MECHANIKA 2

Prowadzący: dr Krzysztof Polko

PLAN WYKŁADÓW1. Podstawy kinematyki2. Ruch postępowy i obrotowy bryły3. Ruch płaski bryły4. Ruch złożony i ruch względny5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły6. Podstawy dynamiki7. Dynamiczne równania ruchu8. Drgania punktu materialnego9. Dynamika układu punktówmaterialnych10.Momenty bezwładności11.Praca, moc, sprawność, zasady zachowania12. Zasady pracy i energii13.Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego14.Teoria uderzenia

LITERATURA

1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna,Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa1985.

2. ZAWADZKI JERZY, SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Ogólna, PWN 1970, Warszawa 1985 .

3. MISIAK JAN, Mechanika Ogólna, WNT, Warszawa 1998 .

4. HUBER M. T. Mechanika Ogólna i Techniczna. PAN Warszawa 1956.

Wykład 1

Podstawy kinematyki

WPROWADZENIE

� KINEMATYKA – (kineo z greckiegoporuszam)jest to dział mechaniki opisujący ruch punktulub bryły, bez uwzględniania masy i przyczynwywołujących zmianę ruchu (geometria ruchu).

� RUCH – określamy jako zmianę położenia ciałamaterialnego względem układu odniesienia (tj.względem innego ciała lub zbioru ciałuważanych za pozostające w spoczynku) wjednostce czasu.

WPROWADZENIE

W związku z tym że ciała rzeczywiste zastępujemy

pojęciem punkt materialny lub ciało doskonale

sztywne, kinematykę możemy podzielić na:

• Kinematykę punktu materialnego

• Kinematykę ciała sztywnego.

Jest to linia ciągła l utworzona przez kolejnepołożenia poruszającego się punktu.Tor punktu mo że być lini ą prostą lub dowolną krzywą.

Rys. 1

Tor punktu

y

x

l

lTor krzywoliniowy

Droga, odległo ść

W mechanice przez drogę rozumiemy odcinek toru.

Odległość – długość odcinkałączącegodwa punkty .

Podział ruchu

� Ruch prostoliniowy jednostajny� Ruch prostoliniowy zmienny� Ruch krzywoliniowy jednostajny� Ruch krzywoliniowy zmienny

x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t).

Rys. 2

Położenie poruszającego się punktu P w przyjętymukładzie współrzędnych można określić przez x, y, z.Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t(czasu), to otrzymujemy:

Kinematyczne równania ruchu punktu

OPIS PORUSZAJĄCEGO SIĘ PUNKTU

Jeżeli początek promienia rpokrywa się z początkiemukładu współrzędnych toskładowe wektora są równewspółrzędnym punktu P

Równania ruchu w postaci wektorowej

Rys. 3r x = x(t), r y = y(t), r z = z(t)

(t)r rρρ =

Po uwzględnieniu powyższej zależności promień wektora

r możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej:

Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu∆t = t2 - t1, w

którympunkt przebył drogę ∆s = P1P2 .

Prędkość punktu materialnego

Przyrost wektora promienia wynosi∆r

zatem”

Rys. 4

Prędkość średnia

Prędkość średnia punktu jest ilorazem

przyrostu wektora ∆r do czasu ∆t w

którym ten przyrost nastąpił.

=vρ

Prędkość chwilową określagranica przy ∆t dążącym do zera

=vρ

Przyrost ∆r ma składowe ∆x, ∆y, ∆z stąd

Prędkość chwilowa

Wektor pr ędkości można zapisać w postaci:

kjivρ

&ρ

&ρ

&ρzyx ++=

222 zyx &&& ++=v

którego moduł wynosi:

Prędkość chwilowa

W czasie∆t = t2 - t1, wektor pr ędkości zmienia się z v1 na v2 .

Przyspieszenie punktu materialnego

Przyrost wektora prędkościwynosi ∆v, zatem

Przyspieszenie średnie punktu Przyspieszenieśrednie punktu wyraża się jako ilorazprzyrostu pr ędkości ∆v przez przyrost czasu∆t.

Przyspieszenie chwilowe punktu

=aρ

Wiedząc, że przyrost prędkości ∆v ma składowe ∆vx, ∆vy, ∆vz,

stąd składowe wektora przyśpieszenia mają postać

Wektor przy śpieszenia można zapisać w postaci :

a jego moduł

Przyspieszenie chwilowe punktu

Ruchem prostoliniowym jednostajnymjest ruch punktu po torze prostoliniowym, który

odbywa się w taki sposób, że w jednakowych

przedziałach czasu t punkt przebywa takie same

odcinki drogi.

Ruch prostoliniowy jednostajny

Droga s jest liniową funkcj ą czasu, zatem

czyli

Stąd po scałkowaniu otrzymujemy

Równania ruchu prostoliniowego jednostajnego

Rys. 6

czyli

Wykres ruchu prostoliniowego jednostajnego

Jeżeli prędkość jest liniową funkcj ą czasu, to ruch punktu jestjednostajnie zmienny.

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny

Ruch prostoliniowy zmiennyJest to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki

sposób,że w jednakowych przedziałach czasut punkt przebywa różne

odcinki drogi.

Równania ruch u prostoliniowego jednostajniezmienn ego

a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony

a < 0 ruch jednostajnie opóźniony

Przyśpieszenie

Prędkość

Droga

Ruch krzywoliniowy jednostajny

Jest ruch punktu po torze krzywoliniowym l, w którym

wektor pr ędkości w każdej chwili jest styczny do toru, a

jego wartość nie zmienia się z czasem(zmienia się tylko jego

kierunek).

W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu tworzy z wektorem prędkości tego punktu pewien kąt α (ostry lub rozwarty).

Jest to ruch punktu po torze krzywoliniowym, w którymwektor

prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek.

Ruch krzywoliniowy zmienny

Z rysunku wynika, że wartość przyspieszenia składowego anprostopadłego do prędkości ma postać:

Składowa ta nosi nazwę przyspieszenia normalnego, a związana jest ze zmianą kierunku wektora pr ędkości.

Przyśpieszenie normalne

Składowa przyspieszenia w kierunku wektora

prędkości nazywana jest przyspieszeniemstycznym i

związana jest ze zmianą wartości wektora prędkości.

Wartość at jest określona w postaci:

Przyśpieszenie styczne

jest sumą przyspieszenia normalnego i stycznego

a wartość tego wektora obliczamy z zależności

Wektor przy śpieszenia

Na podstawie tych wiadomości można ustalić z jakim ruchem punktu materialnego mamy do czynienia:

an≠0, at ≠0 - Przyspieszenie całkowite jest nachylone

pod pewnym kątem (ostrym lub rozwartym) do prędkości. Rozważany ruch jest ruchem krzywoliniowym zmiennym, zmienia się wartość i kierunek pr ędkości.

an=0, at ≠0 - Całkowite przyspieszenie jest styczne do

toru. Prędkość w takim ruchu może zmienić swoją wartość ale jej kierunek pozostaje bez zmian. Jest to ruch prostoliniowy zmienny.

an≠0, at =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek

prostopadły do toru. Prędkość w tym ruchu może zmieniać jedynie swój kierunek, a wartość pozostaje stała. Rozważany ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym.

an=0, at =0 - Całkowite przyspieszenie jest równe zeru.

Wektor pr ędkości w takim ruchu nie może zmienić ani swojego kierunku ani wartości. Jest to więc ruch jednostajnie prostoliniowy.

Ruch jednostajny po okr ęguW ruchu jednostajnym punkt materialny porusza się ruchem

jednostajnym po okręgu o promieniu r, przebywając w równych

odstępach czasu t równe odcinki drogi (łuki P1P2, P2P3, P3P4,).

v

v

v

P3

P4

αr r

vP1

P2an

Rys. 13

Prędkość średnia punktu wyraża sięjako

Jednak w tym przypadku droga jest łukiem, więc jak wiadomo z geometrii

czyli

P1 P2

P3

P4

Stosunek kąta α wyrażonego w radianach doczasu t, w którym ten kąt został zatoczony,nazywamy prędkością kątową.

Tak więc wartość prędkości liniowej otrzymamy z wyrażenia

Prędkość kątowa

Prędkością obrotową punktu po okręgu nazywamy

liczbę pełnych obiegów w ciągu jednej minuty

Prędkość obrotowa

Pomiędzy prędkością kątową [rad/s] i prędkością obrotową [obr/min] zachodzi zależność

Przyśpieszenie kątowe (składowa styczna at oznaczana przez ε ) określa zmianę wektora prędkości kątowej.

W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu składowa styczna przyśpieszenia kątowego jest równa zeru.Występuje tylko składowa normalna, której wartość określona jest wzorem:

Ruch zmienny po okręgu – przyśpieszenie kątowe

Przykład 1. Tarcza ośrednicy d=2r=20cmzaczyna obracać się

ruchemjednostajnie przyspieszonymz przyspieszeniemkątowym

ε=5 rad/s2. Obliczyć przyspieszenie styczne i normalne punktów

leżących na obwodzie tarczy w dziesiątej sekundzie ruchu.

ω

a

at

r

v

an

Rozwiązanie:

Dane: ε=5 rad/s2; r=0,1m Obliczyć : at i an po 10 sek. ruchu

Prędkość kątowa po 10 s ruchu wynosi:

Przyśpieszenie normalne i styczne

Przykład 2. Ruch punktu po płaszczyźnie określony jestrównaniami: x=40t, y=5t2. Obliczyć wartości przyspieszeniastycznego i normalnego w chwili t=3s.

Rozwiązanie:

dla t=3s

Składowe prędkości:

Składowe przyśpieszenia

Moduł wektora prędkości wynosi:

Moduł wektora przyśpieszenia:

dla t=3s

Przyspieszenie normalne obliczamy z zależności

dla t=3s

Pierwsza pochodna prędkości określa przyspieszenie styczne

Przykład 3Narysować wykres s(t), v(t) oraz a(t) ilustrujący ruch ciała rzuconego pionowo w górę z prędkością początkową v0.

v0

Dane: v0, h0.

h0

RozwiązanieWychodzimy z podstawowego równania:

v0

– przez cały czas trwania ruchu.

x

y

Ruch jednostajnie opó źniony.

Rozwiązanie

2twt

tw–g

0

a(t)

tw 2tw

v(t)

t

v0

0

–v0

Rozwiązanie

tw 2twt

s(t)

h0

hmax

RozwiązanieObliczymy ponadto czas wznoszenia:

v0

Wyjdziemy z równania:

x

y

RozwiązanieWysokość rzutu obliczymy z zależności:

v0

h max

Zatem:

x

y

Przykład 4Ruch ciała po gładkiej równi pochyłej, a następnie po gładkim torze poziomym.

a(t) = g a(t) = 0

parabola prosta

gładkie przejście (funkcja różniczkowalna)!!!

t

s(t)

Jak odczytywa ć z wykresu?1. Ruch jednostajny prostoliniowy:

v(t)

t

v0 > 0

0t0

v(t)

t

v0 < 0

0 t0

prędkość dodatnia – punkt oddala się od obserwatora.

prędkość ujemna – punkt zbliża się do obserwatora.

Jak odczytywa ć z wykresu?1. Ruch jednostajny prostoliniowy:

funkcja drogi rosnąca – punkt oddala się od obserwatora.

s(t)

t0t0

α

tgα > 0

s(t)

t0t0

α

tgα < 0

funkcja drogi malejąca – punkt zbliża się do obserwatora.

Jak odczytywa ć z wykresu?1. Ruch jednostajny prostoliniowy:

wartości funkcji drogi dodatnie –punkt porusza się po jednej stronie obserwatora.

s(t)

t0t0

α

s(t) > 0

wartości funkcji drogi ujemne –punkt porusza się po przeciwnej stronie obserwatora.

s(t)

t0 t0

s(t) < 0

Jak odczytywa ć z wykresu?2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opó źniony):

funkcja prędkości rosnąca – punkt przyspiesza.

v(t)

t

tg α > 0

0t0

α

v(t)

t

tg α < 0

0t0

α

funkcja prędkości malejąca – punkt zwalnia.

Jak odczytywa ć z wykresu?2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opó źniony):

wartość prędkości dodatnia – punkt oddala się od obserwatora.

v(t)

t

v(t) > 0

0t0

v(t)

t

v(t) < 0

0 t0

wartość prędkości ujemna – punkt zbliża się od obserwatora.

Jak odczytywa ć z wykresu?

Reguły są analogiczne jak dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. Dodatkowo:

2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opó źniony):

parabola wypukła – punkt przyspiesza.

α1

α2

α2

α1

parabola wklęsła – punkt zwalnia.

Przykład 5Mając dany wykres prędkości od czasu, narysować wykresa(t) oraz s(t). Wyznaczyć:� wartość przyspieszenia w każdymz przedziałów;� przebytą drogę na końcu każdego przedziału.Dane dodatkowe: s(0) = v1t1/2.

RozwiązanieObliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytejdrogi w każdymz przedziałów:

0 < t < t1

α1

Prędkość ujemna, zatem punktzbliża się do obserwatora.

Rozwiązanie

t1 < t < 2t1

α1

Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytejdrogi w każdymz przedziałów:

α2

Rozwiązanie

Dla 2t1:

α1

Wartość położenia na końcu każdego z przedziałów:

α2

Dla t1:

prędkość malejąca –parabola wklęsła

prędkość rosnąca –parabola wypukła

Rozwiązanie

Wykres drogi od czasu:

t1 2t1

t

s(t)

0

2

v 11t

2

v 11t−

s1(t)

s2(t)

Rozwiązanie

Wykres przyspieszenia od czasu:

t1 2t1t

a(t)

0

1

1v

t−

1

1v

t