Konstrukcje wsporcze pod maszyny | Wykład nr 3

1. Warunki projektowe fundamentów blokowych/p. 5.4.1 normy/

Właściwie zaprojektowany fundament pod maszynę powinien spełniać wymagania dotyczące stanu granicznego użytkowania, polegającego na ograniczeniu amplitud drgań wymuszonych pod wpływem charakterystycznych obciążeń dynamicznych maszyny (sił wzbudzających) do wielkości dopuszczalnych.

𝑨 ≤ 𝑨𝒅𝒐𝒑

Wartości amplitud dopuszczalnych należy przyjmować zgodnie z rys. 4 normy.

Ponadto zaleca się unikanie stanu rezonansu, co wyraża się warunkiem: 𝒏𝒘 ≠ 𝒏𝒎

𝑛𝑤 – częstość drgań własnych układu, 𝑛𝑚 – częstość drgań wymuszonych.

Konstrukcje wsporcze pod maszyny | Wykład nr 3

2. Grunt jako podłoże fundamentów pod maszyny. Naprężenia w gruncie przy obciążeniu fundamentami pod maszyny

2.1. Wprowadzenie Fundamenty pod maszyny, w szczególności ciężkie zazwyczaj spoczywają na gruncie. Należy więc podać cechy gruntu jako podłoża pod fundamenty maszyn. W celu umożliwienia rachunkowego ujęcia właściwości gruntu budowlanego jako podłoża dla fundamentów pod maszyny, traktuje się go jako podłoże sprężyste wg hipotezy Winklera. Co oznacza, że przyjmuje się zależność między jednostkowym obciążeniem a odkształceniem gruntu jako liniową. Takie ujęcie problemu zakłada, że odkształceniu podlega tylko podłoże obciążone, a sąsiednie części gruntu nieobciążone są nieodkształcalne, więc na obwodzie powierzchni obciążonej powinny nastąpić zakłócenia czy wręcz przerwy w ciągłości powierzchni podłoża. Tego rodzaju przesłanki teoretyczne nakłaniają do zwiększenia liczby współczynników podłoża, mając na uwadze szersze ujęcie dynamicznych właściwości gruntu (stosowana początkowo 2 współczynniki podłoża, teraz są stosowane 4). Przy równomiernym nacisku zachodzi zależność:

𝑝 = 𝐶𝛿 gdzie: p – normalny nacisk zewnętrzny przekazywany na grunt, [kN/m2], C – współczynniki proporcjonalności, inaczej nazywany współczynnikiem podłoża, [kN/m3], 𝛿 – całkowite ugięcie gruntu pod wpływem nacisku zewnętrznego, [m].

Rys. 1. Zależność naprężeń i odkształceń statycznych i dynamicznych w gruncie

Na rysunku 1 pokazano zależność między statycznym i dynamicznym współczynnikiem podłoża gruntowego (zależność między naprężeniami i odkształceniami). Statyczny współczynnik podłoża wyraża się zależnością (linia OA wykresu):

𝐶𝑠 =𝑝𝑠𝑡

𝛿𝑠𝑡= 𝑡𝑔𝛼𝑠𝑡

Konstrukcje wsporcze pod maszyny | Wykład nr 3

gdzie: 𝑝𝑠𝑡 – statyczny nacisk na grunt, 𝛿𝑠𝑡 – ugięcie gruntu pod wpływem statycznego nacisku 𝑝𝑠𝑡. Przy odciążeniu gruntu całkowite ugięcie statyczne gruntu 𝛿𝑠𝑡 zmniejsza się o wielkość 𝛿𝑠𝑝𝑟

i staje się równe 𝛿𝑝𝑙 (co przedstawia linia AB wykresu).

Zakłada się, że następne obciążenia i odciążenia gruntu powodują odkształcenia zmieniające się wzdłuż linii AB. Odkształcenie 𝛿𝑠𝑝𝑟 jest „sprężynującą” częścią odkształcenia całkowitego. Jeżeli przy

statycznym nacisku fundamentu na grunt 𝑝𝑜 występują obciążenia dynamiczne wywołujące naprężenia zmienne ±𝑝𝑑 oraz towarzyszące im odkształcenia ±𝛿𝑑 to dynamiczny współczynnik podłoża wyraża się zależnością:

𝐶𝑑 =𝑝𝑑

𝛿𝑑= 𝑡𝑔𝛼𝑑

2.2. Nacisk na podłoże gruntowe Nacisk jednostkowy na podłoże gruntowe przekazywany od fundamentu pod maszynę przez jego podstawę powinien spełniać warunek:

𝒒ś𝒓 ≤ 𝒎𝒎𝒒𝒇𝒏

𝑞ś𝑟 = 𝑝ś𝑟 − średni nacisk na podłoże gruntowe wywierany przez podstawę fundamentu od

statycznych obciążeń charakterystycznych, 𝑚𝑚 – współczynnik warunków pracy maszyny, 0,4 ≤ 𝑚𝑚 ≤ 1,0, tabl. 5 normy, 𝑞𝑓𝑛 – charakterystyczne obciążenie jednostkowe podłoża, należy wyznaczyć z normy PN-81/B-

03020.

𝑞ś𝑟 = 𝑝ś𝑟 =∑ 𝐺

𝐹

F=a b – pole podstawy fundamentu [m2]

Konstrukcje wsporcze pod maszyny | Wykład nr 3

2.3. Grunt jako podłoże fundamentów pod maszyny – dynamiczne właściwości podłoża gruntowego

Dynamiczny współczynnik podłoża wyraża się zależnością:

𝐶𝑑 =𝑝𝑑

𝛿𝑑= 𝑡𝑔𝛼𝑑

Definiując znaczenie dynamicznego współczynnika podłoża dla równomiernego nacisku pionowego można powiedzieć, że jest to jednostkowa wartość nacisku, przy której podczas obciążenia dynamicznego następuje sprężyste odkształcenie podłoża o jednostkę długości. W przypadku gdy fundament jest pod działaniem obciążeń dynamicznych może nastąpić:

osiadanie gruntu,

odkształcenie trwałe i sprężyste,

przenoszenie przez grunt drgań fundamentu,

możliwość rozrzedzenia gruntu pod wpływem drgań. Trochę historii Przez szereg lat posługiwano się współczynnikami (pionowymi i poziomymi), otrzymanymi w wyniku badań doświadczalnych, przeprowadzonych przez niemiecką firmę w 1933 r i takie dwa współczynniki jako charakterystykę gruntu, stosował w swoich rozważaniach teoretycznych Rausch. Obecnie do wyznaczania dynamicznych cech sprężystych podłoża posługujemy się metodą Sawinowa („Fundamienty pod masziny” Leningrad 1955 r.), opartą na czterech współczynnikach podłoża gruntowego – metoda ta podana jest w PN-80/B-03040/p.2/s.5:

Cz, Cx, C, Cψ [kN/m3]

Wartości tych współczynników mogą być również podane na podstawie specjalnych badań. Współczynniki te charakteryzują uogólnione cechy sprężyste gruntu i łączą naprężenia w gruncie z wywołanymi przez nie odkształceniami sprężystymi w obciążeniach dynamicznych.

Współczynniki dla gruntów w stanie naturalnego zalegania

Sawinow przyjmuje, że grunt stanowi nieograniczone sprężyste podłoże, na którym bez tarcia leży napięta błona, wywierająca, pod wpływem znajdującego się na niej obciążenia, równomierne ciśnienie na grunt.

Współczynnik sprężystego równomiernego ugięcia gruntu Cz

(przy pionowym równomiernym nacisku)

𝐶𝑧 = 𝐶𝑜 [1 +2(𝑎+𝑏)

Δ∙𝐹] √

𝑝

20 [kN/m3]

Konstrukcje wsporcze pod maszyny | Wykład nr 3

𝜎𝑧 – pionowa składowa nacisku fundamentu na podłoże z – pionowe sprężyste przemieszczenie podłoża

Współczynnik sprężystego nierównomiernego ugięcia gruntu C (przy działaniu momentu wywołującego obrót fundamentu względem jednej z głównych osi

poziomych)

𝐶𝜑 = 𝐶𝑜 [1 +2(𝑎+3𝑏)

Δ∙𝐹] √

𝑝

20 [kN/m3]

M – składowa momentu działającego na podłoże dla jednej z głównych płaszczyzn pionowych (xz oraz yz) powodująca obrót podstawy fundamentu

po osi podstawy o kąt I – moment bezwładności pola podstawy fundamentu względem osi przechodzącej przez środek ciężkości podstawy, prostopadle do płaszczyzny działania momentu

Współczynnik sprężystego równomiernego przesuwu Cx

(przy równomiernym poziomym naprężeniu)

𝐶𝑥 = 0,7𝐶𝑧 [kN/m3]

𝜎𝑥 – pozioma składowa (styczna) nacisku fundamentu na podłoże x – poziome sprężyste przemieszczenie podłoża

Konstrukcje wsporcze pod maszyny | Wykład nr 3

Współczynnik sprężystego nierównomiernego przesuwu Cψ (przy nierównomiernym poziomym naprężeniu)

𝐶ψ = 1,1𝐶𝑧 [kN/m3]

Mz – zewnętrzny moment, wywołujący obrót podstawy fundamentu po pionowej osi o kąt ψ Iz = Ix + Iy – biegunowy moment bezwładności pola podstawy fundamentu

Przy czym: Co – wartość współczynnika przyjmowana z tabl. 1 normy/s. 5, p – statyczny nacisk fundamentu na grunt od obciążeń charakterystycznych, na które składają

się ciężar własny fundamentu, ciężar własny maszyn i urządzeń spoczywających stale na fundamencie oraz ciężar ewentualnego gruntu znajdującego się na obrzeżach fundamentu [MPa],

Δ = 1𝑚−1 – współczynnik korekcyjny,

F=a b – pole podstawy fundamentu [m2], gdzie b jest wymiarem boku podstawy prostopadłego do rozpatrywanej płaszczyzny drgań, przy czym 𝐹 ≤ 50𝑚2.

Konstrukcje wsporcze pod maszyny | Wykład nr 3

2.4. Inne zapisy z normy

2.5. Dynamiczne sztywności podłoża gruntowego - K Aby obliczyć amplitudy drgań wymuszonych i częstości drgań własnych należy wyznaczyć współczynniki sztywności K podłoża naturalnego. Współczynniki K wyrażają wartości sił lub momentów potrzebne do odpowiedniego jednostkowego odkształcenia podłoża pod całym fundamentem przy obciążeniu dynamicznym. Sztywność podłoża gruntowego K dla bezpośredniego posadowienia wyraża się wzorami:

ugięcie pionowe podstawy fundamentu (przy równomiernym nacisku) 𝑲𝒛 = 𝑪𝒛 𝑭 [kN/m]

obrót podstawy fundamentu względem osi poziomej prostopadłej do płaszczyzny drgań (przy równomiernym nacisku pionowym)

𝑲𝒙𝒛 = 𝑪𝝋𝒙𝒛 𝑰𝒚 [kNm]

𝑲𝒚𝒛 = 𝑪𝝋𝒚𝒛

𝑰𝒙 [kNm]

𝑰𝒚 =𝒃𝒂𝟑

𝟏𝟐, 𝑰𝒙 =

𝒂𝒃𝟑

𝟏𝟐

przesuw poziomy fundamentu w kierunku osi x lub y (równomierny) 𝑲𝒙 = 𝑲𝒚 = 𝑪𝒙 𝑭 [kN/m]

obrót podstawy fundamentu względem osi pionowej (przy nierównomiernym nacisku poziomym)

𝑲𝝍 = 𝑪𝝍 𝑰𝒛 [kNm]

F=a b – pole podstawy fundamentu [m2], Ix, Iy – momenty bezwładności podstawy fundamentu względem osi x i y [m4], Iz = Ix + Iy – biegunowy moment bezwładności pola podstawy fundamentu [m4],

Cz, Cx, C, Cψ – dynamiczne współczynniki podłoża [kN/m3].

Konstrukcje wsporcze pod maszyny | Wykład nr 3

Konstrukcje wsporcze pod maszyny | Wykład nr 3

2.6. Tłumienie drgań w gruncie/p.2.4 normy/ Grunt odznacza się właściwością tłumienia (wygasania) drgań. Tłumienie odgrywa istotną rolę, w przypadku gdy występuje rezonans, czyli sytuacja gdy częstości drgań wzbudzających pokrywają się z częstościami drgań własnych fundamentu.

We wzorach opisujących drgania tłumione występuje stopień tłumienia , który można wyrazić wzorem:

𝜸 = 𝚽 𝝎 gdzie: Φ – współczynnik charakteryzujący właściwości tłumiące gruntu [s] 𝜔 – częstość kątowa drgań wymuszonych fundamentu [rad/s.] Współczynniki charakteryzujące właściwości tłumiące podłoża gruntowego zestawiono w tablicy 6 normy. Niższe wartości współczynnika Φ dotyczą fundamentów posadowionych płytko (hp=1,0 – 1,5 m), wyższe – fundamentów głęboko posadowionych ((hp > 1,5 m).

Konstrukcje wsporcze pod maszyny | Wykład nr 3

2.7. Wyznaczenie częstości drgań i amplitud fundamentu blokowego Częstości drgań

m – masa bryły [kN] 𝑚 =∑ 𝐺

𝑔

𝑔 = 9,81 𝑚

𝑠2 przyspieszenie ziemskie

Drgania własne pionowe

Częstość kątowa drgań własnych pionowych

𝜔𝑧 = √𝐾𝑧

𝑚 [rad/s]

Drgania własne poziome

Częstość kątowa drgań własnych poziomych

𝜔𝑥 = √𝐾𝑥𝑧

𝑚 [rad/s]

Drgania własne złożone wahadłowe w pł. xz – prost. do y

𝜔1

𝜔2

Częstość kątowa drgań własnych wahadłowych: Wahadłowe w płaszczyźnie xz – prostopadłe do y -

𝜔1,2

𝜔1,2 = √1

2𝜗[𝜔𝜑

2 + 𝜔𝑥2 ± √(𝜔𝜑

2 + 𝜔𝑥2)

2− 4𝜗𝜔𝜑

2 𝜔𝑥2]

𝜔1 = √1

2𝜗[𝜔𝜑

2 + 𝜔𝑥2 + √(𝜔𝜑

2 + 𝜔𝑥2)

2− 4𝜗𝜔𝜑

2 𝜔𝑥2]

𝜔2 = √1

2𝜗[𝜔𝜑

2 + 𝜔𝑥2 − √(𝜔𝜑

2 + 𝜔𝑥2)

2− 4𝜗𝜔𝜑

2 𝜔𝑥2]

stosunek momentów bezwładności mas prostopadłych do płaszczyzny drgań

𝜗 =𝐽𝑦

𝐽𝑦 + 𝑚ℎ2

częstość kątowa drgań własnych obrotowych – ogólny zapis

𝜔𝜑 = √𝐾𝜑𝐺ℎ

𝐽+𝑚ℎ2 –

częstość kątowa drgań własnych obrotowych -

podstawiana wartość do wzoru

𝜔𝜑𝑥𝑧2 =

𝐾𝜑𝑥𝑧 ∑ 𝐺 ℎ

𝐽𝑦 + 𝑚ℎ2

zx0

z

01

x0

z

01

x

x0

z

hh1

x0

z

Konstrukcje wsporcze pod maszyny | Wykład nr 3

Drgania własne złożone wahadłowe w pł. yz – prost. do x

𝜔3

𝜔4

Częstość kątowa drgań własnych wahadłowych: Wahadłowe w płaszczyźnie yz – prostopadłe do x

𝜔3,4

𝜔3,4 = √1

2𝜗[𝜔𝜑

2 + 𝜔𝑥2 ± √(𝜔𝜑

2 + 𝜔𝑥2)

2− 4𝜗𝜔𝜑

2 𝜔𝑥2]

𝜔3 = √1

2𝜗[𝜔𝜑

2 + 𝜔𝑥2 + √(𝜔𝜑

2 + 𝜔𝑥2)

2− 4𝜗𝜔𝜑

2 𝜔𝑥2]

𝜔4 = √1

2𝜗[𝜔𝜑

2 + 𝜔𝑥2 − √(𝜔𝜑

2 + 𝜔𝑥2)

2− 4𝜗𝜔𝜑

2 𝜔𝑥2]

stosunek momentów bezwładności mas

prostopadłych do płaszczyzny drgań

𝜗 =𝐽𝑥

𝐽𝑥 + 𝑚ℎ2

częstość kątowa drgań własnych obrotowych

𝜔𝜑𝑦𝑧2 =

𝐾𝜑𝑦𝑧 ∑ 𝐺 ℎ

𝐽𝑥 + 𝑚ℎ2

Drgania własne skrętne w płaszczyźnie poziomej xy względem osi pionowej z

Częstość kątowa drgań własnych skrętnych

𝜔𝜓 = √𝐾𝜓

𝐽𝑧

Częstości kątowe drgań wymuszonych

𝜔𝑚 =2𝜋

60𝑛𝑚

𝑛𝑚 – nominalna prędkość obrotowa - zadana w projekcie w obr./min Sprawdzenie warunku normowego 𝝎𝒘 ≠ 𝝎𝒎 Norma zaleca projektowanie fundamentu w taki sposób, aby unikać stanu rezonansu (czyli nakładania się drgań własnych i wymuszonych). Zaleca się, aby częstości drgań własnych i wymuszonych różniły się co najmniej o 20%. Jeżeli różnica jest mniejsza niż 20% jesteśmy w strefie przedrezonansowej.

y0

z

y0

z

y0

z

hh1

y0

z

hh1

y0

z

y0

z

y0

z

hh1

y0

z

hh1

x0

y

Konstrukcje wsporcze pod maszyny | Wykład nr 3

Podstawa opracowania

1. Lipiński J. Fundamenty pod maszyny, Arkady, Warszawa, 1985. 2. Kisiel I. Dynamika fundamentów pod maszyny. PWN, Warszawa 1957. 3. PN-B-03040. Fundamenty i konstrukcje wsporcze pod maszyny – Obliczenia

i projektowanie. 1980. 4. PN-81-B03020. Posadowienie bezpośrednie budowli Obliczenia statyczne

i projektowanie, 1981. 5. Lewandowski R. Dynamika konstrukcji budowlanych, Wyd. PP, Poznań 2006. 6. Chmielewski T., Zembaty Z. Podstawy dynamiki budowli, Arkady, Warszawa 1998.