![SONORA HUATABAMPO 2017 2T IE · v ] & ] À W^ } v } D µ v ] ] ] } W,h d DWK > ] v l µ v W · o ] W Á Á Á X Z µ u } X P } X u Æ](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5f97a67797c491561c41ed17/sonora-huatabampo-2017-2t-ie-v-w-v-d-v-wh-d-dwk-.jpg)
1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.°ST244/icerik... · 2019. 11. 8. · 8...
15
1 İST 244 MÜHENDİSLİKTE OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER Prof. Dr. NİHAL ERGİNEL ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Sınıflar p(x) 5 x <10 7 1/2 x <15 12 1/4 15 x <20 17 3/16 x <25 22 1/16 Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları ve olasılık fonksiyonları aşağıdaki gibidir. Kolilerin beklenen ortalama ağırlıkları ne kadardır? ÖRNEK ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________
Transcript of 1(1'(ö(5 y lo v v R ] y ]o P ]o] X %(./(1(1'(÷(5 Prof. Dr.°ST244/icerik... · 2019. 11. 8. · 8...
-
1
İST 244 MÜHENDİSLİKTE OLASILIK DERSİ
BEKLENEN DEĞER
Prof. Dr. NİHAL ERGİNEL
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
X beklenen değeri B[X] ile gösterilir.
B[X] =
BEKLENEN DEĞER
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Sınıflar p(x)
5 x
-
2
X: koli ağırlığı
B[X] =
= 7.
+ 12.
+ 17.
+ 22.
=
= 11,0625
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Bir elektronik devrenin kullanım ömrünün
fonksiyonu;
f(x) =
gibidir. Ortalama beklenen kullanım ömrünü
bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
X: kullanım ömrü (saat)
B[X] =
.
=
.
= 200 saat
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
3
BEKLENEN DEĞER
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1) u(x) , x rassal değişkeninin bir fonksiyonu ise;
B[u(x)] =
2) k; sabit bir sayı iken
B[k]=k
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
3) k sabit bir sayı, u(x) x rassal değişkeninin bir
fonksiyonu iken
B[k.u(x)]=k.B[u(x)]
4) u(x) ve v(x) x rassal değişkeninin iki fonksiyonu, a
ve b sabit sabit sayılar iken,
B[a.u(x) + b.v(x)]=a.B[u(x)] + b.B[v(x)] olur veya
B[ax + b ]= a.B[x] + b
BEKLENEN DEĞER
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
5) x rassal değişkeninin beklenen değeri, ana kütle
ortalama değerine eşittir. B[x]=µ şeklinde gösterilir.
B[x]=µ iken B[x-µ] = B[x]-µ= 0 olur.
BEKLENEN DEĞER
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
4
VARYANS
V(X) =
V(X) = B[ ] = B[ - 2xµ+ ]
= B[ - 2 + ] = B[ - ]
= B[ ]-
V(X) =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
VARYANSIN ÖZELLİKLERİ
k sabit bir sayı iken;
1-) V(x+k) = V(x)
2-) V(k.x) = .V(x)
3-) Varyansın pozitif kareköküne standart
sapma denir.
= V(x) = B[ ] = B[ ]-
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
x rassal değişkenin olasılık yoğunluk
fonksiyonu;
f(x)=
olarak verilmiştir. B[4x+3] değerini bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
5
ÇÖZÜM
B[4x+3] =
.
= 8
f(x)=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
x rassal değişkeni bir üretim sürecindeki kusurlu
parça sayısını göstermektedir. Kusurlu sayıları ve
bunların olasılıkları aşağıda verilmiştir.
x 0 1 2 3
P(x) 0,51 0,38 0,10 0,01
a)Ortalama kusurlu parça sayısını bulunuz.
b)Kusurlu sayısının varyansını bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
µ= = 0(0,51) + 1(0,38)+ 2.(0,10)+3(0,01) =
0,61
= V(x) = B[ ] = B[ ]-
B[ ] = = 0.(0,5)
+1(0,38)+4.(0,10)+9(0,01)= 0,87
= B[ ]- = 0,87 - = 0,4979
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
6
Bir ürünün haftalık talebinin olasılık
yoğunluk fonksiyonu;
f(x)=
ortalama ve varyansını bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
µ=B[X]=
=
= B[ ]-
B[ ] =
=
= B[ ]- =
-
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
f(x) =
( +1) ; -1 x 1
olasılık yoğunluk fonksiyonunun dağılım
fonksiyonu, ortalama ve varyansını bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
7
ÇÖZÜM
=
( +3x+4)
• Dağılım fonksiyonu
F(x)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
• Ortalama
µ=B[X]=
= 0
• Standart sapma
B[ ] =
=
= B[ ]- =
= 0,632
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
MOMENTLER
Moment: a gerçel bir sayı iken, B[ ] ‘ne x
rassal değişkeninin a civarındaki r. momenti denir.
B[ ] =
Şeklinde gösterilir.
B[ ] : x rassal değişkeninin
aritmetik ortalama civarındaki r.
momentidir. ( şeklinde gösterilir.)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
8
ÖRNEĞİN:
= B[ ] = varyans , x rassal
değişkeninin aritmetik ortalama civarındaki 2.
momentidir.
a = 0 olursa x rassal değişkeninin sıfır civarındaki
r. momentleri elde edilir.
B[ ] = şeklinde gösterilir.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
X rassal değişkeninin sıfır civarındaki 2. momenti
B[ ] = kareli ortalamadır.
B[ ] =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Standart sapmanın ortalamaya oranına değişim
katsayısı denir.
Değişim katsayısı: DK =
X rassal değişkeninin aritmetik ortalamaya göre 3.
momentinin ‘ e oranına çarpıklık ölçüsü denir.
=
X rassal değişkeninin aritmetik ortalamaya göre 4.
momentinin ‘ e oranına basıklık ölçüsü denir.
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
9
MOMENTLER ARASI İLİŞKİLER
Momentleri aritmetik ortalamaya göre hesaplamak
zaman alıcıdır. Bu yüzden sıfır civarındaki momentleri
arasındaki ilişkilerle tarif edilir.
Aritmetik ortalamaya göre r. moment;
B[ ] =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Sıfır civarındaki r. moment;
B[ ] = iken,
r= 1 ise = - µ =0 (
= B[ ] = B[X] = µ olduğu
için )
r=2 ise = -2µ
+ = - = B[ ] -
(aritmetik ortalama civarındaki 2. moment varyans
B[ ] - )
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
r=3 ise,
= -3µ
+3 - =
-3µ +3 -
= -3µ
+2
r= 4 ise ,
= -4µ
+6 -4
+
= -4µ
+6 -3
Yani;
=
.
. .
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
10
f(x) =
x- sürekli rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
verilmiştir.
a) X rassal değişkenin dağılım fonksiyonunu belirleyiniz.
b) Ortalama ve varyansını bulunuz.
c) Çarpıklık ölçüsünü bulunuz.
d)Basıklık ölçüsünü bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜMc) =
= B[ ] = 0,5
= B[ ] =
=
= -3µ
+2 =
-3.2(0,5)+2. =
=
=
= 67,32
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
11
= B[ ] =
= 27
= -4µ
+6 -3 = 27-4.2.
+
6. .
– 3. = 108,6
=
=
= 434,4
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
X rassal değişkenin olasılık fonksiyonu;
p(x) =
şeklinde verilmiştir. Aritmetik ortalama, varyans, standart
sapma, değişim katsayısı, çarpıklık ve basıklık ölçülerini
bulunuz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
= B[X] =
=
+
+
=
V(X) = B[ ]
= B[ ]- ; = -
= B[ ] =
=
+
+
=
= 6
= - = 6-
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
12
= = 0,745
= B[ ] =
=
= -3µ
+2
=
-3.
.6 +2.
=-
=
=
= -0,627
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
• = B[ ] =
= 46
= -4µ
+6 -3
= 46-4.
+ 6.
. + 3.
=
=
=
= 2,0439
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
MOMENT ÇIKARTAN FONKSİYON
h>0 ve |t|< h için B[ ] ‘ e x rassal değişkenin
moment çıkartan fonksiyonu denir.
(t) = B[ ] =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
13
serisi;
= 1+ t.x +
+ ....+
(t) = B[ ] = 1+B[x].t + B ].
+ ...+
B ].
(t) =1+ .t +
.
+ ..... +
.
= sıfır civarındaki r. momenti
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
(t) = B[ ] =
=
+
Moment çıkartan fonksiyonun t’ye göre r. türevini alırsak t
civarındaki r. momentini bulmuş oluruz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
=
=
t = 0 koyarsak, sıfır civarındaki r. momentini bulmuş oluruz.
=
Elde edilir. Parametrelerin tahmininde kullanılabilir.
ÖRNEK-devam:
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
14
X rassal değişkenin olasılık fonksiyonu;
P(x) =
. . ; x 0
Şeklindedir. Moment çıkaran fonksiyon yardımı ile
aritmetik ortalama ve varyansını bulunuz.
ÖRNEK:
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
(t) =
=
İki terimlinin binom açılımından;
(t) =
= n. .
= np[ (n-1) + . ]
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
t= 0 olduğunda;
= np (sıfır civarındaki 1. momenti)
= np [(n-1)p+1]
= = np
= - = np[(n-1)p+1] -
= np(1-p) =npq
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
-
15
f(x)=λ. ; x 0
fonksiyonunun aritmetik
ortalaması ve varyansı nedir?
ÖRNEK:
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
• Aritmetik Ortalama
= B[x] =
= uv -
= x. -
+
).λ
= 0+0+
=
. =
-
= v
u =x , du= dx
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
• Standart sapma
= B[ ]-
B[ ]=
=
= B[ ]-
=
-
=
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
![X } X µ l W o } v } Á ] } v Z ] Z D Z P v ] X } X µ l - Maths Genie · 2019. 9. 11. · (2 marks) (2 marks) Give your answer in its simplest form. Given that a:c= 1:6 and Find](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/601f31d1c69673747d0ab929/x-x-l-w-o-v-v-z-z-d-z-p-v-x-x-l-maths-genie-2019-9.jpg)
![cennik ge 2017 V3...' K u ] o W ] µ } P } X o µ o X ^ X< u ] Ç í í U ï î r ì ô ï o ] Á W Á Á Á X P } X o](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/60a02d1e6d554327d261bbc7/cennik-ge-2017-v3-k-u-o-w-p-x-o-o-x-x-u-u-.jpg)
![autoreferat pl swolkien · : X ^ Á } o l ] w W µ } ( ï t u } i i } Ç Z Ì } Á i Ç v µ l } Á i l µ ] s u ] ' P s Á v ] v Á Z Ì Á ] Ì v Ç Z](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5fff33effd8828617014a075/autoreferat-pl-swolkien-x-o-l-w-w-t-u-i-i-z-oe-.jpg)
![Z } Ì v Á } Ì v ] u Ç } Ç Ì v Ì Ì ] s o v } ] } P v ] Ì i ... · Strona www 2. Adres siedziby i dane kontaktowe ï X i i ] Á < i } Á Ç u Z i Ì ^ } Á Ç u ð X µ Ì](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/602121084dda0c403434a724/z-oe-v-oe-v-u-oe-v-oe-oe-s-o-v-p-v-oe-i-strona-www.jpg)
![2 runda MPRC 2020 · î / X tK z / KZ' E/ dKZ í X Á } Ç v } Á ] î X Z µ v ' D ] Ì } Á W } o l ] Z o o Ç } î ì î ì ~ Ì Á v o i DWZ X](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/6018167517f217131a2fba4e/2-runda-mprc-2020-x-tk-z-kz-e-dkz-x-v-x-z-v-d.jpg)
![Odwadniacz w systemie parowym - szalucki.plszalucki.pl/pdf/odwadniacz-w-systemie.pdf · < Ì Ç Ì } ( ^ Ì s µ l ] W cK Á v ] Ì Á Ç u ] } Á Ç u X _ X ð](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5c76209909d3f2ff328be903/odwadniacz-w-systemie-parowym-i-c-i-i-s-l-w-ck-a-v-i.jpg)
![5-2019é£ å® ç ç ¸å ±ä½ ç ¥ 1125R2 - NCKUpopularscience.web2.ncku.edu.tw/var/file/104/1104/img/... · 2019-11-26 · Z W l l Á Á Á X Z v Á o v X } u l ] o l í ì](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5faf1430dd390d048170c882/5-2019-1125r2-2019-11-26-z-w-l-l-x.jpg)
![E } Á Á Ç Ì Á v ] t Ì Ç P } } Á v ] Ç o ] v i l ] i„stwo Narodowe... · ì ó x ì ï x î ì í ò í í.rqfhsfmd sudf\ ²nduwnd v Ì i d i w l ] ~ î ñ î í 0duldq](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5c76a7c709d3f25d028bc5f3/e-a-a-c-i-a-v-t-i-c-p-a-v-c-o-v-i-l-i-stwo-narodowe.jpg)
![µ v ] Ç d } } ] Á ] Z E ] } v [ W ] < Z ] s E z KE Whd d/KE - KVIC · 2020. 6. 1. · v o ' } À X u o } Ç À ] }Wd KD E } X ò l ô l î ì ì õ r X ~W Ç // X í ó X ì ò](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/6043fca1e860f968ce356fc9/-v-d-z-e-v-w-z-s-e-z-ke-whd-dke-2020-6-1.jpg)
![Á Á Á X ] v ( } ] P X o K E K>EK /](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5c76882109d3f2d3778bed55/a-a-a-x-v-p-x-o-k-e-kek-.jpg)
![Z } Ì v Á } Ì v ] u Ç } Ç Ì v Ì Ì ] s o v } ] Ministerstwo ... · 9. Cele statutowe organizacji ~E o Ï Ç } ] o v } Á ] µ µ } P v ] Ì i ] 1 X Ì ] Á Ì ] s v ] Á Ç](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5f3756c8f5480c5526653cf2/z-oe-v-oe-v-u-oe-v-oe-oe-s-o-v-ministerstwo-9-cele-statutowe.jpg)
![Á } Ì v ] Ì Á ] Ì Ç Ç Á ] o ] } l Z h v ] Á Ç µ & o } v i ......Title: Microsoft Word - sprawozdanie Author: togiza Created Date: 6/6/2018 10:18:22 AM](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5f377d66c947d7695370111a/-oe-v-oe-oe-o-l-z-h-v-o-v-i-.jpg)