BTomografia Klasyczna

Algorytm rekonstrukcji

Pojedynczy rzut akumulacyjny

f(x,y)

t

P(,t)

Rekonstrukcja metodą FFT

t

Sinogram

Rekonstrukcja metodą projekcji wstecznej z sinogramu bez filtracji

Algorytm rekonstrukcji m. projekcji wstecznej z filtracją

Seria rzutów akumulacyjnych

Sinogram Sinogram przefiltrowany

Rekonstrukcja

Filtr

Obiekt

Wynik

Typowe filtry

Rekonstrukcja m. projekcji wstecznej z filtracją

Konfiguracje tomografów medycznych i przemysłowych

Typowe błędy

Rekonstrukcja z małej liczby rzutów akumulacyjnych

8 16 32

Typowe błędy

Obecność szumów w rzutach akumulacyjnych

Niecentralność środka obrotu

Obecność tła w rzutach akumulacyjnych

2% szumów

Bicie: 2.5%

5% względnego tła

Rekonstrukcja algebraiczna i iteracyjna

Interferometria Tomograficzna

Podział optycznych elementów fazowych

Metody pomiarowe:

• mikrointerferometria,

• metoda bliskiego pola,

• optyczna tomografia dyfrakcyjna,

•tomografia mikrointerferencyjna.

Metody pomiarowe:

• elastooptyka zintegrowana,

• metoda światła rozproszonego,

• tomografia elastooptyczna.

Izotropowe (jeden współczynnik załamania w punkcie n(x,y,z))

• preformy i światłowody,

• mikrosoczewki,

• falowody.

Rozważane optyczne elementy fazowe*

* elementy o wymiarach mili- i mikrometrowych

Anizotropowe jednoosiowe (dwa współczynniki załamania w punkcie;

no(x,y,z) ne(x,y,z) )

• światłowody utrzymujące stan polaryzacji,

• kryształy optyczne jednoosiowe( w tym ciekłe),

• elementy poddane naprężeniom.

Zasada pomiaru rozkładu współczynnika załamania w tomografii mikrointerferencyjnej*

Akwizycja serii interferogramów obiektu

Obliczanie zintegrowanego

rozkładu fazy

P(w,z,α)

Rekonstrukcja rozkładu fazy (algorytm projekcji

wstecznej)

α =1°….180 °z

w

Skalowanie do wartości współczynnika

załamania

α

α

(x,y,z) = S(,,z) exp(j 2w) d d 0 -

gdzie: S(,,z) = P(,w,z)exp(-j 2w) dw, - częstość przestrzenna rozkładu P (,w,z0).

,2

),,(),,( lnd

zyxzyxn

λ-dlugość fali, nl - współczynnik załamania cieczy immersyjnej, d-wymiar obiektu odpowiadający pikselowi,

*Witold Gorski: Trójwymiarowa rekonstrukcja niejednorodności współczynnika załamania w optycznych elementach fazowych, Rozprawa doktorska, PW 2002

Interferometria tomograficzna - algorytm

Interferogram Mapa fazowa

Wiązka odniesienia

Wią

zka

prz

edm

ioto

wa

Automatyczna

Analiza

Interferogra - mów

Wyznaczanie zintegrowanych rozkładów fazowych:

• wysoka dokładność wyznaczania mapy fazowej w porównaniu z metodami dyfrakcyjnymi• odtworzenie rozkładów fazowych o nieznanej geometrii

Rekonstrukcja rozkładu współczynnika załamania

Rekonstrukcja rozkładu fazowego:

(x,y,z0) = S(,,z0) exp(j 2w) d d 0 -

gdzie: S(,,z0) = P(,w,z0)exp(-j 2w) dw, - częstość przestrzenna zintegrowanego rozkładu P (,w,z0).

Skalowanie do wartości współczynnika załamania:

(x,y,z0) n(x,y,z0) = ————— 2 d gdzie:

(x,y,z0) – zrekonstruowany rozkład fazowy – długość fali, d – geometryczny wymiar obiektu.

Trójwymiarowa rekonstrukcja

n(x,y,z0)

n(x,y,z0+2)

n(x,y, z0+k)

n(x,y,z0+1)x

y

z

n(x,y,z) = n0 + n(x,y,z)

Microinterferometric tomography-exemplary measurement sequence

Acquisition of series of phase projection:

Phase distribution in selected x-x line in function of angular position:

Completing of sinogram for selected cross-section :

Xx x

y

y

angular position

y

x

phas

e

Microinterferometric tomography-exemplary measurement sequence

Sinogram of single layer

Filtered backprojection algorithm

Reconstruction of single layer

Assembly of single layers

allows for 3D reconstruction

of refractive index in object

Algorytm tomografii fazowej

Pomiar obiektu milimetrowego

710n

n

Niejednorodność:

Tomografia mikrointerferencyjna- układ eksperymentalny

POZYCJONER

Tomografia mikrointerferencyjna- układ eksperymentalny

Experimental results

Interferogram

FUSED OPTICAL FIBER SPLICE (SINGLE MODE-MULTIMODE)

Distribution n(x,y,z) - rendering

Experimental results

Cross-sections sequence

n(x,y) - C2n(x,y) -C1

Theory

Experiment

Tomographic microinterferometry

Multimodal Gradient Profile Fiber Inspection

ideal profile

measured profile

Considerable deviation of refractive index in the middle area

Single mode fiber inspection

core

core

cladding

core

cladding

1 pixel=0,33µm [pixels]

[pix

els]

Fiber parameters:

-fiber diameter 120µm

-core diameter 8µm

-core refractive index 1,47

-cladding refractive index 1.46

Only central core area was reconstructed

propoperly

-refractive index determination error is

considerable in core area, source of this error is

difraction phenomenon on edge of core and cladding; step of refractive index is

equal 0,01

Metoda uśredniania fazy przy badaniu światłowodów jednomodowych

Dwuwymiarowy rozkład fazy w projekcji

x x

x

y

faza

faza

y-y

Przekrój przez fazę y-y

Profil fazy po uśrednieniu

wzdłuż współrzędnej yUśrednienie wartości fazy w projekcji powoduje znaczną redukcję szumów przy jednoczesnym zachowaniu rzeczywistego profilu fazy

Sinogram of reference layer

-no inhomogeneities

Edges localization

Ideal sequence

CALIBRATION ARRAY

Correction of all sinograms

w

n1

n2

n(0,w,z0)

edges

Numerical correction of radial run-out

Numerical correction of radial run-out

Sinogram: initial Edge localization matrix After correction

Exemplary results

•No lack of information.

•Reduction of radial movement influence to single micrometers.

Zastosowania metody TI do pomiaru rozkładu współczynnika załamania n w różnych typach

obiektów

Piksele (1 piksel=1 μm)

Współczynnik załamania

Piksele (1 piksel=0,12 μm) Piksele (1 piksel=0,12 μm)

Wsp

ółc

zyn

nik

za

łam

an

ia n

Wsp

ółc

zyn

nik

za

łam

an

ia n

Profil n przed napromieniowaniem

Profil n po napromieniowaniu dawka 3.5 MGy

• Struktury wykonane w technologii DLP

• Badanie wpływu promieniowania gamma na n w światłowodach jednomodowych

Seria projekcji fazowych

Wizualizacja kolejnych warstw Zrekonstruowana warstwa

Reconstrukcja struktury holey-fiber

Obraz światłowodu holey fiber uzyskany mikroskopem

elektronowym

Wynik pomiaru tomograficznego

[Uniwersytet w Bath]

Numeryczna symulacja rekonstrukcji tomograficznej

Cel symulacji:

Określenie ograniczeń teoretycznych tomografii mikrointerferencyjnej związanych z wymiarem

najmniejszych szczegółów obiektu.

Rozwiązanie problemu:

Symulacja propagacji światła przy użyciu metody finite difference time domain, a następnie wykorzystanie

uzyskanych rezultatów do tomograficznej rekonstrukcji obiektu i porównanie uzyskanego rozkładu współczynnika

załamania z rozkładem wejściowym

Metoda Finite Difference Time Domain

Zalety metody:

• Najbardziej ogólne podejście oparte na teorii elektromagnetyzmu

• Pełna analiza wektorowa pola

• Możliwość analizy propagacji w dowolnych ośrodkach ( także w ośrodkach anizotropowych )

Wady metody:

• wysoki koszt numeryczny symulacji

• duże wymagania sprzętowe

Metoda Finite Difference Time Domain 

Równania Maxwella dla ośrodków izotropowych w postaci wektorowej

 

Można je zastąpić równaniami skalarnymi:

        =            

        =        

      =                           =                           =                           =                                  =                                  =                           

Metoda Finite Difference Time Domain 

Wprowadzając dyskretny układ współrzędnych:

 

                           

Możemy dowolną funkcję czasu i przestrzeni zapisać jako:

,

gdzie:Δt-jednostkowy przyrost czasu,δ=Δx=Δy=Δz-przestrzenne stałe siatki symulacji.

Przestrzenne i czasowe pochodne funkcji F można zapisać następująco:

Metoda Finite Difference Time Domain

Równania pochodnych są podstawiane do skalarnych równań Maxwella:

Podstawowy element symulacji;komórka Yee

Pakiet oprogramowania OptiFDTD

Zintegrowany pakiet oprogramowania OptiFdtd skada się z trzech elementów:

1)OptiFdtd Designer

•Umożliwia projektowanie układów fotonicznych 2- i 3-wymiarowych, przy użyciu interfejsu graficznego

•Możliwość zastosowania języka skryptowego podczas projektowania bardziej złożonych struktur

2)OptiFdtd Simulator

•Możliwość symulacji materiałów stratnych jak i idealnych przewodników, izo- i anizotropowych

•Symulacja dla polaryzacji liniowej oraz kołowej

•Możliwość śledzenia zmian rozkładu pola w czasie(dla określonego punktu lub linii)

3)OptiFdtd Analyser

•Pełna wizualizacja otrzymanych rezultatów (zespolony rozkład pola E-M, wektor Poyntinga)

•Możliwość eksportu rezultatów do plików tekstowych

Projekt struktury optycznej

Propagacja fali płaskiej przez obiekt

Rezultatem symulacji jest rozkład pola elektrycznego

w postaci zespolonej

Schemat symulacji metodą FDTD

Obliczenie fazy mod2π faza=arctan(Im/Re)

Schemat procesu rekonstrukcji

Uciąglanie fazy-

Odbywa się w kierunku propagacji światła.

Rekonstrukcja tomograficzna przy użyciu transformaty

Radona

Skalowanie do współczynnika

załamania

n(x,y)=(Φ(x,y)*λ)/

(2π*dx))

Rezultaty-światłowód jednomodowy

core

cladding

Refractive index

[pixels]

[pixels]

1 pixel=0.03µm

1 pixel=0.3µm

symulacja

pomiar rzeczywisty

Rezultaty – rekonstrukcja włókien z małymi średnicami rdzeni

Średnica płaszcza=16µm

Średnica rdzenia-zmienna

Współczynnik załamania płaszcza=1.46

Współczynnik załamania rdzenia=1.47

Współczynnik załamania cieczy imersyjnej=1.47

Rezultat rekonstrukcji

Profil idealny

Średnica rdzenia=7µm

Średnica rdzenia =4µmŚrednica rdzenia =5µmŚrednica rdzenia =6µm

Rezultaty – rekonstrukcja włókien z małymi średnicami rdzeni

Średnica rdzenia =3µm Średnica rdzenia =2µm

Średnica rdzenia =1µm

Średnica płaszcza=16µm

Średnica rdzenia-zmienna

Współczynnik załamania płaszcza=1.46

Współczynnik załamania rdzenia=1.47

Współczynnik załamania cieczy imersyjnej=1.47

Rezultaty – rekonstrukcja kanałów w szkle, wypełnionych cieczą imersyjną

0,9µm

0,6µm 0,5µm

0,8µm

Średnica kanału-zmienna d=0,1÷0,9µm

Współczynnik załamania szkła n=1,46

Współczynnik załamania cieczy imersyjnej=1.47

0,7µm

0,1µm

0,3µm

0,2µm

0,4µm

Rezultaty – rekonstrukcja kanałów w szkle, wypełnionych cieczą imersyjną

Średnica kanału-zmienna d=0,1÷0,9µm

Współczynnik załamania szkła n=1,46

Współczynnik załamania cieczy imersyjnej=1.47

Rezultaty rekonstrukcji uproszczonej struktury typu holey fiber

Parametry struktury:•Szkło niedomieszkowane n=1,46

•średnica D=10µm

•Średnica kanałów d=0,5µm

•Kanały są rozmieszczone równomiernie w odległości 5µm od środka struktury

Struktura wejściowa: Rezultat rekonstrukcji:

Zrekonstruowany profil

Tomografia elastooptyczna

Zasada pomiaru rozkładu współczynników załamania w tomografii elastooptycznej

Obliczenie zintegrowanego rozkładu opóźnienia fazowego

Δ(w,z,α)

Algorytm projekcji wstecznej-rekonstrukcja rozkładu opóźnienia fazowego

Skalowanie do wartości różnic współczynników załamania

zwyczajnego i nadzwyczajnego

Akwizycja serii zestawów obrazów elastooptycznych (izokliny i izochromy)

dxnn oe

2

α =1°….180 °

α

z

w

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

Circular polariscope and its mathematical representation

Characteristic object

parameters:

Δ - phase retardation

Φ – asimuth

,cossin

sincos

2cos12sin

2sin2cos1

)(2cossincos)(2sinsin

)(2sinsin)(2cossincos

1

1

1

0

2

1

tikeii

ii

ii

ii

i

i

V

U

where: U - component of light vector perpendicular to polariser axis V - component of light vector parallel to polariser axis

Mathematical representation of system, according to Jones calculus:

Integrated retardation calculation by phase shift method

Ψ β Output intensity equations

0 π/4

0 3π/4

0 0

π/4 π/4

π/2 π/2

3π/4 3π/4

21

6435 2cos)(2sin)(arctan

2

1

ii

iiii

64

35arctan2

1

ii

ii

•Azimuth

• Phase retardation

2sin(2cos)2sin2cos)(2sin vvm iiii

cos1 ba iii

cos2 ba iii

sinsin3 ba iii

sincos4 ba iii

sinsin5 ba iii

sincos6 ba iii

General output intensity equation:

Simulation of measurement process

Polarized wave propagation (with FDTD algorithm) for various arrangements of polarizing elements

-20 0 200

0.5

1

um

I(6)

-20 0 200

0.5

1

um

I(5)

-20 0 200

0.5

1

um

I(4)

-20 0 200

0.5

1

um

I(2)

-20 0 20

um0

0.5

1 I(1)

-20 0 200

0.5

1

um

I(3)

Intensity distributions for six discrete phase steps

Distribution of birefringence in object:

-2 0 2-0.5

00.5

11.5

2

um

Δ – phase retardation

Scaling of retardation Δto birefringence Δn

Tomographic reconstruction

-20 0 20 μm

0

5

10

Δn

10-3

-2 0 2

-0.2

0

0.2θ – azimuth

um

Distribution from FDTD simulationTheoretical distribution

-2 0 2

0

1

2

um

Simulation FDTDTheoretical projection

Symulacja; obliczanie rozkładu opóźnienia - 2

Characteristic parameters computation

Δn

• Results of simulation – comparison of assumed profiles and profiles achieved by computer simulations

Δ=0.01

Δ=0.07

Δ=0.04 Δ=0.05 Δ=0.06

Δ=0.03Δ=0.02

Theoretical profiles

Profiles derrived from simulations

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070

5

10

15

20

25

Rerr=100%((Bsim-Btheor)/)Btheor), where Bsim is mean value of birefringence of reconstructed structure in area D,

Btheor is mean value of theoretical birefringence in area D, assumed in simulation.

Rerr

• Dependence of relative error of birefringence reconstruction on birefringence

B

• method gives relatively accurate results up to birefringence value of 0.03, above this value we observe abrupt increasing of error from 1.5% to 18% • due to cylindrical shape of structure and considerable refractive index difference between extraordinary index in domain D and outer area (Δn=0.04) sample works as cylindrical lens and for high B values disturbs measurement.

Experimental setup

LED- Led sourceP - polaryserλ/4 - quarter-wave plate, O - measured object, OB - microscopic objective,A - analyzer, L - imaging lens

Experimental setup

Measured objects

no

ne

• Analysed objects are fibers with channels filled with liquid crystal

• Due to viscosity forces liquid crystals are oriented paralelly to axis of capillary

Capillary 127μm

Experimental results-intensities for consequent phase steps

cos1 ba iii cos2 ba iii

sinsin3 ba iii sincos4 ba iii

sinsin5 ba iii sincos6 ba iii

Ψ=0 β=π/4 Ψ=0 β=3π/4

Ψ=0 β=0 Ψ=π/4 β=π/4

Ψ=π/2 β=π/2 Ψ=3π/4 β=3π/4

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Experimental results

Modulo π phase retardation Modulo π phase retardation for A-A section

AA

Unwrapped phase for A-A section

Sinogram of object

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

8000 100 200 300 400 500 600 700 800

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

A-A

[pixels] 1pixel=0.25um

bire

frin

genc

e

[pixels] 1pixel=0.25um

Experimental results-birefringence profile

A A