1

• Χρησιμοποιώντας μόνο δύο λέξεις “εντός” ή “εκτός” του ποταμού πως θα χαρακτήριζες:

α) τις πράσινες βάρκες; .....................................................................................................................

β) τις κόκκινες βάρκες; .....................................................................................................................

• Στο επόμενο σχήμα βρές ποιες γωνίες είναι εντός των παράλληλων ευθειών (ε1) και (ε2) και

ποιες είναι εκτός.

Εντός γωνίες:………………………………………………………………… Εκτός γωνίες:………………………………………………………………….

ποταμός

όχθη

όχθη

ε1

ε2

ε3

α β γ δ

ε ζ η θ

2

Όταν δυο βάρκες βρίσκονται σε διαφορετική πλευρά της γέφυρας λέγονται εναλλάξ. Όταν δυο βάρκες βρίσκονται στην ίδια πλευρά της γέφυρας λέγονται επί τα αυτά Σχήμα 1: ΓΕΦΥΡΑ

Στο σχήμα 1 οι βάρκες είναι .......................................................................................................................... Σχήμα 2: Στο σχήμα 2 οι βάρκες είναι ........................................................................................................................... Σχήμα 3:

Στο σχήμα 3 οι βάρκες είναι..........................................................................................................................

ποταμός

όχθη

όχθη

ποταμός

όχθη

όχθη

ποταμός

όχθη

όχθη

3

Στα τρία σχήματα που ακολουθούν γράψε δίπλα τι σχέση έχουν οι δύο γωνίες που είναι σημειωμένες ως προς την τέμνουσα ευθεία.

Οι δύο γωνίες είναι .....................................

Οι δύο γωνίες είναι .....................................

Οι δύο γωνίες είναι ..................................... Από το πιο κάτω σχήμα να βρείς δύο ζεύγη γωνιών που είναι εναλλάξ και δύο ζεύγη γωνιών που είναι επί τα αυτά. Εναλλάξ γωνίες:…………. , …………… Επί τα αυτά γωνίες:………… , ………….

ε1

ε2

ε3

ε1

ε2

ε3

ε1

ε2

ε3

ε1

ε2

ε3

α β γ δ

ε ζ η θ

4

Στα πιο κάτω σχήματα οι ευθείες (ε1) και (ε2) είναι παράλληλες. Βάλε σε κύκλο το σωστό. Σχήμα 1: Σε σχέση με τις ευθείες (ε1) και

(ε2) οι γωνίες και ονομάζονται: (i)εκτός , (ii)εντός , (iii)εντός και εκτός

Σε σχέση με την ευθεία (ε3) οι γωνίες και

ονομάζονται: (i)εναλλάξ , (ii)επί τα αυτά της ευθείας (ε3). Άρα οι γωνίες και ονομάζονται ……………………………………………………………. .

• Γράψε στο πιο κάτω σχήμα όλα τα ζεύγη τέτοιων γωνιών

......................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………

α β

αβ

α β

ε1

ε2

ε3

α β γ δ

ε ζ η θ

α α

β

ε1

ε2

ε3

5

Σχημα 2: Οι ευθείες (ε1) και (ε2) είναι παράλληλες. Βάλε σε κύκλο το σωστό.

Σε σχέση με τις ευθείες (ε1) και (ε2) οι γωνίες και ονομάζονται:

(i)εκτός , (ii)εντός , (iii)εντός και εκτός

Σε σχέση με την ευθεία (ε3) οι γωνίες και ονομάζονται:

(i)εναλλάξ , (ii)επί τα αυτά της ευθείας (ε3). Άρα οι γωνίες και ονομάζονται ……………………………………………………………. .

• Γράψε στο πιο κάτω σχήμα όλα τα ζεύγη τέτοιων γωνιών ...................................................... ..................................................... ...................................................... .....................................................

αβ

α β

α β

ε1

ε2

ε3

α β γ δ

ε ζ η θ

α

β

ε1

ε2

ε3

6

Σχημα 3: Οι ευθείες (ε1) και (ε2) είναι παράλληλες. Βάλε σε κύκλο το σωστό.

Σε σχέση με τις ευθείες ( 1) και ( 2) οι γωνίες και ονομάζονται:

(i)εκτός , (ii)εντός , (iii)εντός και εκτός των ευθειών (ε1) και (ε2).

Σε σχέση με την ευθεία (ε3) οι γωνίες και ονομάζονται:

(i)εναλλάξ , (ii)επί τα αυτά της ευθείας (ε3). Άρα οι γωνίες και ονομάζονται ……………………………………………………………. .

• Γράψε στο πιο κάτω σχήμα όλα τα ζεύγη τέτοιων γωνιών .................................................. ................................................... ................................................... .................................................... ………………………………..

e e αβ

α β

α β

ε1

ε2

ε3

α β γ δ

ε ζ η θ

α

β

ε1

ε2

ε3

7

ε1

ε2

Η

α β γ δ

ε ζ η Θ

ε1

ε2

ε3

κ λ μ ν

ξ π ρ σ

ΣΤΟ ΠΙΟ ΚΑΤΩ ΣΧΗΜΑ ΟΙ ΕΥΘΕΙΕΣ (ε1) ΚΑΙ (ε2) ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ. ΝΑ ΟΝΟΜΑΣΕΙΣ ΤΑ ΖΕΥΓΗ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΠΟΥ ΔΙΝΟΝΤΑΙ ΔΙΠΛΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΗΜΑ. :…………………………………………. :………………………………………… :………………ΕΝΤΟΣ ΕΝΑΛΛΑΞ ……. :…………………………………………. :…………………………………………. Στο πιο κάτω σχήμα οι ευθείες (ε1) και (ε2) είναι παράλληλες. Να βρεις και να γράψεις ένα ζεύγος γωνιών που να είναι: ΕΝΤΟΣ ΕΝΑΛΛΑΞ:…………………………… ΕΝΤΟΣ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ:………………………….. ΕΝΤΟΣ, ΕΚΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ:…………… ………………………………………………. Γράψε όλα τα ζεύγη γωνιών που είναι: εντός εναλλάξ:…………………………….................................................................................. εντός επί τα αυτά:…………………………................................................................................. εντός, εκτός και επί τα αυτά:……………........................................................................................

ζβ ˆ,ˆ

δθ ˆ,ˆ

εγ ˆ,ˆ

ηγ ˆ,ˆ

ζγ ˆ,ˆ

8

Ε

Α

Β Γ

1 2 3

1 2 1 2

ζ2

ε1 ε2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στο επόμενο σχήμα οι ευθείες ( ) και ( ) είναι παράλληλες. Να ονομάσεις τα ζεύγη των γωνιών

που δίνονται δίπλα από το σχήμα: :…………………………………………. :………………………………………….

:…………………………………………. 2. Στο σχήμα που ακολουθεί η ευθεία (ε1) είναι παράλληλη με την ευθεία (ε2) και η ευθεία (ζ1) είναι

παράλληλη με την ευθεία (ζ2). Από το σχήμα να βρεις και να ονομάσεις τρία ζεύγη γωνιών που να είναι:

α) εντός εναλλάξ .................................................................... β) εντός και επί τα αυτά .......................................................... γ) εντός, εκτός και επί τα αυτά ...............................................

1e 2e

1e 21 Β,Α

23 Γ,Α

13 Γ,Α

ζ1

9

3. Αν ε1 // ε2 να βρείτε πως ονομάζονται οι γωνίες α και ε .................................... β δ και ζ ................................... α γ δ γ και η ...................................

ε1 ζ

ε α και ζ ................................... η θ θ και δ ................................... ε2 γ και ε ....................................

4. Αν ε1 // ε2 να βρείτε πως ονομάζονται οι γωνίες κ και ο ............................... λ κ ν και ρ ............................ μ ν μ και ο ............................. ε1 μ και π ............................ ξ ο ν και ξ ............................ π ρ

ε2 λ και ξ ............................

10

500

ε1

ε3

ε1

125 0

ε2

ε3

ε1

ε2

ε3

ψ

χ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Α Στα πιο κάτω σχήματα, η ευθεία ε1 είναι παράλληλη με την ευθεία ε2, (ε1 // ε2 ). Με τη χρήση μοιρογνωμονίου να μετρήσεις τις γωνίες που είναι σημειωμένες.

ε2

Τι παρατηρείς; ...........................................................................................................................

............................................................................................................................

Εφαρμογές: Στα πιο κάτω σχήματα, η ευθεία ε1 είναι παράλληλη με την ευθεία ε2, (ε1 // ε2 ). Να σημειώσεις σε κάθε σχήμα την « εντός εναλλάξ » γωνία, των σημειωμένων γωνιών και να γράψεις το μέτρο τους.

φ

ω

ε2

ε1

11

ε2

ψ

χ ε1

ε2

λ

ε1

ε3

κ

460

ε1

ε2

ε3

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Β Στα πιο κάτω σχήματα, η ευθεία ε1 είναι παράλληλη με την ευθεία ε2, (ε1 // ε2 ). Με τη χρήση μοιρογνωμονίου να μετρήσεις τις γωνίες που είναι σημειωμένες.

Τι παρατηρείς; ...........................................................................................................................

............................................................................................................................

Εφαρμογές: Στα πιο κάτω σχήματα, η ευθεία ε1 είναι παράλληλη με την ευθεία ε2, (ε1 // ε2 ). Να σημειώσεις σε κάθε σχήμα την «εντός εκτός και επί τα αυτά γωνία» γωνία, των σημειωμένων γωνιών και να γράψεις το μέτρο τους.

1e

2e

ε2

β

α

ε1

ε2

φ

ω ε1

ε3

ε3 ε3

77°

ε3

12

420

ε1

ε2

ε3

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Γ Στα πιο κάτω σχήματα, η ευθεία ε1 είναι παράλληλη με την ευθεία ε2, (ε1 // ε2 ). Με τη χρήση μοιρογνωμονίου να μετρήσεις τις γωνίες που είναι σημειωμένες.

Τι παρατηρείς; ............................................................................................................................

............................................................................................................................

Εφαρμογές: Στα πιο κάτω σχήματα, η ευθεία ε1 είναι παράλληλη με την ευθεία ε2, (ε1 // ε2 ). Να σημειώσεις σε κάθε σχήμα την « εντός και επί τα αυτά γωνία» γωνία, των σημειωμένων γωνιών και να γράψεις το μέτρο τους.

ω

φ ε1

ε2

ε3

α

β

ε1

ε2

ε3

680

ε2

ε1

ε3

13

Συμπλήρωσε:

v Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ………….

v Οι εντός – εκτός επί τα αυτά γωνίες είναι …………

v Οι εντός επί τα αυτά γωνίες είναι ……………………………

14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Στα πιο κάτω σχήματα, η ευθεία ε1 είναι παράλληλη με την ευθεία ε2, (ε1 // ε2 ). Να υπολογίσεις τις άγνωστες γωνίες και να δικαιολογήσεις τις απαντήσεις σου. Άσκηση 1 Άσκηση 2

750

ψ

χ

ε1

ε2 ε3

450

χ ω

ε1

ε2

ε3

15

Άσκηση 3

Άσκηση 4 ε χ 55˚ ε ε 60˚

ε χ Άσκηση 5

2χ χ β α ε

ε

1

1 2

2

1

2

χ

χ+300 ε1

ε2

ε3

16

Άσκηση 6 ε ω 70˚ χ 40˚ φ ε Άσκηση 7 ε 50˚ ω χ ψ 120˚ ε Άσκηση 8

2χ χ α ε β

ε

1

2

1

2

1

2

17

Άσκηση 9

Α Ο Ζ Αν ΑΖ//ΔΕ , =100˚ και ΟΓ

διχοτόμος της να υπολογιστεί: = Γ = Δ Β Ε =

Άσκηση 10

Αν ΑΒ//ΔΓ και ΟΒ είναι διχοτόμος της , να υπολογίσεις τις άγνωστες γωνίες και να δικαιολογήσεις τις απαντήσεις σου. 70˚ Α Β χ λ ψ ω φ κ η Δ Ο Γ

BOA ˆ

BOA ˆ

DBO ˆ

EBO ˆ

GOA ˆ

GOA ˆ

18

Άσκηση 11 Αν ΓΖ//ΕΒ και ΟΔ είναι διχοτόμος της και = 50˚ να υπολογίσεις τις άγνωστες γωνίες και να δικαιολογήσεις τις απαντήσεις σου. ψ Ζ χ Δ Γ α β Β Ο Ε Άσκηση 12 Αν ΟΑ//ΒΔ και ΟΓ είναι διχοτόμος της και = 60˚ να υπολογίσεις τις άγνωστες γωνίες και να δικαιολογήσεις τις απαντήσεις σου. Α = Ο = Γ χ Δ Β

GOB ˆ EOG ˆ

AOB ˆ c

AOB ˆ

GOB ˆ

19

Άσκηση 13 Αν ε // ε να υπολογίσεις τις άγνωστες γωνίες και να δικαιολογήσεις τις απαντήσεις σου. η 130˚ ε ζ γ δ 80˚ α β ε Άσκηση 14 Αν ε // ε να υπολογίσεις τις άγνωστες γωνίες και να δικαιολογήσεις τις απαντήσεις σου. 2χ-30˚ 60˚ χ α

γ ε

β ε

1 2

1

2

1 2

1

2

20

Άσκηση 15 Αν ε // ε // ε να υπολογίσεις τις άγνωστες γωνίες και να δικαιολογήσεις τις απαντήσεις σου. 50˚ ε γ ε β α ε Άσκηση 16 Αν ε // ε να υπολογίσεις την άγνωστη γωνία και να δικαιολογήσεις τις απαντήσεις σου. ε 120˚ χ 130 ε

1 2 3

1

2

3

1 2

1

2

21