Temat: Zmienna losowa.agrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/STAT_Rol... · Anna Rajfura,...

Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1

Temat:

Zmienna losowa.

Rozkład ciągły

Kody kolorów:

żółty – nowe pojęcie pomarańczowy – uwaga

* - materiał nadobowiązkowy


Zagadnienia

1. Przedstawienie rozkładu ciągłego.

2. Przykłady rozkładów ciągłych:

a. rozkład jednostajny,

b. rozkład normalny.

3. Prawo trzech sigm.

4. Parametry rozkładu.


Przypomnienie – dośw. losowe

Przykłady doświadczeń losowych:

• rzut kostką do gry • rzut monetą

• losowanie kuli z urny

• losowanie karty z talii kart

• strzał do celu

Mogą być powtarzane wielokrotnie.


Przypomnienie – zmienna losowa

Przykład. W pewnej grze gracz rzuca kostką. Jeżeli wypadnie więcej niż 4 oczka,

to gracz dostaje 10 zł, w przeciwnym razie płaci 1 zł.

Niech wygrana gracza będzie zmienną lo-

sową, ozn. X.

Polecenie. Przedstaw rozkład zmiennej lo-sowej X w postaci tabeli, wykresu funkcji

rozkładu, wykresu funkcji dystrybuanty.


Przypomnienie – rozkład zm. los.

D

wyniki dośw. D: 1 2 3 4 5 6

wygrana gracza: -1 -1 -1 -1 10 10

wygrana xi: -1 10

p-stwo pi: 2/3 1/3


Przypomnienie – funkcja rozkładu

Funkcja rozkładu p-stwa*: f (xi)=pi

10

wartości xi

p-stwo pi

-1

1/3

2/3


Przypomnienie – dystrybuanta

2/3

10 t

FX (t)

-1

1

RttXPtFdef

X ,


Przypomnienie - komentarz

Różnie określone zmienne losowe X, Y, na-wet z różnych doświadczeń losowych DX,

DY i przestrzeni ΩX, ΩY, mogą mieć jedna-kowe rozkłady (przykład na tablicy). Dla-

tego można badać własności samych roz-

kładów, pomijając słowny opis zmiennej losowej.


Typy rozkładów

Rozkład

skokowy ciągły

Przykłady:

• dwupunktowy (0-1) • równomierny

• dwumianowy • Poissona

Komentarz do idei przedstawienia rozkładu ciągłego.


Rozkład zmiennej losowej ciągłej

Rozkład zmiennej losowej X ciągłej można przedstawić za pomocą:

• funkcji gęstości p-stwa (fgp)

)(xfy

• funkcji dystrybuanty:

tXPtFdef

X


Funkcja gęstości p-stwa

Definicja. Funkcja gęstości p-stwa zmien-nej losowej X, ozn.: y = f (x), to funkcja

spełniająca warunki:

1. wykres leży nad lub na osi OX

fDxxf gdy,0)(

2. pole obszaru ograniczonego z góry wy-kresem funkcji, a z dołu osią OX jest

równe 1

1)( dxxf


Funkcja gęstości p-stwa - idea

Funkcja gęstości p-stwa zmiennej losowej X: y = f (x)

wartości zmiennej losowej X

f (x)


Zdarzenie losowe

Wykres fgp y = f (x)

Zdarzenie losowe

b;aX

czyt.: zm. los. X przyj-

muje wartości z prze-

działu od a do b


f (x)

a b


Zdarzenia losowe - przykłady

Przykłady (przy a < b):

baX , baX ,

baX , baX ,

aX , aX ,

,aX ,aX

aaaX ,


P-stwo na wykresie fgp



f(x)

a b

P-stwo zdarzenia

losowego (a ; b) –

zakreskowane pole


P-stwo zdarzenia losowego

Zdarzenie losowe: zmienna losowa X przyj-mie wartość z przedziału [a, b], ozn.:

baX ,

P-stwo zdarzenia losowego:

baXP ,

Graficzna interpretacja p-stwa: „pole pod wykresem fgp”

Obliczanie p-stwa:

b

a

dxxfbaXP ,


Dystrybuanta - definicja

Dystrybuanta zmiennej losowej X, ozn.: FX(t)

tdef

X dxxftXPtF )()(


Dystrybuanta – wykres

FX (t) – dystrybuanta zm. los. X

0 t

F(t)

a

F(a)

1


Dystrybuanta – własności

FX (t) – dystrybuanta zm. los. X

• 0lim

tFXt

• 1lim

tFXt

• FX (t) jest funkcją niemalejącą

• FX(t) jest funkcją (prawostronnie) ciągłą


Dystrybuanta na wykresie fgp

Wykres fgp y = f(x)

tXPtFX )(


f(x)

t

zakreskowane pole



aFbFbaXP ,


f(x)

a b

P-stwo zdarzenia lo-

sowego (a ; b) – za-

kreskowane pole


Przykłady rozkładów ciągłych

• jednostajny na odcinku (a,b)

• normalny


Rozkład jednostajny na odcinku (a ; b)

Wzór fgp:

baxdla

baxdlaabxf

,0

,1

)(

0

1

x

f(x)

a

1/(b-a)

b


Rozkład normalny

Wzór funkcji gęstości:

Rxexfx

,σπ2

1)(

2

2

σ2

μ

Parametry w rozkładzie normalnym:

μ (czyt.: mi)

σ (czyt.: sigma)

Rμ

0σ


Rozkład normalny – wykres fgp

krzywa Gaussa

Własności matematyczne.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

μ=2, σ=1


Parametr μ

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x

f(x) μ = -4 σ = 2

μ = 2 σ = 2


Parametr σ

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

μ = 2 σ = 1

μ = 2 σ = 3


Oznaczenia

Wyrażenie:

zmienna losowa X ma rozkład normalny

z parametrami μ oraz σ2

zapisujemy:

X ~ N ( μ, σ 2)

Definicja. Mówimy, że zmienna losowa Z

ma rozkład normalny standardowy, jeśli

μ = 0, σ = 1.

Zapisujemy:

Z ~ N ( 0, 1)


-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

μ=2, σ=1

Zdarzenie losowe


Zdarzenie losowe

baX ;

a b


-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

μ=2, σ=1



P-stwo zdarzenia

losowego - zakre-

skowane pole pod krzywą

a b




baXP ,

Przypomnienie. Dystrybuanta zmiennej lo-sowej X, ozn.: FX (t)

tXPtFdef

X )(


aFbFbaXP XX ,


-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

Dystrybuanta na wykresie fgp


tFpolenezakreskowa

X

t


Tablice statystyczne


Tablica dystrybuanty F Z (x )

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586

0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535

0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409

0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173

0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793

0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240

0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490

:

3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995

3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997

Zadania.


Wzory

Wyznaczanie wartości dystrybuanty stan-dardowego rozkładu normalnego przy uży-

ciu tablic:

Jeśli Z ~ N (0, 1), a > 0, to:

FZ (– a) = 1 – FZ (a) (1)

Wzór na standaryzację zmiennej losowej:

Jeśli Z~N (0, 1), X~N (μ, σ2), to:

σ

μ-x

ZX F x F 0)( 0 (2)


Prawo trzech sigm

Jeśli X ~ N( μ, σ2), to:

68,0σμ;σμ XP

95,0σ2μ;σ2μ XP

9973,0σ3μ;σ3μ XP

Rysunek na tablicy.


Charakterystyki rozkładu

Nazwy i oznaczenia:

nazwa: średnia wariancja

odchylenie

standar-

dowe

ozn.: EX, μ D2X, σ XD2 , σ


Wzory dla rozkładu ciągłego

X - zmienna losowa ciągła, y = f (x) funkcja gęstości

dxxfxEX )(

dxxfEXxXD )(22

Wzory dla rozkładu normalnego

μEX 22 σXD


Rozkład chi – kwadrat

Jeśli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn są:

• niezależne

• Xi~N (0, 1), i = 1, 2, ..., n

to

X12 + X2

2 + ...+ Xn2

jest zmienną losową o rozkładzie χ2 z

liczbą stopni swobody n.

Ozn. χ2 czytamy: chi-kwadrat


Rozkład chi – kwadrat cd.

Funkcja gęstości dla rozkładu χ2:

0,Γ2

,0,0)(

2221

21 xdlaex

xdlaxf xnn

n

gdzie:

0

1 ,Γ Rtdueut ut


Rozkład chi – kwadrat cd.

Wykres funkcji gęstości dla rozkładu χ2:

Deg. of freedom

3

10

50

Chi-Square Distribution

x

dens

ity

0 20 40 60 80 100

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25


Rozkład t-Studenta

Jeśli zmienne losowe X0, X1, ..., Xn są:

• niezależne

• Xi~N (0, 1), i = 1, 2, ..., n

to

)(22

2

2

11

0

nnXXX

X

jest zmienną losową o rozkładzie t-Stu-

denta z liczbą stopni swobody n.


Rozkład t-Studenta cd.

Wykres funkcji gęstości dla rozkładu t-Stu-denta:

Deg. of freedom

10

50

Student's t Distribution

x

den

sity

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

0,1

0,2

0,3

0,4


Rozkład F Fishera – Snedecora

Jeśli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn oraz Y1, Y2, ..., Ym są:

• niezależne

• Xi, Yj~N(0, 1)

to

)(

)(22

2

2

11

22

2

2

11

mm

nn

YYY

XXX

jest zmienną losową o rozkładzie F Fishera – Snedecora z liczbami stopni

swobody n i m.


Rozkład F Fishera – Snedecora

Wykres funkcji gęstości dla rozkładu F

Numerator d.f,Denominator d.f.

10,10

50,40

F (variance ratio) Distribution

x

den

sity

0 1 2 3 4 5

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

Temat: Zmienna losowa.agrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/STAT_Rol... · Anna Rajfura,...

Documents

Transcript of Temat: Zmienna losowa.agrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/STAT_Rol... · Anna Rajfura,...