Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1

Temat:

Zmienna losowa.

Rozkład ciągły

Kody kolorów:

żółty – nowe pojęcie pomarańczowy – uwaga

* - materiał nadobowiązkowy

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 2

Zagadnienia

1. Przedstawienie rozkładu ciągłego.

2. Przykłady rozkładów ciągłych:

a. rozkład jednostajny,

b. rozkład normalny.

3. Prawo trzech sigm.

4. Parametry rozkładu.

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 3

Przypomnienie – dośw. losowe

Przykłady doświadczeń losowych:

• rzut kostką do gry • rzut monetą

• losowanie kuli z urny

• losowanie karty z talii kart

• strzał do celu

Mogą być powtarzane wielokrotnie.

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 4

Przypomnienie – zmienna losowa

Przykład. W pewnej grze gracz rzuca kostką. Jeżeli wypadnie więcej niż 4 oczka,

to gracz dostaje 10 zł, w przeciwnym razie płaci 1 zł.

Niech wygrana gracza będzie zmienną lo-

sową, ozn. X.

Polecenie. Przedstaw rozkład zmiennej lo-sowej X w postaci tabeli, wykresu funkcji

rozkładu, wykresu funkcji dystrybuanty.

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 5

Przypomnienie – rozkład zm. los.

D

wyniki dośw. D: 1 2 3 4 5 6

wygrana gracza: -1 -1 -1 -1 10 10

wygrana xi: -1 10

p-stwo pi: 2/3 1/3

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 6

Przypomnienie – funkcja rozkładu

Funkcja rozkładu p-stwa*: f (xi)=pi

10

wartości xi

p-stwo pi

-1

1/3

2/3

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 7

Przypomnienie – dystrybuanta

2/3

10 t

FX (t)

-1

1

RttXPtFdef

X ,

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 8

Przypomnienie - komentarz

Różnie określone zmienne losowe X, Y, na-wet z różnych doświadczeń losowych DX,

DY i przestrzeni ΩX, ΩY, mogą mieć jedna-kowe rozkłady (przykład na tablicy). Dla-

tego można badać własności samych roz-

kładów, pomijając słowny opis zmiennej losowej.

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 9

Typy rozkładów

Rozkład

skokowy ciągły

Przykłady:

• dwupunktowy (0-1) • równomierny

• dwumianowy • Poissona

Komentarz do idei przedstawienia rozkładu ciągłego.

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 10

Rozkład zmiennej losowej ciągłej

Rozkład zmiennej losowej X ciągłej można przedstawić za pomocą:

• funkcji gęstości p-stwa (fgp)

)(xfy

• funkcji dystrybuanty:

tXPtFdef

X

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 11

Funkcja gęstości p-stwa

Definicja. Funkcja gęstości p-stwa zmien-nej losowej X, ozn.: y = f (x), to funkcja

spełniająca warunki:

1. wykres leży nad lub na osi OX

fDxxf gdy,0)(

2. pole obszaru ograniczonego z góry wy-kresem funkcji, a z dołu osią OX jest

równe 1

1)( dxxf

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 12

Funkcja gęstości p-stwa - idea

Funkcja gęstości p-stwa zmiennej losowej X: y = f (x)

wartości zmiennej losowej X

f (x)

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 13

Zdarzenie losowe

Wykres fgp y = f (x)

Zdarzenie losowe

b;aX

czyt.: zm. los. X przyj-

muje wartości z prze-

działu od a do b

wartości zmiennej losowej X

f (x)

a b

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 14

Zdarzenia losowe - przykłady

Przykłady (przy a < b):

baX , baX ,

baX , baX ,

aX , aX ,

,aX ,aX

aaaX ,

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 15

P-stwo na wykresie fgp

Wykres fgp y = f (x)

wartości zmiennej losowej X

f(x)

a b

P-stwo zdarzenia

losowego (a ; b) –

zakreskowane pole

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 16

P-stwo zdarzenia losowego

Zdarzenie losowe: zmienna losowa X przyj-mie wartość z przedziału [a, b], ozn.:

baX ,

P-stwo zdarzenia losowego:

baXP ,

Graficzna interpretacja p-stwa: „pole pod wykresem fgp”

Obliczanie p-stwa:

b

a

dxxfbaXP ,

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 17

Dystrybuanta - definicja

Dystrybuanta zmiennej losowej X, ozn.: FX(t)

tdef

X dxxftXPtF )()(

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 18

Dystrybuanta – wykres

FX (t) – dystrybuanta zm. los. X

0 t

F(t)

a

F(a)

1

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 19

Dystrybuanta – własności

FX (t) – dystrybuanta zm. los. X

• 0lim

tFXt

• 1lim

tFXt

• FX (t) jest funkcją niemalejącą

• FX(t) jest funkcją (prawostronnie) ciągłą

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 20

Dystrybuanta na wykresie fgp

Wykres fgp y = f(x)

tXPtFX )(

wartości zmiennej losowej X

f(x)

t

zakreskowane pole

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 21

P-stwo zdarzenia losowego

aFbFbaXP ,

wartości zmiennej losowej X

f(x)

a b

P-stwo zdarzenia lo-

sowego (a ; b) – za-

kreskowane pole

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 22

Przykłady rozkładów ciągłych

• jednostajny na odcinku (a,b)

• normalny

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 23

Rozkład jednostajny na odcinku (a ; b)

Wzór fgp:

baxdla

baxdlaabxf

,0

,1

)(

0

1

x

f(x)

a

1/(b-a)

b

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 24

Rozkład normalny

Wzór funkcji gęstości:

Rxexfx

,σπ2

1)(

2

2

σ2

μ

Parametry w rozkładzie normalnym:

μ (czyt.: mi)

σ (czyt.: sigma)

Rμ

0σ

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 25

Rozkład normalny – wykres fgp

krzywa Gaussa

Własności matematyczne.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

μ=2, σ=1

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 26

Parametr μ

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x

f(x) μ = -4 σ = 2

μ = 2 σ = 2

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 27

Parametr σ

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

μ = 2 σ = 1

μ = 2 σ = 3

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 28

Oznaczenia

Wyrażenie:

zmienna losowa X ma rozkład normalny

z parametrami μ oraz σ2

zapisujemy:

X ~ N ( μ, σ 2)

Definicja. Mówimy, że zmienna losowa Z

ma rozkład normalny standardowy, jeśli

μ = 0, σ = 1.

Zapisujemy:

Z ~ N ( 0, 1)

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 29

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

μ=2, σ=1

Zdarzenie losowe

Wykres fgp y = f (x)

Zdarzenie losowe

baX ;

a b

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 30

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

μ=2, σ=1

P-stwo zdarzenia losowego

Wykres fgp y = f (x)

P-stwo zdarzenia

losowego - zakre-

skowane pole pod krzywą

a b

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 31

P-stwo zdarzenia losowego

P-stwo zdarzenia losowego:

baXP ,

Przypomnienie. Dystrybuanta zmiennej lo-sowej X, ozn.: FX (t)

tXPtFdef

X )(

P-stwo zdarzenia losowego:

aFbFbaXP XX ,

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 32

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

Dystrybuanta na wykresie fgp

Wykres fgp y = f (x)

tFpolenezakreskowa

X

t

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 33

Tablice statystyczne

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 34

Tablica dystrybuanty F Z (x )

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586

0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535

0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409

0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173

0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793

0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240

0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490

:

3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995

3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997

Zadania.

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 35

Wzory

Wyznaczanie wartości dystrybuanty stan-dardowego rozkładu normalnego przy uży-

ciu tablic:

Jeśli Z ~ N (0, 1), a > 0, to:

FZ (– a) = 1 – FZ (a) (1)

Wzór na standaryzację zmiennej losowej:

Jeśli Z~N (0, 1), X~N (μ, σ2), to:

σ

μ-x

ZX F x F 0)( 0 (2)

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 36

Prawo trzech sigm

Jeśli X ~ N( μ, σ2), to:

68,0σμ;σμ XP

95,0σ2μ;σ2μ XP

9973,0σ3μ;σ3μ XP

Rysunek na tablicy.

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 37

Charakterystyki rozkładu

Nazwy i oznaczenia:

nazwa: średnia wariancja

odchylenie

standar-

dowe

ozn.: EX, μ D2X, σ XD2 , σ

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 38

Wzory dla rozkładu ciągłego

X - zmienna losowa ciągła, y = f (x) funkcja gęstości

dxxfxEX )(

dxxfEXxXD )(22

Wzory dla rozkładu normalnego

μEX 22 σXD

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 39

Rozkład chi – kwadrat

Jeśli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn są:

• niezależne

• Xi~N (0, 1), i = 1, 2, ..., n

to

X12 + X2

2 + ...+ Xn2

jest zmienną losową o rozkładzie χ2 z

liczbą stopni swobody n.

Ozn. χ2 czytamy: chi-kwadrat

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 40

Rozkład chi – kwadrat cd.

Funkcja gęstości dla rozkładu χ2:

0,Γ2

,0,0)(

2221

21 xdlaex

xdlaxf xnn

n

gdzie:

0

1 ,Γ Rtdueut ut

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 41

Rozkład chi – kwadrat cd.

Wykres funkcji gęstości dla rozkładu χ2:

Deg. of freedom

3

10

50

Chi-Square Distribution

x

dens

ity

0 20 40 60 80 100

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 42

Rozkład t-Studenta

Jeśli zmienne losowe X0, X1, ..., Xn są:

• niezależne

• Xi~N (0, 1), i = 1, 2, ..., n

to

)(22

2

2

11

0

nnXXX

X

jest zmienną losową o rozkładzie t-Stu-

denta z liczbą stopni swobody n.

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 43

Rozkład t-Studenta cd.

Wykres funkcji gęstości dla rozkładu t-Stu-denta:

Deg. of freedom

10

50

Student's t Distribution

x

den

sity

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

0,1

0,2

0,3

0,4

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 44

Rozkład F Fishera – Snedecora

Jeśli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn oraz Y1, Y2, ..., Ym są:

• niezależne

• Xi, Yj~N(0, 1)

to

)(

)(22

2

2

11

22

2

2

11

mm

nn

YYY

XXX

jest zmienną losową o rozkładzie F Fishera – Snedecora z liczbami stopni

swobody n i m.

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 45

Rozkład F Fishera – Snedecora

Wykres funkcji gęstości dla rozkładu F

Numerator d.f,Denominator d.f.

10,10

50,40

F (variance ratio) Distribution

x

den

sity

0 1 2 3 4 5

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5