wówczas, gdy wyznaczniktego układu będzie równy zero. Otrzymywane w ten sposób równanie charakterystyczne umożliwia wyliczenieczęstości drgań własnych. Metodę tę przybliżymy rozwiązując zadanie.

Zadanie 1

Obliczyć częstości kołowe i postacie drgań własnych dla układu z rysunku 15.1.

1 2

0

m, Im

6

4

[m]

Rys. 15.1. Rama obciążona masą skupioną

Parametry geometryczne i fizyczne układu są następujące:



EJ =6000 kN m2

m=300 kgI m=25 kgm2

Masa ma możliwość ruchu tylko w jednym kierunku (SSD = 1). Kierunek ten (w1 = φ) i siłę dynamiczną B1

będącą wynikiem działania bezwładności masy opisuje rys. 15.2.

1 2

0

w1, B1

6

4

[m]

R1, φ

Rys. 15.2. Kierunki stopni swobody dynamicznej i układ podstawowy metody przemieszczeń

Funkcja rozwiązująca różniczkowe równanie ruchu dla drgań harmonicznych ma postać:

w1 t =a1 sin tw1 t =−a1

2 sin t(15.1)

Zapiszmy zatem równanie kanoniczne metody przemieszczeń:

R1 =r11 w1t r1 P=0 (15.2)

Aby wyznaczyć wartości współczynników r11 i r1P musimy zapisać sumy momentów w węźle 1, kolejno wstanie φ = 1 oraz P:

2 EJ

r11

a)

4

b)r1P

B1 = -Imw1(t)

4 EJ4

3 EJ6

Rys. 15.3. Wartości momentów: a) w stanie φ = 1, b) w stanie P

Z sumy momentów w węźle 1 otrzymamy:

r11 =0,5 EJEJ=1,5 EJr1 P=I m w1t

Podstawiając te wartości do równania kanonicznego (15.2) dostajemy różniczkowe równanie ruchu:

1,5 EJ⋅w1 t I m w1 t =0 (15.3)

Wykorzystując funkcję (15.1) otrzymujemy rozwiązanie:



1,5 EJ a1 sin t−I m a1 2 sin t=0 (15.4)

Wyeliminowanie zmiennej czasu t prowadzi do równania jednorodnego:

1,5 EJ − I m2 a1 =0 (15.5)

Równanie to ma nietrywialne rozwiązanie (a1 ≠ 0), gdy:

1,5 EJ −I m2 =0 (15.6)

zatem:

= 1,5 EJI m

(15.7)

Po podstawieniu danych liczbowych do rozwiązania (15.7) otrzymujemy:

= 1,5 ⋅6000 ⋅103

25=600 [ rad

s ]Postać drgań własnych w przypadku SSD = 1 ogranicza się do jednej amplitudy przemieszczenia a1, któramoże przyjmować dowolną, różną od zera wartość.

Przemieszczeniem (kierunkiem swobody dynamicznej) w tym zadaniu jest kąt obrotu (rys. 15.4).

a1

Rys. 15.4. Postać drgań własnych

15.3. Rozwiązanie przez podatność (metoda sił)

Zastosowanie koncepcji metody sił w obliczeniach częstości kołowych drgań własnych pokażemy naprzykładach układów statycznie wyznaczalnych.

Zadanie 2

Znaleźć częstości kołowe drgań własnych i narysować ich postacie, dla układu z rys. 15.5.



k

k

m

3

3

3[m]

Rys. 15.5. Rama obciążona masą skupioną

Parametry geometryczne i fizyczne układu są następujące:

EJ =31000 kN m2

k= EJ4

m=200 kg

Masa ma możliwość ruchu w dwóch kierunkach (SSD = 2), ich kierunki i siły dynamiczne będące wynikiemdziałania bezwładności masy przedstawiono na rys. 15.6.

k

k

m

3

3

3

B2 = -mw2(t)B1 = -mw1(t)w1, B1

w2, B2

[m]

Rys. 15.6. Układ obciążony dynamicznie

Funkcja rozwiązująca różniczkowe równanie ruchu dla drgań harmonicznych ma postać:

wi t =ai sin twi t =−ai

2 sin t(15.8)

Wiemy, że na przemieszczenie w danym kierunku wpływ mają obie siły:

{w1t =11 B1 12 B2

w2 t =21 B1 22 B2 (15.9)

Po podstawieniu wyrażeń na siły bezwładności otrzymujemy układ równań różniczkowych:



w1 t =−m⋅w1 t ⋅11 −m⋅w2 t ⋅12

w2 t =−m⋅w1 t ⋅21 −m⋅w2 t ⋅22

Wykorzystując funkcję (15.8) otrzymujemy:

{a1 sin t=11⋅m⋅a1 2 sin t 12⋅m⋅a2

2 sin t a2 sin t=21⋅m⋅a1

2 sin t 22⋅m⋅a22 sin t

(15.10)

Wyeliminowanie zmiennej czasu t prowadzi do układu równań jednorodnych:

{11 m2 −1a1 12 m2 a2 =0 21 m2 a122 m2 −1a2=0

(15.11)

Dla ułatwienia obliczeń zastosujemy podstawienie:

= EJ2 m

ij'=ij EJ

(15.12)

Wówczas po przekształceniach mamy:

{11' −a1 12

' a2 =0 21' a122

' −a2=0(15.13)

Jest to układ równań jednorodnych, który posiada rozwiązanie, gdy:

det∣11' − 12

'

21' 22

' −∣=0 (15.14)

Z warunku (15.14) otrzymujemy równanie charakterystyczne:

11' −22

' −−12' 21

' =0 (15.15)

Teraz obliczymy współczynniki równania δik, narysujmy więc wykresy od stanów jedynkowych:

B1 = 1

12

12

1,51,5

3,0 M1

Rys. 15.7. Obciążenie po kierunku pierwszym



B2 = 1 0

12

12

1,5

M2

Rys. 15.8. Obciążenie po kierunku drugim

Na podstawie rys. 15.7 i 15.8 obliczamy współczynniki δik :

11=1 EJ 2 ⋅1

2⋅3 ⋅3

2 ⋅2 3⋅3 21

2 ⋅3 ⋅3 ⋅2

3 ⋅32 ⋅

1 2⋅1 2⋅4

EJ 11

' =EJ 11=15,5

22=1 EJ 2 ⋅1

2⋅3 ⋅3

2 ⋅2 3⋅3 2 2 ⋅

1 2⋅1 2⋅4

EJ 22

' =EJ 22=6,5

12=0

Po podstawieniu do równania (15.15):

15,5 −6,5 −=0 (15.16)

Otrzymujemy dwa pierwiastki rzeczywiste:

1=6,5 2=15,5 (15.17)

z których wyliczmy częstości drgań własnych:

I= 31000 ⋅100015,5 ⋅200

=100 [ rads ]

II =154,422 [ rads ]

(15.18)

Ponieważ 12=0 z układu (15.13) otrzymujemy dwa niezależne równania. Zmienne ai są rozprzężone dlategomając nawet wartości własne nie możemy stworzyć wektora własnego. Amplituda przemieszczenia a1

może zmieniać się niezależnie od amplitudy a2.

Przyjmując a1 = 1 otrzymujemy:

6,5 −15,5 ⋅a2 =0 a2 =0

i na odwrót dla a2 = 1 dostaniemy:



a1 =0

Rys. 15.9. Postacie drgań

Zadanie 3

Znaleźć częstości kołowe drgań własnych i narysować ich postacie dla układu z jedną masą (rys. 15.10).

3 3

1

m

[m]

Rys. 15.10. Układ z jedną masą

W zadaniu przyjęto następujące wartości liczbowe:

EJ =9000 kN m2

m=400 kg

W układzie o dwóch stopniach swobody dynamicznej przyjęto dwa prostopadłe do siebie kierunkiprzemieszczeń (rys. 15.11).

w1, B1

3 3

1

w2, B2

[m]

Rys. 15.11. Kierunki stopni swobody dynamicznej

Podobnie jak poprzednio przyjęto funkcję opisującą przemieszczenia:

wi t =a i sin twi t =−ai

2 sin t(15.19)



Do równań ruchu:

{w1t =11 B1 12 B2

w2 t =21 B1 22 B2 (15.20)

podstawiamy wyrażenia na siły bezwładności:

w1 t =−m⋅w1 t ⋅11 −m⋅w2 t ⋅12

w2 t =−m⋅w1 t ⋅21 −m⋅w2 t ⋅22

Równania różniczkowe rozwiązujemy przyjmując postać funkcji rozwiązującej (15.19):

{a1 sin t=11⋅m⋅a1 2 sin t 12⋅m⋅a2

2 sin t a2 sin t=21⋅m⋅a1

2 sin t 22⋅m⋅a22 sin t

(15.21)

{11 m2 −1a1 12 m2 a2 =0 21 m2 a122 m2 −1a2=0

(15.22)

Po wprowadzeniu symboli zastępczych:

= EJ2 m

ij'=ij EJ

(15.23)

mamy:

{11' −a1 12

' a2 =0 21' a122

' −a2=0(15.24)

Układ równań jednorodnych posiada rozwiązanie, gdy:

det∣11' − 12

'

21' 22

' −∣=0 (15.25)

To prowadzi do równania charakterystycznego:

11' −22

' −−12' 21

' =0 (15.26)

Aby obliczyć współczynniki podatności δik, narysujmy wykresy od stanów jedynkowych:



1 1

M2M132

12

1

12

Rys.15.12. Wykresy momentów od obciążeń jednostkowych

Na podstawie rys. 15.12 obliczamy współczynniki δik :

11=1 EJ 2 ⋅1

2⋅3 ⋅3

2 ⋅2 3⋅3 2 11

' =EJ 11=4,5

22=1 EJ 2 ⋅1

2⋅3 ⋅1

2 ⋅2 3⋅121

2⋅1 ⋅1 ⋅2

3⋅1 22

' =EJ 22=0,83

12=0

I podstawiamy do równania (15.26):

4,5−0,83−=0 (15.27)

otrzymujemy:

1=4,52=0,83

Stąd częstość drgań własnych:

I= 9000⋅10004,5 ⋅400

=70,7107 [ rads ]

II = 9000⋅10000,83⋅400

=164,3167 [ rads ]

(15.28)

Postacie drgań własnych dla rozprzężonych amplitud przemieszczeń przedstawiono na rys. 15.13.

a1≠0a2=0

a1=0a2≠0

Rys. 15.13. Postacie drgań

Zadanie 4

Sprawdzić czy dla układu z rys. 15.14 możliwe jest dobranie takiej wartości współczynnika k, aby drganiauległy rozprzężeniu. Jeżeli tak, to określić wartość sztywności k podpory podatnej.



km

6

3

[m]

Rys. 15.14. Rama obciążona masą

Układ ma dwa stopnie swobody dynamicznej przemieszczenie liniowe i kątowe.

Masa może przemieszczać się tylko w poziomie, ale z uwagi na gabaryty może też się obracać. Mamy doczynienia z bezładnością liniową i kątową.

km

6

3w1, B1

w2, B2

[m]

Rys. 15.15. Kierunki swobody dynamicznej

B1 =−m w1

B2=− J 0 w2 (15.29)

gdzie:

[kg /m2 ] to rozkład masy,

J 0 [m4 ] to moment bezwładności obrotowej.

Do wyznaczenia współczynników podatności potrzebne są wykresy momentów (rys. 15.16, rys. 15.17)

B1 =1

1

12

12

3

M1

Rys. 15.16. Obciążenie jednostkowe po kierunku pierwszym



B2 =1

12

12

1

M2

Rys. 15.17. Obciążenie jednostkowe po kierunku drugim

12=1 EJ 1

2⋅6 ⋅3 ⋅2

3⋅1

1 2 −1

2 k

=6 EJ

−1 4 k

Aby drgania uległy rozprzężeniu w układzie równań ruchu (15.13) współczynnik 12' powinien być równy

zero. Stąd otrzymujemy zależność:

6 EJ

− 1 4 k

=0

z której wynika poszukiwana wartość parametru k :

k= EJ24


15 - Drgania własne ram - obliczanie częstości kołowych

Documents

Transcript of 15 - Drgania własne ram - obliczanie częstości kołowych