Zjawiska dyfrakcji

Propagacja dowolnych fal w przestrzeni

W przestrzeni mogą się znajdować różne elementy

siatki dyfrakcyjne

układy optyczne

przysłony filtry i inne

Analizy dyfrakcyjne należą

do najważniejszych i najtrudniejszych problemów

optyki, a więc i fotoniki

Zjawiska dyfrakcji Zasada Huygensa-Fresnela

D – diafragma półpłaszczyzna

Fala płaska z czołami fal i ’

Z punktów Q czoła ’ wychodzą wtórne fale sferyczne interferujące w różnych punktach P płaszczyzny ’W obszarze światła mamy oscylacje intensywności

w obszarze cienia - asymptotyczny spadek jej wartości

PC

P

Q1

Q2

Q3’

D ’

granica cienia

cieńświatło

granica cienia

Dla punktów P różnych od P0 powstają różnice faz – spadek intensywności

Obraz punktu w postaci plamki dyfrakcyjnej

P0

P1

Obraz punktu poglądowe wyjaśnienie

Z punktów Q do punktu P0 docierają wtórne fale w fazie

maxVV'

Q0P

maksimum intensywności

f’

’

DQ1

Q2

’’ – sferyczne czoło fali dla układu bezaberracyjnego

Układ o ogniskowej f’ z diafragmą D

- czoło fali generowanej przeznieskończenie odległy punkt

Przesunięcie fazowe fali w przestrzeni rozważania jednowymiarowe

Def.: czoło fali - powierzchnia stałej fazy

Czoło fali

x

0xx iexpVV

Rozkład pola na czole

const

propagacjax

Czoło fali ’

ikexpV'V xx

Rozkład pola na czole

/2k

Obraz punktu wynik analityczny dla jednego wymiaru

P

p

xx

P0

’

f’

ax

QNa czole dany rozkład amplitud VQ(x)

W P0 środku krzywizny czoła wynik sumowania po punktach Q

maxρV0V xQ0P

W punkcie P sumujemy rozkłady z powierzchni p

xp

pxP ρVaV

Ale ikexpρVρV xQxp xxxx

xx au'faρρ

xxxρ

QxP aikuexpuVaVx

więc maxaV xP

xρ

xxxQxP duaikuexpρV'faVx

Całkowanie w miejsce sumy

ux

Przysłona prostokątna

rozkład pola w obrazie punktu

Formalnie można całkować w obszarze nieograniczonym

Rozkład pola w obrazie punktu jest transformatą Fouriera rozkładu pola za układem

xρ

xxxQxP duaikuexpρV'faVx

xx00P

ρ

ρ-xxx0xP akucsinVduaikuexpV'faV

0x

0x

P0

’

f’

ax

x

20x u0x

Rozkład intensywności xx02

0Px2PxP akucsinIaVaI

Pierwsze zero intensywności w płaszczyźnie obrazu a0x x0

x00xx0 u2aaku

a0x

x0 - 2-2

10csinxxsinxcsin

zerowe miejsca

1

,3,2,1mmx

Funkcje sinc i sinc2

x0 2--2

1

xcsin 2

Obraz punktu diafragma prostokątna cd

0x0y0x0y aaρρ

f’ax

IP(ax,0)IP0

0

x

y

f’

ax

ay

P0

20x

20y

u0yu0x

x0u2

Obraz punktu diafragma kołowa

a

f’

u0

20

P

020PP kauBsIaI

xxJ2xBs 1gdzie

Rozkład intensywności w obrazie punktu

x

Bs(x)1

0

3.83..

7.02..

10Bs

Pierwsze zero rozkładu intensywności w obrazie punktu

83.3au2aku 0000

00 u

61.0a

Obraz punktu diafragma kołowa

020PP kauBsIaI

00 u

61.0a

Obraz punktu w przekroju

a

IP(a)IP0

a00

f’

Obraz punktu diafragma kołowa

Ob’0

Wpływ przeogniskowania

’

Układ zogniskowany Układ przeogniskowany

Zdolność rozdzielcza

nierozdzielane

Obrazy 2 oddalonych punktów

rozdzielane

26.5%

ga

a

graniczny przypadek

0g usinn

61.0A61.0a

Kryterium Rayleigha

J.W. Strutt Lord Rayleigh (1842-1919)

Zdolność rozdzielcza - granice poznania            

0g u

61.0a

ag – graniczna odległość dwóch

rozróżnianych punktów

Jeżeli kąt u0 jest duży i współczynnik załamania przestrzeni przedmiotowej wynosi n (dotyczy to przykładowo mikroskopu),

wówczasA61.0ag

, gdzie apertura obiektywu mikroskopowego 0usinnA

P1

P2

a

u0

nP1’

P2’Ob Okn = 1

Im krótsza długość fali i im większa apertura A = n sinu0

tym wyższa zdolność rozdzielcza mikroskopuUwaga: tym mniejsza wartość ag

Dla = 0.55 m i Amax = 1.4m24.0a ming granica możliwości poznania

Około połowy długości fali

Zdolność rozdzielcza - granice poznania cd

0003.0'4GA250

61.0'w0003.0'2 u

Ponieważ Amax = 1.4, maksymalne powiększenie mikroskopu

x1400

Dla = 0.5510-3 mm

powiększenie użyteczne A1000GA500 u K !!

gdzie w jest kątem pod jaki widzimy ag z odległości dobrego widzenia - 250 mm, a G –

powiększenie wizualne mikroskopu 250aw Gw'w Ale

Poprawna interpretacja obrazu przez obserwatora '4'w'2

gdzie w’ jest kątem pod jaki widzimyA61.0ag

przez mikroskop

Po podstawieniu

A1000GA500 u

A500Gu A1000Gu

Obiektyw 40x bez immersji n = 1

Konsekwencje obserwacji przez mikroskop przedmiotów pod dużymi powiększeniami

Przyjmując średnio okobu GA750G powiększenie obiektywu powiększenie okulara

W mikroskopach xxok 15do5odG Niech Gok = 10x

Gu = 500x

A = 0.666..

000 42u666.0usinnA

2u0 = 840

Dla Gu max = 1400x

4.1usinnA max0immax 0

max0max0 134u2921.0usin nim = 1.52

odległość rzędu 0.1 mm

Mała odległość od oprawy obiektywu do przedmiotu rzędu 0.2 mm

Konsekwencje dla układów z przedmiotem nieskończenie odległym

Zdolność rozdzielcza - granice poznania cd

D22.1w g

Kątowa zdolność rozdzielcza lunety, teleskopu i obiektywu zdjęciowego

Im większa średnica D źrenicy wejściowej

i krótsza długość fali , tym mniejszy kąt graniczny wg tym wyższa zdolność rozdzielcza układu

Z – źrenica wejściowa

wg

Przedmiot nieskończenie odległy

luneta

wg Klisza fotograficzna

obiektyw

Zdolność rozdzielcza - Konsekwencje dla lunety

D22.1w g

wg – graniczny kąt rozróżniania 2 punktów

w przestrzeni przedmiotowej lunety

Przykład

Dla = 0.5510-3 mm chcemy rozróżnić 2 punkty odległe od siebie o 20 cm na ziemi z satelity na wysokości 50

km

wg = 0.2/50000 = 410-6

wówczas Dmin 170 mm

Kolokwium I3 tematy

1. Wyprowadzenie z komentarzami !!! (10 punktów). Brak komentarza (tylko rysunek i wzory) = zero punktów

bieg promienia przez pryzmat, bieg promienia przez układ elementarny i przejście do przestrzeni przyosiowej, promień w ośrodku gradientowym, prawo załamania na bazie hipotezy Huygensa, widmo promieniowania atomu (K!!), obraz punktu dla przysłony prostokątnej, powiększenie użyteczne mikroskopu (K!!)

2. Tematy opisowe po 5 punktów

Razem z jednego kolokwium można uzyskać maksymalnie 20 punktówPunktacja zaliczenia wykładu na podstawie wyniku dwóch kolokwiów

Punkty Stopień0 - 22.5 nie zaliczone23.0 - 26.5 3.027.0 - 29.5 3.530.0 - 32.5 4.033.0 - 36.0 4.536.5 - 40.0 5.0

Zjawiska dyfrakcji cd

Jak można przedstawić problem granic poznania dla przedmiotów o złożonej (rozciągłej) strukturze ?

Dla prostoty problem przedstawiony zostanie w sposób poglądowy na podstawie analizy obrazu siatki dyfrakcyjnej

Dotychczas granice poznania były definiowane przez obserwację dwupunktowego przedmiotu

Przypadek obserwacji gwiazd przez teleskop lub lunetę

Siatka dyfrakcyjna

x

m = 0m = 1

m = 2

m = -1m = -2z

...,2,1,0mmd

sin z

Kierunki propagacji fal płaskich przez siatkę dyfrakcyjną

Mówi się o rzędach dyfrakcyjnych

Periodyczny zbiór jednakowych elementów

d – okres (stała) siatki

Element siatkiSzczególny przypadek siatki

dyfrakcyjnej

jako zbiór szczelin

Odwzorowanie siatki przez układ optyczny

m = 0

f’

Propagacja rzędu m = 0

ObOk

płaszczyzna obrazu

Pole jednorodne jak bez siatki

m = 1

f’

Propagacja rzędu m = 1

ObOk

płaszczyzna obrazu

Pole jednorodne jak bez siatki

f’

ObOk

płaszczyzna obrazu

m = -2 ÷ 2

propagacja rzędów m = -2 ÷ 2

f’

ObOk

płaszczyzna obrazudiafragma

obraz siatki niewidoczny

transmisja tylko rzędu m = 0

Płaszczyzna widma siatki

f’

ObOk

płaszczyzna obrazudiafragma

Wynik transmisji rzędów m = 1, 0, -1

W wyniku interferencji promieniowania generowanego przez 3 źródła punktowe

powstaje obraz prążkowy

Obraz jest periodyczny, ale czy widzimy szczegóły siatki ?

Granice poznania szczególne przypadki

m0 1 2 3-1-2-3

widmo siatki siatka dyfrakcyjna

obrazy siatki dla różnego obcięcia widma

m = - 5 5

m0 1 2 3-1-2-3

Przesłonięcie rzędów –1 i 1 powoduje zwiększenie częstości obrazu. Słynne doświadczenie Abbego

Siatka szczelinowa Przybliżenia

x

Przeniesione rzędy m = -1, 0 i 1

Obraz siatki dyfrakcyjnej

Test prostokątny cd Przybliżenia

x

Przeniesione rzędy m = -3 3

Obraz siatki dyfrakcyjnej

Test prostokątny cd Przybliżenia

x

Przeniesione rzędy m = -15 15

Obraz siatki dyfrakcyjnej

Granice poznania

Obiektyw nie przenosi całego widma siatki (przedmiotu)

Obraz jest periodyczny o częstości odpowiadającej obrazowi siatki, ale nie jest podobny do przedmiotu

Obraz dany przez układ optyczny nigdy nie jest podobny do przedmiotu

Siatka dyfrakcyjna ze stałą d rzędu długości fali

x

m = 0

m = 1

m = -1

z

...,2,1,0mmd

sin z

1sin1mdla z

x

m = 0z

1sin0middla z

Sama siatka dyfrakcyjna nie przenosi informacji o swojej strukturze

Czy to prawda ?

Czy to prawda ?Rozważania dotyczące interferencji,

dyfrakcji, i dalej polaryzacji, były, i będą, prowadzone z dokładnością optyki falowej

Problemy optyki podfalowej muszą być rozwiązywane narzędziami

elektrodynamiki optycznej

Rozwiązywanie równań Maxwella metodą elementów skończonych

Zagadnienia wykraczają poza obszar wiedzy tu prezentowany

Literatura uzupełniająca

W.T. Cathey, Optyczne przetwarzanie informacji i holografia, PWN, Warszawa, 1978

K. Gniadek, Optyka fourierowska, WPW, Warszawa, 1987

R.Jóźwicki: Podstawy inżynierii fotonicznej. Ofic,Wyd. PW, Warszawa 2006

R. Jóźwicki, Teoria odwzorowania optycznego, PWN, Warszawa, 1988

B.E.A. Saleh, M.C. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, New York, 1991, paragraf 4.3 i 4.4

Literatura podstawowa poziom wyższy naukowa