Statyka kratownicy stalowej o 2 różnych przekrojach prętów, obciążonej siłami

ORIGIN 1:= - ustawienie sposobu numeracji wierszy i kolumn macierzy

E 208GPa:= - moduł Younga stali

αt 1.2 105−

⋅:= - współczynnik rozszerzalności termicznej stali

g1 4mm:= g2 3mm:= ρ 7800kg

m3:=

D1 70mm:= D2 50mm:=

A1 π g1⋅ D1 g1−( )⋅:= - Pole powierzchni przekroju elementów 1...6 A1 8.294 cm2⋅=

A2 π g2⋅ D2 g2−( )⋅:= - Pole powierzchni przekroju elementów 8...19 A2 4.430 cm2⋅=

Parametry pomocnicze:

Lss 2:= - Liczba stopni swobody węzła

Le 19:= - Liczba elementów

Lw 11:= - Liczba węzłów

Lr Lss Lw⋅:= - Liczba równań

KoLr Lr, 0:= Deklaracja globalnej macierzy sztywności i wypełnienie jej zerami

Funkcja LBM - Lokuj Blok Macierzy, używana przy agregacji macierzy sztywności i wektora obciążeń termicznych

LBM (A, B, w, k) ZNACZENIE PARAMETRÓW: A - nazwa macierzy B - nazwa bloku w - numer wiersza, od którego zostanie wprowadzony blokk - numer kolumny, od której zostanie wprowadzony blokUWAGA: Macierz B zostanie ulokowana w większej macierzy A,poczynając od elementu usytuowanego w wierszu o numerze "w"i kolumnie o numerze "k".

LBM A B, w, k, ( )

Aw i+ k j+, B1 i+ 1 j+, ←

j 0 cols B( ) 1−..∈for

i 0 rows B( ) 1−..∈for

A

:=

Współrzędne węzłów kratownicy Numery węzłów początkowych (Wp) i końcowych (Wk) elementów

Przekroje elementów

X

6−

4.5−

2−

3−

0

0

0

3

4.5

2

6

m:= Y

0

2.5

20

9

5

10

5

10

3

5

2.5

20

9

0

m:=

Wp

1

2

4

5

8

9

1

3

7

4

7

10

2

3

4

6

5

8

9

:= Wk

2

4

5

8

9

11

3

7

8

7

10

11

3

4

6

8

6

10

10

:= A

A1

A1

A1

A1

A1

A1

A2

A2

A2

A2

A2

A2

A2

A2

A2

A2

A2

A2

A2

:=

Pętla po wszystkich elementach kratownicy

e 1 Le..:=

Rysunek elementów kratownicy pozwala kontrolować poprawność wprowadzonych danych

Exe

X Wpe( )X Wke( )

:= Eye

Y Wpe( )Y Wke( )

:= Ex, Ey - współrzędne węzłów elementów kratownicy

6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ey1

Ey2

Ey3

Ey4

Ey5

Ey6

Ey7

Ey8

Ey9

Ey10

Ey11

Ey12

Ey13

Ey14

Ey15

Ey17

Ex1 Ex2, Ex3, Ex4, Ex5, Ex6, Ex7, Ex8, Ex9, Ex10, Ex11, Ex12, Ex13, Ex14, Ex15, Ex17,

Macierze sztywności elementów kratownicy

Lxe X Wke( ) X Wpe( )−:= Lye Y Wke( ) Y Wpe( )−:= Le Lxe( )2 Lye( )2+:=

JeE Ae⋅

Le( )3Lxe( )2

Lxe Lye⋅

Lxe Lye⋅

Lye( )2

⋅:=

Lx

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1.5001.500

3.000

3.000

1.500

1.500

4.000

2.000

3.000

3.000

2.000

4.000

2.500

-1.000

3.000

3.000

0.000

-1.000

-2.500

m= Ly

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

2.5002.500

5.000

-5.000

-2.500

-2.500

2.222

1.111

1.667

-1.667

-1.111

-2.222

-0.278

2.778

0.000

0.000

-5.000

-2.778

-0.278

m= L

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

2.9152.915

5.831

5.831

2.915

2.915

4.576

2.288

3.432

3.432

2.288

4.576

2.515

2.952

3.000

3.000

5.000

2.952

2.515

m=

Objętość (V) i masa (G) kratownicy V

e

Ae Le⋅( )∑:= V 0.038 m3⋅= G ρ V⋅ 297.820kg=:=

Mimo, że nie jest to potrzebne w dalczych obliczeniach, można pokazać bloki J macierzy sztywności wszystkich elementów

J115662.9

26104.8

26104.8

43508.0

kNm

⋅= J215662.9

26104.8

26104.8

43508.0

kNm

⋅= J37831.4

13052.4

13052.4

21754.0

kNm

⋅=

J47831.4

13052.4−

13052.4−

21754.0

kNm

⋅= J515662.9

26104.8−

26104.8−

43508.0

kNm

⋅= J615662.9

26104.8−

26104.8−

43508.0

kNm

⋅=

J715386.5

8548.1

8548.1

4748.9

kNm

⋅= J830773.1

17096.2

17096.2

9497.9

kNm

⋅= J920515.4

11397.4

11397.4

6331.9

kNm

⋅=

J1020515.4

11397.4−

11397.4−

6331.9

kNm

⋅= J1130773.1

17096.2−

17096.2−

9497.9

kNm

⋅= J1215386.5

8548.1−

8548.1−

4748.9

kNm

⋅=

J1336182.5

4020.3−

4020.3−

446.7

kNm

⋅= J143580.6

9946.0−

9946.0−

27627.9

kNm

⋅= J1530712.2

0.0

0.0

0.0

kNm

⋅=

J1630712.2

0.0

0.0

0.0

kNm

⋅= J170.0

0.0

0.0

18427.3

kNm

⋅= J183580.6

9946.0

9946.0

27627.9

kNm

⋅=

Agregacja, czyli dodawanie bloków macierzy sztywności elementów do macierzy globalnej

ne Lss Wpe⋅ 1−:= ke Lss Wke⋅ 1−:= <--- numery stopni swobody węzłów początkowych (ne) i końcowych (ke)

K

e

LBM Ko Je, ne, ne, ( ) LBM Ko Je, ke, ke, ( )+ LBM Ko Je, ne, ke, ( )− LBM Ko Je, ke, ne, ( )−( )∑:=

K

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

31049.4 34652.9 -15662.9 -26104.8 -15386.5 -8548.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.034652.9 48256.9 -26104.8 -43508.0 -8548.1 -4748.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-15662.9 -26104.8 67508.3 48189.3 -36182.5 4020.3 -15662.9 -26104.8 0.0 0.0 0.0 0.0

-26104.8 -43508.0 48189.3 87462.6 4020.3 -446.7 -26104.8 -43508.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-15386.5 -8548.1 -36182.5 4020.3 85922.7 11677.9 -3580.6 9946.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-8548.1 -4748.9 4020.3 -446.7 11677.9 42321.4 9946.0 -27627.9 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 -15662.9 -26104.8 -3580.6 9946.0 78302.5 17813.7 -7831.4 -13052.4 -30712.2 0.0

0.0 0.0 -26104.8 -43508.0 9946.0 -27627.9 17813.7 99221.8 -13052.4 -21754.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -7831.4 -13052.4 15662.9 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -13052.4 -21754.0 0.0 61935.3 0.0 -18427.3

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -30712.2 0.0 0.0 0.0 61424.4 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -18427.3 0.0 18427.3

0.0 0.0 0.0 0.0 -30773.1 -17096.2 -20515.4 11397.4 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 -17096.2 -9497.9 11397.4 -6331.9 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -7831.4 13052.4 -30712.2 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 13052.4 -21754.0 0.0 ...

kNm

⋅=

Globalna macierz sztywności K bez uwzględnienia warunków brzegowych jest osobliwa tzn. |K|=0

Aby obliczyć wyznacznik macierzy, której elementy nie są liczbami bezwymiarowymimusimy macierz pomnożyć przez odwrotność jednostek aby doprowadzić elementy dopostaci bezwymiarowej - to jest wymóg MatCada.

Zamiast zera wyznacznik może być "bardzo małą" liczbą ze względu na niedostatecznądokładność wyrazów macierzy sztywności.

K1mkN

⋅ 8.234 1052

×=

Globalny wektor sił węzłowychRzutowanie siły w węźle 5 na osie globalnego układu współrzędnych

pLr 0:=Fx5 5− kN sin 50deg( )⋅ 3.830− kN⋅=:=

Fy5 5− kN cos 50deg( )⋅ 3.214− kN⋅=:=

Siła pozioma w węźle 8Fx8 6− kN:=

Wstawianie sił do wektora "prawej strony"

p9 Fx5:= p10 Fy5:= p15 Fx8:=

p

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

0.0000.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

-3.830

-3.214

0.000

0.000

0.000

0.000

-6.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

kN=

Kopiowanie Macierzy K i wektora p przed modyfikacją uwzględniającą warunki brzegowe

Ko K:= po p:=

Uwzględnienie warunków brzegowych

Lwb 4:= - liczba warunków brzegowych

s

1

2

21

22

:= - globalne numery przemieszczeń węzłówblokowanych na podporach

i 1 Lr..:= j 1 Lwb..:=

Kosj i, 0:= zerowanie wierszy

Koi sj, 0:= zerowanie kolumn - nie jest konieczne!

wstawianie jedności na przekątnąmacierzy sztywności

Kosj sj, 1kNm

:=

po sj( ) 0:= zerowanie wartości w wektorze "prawej strony"

Ko

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 67508.3 48189.3 -36182.5 4020.3 -15662.9 -26104.8 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 48189.3 87462.6 4020.3 -446.7 -26104.8 -43508.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 -36182.5 4020.3 85922.7 11677.9 -3580.6 9946.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 4020.3 -446.7 11677.9 42321.4 9946.0 -27627.9 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 -15662.9 -26104.8 -3580.6 9946.0 78302.5 17813.7 -7831.4 -13052.4 -30712.2

0.0 0.0 -26104.8 -43508.0 9946.0 -27627.9 17813.7 99221.8 -13052.4 -21754.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -7831.4 -13052.4 15662.9 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -13052.4 -21754.0 0.0 61935.3 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -30712.2 0.0 0.0 0.0 61424.4

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -18427.3 ...

kNm

⋅=

Ko 1⋅mkN

1.029 1082

×= - wyznacznik macierzy Ko jest zawsze większy od zera, |Ko|> 0

poT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -3.830 -3.214 0.000 0.000 0.000 0.000 ...kN⋅=

Rozwiązanie układu równań: u lsolve Ko po, ( ):=

u - wektor przemieszczeń węzłowych

uT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 0.0000 0.0000 -0.1611 -0.0324 -0.1641 -0.0596 -0.2682 -0.0971 -0.5849 -0.1277 -0.3318 -0.1277 ...mm⋅=

Rysunek przemieszczeń kratownicy pozwala kontrolować poprawność otrzymanych wyników

skala 1000:=Dxe Exe skala

u 2 Wpe⋅ 1−( )u 2 Wke⋅ 1−( )

⋅+:= Dye Eye skalau 2 Wpe⋅( )u 2 Wke⋅( )

⋅+:=

6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ey1

Ey2

Ey3

Ey4

Ey5

Ey6

Dy1

Dy2

Dy3

Dy4

Dy5

Dy6

Dy7

Dy8

Dy9

Dy10

Ex1 Ex2, Ex3, Ex4, Ex5, Ex6, Dx1, Dx2, Dx3, Dx4, Dx5, Dx6, Dx7, Dx8, Dx9, Dx10,

Obliczenie reakcji podpór

r K u⋅ p−:=

rT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 6.402 7.299 -0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -0.000 0.000 0.000 -0.000 ...kN⋅=

Obliczenie sił wewnętrznych

NeE Ae⋅

Le( )2u2 Wke⋅ 1− u2 Wpe⋅ 1−−( ) Lxe⋅ u2 Wke⋅ u2 Wpe⋅−( ) Lye⋅+

⋅:=

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 208−

6−

4−

2−

0

2

4

NekN

e

N

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

-6.546-6.546

-5.596

1.848

3.814

3.814

-3.471

-3.471

-3.471

1.676

1.676

1.676

0

0

-1.954

-1.954

0-15-2.292·10-15-1.48·10

kN⋅=

Obliczenie naprężeńσe E

Le( )2u2 Wke⋅ 1− u2 Wpe⋅ 1−−( ) Lxe⋅ u2 Wke⋅ u2 Wpe⋅−( ) Lye⋅+

⋅:=

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010−

8−

6−

4−

2−

0

2

4

6

8

σeMPa

e

σ

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

-7.892-7.892

-6.748

2.229

4.599

4.599

-7.837

-7.837

-7.837

3.784

3.784

3.784

0.000

0.000

-4.411

-4.411

-0.000

-0.000

-0.000

MPa⋅=