LIGHTWEIGHT STRUCTURES in CIVIL ENGINEERINGINTERNATIONAL SEMINAR of IASS POLISH CHAPTER

Organized by Polish Chapter ofInternational Association for Shell and Spatial Structures

Warsaw-Częstochowa, 3 December, 2004

WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃDLA WSTĘPNIE WYGIĘTEGO PRĘTA ŚCISKANEGO

Z WĘZŁAMI PODATNYMI NA OBRÓT

J.K. ZAMOROWSKIWydział Budownictwa, Politechnika Śląska w Gliwicach

W rozwiązaniu przyrostowym, wyprowadzono wzory transformacyjne metody przemieszczeń dla wstępnie wygiętego pręta obciążonego jak na rys 1, o zmiennych, w kolejnych krokach przyrostowych, sztyw- nościach EJk na zginanie i GAk na ścinanie. Uwzględniono przy tym wpływ siły poprzecznej na giętną deformację pręta.

Rys. 1

.1101 VM yyyy ,,

,21

2

21

2

20

2

21

2

dx

yd

dx

yd

dx

yd

dx

yd VM ,,

,1111 yNqMxM ,1111 dx

ydNqVxV

,1111 ji MMpMMMqM

.1111 ji MVpVMVqV

Założono, że ugięcie pręta jest sumą wstępnego wygięcia (y0), ugięcia od wpływu zginania (yM) i ugięcia wywołanego siłą poprzeczną (yV).Sumaryczne ugięcie w pierwszym kroku przyrostowym

(2a)

(1a)

sumaryczna krzywizna

(1b)

przyrost momentu zginającego i siły poprzecznej

(2)

gdzie

1

12

12

1

EJ

xM

dx

yd

xM

,

,111

11

11

dx

ydNqV

GA

k

GA

xVk

dx

yd V,

.

2

2

2

2dy

yb

yS

J

Ak

h

h

.1

1 GA

k

,

1 12

11

11111

20

2

21

2

dx

ydN

dx

qVdyNqM

EJdx

yd

dx

yd

Wprowadzając do (1b) wyrażenie na krzywiznę zginanego pręta w postaci

oraz przyjmując kąt odkształcenia postaciowego

gdzie

po zróżniczkowaniu otrzymuje się równanie

(4a)

(3a)

(3b)

gdzie

,1

120

2

111

11

212

12

dx

qVd

dx

ydqM

EJyk

dx

yd

1111

1 gdzie,1

1NN

N

.1

1121 EJ

Nk

Po uporządkowaniu uzyskano równanie

w którym

oraz

(4b)

(4c)

(4d)

Dla k – tego kroku przyrostowego uzyskano

,2

2

2

2

2

2

dx

yd

dx

yd

dx

yd VkMkk ,,

(5a)

,

,

1

1

1

1

k

m

mk

kkkk

k

mmkkkkk

dx

ydN

dx

ydNqVxV

yNyNqMxM

– sumaryczny przyrost krzywizny

– przyrost momentu zginającego i siły poprzecznej

(5b)

gdzie

k

mmk NN

1

,

1

12

2

1

1

22

2

k

m

mk

kkk

k

mmkk

k

kkk

k

dx

ydN

dx

qVd

yNqMEJ

ykdx

yd

kkk N

1

1

.2

k

kkk EJ

Nk

oraz równanie osi odkształconej pręta

w którym

oraz

(5c)

(5d)

(5e)

Funkcje wstępnych wygięć pręta, przyrostów sprężystych wygięć, przyrostówwewnętrznych momentów zginających oraz przyrostów obciążeń przyjmuje się w postaci nieskończonych szeregów trygonometrycznych

, ,

, , 00

nknk

nknk

nknk

nn

l

xnpp

l

xnqmqM

l

xnfy

l

xnfy

sinsin

sinsin

gdzie n = 1, 2, 3... .

(6a)

k

kk pdx

qdV

dx

qMd

2

2

,2

knkn pnl

pm

Amplitudy przyrostów momentów zginających uzyskano z równania równowagi

(6b)

w postaci

(6c)

kjkikkn M

n

nM

np

n

n

lqm

cos

sin22

2

4 23

2

.2

2

2

nkn

kk

l

xnqm

l

n

dx

qMd

dx

qVd sin

Dla obciążenia równomiernie rozłożonego i momentami na końcach, w dowolnym kroku przyrostowym otrzymano- wyrażenie na amplitudę momentu zginającego od obciążenia zewnętrznego

oraz wyrażenia na pochodną siły poprzecznej

(7)

(6d)

. 1

2

10

2

1

11

11

211

2

nn

nn

n nnn

nn

l

xnqm

l

n

l

xnf

l

n

lxn

qmEJl

xnfk

lxn

fl

n

sinsin

sinsinsin

Podstawiając szeregi trygonometryczne do równań różniczkowych

odkształconej osi pręta, uzyskano równanie dla pierwszego kroku

przyrostowym

. gdzie ,

1

21

22

121

2

0

2

1

111

1

11

l

EJnN

kl

n

fl

n

NN

Nqm

f nkr

n

nkr

nkr

nn

,,

,,

,,

(8)

(8a)

a stąd wyrażenie na dowolną amplitudę strzałki ugięcia

, dla ,

1

2

22

1

1

l

EJnN

NN

N

fNqmf k

nkkr

knkkrk

nkkr

k

mnmkkn

kn

,,

,,

,,

1

1

k

mnmf

Analogicznie postępując, dla k - tego kroku przyrostowego otrzymano

gdzie

jest sumą amplitud przemieszczeń z poprzednich kroków przyrostowych.

(8b)

.0

dx

dy

dx

MdyxV

dx

dy

dx

Vdy

dx

dyx

Sumaryczne kąty obrotu przekrojów poprzecznych od wstępnych

i sprężystych wygięć oblicza się, zgodnie z rys. 2, wg wzoru

Rys. 2

(9)

Dla przyrostu obciążenia równomiernie rozłożonego oraz przyrostu momentów Mi, Mj, otrzymuje się:- w pierwszym kroku przyrostowym

,cos1 111111 lxn

qmfNl

nx

nnn

- w k – tym kroku przyrostowym

.cos11

1 l

xnfNqmfN

l

nx

n

k

mmnkkknkknkkk

(9a)

(9b)

.01

11 dx

dyxV

dx

ydx

Dla wstępnie wygiętego pręta obciążonego jak na rys 3.

przyrost sprężystego kąta obrotu w pierwszym kroku oblicza się wg wzoru

Rys. 3

(10)

.1

2

1111

01

1

11

n nkrnkr

njj

l

xn

NNN

fnM

Nn

l

Mx

cos

cos

,,,,

Wprowadzając szeregi trygonometryczne wraz amplitudami otrzymujesię w pierwszym kroku przyrostowym wyrażenie na przyrost sprężys-tego kąta obrotu

(10a)

A stąd dla x = 0 oraz x = l

,6 1

1

11

ij

ji C

EJ

lM ,

3 11

11

jj

jj C

EJ

lM

gdzie

n nkrnkr

nji

jNNN

fnMN

n

l

EJC ,

1

26

1111

01

1

21

1,,,,

cos

.1

23

1111

01

1

21

1

n nkrnkr

njj

j nNNN

fnMN

n

l

EJC

cos

cos

,,,,

(10b i c)

(10d)

(10e)

Analogicznie, w k – tym kroku przyrostowym uzyskano

lxn

NNN

fNnn

M

ln

xn nkkrnkkrkk

k

mnmk

kj

k

cos1

cos2

,,,,

1

1

oraz dla x = 0 oraz x = l

,6

ikj

k

kjki C

EJ

lM ,

3j

kjk

kjkj C

EJ

lM

gdzie

,1

26

1

1

2

n nkkrnkkrkk

k

mnm

kj

k

kikj

NNN

fnM

Nn

l

EJC

,,,,

cos

.1

23

1

1

2

n

NNN

fnM

Nn

l

EJC

n nkkrnkkrkk

k

mnm

kj

k

kjkj cos

cos

,,,,

(11a)

(11b i c)

(11d)

(11e)

,k ki1

1

ik

ki

ik

ik

ik

kikip K

M

K

M

K

M

,,

,

,

ikki

ikikikki KM

KKMk

,

,,,

1

111

Przyrost kąta obrotu od wpływu podatnego połączenia określa się ze wzoru

gdzie

Rys. 4. Zależność M - w podatnym węźle przy obciążeniach przemiennych

(12a)

(12b)

Przyrost kąta obrotu w pręcie podatnie utwierdzonym w węźle i

Rys. 5.

,3

3

3 ikk

kiikiki

kiik

kikiiki

k

kikipkiki KEJ

EJklKCM

K

kMC

EJ

lM

,

,

,

kikikik

iki

ikkki

kEJlKC

lK

l

EJM

3

3

,

,

.3

322 ki

kikikki

ikkkiji

kEJlKC

lK

l

EJ

l

MRR

,

,

(13a)

(13c)

(13b)

Przyrost kąta obrotu od wpływ przemieszczenia podpory o

Rys. 6. Pręt podatnie utwierdzony w węźle j

,3

3

jkk

kjkjkj

kjkjkjpkjkj KEJ

kEJKlCM

l ,

,

(13d)

.3

32

kjkjk

jkj

jkkkj

kEJKCl

lK

l

EJM

,

,

Skąd

(13e)

Rys. 6. Pręt podatnie utwierdzony w węźle j

(13d)

Reakcje w układzie aktualnym (osie x, y )

.3

33

kjkjk

jkj

jkkkjji

kEJKCl

lK

l

EJ

l

MRR

,

,

Rys. 6. Pręt podatnie utwierdzony w węźle j

(13e)

Reakcje w układzie pierwotnym (osie xp, yp )

,33

3 2

3

k

k

kjkjkj

kj

jkkkki

pkj

pki EJ

lN

kEJKCl

lK

l

EJ

lNRRR

,

,

Przyrosty kątów obrotu w pręcie podatnie utwierdzonym w węzłach i oraz j

Rys. 7.

od wpływu przyrostów momentów w węzłach i oraz j

.0

,

kjkjpkjkjkikjkj

kjkikikipkikiki

MMM

MMM

(14a)

Rys. 7. Pręt podatnie utwierdzony w węzłach i oraz j

Z przedstawionych zależności, po przekształceniach otrzymuje się

(14b),4

2 kiiji

kki l

EJM ,

23 kiiji

kkj l

EJM

(14c)

gdzie np.

i

kjj

kijkikkjkjkj

kjkikikiki

kjkjkj

kjiki

CClKKkEJKlCkEJKlC

kEJKlClK2

,,,,

,,2

334

33

W przypadku przemieszczenia podpory w węźle j w pręcie obustronnie

Rys. 8.

,kjki

,

,

kikjkjkjpkjkjkj

kjkikikipkikiki

MMM

MMM

podatnie utwierdzonym, zależności wyprowadzono z warunku, że

(14d)

Z porównania kątów obrotu, uzyskuje się zależności

(14e),6

,6

4242 ij

jk

kjiji

kki

l

EJM

l

EJM

,62 ,,

,4

kikikjMkjik

ikiik

ikiji

kEJlCkKlCK

lK

kjkj

kiMkijkj

kjjk

jkijj

kEJlCkKlCK

lK

62 ,,

,4

(14f)

(14g)

(14h)

gdzie

oraz

.62

621

,,,

,,,

lCKkEJlKCK

lCKkEJlKCK

kk

jkiikkikik

ikijk

ijkjkkjkjk

jjkik

MkjMki

Reakcje w układzie aktualnym i pierwotnym

(14i)

.122

1

2

112

,2

1

2

112

2

443

443

ykkij

jiji

kpkj

pki

ykij

jiji

kkjki

uEJ

lN

l

EJRR

ul

EJRR

(14j)

Wpływ obciążenia równomiernie rozłożonego

Rys. 9. Pręt obustronnie podatnie utwierdzony

,0

,0

kjkjkjkjpkikjkjkj

kjkikikipkikikiki

MMMp

MMMp

(15a)

,

312cos

6pi

,2

,

n

knjk

ikj

kjkjkj

kj

nknkjki C

l

n

KCl

kEJlKCnC

l

n

lMM

.6262 ,,,,2

,,12

kjkjkj

kjkikikikijkik

ikj

jki

jkikkjpi

kEJlKCkEJlKCKKCCl

KKCl

EJN

ln

fNn

n

lpN

Ckk

k

mnmk

kkk

kn

2

1

1

23

2

2sin

41

(15b)

(15c)

(15d)

Wyprowadzone w referacie wzory mogą mieć szersze zastosowa- nie. Poza wykorzystaniem ich do obliczania konstrukcji z połącze- niami podatnymi na obrót, z uwagi na możliwość zmiany sztyw- ności EJ oraz GA w kolejnych krokach przyrostowych, można je stosować np.:- do obliczania konstrukcji wzmacnianych, w których w czasie użytkowania zmieniają się przekroje elementów, czy też- do obliczania konstrukcji z elementami, o zmieniających się cha- rakterystykach przekroju pod wpływem obciążenia z uwagi na niestateczność miejscową ścianek.Można wówczas do komputerowego programu wprowadzić odpo- wiednie procedury określające zmianę wartości EJ oraz GA.Z kolei, wprowadzona we wzorach na reakcje podporowe zmiana konfiguracji na zasadzie efektu P - , pozwala śledzić ścieżkę poł- ożenia równowagi elementów, a tym samym stateczność ogólną układu.

DZIĘKUJĘ ZA WYSŁUCHANIE REFERATU