t'.--.., LO 1DNnNffN ú Á l!¡''f 7 1 D :? - QurEÑEs .;; ; ü ...
1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof....
15
1 İST 244 MÜHENDİSLİKTE OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER Prof. Dr. NİHAL ERGİNEL ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Sınıflar p(x) 5 x <10 7 1/2 x <15 12 1/4 15 x <20 17 3/16 x <25 22 1/16 Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları ve olasılık fonksiyonları aşağıdaki gibidir. Kolilerin beklenen ortalama ağırlıkları ne kadardır? ÖRNEK ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________
Transcript of 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof....
![Page 1: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/1.jpg)
1
İST 244 MÜHENDİSLİKTE OLASILIK DERSİ
BEKLENEN DEĞER
Prof. Dr. NİHAL ERGİNEL
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
X beklenen değeri B[X] ile gösterilir.
B[X] =
BEKLENEN DEĞER
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Sınıflar p(x)
5 x <10 7 1/2
x <15 12 1/4
15 x <20 17 3/16
x <25 22 1/16
Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları ve
olasılık fonksiyonları aşağıdaki gibidir. Kolilerin
beklenen ortalama ağırlıkları ne kadardır?
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 2: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/2.jpg)
2
X: koli ağırlığı
B[X] =
= 7.
+ 12.
+ 17.
+ 22.
=
= 11,0625
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Bir elektronik devrenin kullanım ömrünün
fonksiyonu;
f(x) =
gibidir. Ortalama beklenen kullanım ömrünü
bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
X: kullanım ömrü (saat)
B[X] =
.
=
.
= 200 saat
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 3: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/3.jpg)
3
BEKLENEN DEĞER
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1) u(x) , x rassal değişkeninin bir fonksiyonu ise;
B[u(x)] =
2) k; sabit bir sayı iken
B[k]=k
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
3) k sabit bir sayı, u(x) x rassal değişkeninin bir
fonksiyonu iken
B[k.u(x)]=k.B[u(x)]
4) u(x) ve v(x) x rassal değişkeninin iki fonksiyonu, a
ve b sabit sabit sayılar iken,
B[a.u(x) + b.v(x)]=a.B[u(x)] + b.B[v(x)] olur veya
B[ax + b ]= a.B[x] + b
BEKLENEN DEĞER
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
5) x rassal değişkeninin beklenen değeri, ana kütle
ortalama değerine eşittir. B[x]=µ şeklinde gösterilir.
B[x]=µ iken B[x-µ] = B[x]-µ= 0 olur.
BEKLENEN DEĞER
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 4: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/4.jpg)
4
VARYANS
V(X) =
V(X) = B[ ] = B[ - 2xµ+ ]
= B[ - 2 + ] = B[ - ]
= B[ ]-
V(X) =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
VARYANSIN ÖZELLİKLERİ
k sabit bir sayı iken;
1-) V(x+k) = V(x)
2-) V(k.x) = .V(x)
3-) Varyansın pozitif kareköküne standart
sapma denir.
= V(x) = B[ ] = B[ ]-
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
x rassal değişkenin olasılık yoğunluk
fonksiyonu;
f(x)=
olarak verilmiştir. B[4x+3] değerini bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 5: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/5.jpg)
5
ÇÖZÜM
B[4x+3] =
.
= 8
f(x)=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
x rassal değişkeni bir üretim sürecindeki kusurlu
parça sayısını göstermektedir. Kusurlu sayıları ve
bunların olasılıkları aşağıda verilmiştir.
x 0 1 2 3
P(x) 0,51 0,38 0,10 0,01
a)Ortalama kusurlu parça sayısını bulunuz.
b)Kusurlu sayısının varyansını bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
µ= = 0(0,51) + 1(0,38)+ 2.(0,10)+3(0,01) =
0,61
= V(x) = B[ ] = B[ ]-
B[ ] = = 0.(0,5)
+1(0,38)+4.(0,10)+9(0,01)= 0,87
= B[ ]- = 0,87 - = 0,4979
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 6: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Bir ürünün haftalık talebinin olasılık
yoğunluk fonksiyonu;
f(x)=
ortalama ve varyansını bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
µ=B[X]=
=
= B[ ]-
B[ ] =
=
= B[ ]- =
-
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
f(x) =
( +1) ; -1 x 1
olasılık yoğunluk fonksiyonunun dağılım
fonksiyonu, ortalama ve varyansını bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 7: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/7.jpg)
7
ÇÖZÜM
=
( +3x+4)
• Dağılım fonksiyonu
F(x)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
• Ortalama
µ=B[X]=
= 0
• Standart sapma
B[ ] =
=
= B[ ]- =
= 0,632
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
MOMENTLER
Moment: a gerçel bir sayı iken, B[ ] ‘ne x
rassal değişkeninin a civarındaki r. momenti denir.
B[ ] =
Şeklinde gösterilir.
B[ ] : x rassal değişkeninin
aritmetik ortalama civarındaki r.
momentidir. ( şeklinde gösterilir.)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 8: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/8.jpg)
8
ÖRNEĞİN:
= B[ ] = varyans , x rassal
değişkeninin aritmetik ortalama civarındaki 2.
momentidir.
a = 0 olursa x rassal değişkeninin sıfır civarındaki
r. momentleri elde edilir.
B[ ] = şeklinde gösterilir.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
X rassal değişkeninin sıfır civarındaki 2. momenti
B[ ] = kareli ortalamadır.
B[ ] =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Standart sapmanın ortalamaya oranına değişim
katsayısı denir.
Değişim katsayısı: DK =
X rassal değişkeninin aritmetik ortalamaya göre 3.
momentinin ‘ e oranına çarpıklık ölçüsü denir.
=
X rassal değişkeninin aritmetik ortalamaya göre 4.
momentinin ‘ e oranına basıklık ölçüsü denir.
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 9: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/9.jpg)
9
MOMENTLER ARASI İLİŞKİLER
Momentleri aritmetik ortalamaya göre hesaplamak
zaman alıcıdır. Bu yüzden sıfır civarındaki momentleri
arasındaki ilişkilerle tarif edilir.
Aritmetik ortalamaya göre r. moment;
B[ ] =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Sıfır civarındaki r. moment;
B[ ] = iken,
r= 1 ise = - µ =0 (
= B[ ] = B[X] = µ olduğu
için )
r=2 ise = -2µ
+ = - = B[ ] -
(aritmetik ortalama civarındaki 2. moment varyans
B[ ] - )
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
r=3 ise,
= -3µ
+3 - =
-3µ +3 -
= -3µ
+2
r= 4 ise ,
= -4µ
+6 -4
+
= -4µ
+6 -3
Yani;
= .
. .
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 10: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/10.jpg)
10
f(x) =
x- sürekli rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
verilmiştir.
a) X rassal değişkenin dağılım fonksiyonunu belirleyiniz.
b) Ortalama ve varyansını bulunuz.
c) Çarpıklık ölçüsünü bulunuz.
d)Basıklık ölçüsünü bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜMc) =
= B[ ] = 0,5
= B[ ] =
=
= -3µ
+2 =
-3.2(0,5)+2. =
=
=
= 67,32
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 11: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/11.jpg)
11
= B[ ] =
= 27
= -4µ
+6 -3 = 27-4.2.
+
6. .
– 3. = 108,6
=
=
= 434,4
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
X rassal değişkenin olasılık fonksiyonu;
p(x) =
şeklinde verilmiştir. Aritmetik ortalama, varyans, standart
sapma, değişim katsayısı, çarpıklık ve basıklık ölçülerini
bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
= B[X] =
=
+
+
=
V(X) = B[ ]
= B[ ]- ; = -
= B[ ] =
=
+
+
=
= 6
= - = 6-
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 12: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/12.jpg)
12
= = 0,745
= B[ ] =
=
= -3µ
+2
=
-3.
.6 +2.
=-
=
=
= -0,627
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
• = B[ ] =
= 46
= -4µ
+6 -3
= 46-4.
+ 6.
. + 3.
=
=
=
= 2,0439
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
MOMENT ÇIKARTAN FONKSİYON
h>0 ve |t|< h için B[ ] ‘ e x rassal değişkenin
moment çıkartan fonksiyonu denir.
(t) = B[ ] =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 13: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/13.jpg)
13
serisi;
= 1+ t.x +
+ ....+
(t) = B[ ] = 1+B[x].t + B ].
+ ...+
B ].
(t) =1+ .t +
.
+ ..... +
.
= sıfır civarındaki r. momenti
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
(t) = B[ ] =
=
+
Moment çıkartan fonksiyonun t’ye göre r. türevini alırsak t
civarındaki r. momentini bulmuş oluruz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
=
=
t = 0 koyarsak, sıfır civarındaki r. momentini bulmuş oluruz.
=
Elde edilir. Parametrelerin tahmininde kullanılabilir.
ÖRNEK-devam:
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 14: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/14.jpg)
14
X rassal değişkenin olasılık fonksiyonu;
P(x) =
. . ; x 0
Şeklindedir. Moment çıkaran fonksiyon yardımı ile
aritmetik ortalama ve varyansını bulunuz.
ÖRNEK:
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
(t) =
=
İki terimlinin binom açılımından;
(t) =
= n. .
= np[ (n-1) + . ]
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
t= 0 olduğunda;
= np (sıfır civarındaki 1. momenti)
= np [(n-1)p+1]
= = np
= - = np[(n-1)p+1] -
= np(1-p) =npq
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![Page 15: 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/İST244/icerik/Hafta 5- Beklenen... · 8 Á 6 = b[ t f Á 6= ê 6 s , x l l . b[ : ;](https://reader030.fdocuments.pl/reader030/viewer/2022040414/5f217aa71c28350337672b52/html5/thumbnails/15.jpg)
15
f(x)=λ. ; x 0
fonksiyonunun aritmetik
ortalaması ve varyansı nedir?
ÖRNEK:
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
• Aritmetik Ortalama
= B[x] =
= uv -
= x. -
+
).λ
= 0+0+
=
. =
-
= v
u =x , du= dx
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
• Standart sapma
= B[ ]-
B[ ]=
=
= B[ ]-
=
-
=
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![t Ç l Ì } u ] } Á µ Ì ] o i Ç Z Á ] Ì w } ] l ] Ì } Á } v ...](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/6248c07d039d5f546d1afe69/t-l-u-o-i-z-.jpg)
![placówek oświatowych · í Oprac. na podstawie: Piotr Kwietniewski „Style przywództwa”, [on line] Z W l l Á Á Á X o l } u l u ] X o l Á ] v ] l ] l Ç o r Ì Ç Á } Ì](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5faa3526d997964e653afce2/placwek-owiatowych-oprac-na-podstawie-piotr-kwietniewski-astyle-przywdztwaa.jpg)
![Z } Ì v Á } Ì v ] u Ç } Ç Ì v Ì Ì ] s o v } ] Ministerstwo ... · za rok 2014 • & } u µ o Ì v o Ï Ç Á Ç s v ] Á i ' Ì Ç l µ } o l ] u V • ^ Á } Ì Á Á Ç](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5f7c141f2138c664c037b313/z-oe-v-oe-v-u-oe-v-oe-oe-s-o-v-ministerstwo-za-rok-2014.jpg)
![Z } Ì i Á ] Ì w E Ì Á Á ] Ì v ] } Á Ç W } Á ] u ] i µ Ì ...](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/6169c72b11a7b741a34b40ff/z-i-w-e-v-w-u-i-.jpg)
![:l } ]Ì }Á}o v] lo] v Á}Á} µi - Dailyfruits.pl · 2017. 4. 7. · Nr 013 - kosz konferencyjny Premium 5 kg z warzywami krojonymi i bakaliami 1 kg jabłka, 1,5 kg Nr 015 - zestaw](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/60d35f38d320985710194566/l-oe-o-v-lo-v-i-2017-4-7-nr-013-kosz-konferencyjny-premium.jpg)
![B t Q...üT qS z á þwb^ aM u t m Uª Ï ®Q `h{ á þt ݯ 6 ÝÝ`oSV ` O{ ]Ö t¢Ï E Ê. o D R a- ~ R aT Ý - pw 8 z G U ÷ z û z ' ¿ t R ; ` h] º{ pw á þwô^x $ "¢ + á](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5ed54e65df67c16a413c46a4/b-t-q-t-qs-z-wb-am-u-t-m-u-q-h-t-6-osv-o.jpg)
![v l } Á v ] Á } ] } Ï Ç Á Ì } µ l Á } Ï Ç Á Ì Ç Z X / v ...›.pdf1lvnd ]dzduwr ü wáxv]f]x 1lvnd ]dzduwr ü nz wá qdv\frq\fk:\vrnd ]dzduwr ü fxnux uhgqld ]dzduwr ü](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5e1515120b37004a88207741/v-l-v-oe-l-oe-z-x-v-pdf1lvnd.jpg)
![Chemia nieorganiczna - Aktualności · 2017. 3. 15. · Chemia nieorganiczna Gabriela Grzybek 0DáJRU]DWD Krzeczkowska . Dr Gabriela Grzybek Á }}l }Á} ] Á Ì Pµ ] Á] l Áµ }](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/60b10e0080c5a85ab00975a9/chemia-nieorganiczna-aktualnoci-2017-3-15-chemia-nieorganiczna-gabriela.jpg)