Statyka kratownicy stalowej o 3 różnych przekrojach prętów

4m

3m

4m 1m1m

35o6kN

2m

E 208GPa:= - Moduł Younga stali ORIGIN 1:=

A1 5cm2:= - Pole powierzchni przekroju pasa górnego, elementy 1, 2, 3

A2 4cm2:= - Pole powierzchni przekroju pasa dolnego, elementy 4, 5

A3 2cm2:= - Pole powierzchni przekroju krzyżulców, elementy 6, 7

Parametry pomocnicze:

Le 7:= - Liczba elementów Lw 5:= - Liczba węzłów Lss 2:= - Liczba stopni swobody węzła

Lr Lss Lw⋅:= - Liczba równań o Le 1+:= - położenie w tablicy elementu zerowego

KoLr Lr, 0:= Deklaracja globalnej macierzy sztywności i wypełnienie jej zerami

Współrzędne węzłów kratownicy Tablica połączeń węzłów - liczby w tej tablicy są numerami elementów łączącychwęzeł początkowy (Wp=nr wiersza) i węzłem końcowym (Wk=nr kolumny)

X

0

4

5

9

10

m:= Y

0

3

0

2

0

m:=C

o

o

o

o

o

1

o

o

o

o

4

6

o

o

o

o

2

7

o

o

o

o

5

3

o

:=

Numery węzłów początkowych (Wp) i końcowych (Wk) elementów wyliczone zostaną automatycznie z macierzy połączeń C

i 1 Lw 1−..:= j 2 Lw..:=

Wp Ci j, ( ) i:= Wk Ci j, ( ) j:=Przekroje elementów

Wp

1

12

3

4

5

6

7

8

12

4

1

3

2

3

4

= Wk

1

12

3

4

5

6

7

8

24

5

3

5

3

4

4

= A

A1

A1

A1

A2

A2

A3

A3

:=

e 1 Le..:= Pętla po wszystkich elementach kratownicy

Rysunek elementów kratownicy pozwala kontrolować poprawność wprowadzonych danych

Exe

X Wpe( )X Wke( )

:= Eye

Y Wpe( )Y Wke( )

:= Ex, Ey - współrzędne węzłów elementów kratownicy

1− 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1−

1

2

3

4

Ey1

Ey2

Ey3

Ey4

Ey5

Ey6

Ey7

Ex1 Ex2, Ex3, Ex4, Ex5, Ex6, Ex7,

Macierze sztywności elementów kratownicy

Lxe X Wke( ) X Wpe( )−:= Lye Y Wke( ) Y Wpe( )−:= Le Lxe( )2 Lye( )2+:=

Lx

1

12

3

4

5

6

7

4.0005.000

1.000

5.000

5.000

1.000

4.000

m= Ly

1

12

3

4

5

6

7

3.000-1.000

-2.000

0.000

0.000

-3.000

2.000

m= L

1

12

3

4

5

6

7

5.0005.099

2.236

5.000

5.000

3.162

4.472

m=

JeE Ae⋅

Le( )3Lxe( )2

Lxe Lye⋅

Lxe Lye⋅

Lye( )2

⋅:=

Mimo, że nie jest to potrzebne w dalczych obliczeniach, można pokazać bloki J macierzy sztywności wszystkich elementów

J113312.0

9984.0

9984.0

7488.0

kN

m⋅= J2

19611.6

3922.3−

3922.3−

784.5

kN

m⋅= J3

9302.0

18604.1−

18604.1−

37208.2

kN

m⋅=

J416640.0

0.0

0.0

0.0

kN

m⋅= J5

16640.0

0.0

0.0

0.0

kN

m⋅= J6

1315.5

3946.5−

3946.5−

11839.6

kN

m⋅=

J77441.6

3720.8

3720.8

1860.4

kN

m⋅=

Fukcja LBM - Lokuj Blok Macierzy, używana przy agregacji macierzy sztywności

LBM A B, w, k, ( )

Aw i+ k j+, B1 i+ 1 j+, ←

j 0 cols B( ) 1−..∈for

i 0 rows B( ) 1−..∈for

A

:=

Agregacja, czyli dodawanie bloków macierzy sztywności elementów do macierzy globalnej

ne Lss Wpe⋅ 1−:= ke Lss Wke⋅ 1−:= <--- numery stopni swobody węzłów początkowych (ne) i końcowych (ke)

K

e

LBM Ko Je, ne, ne, ( ) LBM Ko Je, ke, ke, ( )+ LBM Ko Je, ne, ke, ( )− LBM Ko Je, ke, ne, ( )−( )∑:=

K

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12

3

4

5

6

7

8

9

10

29952.0 9984.0 -13312.0 -9984.0 -16640.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.09984.0 7488.0 -9984.0 -7488.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-13312.0 -9984.0 34239.1 2115.2 -1315.5 3946.5 -19611.6 3922.3 0.0 0.0

-9984.0 -7488.0 2115.2 20112.0 3946.5 -11839.6 3922.3 -784.5 0.0 0.0

-16640.0 0.0 -1315.5 3946.5 42037.1 -225.7 -7441.6 -3720.8 -16640.0 0.0

0.0 0.0 3946.5 -11839.6 -225.7 13700.0 -3720.8 -1860.4 0.0 0.0

0.0 0.0 -19611.6 3922.3 -7441.6 -3720.8 36355.3 -18805.6 -9302.0 18604.1

0.0 0.0 3922.3 -784.5 -3720.8 -1860.4 -18805.6 39853.0 18604.1 -37208.2

0.0 0.0 0.0 0.0 -16640.0 0.0 -9302.0 18604.1 25942.0 -18604.1

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 18604.1 -37208.2 -18604.1 37208.2

kN

m⋅=

Globalna macierz sztywności K bez uwzględnienia warunków brzegowych jest osobliwa tzn. |K|=0

Aby obliczyć wyznacznik macierzy, której elementy nie są liczbami bezwymiarowymimusimy macierz pomnożyć przez odwrotność jednostek aby doprowadzić elementy dopostaci bezwymiarowej - to jest wymóg MatCada.

Zamiast zera wyznacznik może być "bardzo małą" liczbą ze względu na niedostatecznądokładność wyrazów macierzy sztywności.

K1m

kN⋅ 1.747 10 5−×=

Globalny wektor sił węzłowych Rzutowanie siły w węźle 4 na osie globalnego układu współrzędnych

Fx4 6− kN sin 35deg( )⋅ 3.441− kN⋅=:=

Fy4 6− kN cos 35deg( )⋅ 4.915− kN⋅=:=

p

0

5− kN

0

0

0

0

Fx4

Fy4

0

0

:=p

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

0.000-5.000

0.000

0.000

0.000

0.000

-3.441

-4.915

0.000

0.000

kN⋅=

Kopiowanie Macierzy K i wektora p przed modyfikacją uwzględniającą warunki brzegoweKo K:= po p:=

Uwzględnienie warunków brzegowych

węzeł Nr 1: stopień swobody s1 i s2, węzeł Nr 5: stopieńswobody s3 i s4

s1 1:= s2 2:= s3 9:= s4 10:=

i 1 Lr..:=

Kos1 i, 0:= Kos2 i,

0:= Kos3 i, 0:= Kos4 i,

0:= zerowanie wierszy

Koi s1, 0:= Koi s2,

0:= Koi s3, 0:= Koi s4,

0:= zerowanie kolumn

Kos1 s1, 1kN

m:= Kos2 s2,

1kN

m:= wstawianie jedności na przekątną

macierzy sztywnościKos3 s3,

1kN

m:= Kos4 s4,

1kN

m:=

pos10:= pos2

0:= pos30:= pos4

0:= zerowanie wartości w wektorze "prawej strony"

Ko

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12

3

4

5

6

7

8

9

10

1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 34239.1 2115.2 -1315.5 3946.5 -19611.6 3922.3 0.0 0.0

0.0 0.0 2115.2 20112.0 3946.5 -11839.6 3922.3 -784.5 0.0 0.0

0.0 0.0 -1315.5 3946.5 42037.1 -225.7 -7441.6 -3720.8 0.0 0.0

0.0 0.0 3946.5 -11839.6 -225.7 13700.0 -3720.8 -1860.4 0.0 0.0

0.0 0.0 -19611.6 3922.3 -7441.6 -3720.8 36355.3 -18805.6 0.0 0.0

0.0 0.0 3922.3 -784.5 -3720.8 -1860.4 -18805.6 39853.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0

kN

m⋅= po

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0000.000

0.000

0.000

0.000

0.000

-3.441

-4.915

0.000

0.000

kN⋅=

Ko 1⋅m

kN8.723 1025×= - wyznacznik macierzy Ko jest zawsze większy od zera, |Ko|> 0

Rozwiązanie układu równań: u lsolve Ko po, ( ):=

u - wektor przemieszczeń węzłowych

uT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0.0000 0.0000 -0.2022 0.1120 -0.1123 0.0068 -0.3912 -0.2960 0.0000 0.0000mm⋅=

Rysunek przemieszczeń kratownicy pozwala kontrolować poprawność otrzymanych wyników

skala 1000:=Dxe Exe skala

u 2 Wpe⋅ 1−( )u 2 Wke⋅ 1−( )

⋅+:= Dye Eye skala

u 2 Wpe⋅( )u 2 Wke⋅( )

⋅+:=

1− 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1−

1

2

3

4

Ey1

Ey2

Ey3

Ey4

Ey5

Ey6

Ey7

Dy1

Dy2

Dy3

Dy4

Dy5

Dy6

Dy7

Ex1 Ex2, Ex3, Ex4, Ex5, Ex6, Ex7, Dx1, Dx2, Dx3, Dx4, Dx5, Dx6, Dx7,

Obliczenie reakcji podpór

r K u⋅ p−:=

rT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3.441 6.180 0.000 0.000 0.000 0.000 -0.000 0.000 0.000 3.735kN⋅=

Obliczenie sił wewnętrznych

NeE Ae⋅

Le( )2u2 Wke⋅ 1− u2 Wpe⋅ 1−−( ) Lxe⋅ u2 Wke⋅ u2 Wpe⋅−( ) Lye⋅+

⋅:=

0 1 2 3 4 5 6 7 85−

4−

3−

2−

1−

0

1

2

Ne

kN

e

N

1

12

3

4

5

6

7

-1.966-2.148

-4.176

-1.868

1.868

1.688

-3.58

kN⋅=

Obliczenie naprężeńσe

E

Le( )2u2 Wke⋅ 1− u2 Wpe⋅ 1−−( ) Lxe⋅ u2 Wke⋅ u2 Wpe⋅−( ) Lye⋅+

⋅:=

0 1 2 3 4 5 6 7 820−18−

16−

14−

12−

10−

8−

6−4−

2−

0

2

4

6

8

10

σeMPa

e

σ

1

12

3

4

5

6

7

-3.933-4.297

-8.352

-4.670

4.670

8.439

-17.901

MPa⋅=