1 Testy statystyczne

Podczas sprawdzania hipotez statystycznych mog ¾a wyst ¾apic dwa rodzaje b÷¾edów.Prawdopodobienstwo b÷¾edu polegaj ¾acego na odrzuceniu hipotezy zerowej (H0),gdy jest ona prawdziwa, czyli tzw. b÷¾edu I rodzaju okresla si¾e zazwyczaj przez�; natomiast p-stwo pope÷nienia b÷¾edu II rodzaju polegaj ¾acego na przyj¾eciuhipotezy zerowej, gdy jest ona fa÷szywa okresla si¾e symbolem �:Przedstawimy teraz ogólny schemat przebiegu procedury wery�kacyjnej:

Sformu÷owanie hipotezy zerowej i alternatywnej

+Wybór statystyki testowej

+Okreslenie poziomu istotnosci �

+Wyznaczenie obszaru krytycznego testu

+Obliczenie statystyki na podstawie próby

+Nie odrzucac H0 (= Podj¾ecie decyzji =) Odrzucic H0

+ +Wnioskujemy, ·ze H0mo·ze byc prawdziwa

Wnioskujemy, ·ze H1jest prawdziwa

2 Rodzaje testów

Testy parametryczne najcz¾esciej wery�kuj ¾a s ¾ady o takich parametrach popu-lacji, jak srednia arytmetyczna, wskaznik struktury i wariancja. Testy te s ¾akonstruowane przy za÷o·zeniu znajomosci dystrybuanty w populacji generalnej.Wi¾ekszosc z nich zak÷ada, ·ze rozk÷ad badanej cechy w populacji jest rozk÷ademnormalnym.Testy nieparametryczne nie wymuszaj ¾a ·zadnych za÷o·zen dotycz ¾acych postaci

badanych zmiennych w populacji, w zwi ¾azku z tym cz¾esto s ¾a okreslane mi-anem testów niezwi ¾azanych z rozk÷adem. S÷u·z ¾a one do wery�kacji ró·znorodnychhipotez dotycz ¾acych, m. in. zgodnosci rozk÷adu cechy w populacji z okreslonymrozk÷adem teoretycznym, zgodnosci rozk÷adów w dwóch populacjach, a tak·zechocia·zby losowosci wyboru próby. W szczególnych przypadkach dla ma÷ychprób i rozk÷adów nienormalnych zast¾epuj ¾a testy parametryczne.Schemat rozwa·zanych w dalszej w cz¾esci testów przedstawia si¾e nast¾epuj ¾aco:

1

1) testy s÷u·z ¾ace do wery�kacji w÷asnosci populacji jednowymiarowych

Testy porównuj ¾ace oceny parametrów ze wzorcem =)

Testy parametryczne- test dla sredniej- test dla poporcji- test dla wariancji

Testynieparametryczne

Testy oceniaj ¾acezgodnosc rozk÷aduempirycznego zteoretycznym

=) test zgodnosci �2

test zgodnosci Ko÷mogorowatest serii (= Testy oceniaj ¾ace

losowosc próby

2) test s÷u·z ¾ace do porównywania w÷asnosci dwóch populacji

Testy porównuj ¾ace oceny parametrów z dwóch prób+

Testy parametryczne:- testy dla dwóch srednich- testy dla dwóch proporcji- testy dla dwóch wariancji

Testy oceniaj ¾ace zgodnosc dwóch rozk÷adów empirycznych+

Testy nieparametryczne- test Ko÷mogorowa-Smirnowa

- test jednorodnosci �2

- test mediany- test serii- test znaków

2.1 Testy dla populacji jednowymiarowej

Poni·zej przedstawimy przegl ¾ad najwa·zniejszych testów stosowanych do wery-�kacji hipotez o w÷asnosciach populacji jednowymiarowej.

2

2.1.1 Testy dla sredniej

W testach dla sredniej wery�kacji poddaje si¾e hipotez¾e zerow ¾a postaci

H0 : � = �0

wobec hipotezy alternatywnej, która przyjmuje jedn ¾a z trzech postaci

H1 : � 6= �0 lub � > �0 lub � < �0Statystyka testowa zale·zy od trzech czynników:- rozk÷adu cechy w populacji- znajomosci odchylenia standardowego w populacji- liczebnosci próby

Test I. W tescie tym zak÷adamy, ·ze badana cecha ma rozk÷ad normalny onieznanej sredniej, jednak·ze znanym odchyleniu, tzn. X � N (�; �), �� nieznane,�� znane, ponadto liczebnosc próby jest bez znaczenia. Jako statystyk¾e testow ¾astosujemy wówczas statystyk¾e

Z =X � �0

�pn

=X � �0�

pn:

Decyzj¾e o odrzuceniu H0 podejmujemy w zale·znosci od tego czy obliczonawartosc statystyki testowej Z nale·zy do przedzia÷u krytycznego. Przedzia÷kry-tyczny jest zale·zny od postaci hipotezy alternatywnej. Ogólnie przy okreslaniuprzedzia÷u dla sredniej mo·zemy posi÷kowac si¾e nast¾epuj ¾acymi wskazówkami.

Hipoteza alternatywna Obszar krytycznyH0 : � 6= �0 W =

��1;�z�

2

�[�z�2;1�

H0 : � > �0 W = [z�;1)H0 : � < �0 W = (�1;�z�]

(1)

gdzie z� jest kwantylem rz¾edu 1� � standardowego rozk÷adu normalnego.

Test II. W tescie tym zak÷ada si¾e rozk÷ad populacji jest dowolny o nieznanejsredniej oraz nieznanym odchyleniu, jednak·ze liczebnosc próby przekracza 30.W tym przypadku jako statystyk¾e testow ¾a stosuje si¾e statystyk¾e

Z =X � �0S

pn;

gdzie S jest odchyleniem obliczanym z próby. W tym tescie obszary krytycznepokrywaj ¾a si¾e z tymi wyst¾epuj ¾acymi w tescie I.

Test III. W tym przypadku zak÷adamy, ·ze badana cecha ma rozk÷ad nor-malny o nieznanych parametrach � oraz �; natomiast liczebnosc próby nieprzekracza 30. Stosujemy wówczas statystyk¾e testow ¾a

T =X � �0S

pn� 1:

3

Obszar krytyczny równie·z jest uzale·zniony od postaci hipotezy alternatywnej ijest zbli·zony do danych zawartych we wzorach (1), nale·zy jednak zast ¾apic z�przez t�;n�1; gdzie t�;n�1 jest kwantylem rz¾edu 1� � rozk÷adu t� Studenta on� 1 stopniach swobody.

2.1.2 Test dla proporcji

Test dla proporcji s÷u·zy do wery�kacji hipotezy o udziale w ca÷ej populacji jed-nostek posiadaj ¾acych wyró·zniony wariant danej cechy, co jest okreslane mianemfrakcji, proporcji lub wskaznika struktury. Zak÷ada si¾e, ·ze populacja ma rozk÷addwumianowy z parametrem p oraz próba jest liczna n > 50:Wery�kacji poddajesi¾e nast¾epuj ¾ace hipotezy

H0 : p = p0

H1 : p 6= p0; lub p > p0; lub p < p0:

Jako statystyk¾e testow ¾a stosuje si¾e statystyk¾e

Z =kn � p0p

p0q0n

;

gdzie k- liczba elementów wyró·znionych w próbie, p0 + q0 = 1: Jako obszarówkrytycznych u·zywa si¾e obszarów ze wzorów (1).

2.1.3 Test dla wariancji

W tescie tym zak÷ada si¾e, ·ze rozwa·zana cecha ma rozk÷ad normalny. Wyró·zniasi¾e ponadto dwa przypadki w zale·znosci od liczebnosci próby. W przypadkupróby nie przekraczaj ¾acej 30 elementów do wery�kacji hipotez

H0 : �2 = �20 (2)

H1 : �2 6= �20; lub �2 > �20; lub �2 < �20 (3)

stosuje si¾e statystyk¾e

�2 =nS2

�20=(n� 1) bS2

�20;

gdzie bS2 jest wariancj ¾a nieobci ¾a·zon ¾a z próby.Dla powy·zszej statystyki obszary krytyczne równie·z uzale·znione s ¾a od postaci

hipotezy (3) i przyjmuj ¾a nast¾epuj ¾ac ¾a postac

Hipoteza alternatywna Obszar krytycznyH0 : �

2 6= �20 W =�0; �2�1

�[��2�2 ;1

�H0 : �

2 > �20 W =��2�;1

�H0 : �

2 < �20 W =�0; �2�

�

4

Dobór poszczególnych przypadków precyzuj ¾a poni·zsze rysunki

5