1 Przestrzenie Topologiczne (1)

1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 1

1. .Przestrzenie topologiczne.

Definicja 1.1. Przestrzeni topologiczn nazywamy

uporzdkowan par (X,T ) zoon ze zbioru X i rodziny T jego podzbiorw speniajc warunki:

10 , X T;

20 jeli U,VT, to U V T;

30 jeli {Us: sS}T, to Ss

sU

T.

Wwczas zbir X nazywamy przestrzeni, elementy zbioru X nazywamy punktami, albo elementami X, rodzin T nazywamy topologi, a jej elementy zbiorami otwartymi.

Uwagi.

1. Tam, gdzie nie bdzie to prowadzio do nieporozumie bdziemy niekiedy pisa X zamiast (X,T ). 2. Drog atwej indukcji z punktu 20 mona wywnioskowa, e iloczyn skoczonej liczby zbiorw otwartych jest zbiorem otwartym.

3. Z wasnoci zbiorw otwartych w przestrzeniach metrycznych

wynika bezporednio, e jeli mamy przestrze metryczn (X,), to rodzina wszystkich zbiorw otwartych w tej przestrzeni stanowi topologi, ktr nazywamy topologi wprowadzon (lub

generowan) przez metryk . W dalszej czci wykadu, jeli bdziemy mwi o przestrzeni metrycznej, to zawsze bdziemy rozumie, e jest to przestrze topologiczna z topologi generowan przez dan metryk. Jeli mamy przestrze

topologiczn (X,T) oraz istnieje metryka taka, e rodzina wszystkich zbiorw otwartych w przestrzeni (X,) pokrywa si z T, to mwimy, e (X,T) jest przestrzeni metryzowaln, a generuje topologi T. W szczeglnoci jeli X = Rm, dla m=1,2, (X =[0,1]), to topologi generowan przez naturaln metryk nazywamy naturaln topologi X.


Przykad 1.I. Niech X oraz niech J bdzie ideaem podzbiorw

X. Wwczas (X,TJ), gdzie TJ = {X \ A: A J}{}, jest przestrzeni topologiczn, nazywamy j przestrzeni generowan przez idea J.

Jeli J = {}, to TJ = {,X}, a przestrze (X,TJ) nazywamy przestrzeni antydyskretn. Jeli J = 2X, to TJ = 2X, a przestrze (X,TJ) nazywamy przestrzeni dyskretn. Zauwamy, e wtedy (X,TJ) jest metryzowalna, a metryk generujc TJ jest metryka zero-jedynkowa.

Przykad 1.II. Niech X oraz niech x0X. Wwczas (X,T), gdzie

T = {AX: x0 A} {} jest przestrzeni topologiczn.

Przykad 1.III. Niech X oraz niech x0X. Wwczas (X,T), gdzie

T = {AX: x0 A} {X} jest przestrzeni topologiczn.

Przykad 1.IV. Niech X, x0X oraz niech J bdzie ideaem podzbiorw X. Wwczas (X,T), gdzie T = {X \ A:

A J } {AX: x0 A} jest przestrzeni topologiczn.

Przykad 1.V. Niech (X,T) bdzie dowoln przestrzeni topologiczn oraz niech P bdzie dowoln relacj rwnowanoci w X. Oznaczmy symbolem X/P zbir wszystkich klas abstrakcji

relacji P. Niech : X X/P bdzie funkcj okrelon wzorem (x)=[x]P. Wwczas (X/P,T0), gdzie T0 = {UX/P: -1(U)T } jest przestrzeni topologiczn. Przestrze (X/P,T0) nazywamy

przestrzeni ilorazow, a nazywamy naturalnym przekszta-ceniem ilorazowym.

Przykad 1.VI. Niech (X,T) bdzie dowoln przestrzeni

topologiczn oraz niech J bdzie -ideaem zbiorw w X.

Wwczas (X,THJ), gdzie THJ = {U \ A: UT A J} {} jest przestrzeni topologiczn. Topologi THJ nazywamy topologi

Hashimoto (wzgldem ideau J).


Przykad 1.VII. Niech bdzie dana rodzina {(Xs,Ts): s S}

przestrzeni topologicznych o tej wasnoci, e Xsi Xsj = dla

si,sjS oraz si sj. Wwczas (UsS Xs,T), gdzie T = {U UsS Xs: UXsTs, sS} jest przestrzeni topologiczn. Przestrze

(UsS Xs,T) nazywamy sum przestrzeni (Xs,Ts) i oznaczamy symbolem (Xs,Ts).

Definicja 1.2. Niech bdzie dana przestrze topologiczna (X,T ).

Otoczeniem punktu xX nazywamy kady zbir U T taki, e

x U.

Dodatkowa informacja, ktra nie bdzie wykorzystywana w ramach tego kursu. W literaturze pojcie otoczenia punktu x wystpuje rwnie w innej postaci, jako taki zbir U, dla ktrego

istnieje VT o tej wasnoci, e xVU.

Twierdzenie 1.3. Niech bdzie dana przestrze topologiczna

(X,T ). Zbir WT (czyli W jest zbiorem otwartym) wtedy i tylko wtedy, gdy

dla dowolnego xW istnieje otoczenie Vx punktu x takie, e

Vx W.

Dowd. Konieczno. Niech xW, jako otoczenie x wystarczy wwczas przyj Vx =W.

Dostateczno. atwo zauway, e WVWx

x

. Na podstawie

Definicji 1.1, punkt 30 oznacza to, e WT .


(a) Zbir FX nazywamy zbiorem domknitym, jeli X \ F T.

(b) Zbir KX nazywamy zbiorem domknito-otwartym, jeli jest rwnoczenie zbiorem domknitym i otwartym.


Twierdzenie 1.5. Niech bdzie dana przestrze topologiczna (X,T ). Wwczas:

(D_1) zbiory i X s zbiorami domknitymi. (D_2) suma dwch (skoczonej) liczby zbiorw domknitych

jest zbiorem domknitym; (D_3) iloczyn dowolnej liczby zbiorw domknitych jest

zbiorem domknitym.

Dowd wynika wprost z Definicji 1.4 oraz 1.1 i praw De Morgana.

Uwaga. Zachodzi rwnie nastpujca wasno

(D_4) Jeli UT, to X \ U jest zbiorem domknitym,

bo X \ (X \ U) = U T.

Definicja 1.6. Rodzin BT nazywamy baz przestrzeni topologicznej (X,T ), jeli kady niepusty zbir otwarty jest sum pewnej liczby zbiorw nalecych do B.

Twierdzenie 1.7. Niech bdzie dana przestrze topologiczna (X,T).

Rodzina B P(X) jest baz przestrzeni (X,T ) wtedy i tylko wtedy,

gdy B T oraz

dla dowolnego xX i dowolnego otoczenia Vx punktu x istnieje

zbir UxB taki, e xUx Vx.

Dowd. Konieczno. Oczywicie B T. Ustalmy xX oraz

dowolne otoczenie Vx punktu x. Poniewa VxT, wic na mocy Definicji 1.6

'BU

xUVx

, dla pewnej podrodziny B B.

Oznacza to, e istnieje Ux B B takie, e x Ux Vx.

Dostateczno. Niech W bdzie dowolnym zbiorem otwartym.

Ustalmy x W. Wwczas, zgodnie z Definicj 1.2, zbir W jest

otoczeniem x. Wobec naszego zaoenia istnieje zbir Ux B taki,

e x Ux W. Zauwamy, e

W = Wx

xW

.


Twierdzenie 1.8. Kada baza B przestrzeni topologicznej (X,T ) spenia nastpujce warunki

(B_1) dla dowolnych zbiorw U,VB i punktu

x U V istnieje zbir W B taki, e

x W U V;

(B_2) dla kadego x X istnieje H B takie, e x H.

Dowd. (B_1). U V jest zbiorem otwartym, wic jest otoczeniem

x. Na mocy Twierdzenia 1.7 istnieje W B takie, e

x W U V. (B_2). X jest otoczeniem x, wic na mocy Twierdzenia 1.7 istnieje

H B takie, e x H X.

Definicja 1.9. Baz przestrzeni topologicznej (X,T ) w punkcie

x X nazywamy kad rodzin B(x) otocze punktu x speniajc warunek:

dla kadego otoczenia V punktu x istnieje U B(x) takie, e

U V.

Oczywicie dla dowolnego x X rodzina {UT: x U} jest baz przestrzeni (X,T ) w punkcie x.

Twierdzenie 1.10. Jeli B jest baz przestrzeni topologicznej (X,T ), to rodzina

B(x) = {U B: x B} jest baz tej przestrzeni w punkcie x. Dowd. Niech V bdzie dowolnym otoczeniem x. Wwczas w myl

Twierdzenia 1.7 istnieje U B takie, e x U V. Oczywicie

wtedy U B(x).

Definicja 1.11. Rodzin {B(x): x X }, gdzie B(x) jest baz przestrzeni topologicznej (X,T ) w punkcie x nazywamy penym

ukadem otocze przestrzeni topologicznej (X,T ).


Twierdzenie 1.12. Peny ukad otocze {B(x): x X } przestrzeni topologicznej (X,T ) posiada nastpujce wasnoci:

(PO_1) dla dowolnego x X zachodzi B(x) oraz

kadego U B(x) mamy x U;

(PO_2) jeli x V B(y), to istnieje U B(x) taki, e

U V;

(PO_3) dla dowolnych V,W B(x) istnieje U B(x) taki, e

U V W.

Dowd. (PO_1) wynika wprost z definicji 1.11 i 1.9. (PO_2) Oczywicie V jest otoczeniem punktu x, wic wobec

Definicji 1.9 istnieje U B(x) taki, e U V.

(PO_3) V W jest otoczeniem x, wic na mocy Definicji 1.9

istnieje U B(x) taki, e U V W.

Definicja 1.13.

(a) Mwimy, e przestrze topologiczna (X,T ) spenia pierwszy aksjomat przeliczalnoci, jeli w kadym punkcie posiada baz przeliczaln.

(b) Mwimy, e przestrze topologiczna (X,T ) spenia drugi aksjomat przeliczalnoci, jeli posiada baz przeliczaln.

Przykad 1.VIII. Kada przestrze metryzowalna spenia pierwszy aksjomat przeliczalnoci.

Przykad 1.IX. Przestrze dyskretna (X,T) spenia drugi aksjomat przeliczalnoci wtedy i tylko wtedy, gdy X jest zbiorem przeliczal-nym.


Wntrzem zbioru A X nazywamy sum wszystkich zbiorw otwartych zawartych w A (czyli jest to najwikszy zbir otwarty zawarty w A). Wntrze zbioru A oznaczamy symbolem Int (A).



(X,T ) oraz niech A,B X. Wwczas: (a) Int (A) jest zbiorem otwartym;

(b) A T wtedy i tylko wtedy, gdy A = Int (A);

(c) x Int (A) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie U

punktu x takie, e U A;

(d) jeli A B X, to Int (A) Int (B).

Dowd. (a) wynika z definicji 1.14 oraz definicji topologii (suma zbiorw otwartych jest zbiorem otwartym).

(b) A T wtedy i tylko wtedy, gdy A jest najwikszym zbiorem otwartym zawartym w sobie, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy

A = Int (A).

(c) jeli x Int (A), to na mocy definicji 1.14, x naley do pewnego zbioru otwartego U zawartego w A. Z drugiej strony, jeli x naley do pewnego zbioru otwartego U zawartego w A, to x naley do

sumy zbiorw otwartych zawartych w A, czyli x Int (A).

(d) Wynika wprost z definicji.

Twierdzenie 1.16. Operacja wntrza w przestrzenie topologicznej (X,T ) posiada nastpujce wasnoci:

(W_1) Int (X) = X;

(W_2) dla dowolnego zbioru AX, Int (A) A;

(W_3) dla dowolnych zbiorw A,BX,

Int (AB) = Int (A) Int (B);

(W_4) dla dowolnego zbioru AX, Int (Int (A) ) = Int (A).

Dowd. (W_1) wynika bezporednio z Twierdzenia 1.15 (a) i (b). (W_2) wynika wprost z definicji wntrza zbioru (Definicja 1.14). (W_4) Int (A) na mocy Twierdzenia 1.15 (a) jest zbiorem

otwartym. Na mocy Twierdzenia 1.15 (b) mamy zatem

Int (Int (A) ) = Int (A).

(W_3) AB A, wic na mocy Twierdzenia 1.15 (d) mamy

(1) Int (AB) Int (A).


Podobnie

AB B, wic na mocy Twierdzenia 1.15 (d) mamy

(2) Int (AB) Int (B). Z (1) i (2) moemy wnioskowa, e

(3) Int (AB) Int (A) Int (B).

Wobec (W_2) mamy kolejno Int (A) A oraz Int (B) B, czyli

Int (A) Int (A) A B. Uwzgldniajc Twierdzenie 1.15(d ) otrzymamy:

(4) Int (Int (A) Int (B)) Int (A B). Zauwamy jednak, e wobec Twierdzenia 1.15 (a),

Int (A) Int (B) jest zbiorem otwartym (jako iloczyn dwch zbiorw otwartych), a zatem (Twierdzenia 1.15 (b))

Int (Int (A) Int (B)) = Int (A) Int (B) i w konsekwencji inkluzja (4) przyjmie posta

(5) Int (A) Int (B) Int (AB).

Inkluzje (3) i (5) daj dan rwno.


Domkniciem zbioru A X nazywamy iloczyn wszystkich zbiorw domknitych zawierajcych A (czyli jest to najmniejszy zbir domknity zawierajcy A). Domknicie zbioru A oznaczamy symbolem cl (A).

Uwaga. W literaturze rwnie czsto domknicie zbioru

A oznaczane jest symbolem A .



(X,T ) oraz niech A,B X. Wwczas: (a) cl (A) jest zbiorem domknitym; (b) A jest zbiorem domknitym wtedy i tylko wtedy, gdy

A = cl (A);

(c) x cl (A) wtedy i tylko wtedy, gdy dla kadego otoczenia U

punktu x mamy U A ;

(d) jeli A B X, to cl (A) cl (B).

Dowd. (a) wynika z definicji 1.17 oraz Twierdzenia 1.5 (D_3) (iloczyn zbiorw domknitych jest zbiorem domknitym). (b) Jeli A jest zbiorem domknitym, to A jest najmniejszym zbiorem domknitym zawierajcym A, czyli A = cl (A). Z drugiej strony, jeli A = cl(A), to na podstawie punktu (a), A jest zbiorem domknitym. (c) Pokaemy najpierw, e

(1) jeli x cl (A), to dla kadego otoczenia U punktu

x mamy U A . Przypumy przeciwnie, e istnieje takie otoczenie U punktu x, e

U A = . Mamy wwczas:

A X \ U oraz X \ U jest zbiorem domknitym (Definicja 1.4 (a)).

Wobec definicji domknicia zbioru moemy wwczas wnioskowa, e

cl (A) X \ U

co wobec faktu, e x U oznacza, e x cl (A), a to jest sprzeczne z przyjtym zaoeniem. Udowodnimy obecnie, e (2) jeli dla kadego otoczenia U punktu x mamy

U A , to x cl (A).

Przypumy, e x cl (A). Wwczas pomy U = X \ cl (A). Poniewa cl (A) jest zbiorem domknitym, wic na mocy Definicji 1.4 (a), U jest zbiorem otwartym zawierajcym x, czyli jego otoczeniem oraz

U cl (A) = .


0

Wobec definicji domknicia wiemy rwnie, e A cl (A) (fakt ten bdzie wyrniony w postaci wasnoci). Powysza rwno pozwala wnioskowa, e

U A = , co jest sprzeczne z przyjtym zaoeniem. Implikacje (1) i (2) daj dan rwnowano.

(d) Wynika wprost z Definicji 1.17.

Twierdzenie 1.19. Jeli U jest zbiorem otwartym oraz A U = ,

to cl (A) U = .

Dowd. X \ U jest zbiorem domknitym takim, e A X \ U. Oznacza to, wobec Twierdzenia 1.18 (b) i (d), e

cl (A) X \ U , a tym samym

cl (A) U = .


(X,T ). Wwczas dla dowolnego A X cl (A) = X \ Int (X \ A).

Dowd. Na podstawie Twierdzenia 1.16 (W_2)

Int (X \ A) X \ A, wic

A = X \ (X \A) X \ Int (X \ A), a poniewa X \ Int (X \ A) jest zbiorem domknitym, wic wobec Definicji 1.17

(1) cl (A) X \ Int (X \ A). Pokaemy obecnie inkluzj przeciwn. Niech zatem F bdzie dowolnym zbiorem domknitym

zawierajcym A (tzn. A F). Zauwamy, e wwczas

X \ F X \ A. Na mocy Definicji 1.4 oraz Twierdzenia 1.15 (b) i (d) mamy (X \ F jest zbiorem otwartym):

X \ F = Int (X \ F) Int (X \ A)


1

i dalej

X \ Int (X \ A) X \ X \ F = F. Wobec dowolnoci doboru zbioru domknitego F zawierajcego A moemy wnioskowa:

dla kadego zbioru domknitego F zawierajcego A

mamy X \ Int (X \ A) F. Powysze, wobec Definicji 1.17 pozwala wnioskowa

(2) X \ Int (X \ A) cl (A).

(1) i (2) dowodzi prawdziwoci tezy twierdzenia.

Twierdzenie 1.21. Operacja domknicia w przestrzeni topologicznej (X,T) ma nastpujce wasnoci:

(d_1) cl () = ;

(d_2) dla dowolnego zbioru A X zachodzi A cl (A);

(d_3) dla dowolnych zbiorw A,B X zachodzi

cl (A B) = cl (A) cl (B);

(d_4) dla dowolnego zbioru A X zachodzi cl (cl (A)) = cl (A).

Dowd. (d_1) wynika z faktu, e jest zbiorem domknitym (Twierdzenie 1.5 (D_1)) oraz Twierdzenia 1.18 (b).

(d_2) i (d_4) wynikaj wprost z definicji domknicia zbioru. (d_3) Obliczmy, korzystajc kolejno z Twierdzenia 1.20, prawa de Morgana, Twierdzenia 1.16 (W_3), ponownie prawa de Morgana i

ponownie z Twierdzenia 1.20:

cl (A B) = X \ Int (X \ (A B)) = X \ Int ((X \ A) (X \ B)) =

= X \ (Int (X \ A) Int (X \ B)) = (X \ Int (X \ A))

(X \ Int (X \ B)) = cl (A) cl (B).


(X,T ). Dla dowolnego zbioru A X zachodzi Int (A) = X \ cl (X \ A).

Dowd. Korzystajc z Twierdzenia 1.20 mamy

X \ cl (X \ A) = X \ (X \ Int (X \ (X \ A))) = X \ (X \ Int (A)) =

=Int (A).

1 Przestrzenie Topologiczne (1)

Documents

Transcript of 1 Przestrzenie Topologiczne (1)