13 Analiza częstotliwościowa układów SLSzoise.wel.wat.edu.pl/dydaktyka/WEL...
Transcript of 13 Analiza częstotliwościowa układów SLSzoise.wel.wat.edu.pl/dydaktyka/WEL...
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
1 /14
13. ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA UKŁADÓW SLS 13.1. POJĘCIE IMMITANCJI I TRANSMITANCJI
Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie harmo-niczne o symbolicznej wartości skutecznej F (napięciowe lub prądowe) i dla którego poszukiwaną funkcją jest odpowiedź o symbolicznej wartości skutecznej R (prądowa lub napięciowa).
F RukładSLS
Jeśli wielkości F i R występują na tych samych zaciskach to rozpatry-wany układ staje się dwójnikiem. Jego stan opisany jest parą funkcji: prą-du i napięcia wejściowego
W zależności od wymuszenia odpowiedź wyznaczamy ze wzoru:
IZ U Z
a)
b)
U0
I
Y
ZIZU = (13.1a) 0UYI = (13.1b)
Lub definiujemy jako:
IMpedancja ZI
UZ = (13.2a) adMITANCJA 0U
IY = (13.2b)
Dla obu tych wielkości spełniających związek
1=ZY (13.3)
stosujemy określenie : IMMITANCJA
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
2 /14
W przypadku wyodrębnienia dwóch par zacisków mamy do czynienia z czwórnikiem. Jeśli wymuszenie jest związane z jedną bramą a odpo-wiedź z drugą to relacje pomiędzy nimi - stosunek odpowiedzi do wymu-szenia nazywamy TRANSMITANCJĄ.
F RK
FRK = (13.4)
czyli FKR = (13.5)
Ponieważ w przypadku czwórnika wymuszeniem i odpowiedzią może być prąd lub napięcie, należy więc rozróżnić cztery transmitancje:
KuI2 =0
U2U1
transmitancję napięciową
01
2
2 =
=I
u UUK (13.6a)
KiuI2U1
transmitancję prądowo-napięciową
01
2
2 =
=U
ui UIK (13.6b)
KiI2I1
transmitancję prądową
01
2
2 =
=U
i IIK (13.6c)
KuiI2 =0
U2I1
transmitancję napięciowo-prądową
01
2
2 =
=I
iu IUK (13.6d)
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
3 /14
13.2. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
Immitancje i transmitancje są wielkościami zespolonymi, zależnymi od układu (jego struktury i wartości elementów) oraz od pulsacji (często-tliwości) sygnału wymuszającego.
Dla układu liniowego, będącego w stanie ustalonym, badanego przy przebiegach harmonicznych dla określonej pulsacji słuszna jest zależność:
F
R
j
j
m
m
eFeR
FR
K ψ
ψ
22
== ( )FRjeFR ψψ −= (13.7)
ΘjeK=
Charakterystykami częstotliwościowymi układu SLS nazywamy zależność transmitancji lub immitancji układu
od częstotliwości lub pulsacji sygnału harmonicznego. )()()()( )( ωωωω ωΘ jQPeKK j +== )0( ∞÷∈ω (13.8) gdzie: K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa
K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa
Θ(ω) - częstotliwościowa charakterystyka fazowa
P(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części rzeczywistej transmitancji
Q(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części urojonej transmitancji
moduł transmitancji K określony jest stosunkiem wartości skutecznych odpowiedzi do wymu-szenia
argument transmitancji Θ wyraża kąt przesunięcia fazowego od-powiedzi w odniesieniu do wymuszenia
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
4 /14
WYKRESY WYBRANYCH CHARAKTERYSTYK na przykładzie układu RC (FD)
RCU1 U2
Zakładamy, że wymuszeniem jest napięcie tUtu m ωsin)( 11 = . Stosując się metodę symboliczną - wyznaczamy U2
12 1
1
U
CjR
CjU
ω
ω
+=
Zatem transmitancja napięciowa dla rozpatrywanego układu wyniesie:
RCj
CjR
CjU
U
CjR
Cj
UUK u ω
ω
ωω
ω
+=
+=
+==
11
1
11
1
1
1
1
2
Czyli: ( )RCj
K u ωω
+=
11
(13.9)
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
5 /14
( )
222222
222
111
11
11
11
CRRCj
CR
CRRCj
RCjRCj
RCjK u
ωω
ω
ωω
ωω
ωω
+−
+=
+−
=−−
⋅+
=
Zatem: ( ) ( ) 222222 1,
11
CRRCQ
CRP
ωωω
ωω
+−=
+= (13.10)
( )ωuK 222222 111
CRRCj
CR ωω
ω +−
++
=
P(ω) Q(ω)
ω
ωg=1/RC
ωg
P( )ωQ( )ω
0,5
- 0,5
1
0
P(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części rzeczywistej transmitancji
Q(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części urojonej transmitancji
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
6 /14
( )RCj
K u ωω
+=
11
222222 111
CRRCj
CR ωω
ω +−
++
=
Czyli:
222
2222
222
222222
11
)1()1(1)()()(
CR
CRCR
CRQPK
ω
ωω
ωωωω
+=
++
+=+=
zależność modułu transmitancji od pulsacji opisuje równanie:
22211)(
CRK
ωω
+= (13.11)
Natomiast
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⋅
+−
==1
11)(
)()(222
222CR
CRRCarctg
PQarctg ω
ωω
ωωωΘ
zależność argumentu transmitancji od pulsacji opisuje równanie:
( )RCarctg ωωΘ −=)( (13.12)
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
7 /14
( )ωuK ( )[ ]RCarctgjeCR
ω
ω−
+=
22211
K(ω) Θ(ω)
K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa
Θ(ω) - częstotliwościowa charakterystyka fazowa
ω
K( )ω1
0,707
ωg=1/RC
ωΘ ω( )
−π/2
−π/4
ωg=1/RC
K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa-fazowa
Im[ ( )]K ω
Re[ ( )]K ωω=0ω= 8
0,5
KΘ
P
Q
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
8 /14
WSPÓŁRZĘDNE WZGLĘDNE I LOGARYTMICZNE CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH
Charakterystyki częstotliwościowe podaje się na ogół, z uwagi na ich:
czytelność, wygodę posługiwania się lub uwypuklenie pewnych cech - we współrzędnych względnych i/lub we współrzędnych logarytmicznych.
Charakterystyki o współrzędnych logarytmicznych nazywamy charak-terystykami logarytmicznymi.
Jako współrzędne względne dla modułu transmitancji (immitancji) przyjmuje się na ogół stosunek wartości wymienionych wielkości do pew-nej wartości charakterystycznej, np. maksymalnej. Mówimy wówczas o charakterystyce względnej:
)()()(lub)()(
0max ωωωωω
KKK
KKK == (13.13)
Jako współrzędne względne (unormowane) dla pulsacji ω (lub często-tliwości f) przyjmuje się:
• pulsację względną ω/ω0 • odstrojenie bezwzględne Δω=ω-ω0 • odstrojenie względne ξ=(ω-ω0)/ω0
gdzie: ω0 – jest charakterystyczną pulsacją dla układu.
Jako współrzędne logarytmiczne pulsacji (częstotliwości) przyjmuje się najczęściej logarytm dziesiętny pulsacji lub pulsacji względnej:
ωlg=dx (13.14)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0lg
ωω
dx (13.15)
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
9 /14
mówimy wówczas o dekadowej skali częstotliwości, której cha-rakterystyczną cechą jest stała długość odcinka odpowiadające-go zmianie o jedną dekadę czę-stotliwości.
-1 0 1 2 3
10-1 1 101 102 103
lgf
f[Hz]
-1 0 1 2 3
10-1 1 101 102 103
lg(f/f)0
f/f0
Skale dekadowe Przykład:
W skali liniowej
K f( )
f0 2000 4000 6000 8000 1 1040
0.5
1
W skali logarytmicznej
K f( )
f10 100 1 103 1 104 1 1050
0.5
1
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
10 /14
Jako współrzędne logarytmiczne dla modułu transmitancji (immitan-cji) przyjmuje się moduł transmitancji wyrażony w decybelach zgodnie ze wzorem )(lg20)( ωω KKdB = (13.16a)
lub ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
00lg20
ωω
ωω KKdB (13.16b)
Wybrane wartości wzmocnienia wyrażone w decybelach
)(ωK N−10 0,1 2
1 1 2 10 N10
)(lg20 ωK [dB] N20− -20 -3 0 3 20 N20
Przykład:
K f( )
f0 2000 4000 6000 8000 1 1040
0.5
1
W skali liniowej
KdB f( )
f0 2000 4000 6000 8000 1 10421
18
15
12
9
6
3
0
W skali decybelowej
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
11 /14
CHARAKTERYSTYK ASYMPTOTYCZNE
W wielu zagadnieniach praktycznych wygodnie jest posługiwać się przybliżoną postacią ch-styk częstotliwościowych układu. Istota tego przybliżenia polega na zastąpieniu dokładnego wykresu ch-styki często-tliwościowej jej przebiegiem przybliżonym w postaci odpowiednio dobra-nej linii łamanej.
Przybliżone charakterystyki o postaci linii łamanych są nazywane charakterystykami asymptotycznymi lub charakterystykami Bodego.
Załóżmy, że rozpatrujemy układ o charakterystyce amplitudowo-fazowej postaci:
K
K21
21
21
21)()()(
MM
LL
jj
jj
eMeMeLeL
MLK ΨΨ
ΨΨ
ωωω == (13.17)
gdzie czynniki ( )ωiL oraz ( )ωiM są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych stopnia pierwszego lub drugiego.
Pamiętając, że: ( ) ( ) ( )ωΘωω jeKK =
możemy zapisać: K
K
21
21)(MMLLK =ω (13.18)
lub ( ) ( )∑∑ −=i
ii
i MLK lglg)(lg ω (13.19)
Zatem logarytmiczna charakterystyka amplitudowa (wyrażona w mierze decybelowej) opisana jest wyrażeniem:
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−== ∑∑
ii
iidB MLKK lglg20)(lg20)( ωω (13.20)
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
12 /14
na przykładzie układu RC (FD) ( )RCj
Kω
ω+
=1
1
Zal. (13.17)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
gg
g
g jM
LK
ωω
ωω
ωω
ωω
1
1 gdzie RCg1
=ω
Zal. (13.18) 2
1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
g
gK
ωω
ωω
Zal. (13.20) 2
21lg20
1
1lg20 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
g
g
gdBK
ωω
ωω
ωω
(13.21)
Uwzględniając przy tym następujące, oczywiste przybliżenia:
,1<<gωω
,112
≅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
gωω
0≅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
gdBK
ωω
(13.22a)
,1>>gωω
,12
gg ωω
ωω
≅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ggdBK
ωω
ωω lg20 (13.22b)
Dla ω/ωg<<1 oraz dla ω/ωg>>1 rzeczywistą ch-stykę amplitudową można dobrze aproksymować, zastępując ją półprostymi określonymi wzorami (13.22a) i (13.22b). Doprowadzając te półproste do punktu ich przecięcia ω/ωg=1 otrzymamy ch-stykę aproksymującą tj. charakterystykę asymptotyczną odpowiadającą wyrażeniu (13.21).
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
13 /14
ωK( )ω/ωg
ωg[dB]
-20
-40
00,1 1 10 100
-3
PARAMETRY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW
Dla charakterystyk częstotliwościowych układu przyjmuje się na ogół takie parametry jak:
• częstotliwość graniczna - częstotliwość przy której moduł trans-mitancji maleje o 3 dB od wartości no-minalnej dla której umownie przyjęto poziom 0dB.
• pasmo przenoszenia - zakres częstotliwości, w którym moduł
transmitancji maleje nie więcej niż o 3 dB od wartości nominalnej - jest to zakres częstotliwości zawarty między częstotliwościami granicznymi. Miarą pasma przenoszenia SP jest
dgP ffS −=
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
14 /14
• selektywność układu - zdolność rozdziału częstotliwościowe-
go przenoszonych sygnałów. Miarą se-lektywności jest współczynnik prosto-kątności
)20()3(
dBSdBSp
P
P=
• nachylenie charakterystyki - określa się liczbą decybeli wyraża-
jącą zmianę modułu transmitancji układu na dekadę w zadanym za-kresie częstotliwości
2
1
21/
lg
)()(
ωω
ωω dBdBdekdB
KKN −=
KLASYFIKACJA UKŁADÓW
Ze względu na zdefiniowane pasma przepuszczania (zaporowe), moż-na przedstawić następującą klasyfikację układów:
• wąskopasmowy SP << fs • szerokopasmowy SP=fs lub SP > fs • dolnoprzepustowy fg1=0 fg2 < ∞ • górnoprzepustowy fg1>0 fg2 = ∞ • środkowoprzepustowy fg1>0 fg2 < ∞ • środkowozaporowy f∉(fg1, fg2) ∧ fg1>0 ∧ fg2< ∞