Post on 27-Feb-2018
Statyka kratownicy stalowej o 3 różnych przekrojach prętów
4m
3m
4m 1m1m
35o6kN
2m
E 208GPa:= - Moduł Younga stali ORIGIN 1:=
A1 5cm2:= - Pole powierzchni przekroju pasa górnego, elementy 1, 2, 3
A2 4cm2:= - Pole powierzchni przekroju pasa dolnego, elementy 4, 5
A3 2cm2:= - Pole powierzchni przekroju krzyżulców, elementy 6, 7
Parametry pomocnicze:
Le 7:= - Liczba elementów Lw 5:= - Liczba węzłów Lss 2:= - Liczba stopni swobody węzła
Lr Lss Lw⋅:= - Liczba równań o Le 1+:= - położenie w tablicy elementu zerowego
KoLr Lr, 0:= Deklaracja globalnej macierzy sztywności i wypełnienie jej zerami
Współrzędne węzłów kratownicy Tablica połączeń węzłów - liczby w tej tablicy są numerami elementów łączącychwęzeł początkowy (Wp=nr wiersza) i węzłem końcowym (Wk=nr kolumny)
X
0
4
5
9
10
m:= Y
0
3
0
2
0
m:=C
o
o
o
o
o
1
o
o
o
o
4
6
o
o
o
o
2
7
o
o
o
o
5
3
o
:=
Numery węzłów początkowych (Wp) i końcowych (Wk) elementów wyliczone zostaną automatycznie z macierzy połączeń C
i 1 Lw 1−..:= j 2 Lw..:=
Wp Ci j, ( ) i:= Wk Ci j, ( ) j:=Przekroje elementów
Wp
1
12
3
4
5
6
7
8
12
4
1
3
2
3
4
= Wk
1
12
3
4
5
6
7
8
24
5
3
5
3
4
4
= A
A1
A1
A1
A2
A2
A3
A3
:=
e 1 Le..:= Pętla po wszystkich elementach kratownicy
Rysunek elementów kratownicy pozwala kontrolować poprawność wprowadzonych danych
Exe
X Wpe( )X Wke( )
:= Eye
Y Wpe( )Y Wke( )
:= Ex, Ey - współrzędne węzłów elementów kratownicy
1− 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1−
1
2
3
4
Ey1
Ey2
Ey3
Ey4
Ey5
Ey6
Ey7
Ex1 Ex2, Ex3, Ex4, Ex5, Ex6, Ex7,
Macierze sztywności elementów kratownicy
Lxe X Wke( ) X Wpe( )−:= Lye Y Wke( ) Y Wpe( )−:= Le Lxe( )2 Lye( )2+:=
Lx
1
12
3
4
5
6
7
4.0005.000
1.000
5.000
5.000
1.000
4.000
m= Ly
1
12
3
4
5
6
7
3.000-1.000
-2.000
0.000
0.000
-3.000
2.000
m= L
1
12
3
4
5
6
7
5.0005.099
2.236
5.000
5.000
3.162
4.472
m=
JeE Ae⋅
Le( )3Lxe( )2
Lxe Lye⋅
Lxe Lye⋅
Lye( )2
⋅:=
Mimo, że nie jest to potrzebne w dalczych obliczeniach, można pokazać bloki J macierzy sztywności wszystkich elementów
J113312.0
9984.0
9984.0
7488.0
kN
m⋅= J2
19611.6
3922.3−
3922.3−
784.5
kN
m⋅= J3
9302.0
18604.1−
18604.1−
37208.2
kN
m⋅=
J416640.0
0.0
0.0
0.0
kN
m⋅= J5
16640.0
0.0
0.0
0.0
kN
m⋅= J6
1315.5
3946.5−
3946.5−
11839.6
kN
m⋅=
J77441.6
3720.8
3720.8
1860.4
kN
m⋅=
Fukcja LBM - Lokuj Blok Macierzy, używana przy agregacji macierzy sztywności
LBM A B, w, k, ( )
Aw i+ k j+, B1 i+ 1 j+, ←
j 0 cols B( ) 1−..∈for
i 0 rows B( ) 1−..∈for
A
:=
Agregacja, czyli dodawanie bloków macierzy sztywności elementów do macierzy globalnej
ne Lss Wpe⋅ 1−:= ke Lss Wke⋅ 1−:= <--- numery stopni swobody węzłów początkowych (ne) i końcowych (ke)
K
e
LBM Ko Je, ne, ne, ( ) LBM Ko Je, ke, ke, ( )+ LBM Ko Je, ne, ke, ( )− LBM Ko Je, ke, ne, ( )−( )∑:=
K
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
3
4
5
6
7
8
9
10
29952.0 9984.0 -13312.0 -9984.0 -16640.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.09984.0 7488.0 -9984.0 -7488.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
-13312.0 -9984.0 34239.1 2115.2 -1315.5 3946.5 -19611.6 3922.3 0.0 0.0
-9984.0 -7488.0 2115.2 20112.0 3946.5 -11839.6 3922.3 -784.5 0.0 0.0
-16640.0 0.0 -1315.5 3946.5 42037.1 -225.7 -7441.6 -3720.8 -16640.0 0.0
0.0 0.0 3946.5 -11839.6 -225.7 13700.0 -3720.8 -1860.4 0.0 0.0
0.0 0.0 -19611.6 3922.3 -7441.6 -3720.8 36355.3 -18805.6 -9302.0 18604.1
0.0 0.0 3922.3 -784.5 -3720.8 -1860.4 -18805.6 39853.0 18604.1 -37208.2
0.0 0.0 0.0 0.0 -16640.0 0.0 -9302.0 18604.1 25942.0 -18604.1
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 18604.1 -37208.2 -18604.1 37208.2
kN
m⋅=
Globalna macierz sztywności K bez uwzględnienia warunków brzegowych jest osobliwa tzn. |K|=0
Aby obliczyć wyznacznik macierzy, której elementy nie są liczbami bezwymiarowymimusimy macierz pomnożyć przez odwrotność jednostek aby doprowadzić elementy dopostaci bezwymiarowej - to jest wymóg MatCada.
Zamiast zera wyznacznik może być "bardzo małą" liczbą ze względu na niedostatecznądokładność wyrazów macierzy sztywności.
K1m
kN⋅ 1.747 10 5−×=
Globalny wektor sił węzłowych Rzutowanie siły w węźle 4 na osie globalnego układu współrzędnych
Fx4 6− kN sin 35deg( )⋅ 3.441− kN⋅=:=
Fy4 6− kN cos 35deg( )⋅ 4.915− kN⋅=:=
p
0
5− kN
0
0
0
0
Fx4
Fy4
0
0
:=p
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
0.000-5.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-3.441
-4.915
0.000
0.000
kN⋅=
Kopiowanie Macierzy K i wektora p przed modyfikacją uwzględniającą warunki brzegoweKo K:= po p:=
Uwzględnienie warunków brzegowych
węzeł Nr 1: stopień swobody s1 i s2, węzeł Nr 5: stopieńswobody s3 i s4
s1 1:= s2 2:= s3 9:= s4 10:=
i 1 Lr..:=
Kos1 i, 0:= Kos2 i,
0:= Kos3 i, 0:= Kos4 i,
0:= zerowanie wierszy
Koi s1, 0:= Koi s2,
0:= Koi s3, 0:= Koi s4,
0:= zerowanie kolumn
Kos1 s1, 1kN
m:= Kos2 s2,
1kN
m:= wstawianie jedności na przekątną
macierzy sztywnościKos3 s3,
1kN
m:= Kos4 s4,
1kN
m:=
pos10:= pos2
0:= pos30:= pos4
0:= zerowanie wartości w wektorze "prawej strony"
Ko
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
3
4
5
6
7
8
9
10
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 34239.1 2115.2 -1315.5 3946.5 -19611.6 3922.3 0.0 0.0
0.0 0.0 2115.2 20112.0 3946.5 -11839.6 3922.3 -784.5 0.0 0.0
0.0 0.0 -1315.5 3946.5 42037.1 -225.7 -7441.6 -3720.8 0.0 0.0
0.0 0.0 3946.5 -11839.6 -225.7 13700.0 -3720.8 -1860.4 0.0 0.0
0.0 0.0 -19611.6 3922.3 -7441.6 -3720.8 36355.3 -18805.6 0.0 0.0
0.0 0.0 3922.3 -784.5 -3720.8 -1860.4 -18805.6 39853.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
kN
m⋅= po
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
0.0000.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-3.441
-4.915
0.000
0.000
kN⋅=
Ko 1⋅m
kN8.723 1025×= - wyznacznik macierzy Ko jest zawsze większy od zera, |Ko|> 0
Rozwiązanie układu równań: u lsolve Ko po, ( ):=
u - wektor przemieszczeń węzłowych
uT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0.0000 0.0000 -0.2022 0.1120 -0.1123 0.0068 -0.3912 -0.2960 0.0000 0.0000mm⋅=
Rysunek przemieszczeń kratownicy pozwala kontrolować poprawność otrzymanych wyników
skala 1000:=Dxe Exe skala
u 2 Wpe⋅ 1−( )u 2 Wke⋅ 1−( )
⋅+:= Dye Eye skala
u 2 Wpe⋅( )u 2 Wke⋅( )
⋅+:=
1− 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1−
1
2
3
4
Ey1
Ey2
Ey3
Ey4
Ey5
Ey6
Ey7
Dy1
Dy2
Dy3
Dy4
Dy5
Dy6
Dy7
Ex1 Ex2, Ex3, Ex4, Ex5, Ex6, Ex7, Dx1, Dx2, Dx3, Dx4, Dx5, Dx6, Dx7,
Obliczenie reakcji podpór
r K u⋅ p−:=
rT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3.441 6.180 0.000 0.000 0.000 0.000 -0.000 0.000 0.000 3.735kN⋅=
Obliczenie sił wewnętrznych
NeE Ae⋅
Le( )2u2 Wke⋅ 1− u2 Wpe⋅ 1−−( ) Lxe⋅ u2 Wke⋅ u2 Wpe⋅−( ) Lye⋅+
⋅:=
0 1 2 3 4 5 6 7 85−
4−
3−
2−
1−
0
1
2
Ne
kN
e
N
1
12
3
4
5
6
7
-1.966-2.148
-4.176
-1.868
1.868
1.688
-3.58
kN⋅=
Obliczenie naprężeńσe
E
Le( )2u2 Wke⋅ 1− u2 Wpe⋅ 1−−( ) Lxe⋅ u2 Wke⋅ u2 Wpe⋅−( ) Lye⋅+
⋅:=
0 1 2 3 4 5 6 7 820−18−
16−
14−
12−
10−
8−
6−4−
2−
0
2
4
6
8
10
σeMPa
e
σ
1
12
3
4
5
6
7
-3.933-4.297
-8.352
-4.670
4.670
8.439
-17.901
MPa⋅=