Stanisław Cichocki

Natalia Neherebcka

2 kwietnia 2011

1

1. Sezonowośd

2. Zmienne stacjonarne

3. Zmienne zintegrowane

4. Test Dickey-Fullera

5. Rozszerzony test Dickey-Fullera

6. Test KPSS

7. Regresja pozorna

2

1. Sezonowośd

2. Zmienne stacjonarne

3. Zmienne zintegrowane

4. Test Dickey-Fullera

5. Rozszerzony test Dickey-Fullera

6. Test KPSS

7. Regresja pozorna

3

- o sezonowości mówimy wtedy gdy zmienna zmienia się w pewnym cyklu,

zwykle związanym z cyklem kalendarzowym

- np. zmienne kwartalne charakteryzują się sezonowością kwartalną

zmienne miesięczne charakteryzują się sezonowością miesięczną

- sezonowośd w danych może pojawiad się z rożnych powodów:

◦ czynniki klimatyczne (spadek wartości dodanej w budownictwie w okresie zimowym);

◦ czynniki kulturowe (wzrost wartości sprzedaży w okresie świąt)

4

5

100

200

300

400

500

600

700

1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992

pass

6

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

Pola

nd

- sezonowości należy uwzględnid w modelu jeśli ma ona wpływ na związek

miedzy zmienną objaśniającą a objaśnianą jeśli w modelu nie

zostanie uwzględniona sezonowośd to pojawi się ona w resztach, które nie

będą spełniały założeo KMRL

- jeśli model ma służyd celom prognostycznym to pominięcie sezonowości

pogarsza jakośd otrzymanych przewidywao

7

- uwzględnienie problemu sezonowości w procesie estymacji:

a) posłużenie się danymi wyrównanymi sezonowo (publikowane przez

urzędy statystyczne; samodzielnie można usunąd sezonowośd z danych np. korzystając z programu TRAMO/SEATS)

b) dodanie do modelu zmiennych zerojedynkowych związanych z poszczególnymi miesiącami/kwartałami

8

c) zastosowanie różnicowania sezonowego

zamiast pierwotnych zmiennych stosujemy różnice miedzy tymi

zmiennymi a wartościami tych samych zmiennych sprzed roku:

gdzie:

s=4 dla zmiennych kwartalnych

s=12 dla zmiennych miesięcznych itd.

s t t t sy y y

9

1. Sezonowośd

2. Zmienne stacjonarne

3. Zmienne zintegrowane

4. Test Dickey-Fullera

5. Rozszerzony test Dickey-Fullera

6. Test KPSS

7. Regresja pozorna

10

- zmienna stacjonarna zmienna, której własności nie

zmieniają sie wraz z upływem czasu

- istnieje kilka definicji stacjonarności, my będziemy posługiwad

sie pojęciem słabej (kowariancyjnej) stacjonarności:

1 1 2 2

2

, 1 2

1. ( )

2. ( )

3. ( , ) ( , ) dla dowolnych , i

t

t

t t h t t h h

E y

Var y

Cov y y Cov y y t t h

11

-

-

-

któryś z warunków niespełniony= zmienna niestacjonarna

1. ( ) wartość oczekiwana jest skończona i stała w czasiet tE y y

22. ( ) - wariancja jest skończona i stała w czasiet tVar y y

1 1 2 2,3. ( , ) ( , ) kowariancja między realizacjami

zależy jedynie od dystansu w czasie

t t h t t h h tCov y y Cov y y y

h

12

-

1. ( ) wartość oczekiwana jest skończona i stała w czasiet tE y y

13

-

22. ( ) - wariancja jest skończona i stała w czasiet tVar y y

14

- założenie o stacjonarności zmiennych w modelu jest niezbędne przy

wyprowadzaniu rozkładów typowych statystyk testowych używanych

przy testowaniu hipotez

- badanie stacjonarności zmiennych w modelu może byd traktowane jako

test diagnostyczny weryfikuje prawdziwośd założeo koniecznych do

tego, by standardowe procedury testowania hipotez były prawidłowe

15

- przykład zmiennej stacjonarnej: biały szum

gdzie IID (Independently and Identically Distibuted) oznacza, że

realizacje są niezależne i mają identyczne rozkładytx

),0IID(~ 2tx

16

- przykład zmiennej stacjonarnej: biały szum

2

( ) 0

( )

( , ) 0 dla

t

t

t s

E x

Var x

Cov x x t s

17

- przykład zmiennej stacjonarnej: biały szum

18

- przykład zmiennej stacjonarnej: AR (1)

2

1 (0, )

1

t t t ty y IID

~

19

- przykład zmiennej stacjonarnej: AR (1)

20

- standardowa definicja stacjonarności w wielu przypadkach okazuje się zbyt

restrykcyjna

- zmienne ekonomiczne oscylują nie tyle wokół stałej ale wokół pewnego

trendu zmienna stacjonarna wokół trendu (trendostacjonarna)

- zmienna trendostacjonarna: (odchylenia od trendu)

stacjonarne

( )t ty E y

21

- przykład zmiennej trendostacjonarnej: trend liniowy

gdzie jest stacjonarnet t ty t

( )

( ) jest stacjonarna

t

t t t

E y t

y E y

22

- przykład zmiennej trendostacjonarnej:

23

1. Sezonowośd

2. Zmienne stacjonarne

3. Zmienne zintegrowane

4. Test Dickey-Fullera

5. Rozszerzony test Dickey-Fullera

6. Test KPSS

7. Regresja pozorna

24

- zmienne zintegrowane: zmienne niestacjonarne, które można sprowadzid

do stacjonarności poprzez różnicowanie

- zmienna, która po zastosowaniu d-tych różnic staje się zmienną stacjonarną

oznaczamy jako:

mówimy, ze zmienna jest zintegrowana rzędu d

( )ty I d

ty

~

25

- zmienne stacjonarne są zintegrowane rzędu 0:

(0)ty I~

26

- przykład zmiennej niestacjonarnej: błądzenie przypadkowe

- różnicując zmienną (odejmując od obu stron ) :

- wobec tego błądzenie przypadkowe jest zmienną I(1)

2

1 (0, )t t t ty y IID

ty 1ty

- biały szum, zmienna I(0)t ty

~

27

- przykład zmiennej niestacjonarnej: błądzenie przypadkowe

28

- uważa się, ze znaczna częśd zmiennych makroekonomicznych jest I(1)

- istnieją też zmienne ekonomiczne, które są I(2)

- zmienne I(3) stanowią wśród zmiennych ekonomicznych rzadkośd albo nie

występują wcale

29

1. Sezonowośd

2. Zmienne stacjonarne

3. Zmienne zintegrowane

4. Test Dickey-Fullera

5. Rozszerzony test Dickey-Fullera

6. Test KPSS

7. Regresja pozorna

30

- najwcześniejszym i najpopularniejszym testem za pomocą którego badamy

czy zmienna jest stacjonarna jest test Dickey-Fullera (test DF)

- model:

2

1 (0, )t t t ty y IID

0

1

: 1 - jest błądzeniem przypadkowym, niestacjonarna

H : 1 - jest zmienną stacjonarną AR(1)

t

t

H y

y

~

31

- odejmując od obu stron :

1 1( 1)t t t t ty y y

0

1

: 0 - jest niestacjonarna

H : ( 2,0) - jest stacjonarna

t

t

H y

y

1ty

32

- problem: nie można używad statystki t do testowania istotności parametru ponieważ rozkłady statystyk testowych są niestandardowe jeśli w

modelu zmienne niestacjonarne

- specjalne tablice z wartościami krytycznymi dla testu DF

33

- test DF przeprowadzamy w następujący sposób:

1

1

0

1. regresja na y

2. porownujemy statystykę dla y z wartościami krytycznymi

testu DF:

a) wartość statystyki testowej < wartości krytycznej - odrzucamy

o niestacjonarności i p

t t

t

y

t

H

1

0

rzyjmujemy o stacjonarności

b) wartość statystyki testowej > wartości krytycznej - brak podstaw do

odrzucenia o niestacjonarności

t

t

H y

H y

34

- uwaga techniczna: wielkości krytyczne rozkładu statystki DF są zawsze

ujemne

35

Forma funkcyjna: ◦ 1. bez stałej

◦ 2. ze stałą

◦ 3. ze stałą i trendem

0

1

: 0 - jest niestacjonarna

H : ( 2,0) - jest stacjonarna

t

t

H y

y

ttt yy 1

ttt yy 1

ttt yty 1

Forma funkcyjna: ◦ 1. bez stałej

ttt yy 1

Forma funkcyjna: ◦ 2. ze stałą

ttt yy 1

błądzenie przypadkowe z dryfem

błądzenie przypadkowe bez dryfu

Forma funkcyjna: ◦ 3. ze stałą i trendem

ttt yty 1

80

100

120

140

160

180

200

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

PATE

NTS

40

80

100

120

140

160

180

200

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

PATEN

TS

41

Model 1: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 33 obserwacji 1961-1993

Zmienna zależna: PATENTS_d

współczynnik błąd standardowy t-Student wartość p

---------------------------------------------------------------

const -1,24501 4,94797 -0,2516 0,8031

time 0,174235 0,177777 0,9801 0,3349

PATENTS_1 0,0109944 0,0637472 0,1725 0,8642

Średnia arytmetyczna zmiennej zależnej = 3,17879

Odchylenie standardowe zmiennej zależnej = 4,85102

Suma kwadratów reszt = 631,204

Błąd standardowy reszt = 4,58695

Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,16179

Skorygowany wsp. R-kwadrat = 0,10591

Statystyka F (2, 30) = 2,8952 (wartość p = 0,0708)

Statystyka testu Durbina-Watsona = 1,76372

Autokorelacja reszt rzędu pierwszego = 0,0942516

Logarytm wiarygodności = -95,5185

Kryterium informacyjne Akaike'a (AIC) = 197,037

Kryterium bayesowskie Schwarza (BIC) = 201,527

Kryterium infor. Hannana-Quinna (HQC) = 198,548 42

? lmtest 1 --autocorr

Test Breuscha-Godfreya na autokorelację rzędu pierwszego

Estymacja KMNK z wykorzystaniem 33 obserwacji 1961-1993

Zmienna zależna: uhat

współczynnik błąd standardowy t-Student wartość p

---------------------------------------------------------------

const 1,30039 5,52128 0,2355 0,8155

time 0,0396039 0,193341 0,2048 0,8391

PATENTS_1 -0,0173278 0,0715735 -0,2421 0,8104

uhat_1 0,116587 0,208863 0,5582 0,5810

Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,01063

Statystyka testu: LMF = 0,311587,

z wartością p = P(F(1,29) > 0,311587) = 0,581

Statystyka testu: TR^2 = 0,350795,

z wartością p = P(Chi-kwadrat(1) > 0,350795) = 0,554

Ljung-Box Q' = 0,300061 z wartością p = P(Chi-kwadrat(1) > 0,300061) = 0,584

43

? lmtest 2 --autocorr

Test Breuscha-Godfreya na autokorelację do rzędu 2

Estymacja KMNK z wykorzystaniem 33 obserwacji 1961-1993

Zmienna zależna: uhat

współczynnik błąd standardowy t-Student wartość p

---------------------------------------------------------------

const 2,85262 6,17640 0,4619 0,6478

time 0,0889756 0,212801 0,4181 0,6791

PATENTS_1 -0,0382570 0,0806616 -0,4743 0,6390

uhat_1 0,129251 0,212352 0,6087 0,5477

uhat_2 0,125921 0,214020 0,5884 0,5610

Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,02271

Statystyka testu: LMF = 0,325366,

z wartością p = P(F(2,28) > 0,325366) = 0,725

Statystyka testu: TR^2 = 0,749515,

z wartością p = P(Chi-kwadrat(2) > 0,749515) = 0,687

Ljung-Box Q' = 0,580661 z wartością p = P(Chi-kwadrat(2) > 0,580661) = 0,748

44

? lmtest 3 --autocorr

Test Breuscha-Godfreya na autokorelację do rzędu 3

Estymacja KMNK z wykorzystaniem 33 obserwacji 1961-1993

Zmienna zależna: uhat

współczynnik błąd standardowy t-Student wartość p

---------------------------------------------------------------

const 4,62748 8,02370 0,5767 0,5689

time 0,142332 0,263324 0,5405 0,5933

PATENTS_1 -0,0618102 0,105447 -0,5862 0,5626

uhat_1 0,152763 0,225686 0,6769 0,5042

uhat_2 0,142247 0,222252 0,6400 0,5275

uhat_3 0,0914337 0,257595 0,3550 0,7254

Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,02725

Statystyka testu: LMF = 0,252137,

z wartością p = P(F(3,27) > 0,252137) = 0,859

Statystyka testu: TR^2 = 0,899307,

z wartością p = P(Chi-kwadrat(3) > 0,899307) = 0,826

Ljung-Box Q' = 0,58507 z wartością p = P(Chi-kwadrat(3) > 0,58507) = 0,9 45

46

-10

-5

0

5

10

15

1965 1970 1975 1980 1985 1990

d1PATEN

TS

47

48

49

50

51

52

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996

v2

53

1. Sezonowośd

2. Zmienne stacjonarne

3. Zmienne zintegrowane

4. Test Dickey-Fullera

5. Rozszerzony test Dickey-Fullera

6. Test KPSS

7. Regresja pozorna

54

- często reszty z regresji:

wykazują silną autokorelację

- rozszerzony test Dickey-Fullera (test ADF) różni się od standardowego testu

DF rozszerzeniem regresji o dodatkowe elementy, których celem jest

eliminacja autokorelacji reszt

1t t ty y

55

- celem uzyskania statystyki testowej przeprowadzamy regresję:

- ilośd opóźnieo k dobieramy tak aby z reszt wyeliminowad autokorelację

1

1

k

t t i t i t

i

y y y

1

gdzie - rozszerzeniek

i t i

i

y

56

- statystyka testowa dla testu ADF : statystyka t policzona dla oszacowania

parametru przy

- dla dużych prób tablice wartości krytycznych dla testu ADF są takie same

jak w teście DF

- dla małych prób, małopróbkowe wartości krytyczne testu DF są jedynie

aproksymacją prawdziwych wartości krytycznych testu ADF

1ty

57

58

40

60

80

100

120

140

160

180

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

R_D

59

60

61

62

63

1. Sezonowośd

2. Zmienne stacjonarne

3. Zmienne zintegrowane

4. Test Dickey-Fullera

5. Rozszerzony test Dickey-Fullera

6. Test KPSS

7. Regresja pozorna

64

- test KPSS (Kwiatkowski, Philips, Schmidt, Shin) testuje hipotezęczerową o

stacjonarności zmiennej

- test KPSS:

- hipotezę zerową odrzucamy gdy statystka testowa > wartości krytycznej

- statystyka testowa dla testu KPSS zawsze >0

2

0

2

1

: 0, zmienna jest stacjonarna

: 0, zmienna jest niestacjonarna

u t

u t

H y

H y

65

- problem gdy sprzeczne wyniki testu DF i KPSS:

- gdy liczba obserwacji w szeregu mała często okazuje się, że niemożliwe jest odrzucenie hipotezy o niestacjonarności w teście ADF ale nie jest możliwe odrzucenie hipotezy o stacjonarności w teście KPSS nie wiemy czy zmienna jest stacjonarna czy niestacjonarna

66

67

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996

v2

68

0,146 0,06

Zmienna stacjonarna !!!

1. Sezonowośd

2. Zmienne stacjonarne

3. Zmienne zintegrowane

4. Test Dickey-Fullera

5. Rozszerzony test Dickey-Fullera

6. Test KPSS

7. Regresja pozorna

69

- jedną z najważniejszych przyczyn dlaczego testuje się stacjonarnośd

zmiennych problem regresji pozornej (spurious regression)

- problem ten może pojawid się w modelu gdzie częśd zmiennych

niestacjonarna najczęściej wtedy gdy zmienna objaśniana i częśd

zmiennych objaśniających jest I(1)

- wtedy statystyki t dla zmiennych I(1) okazują się z reguły istotne nawet jeśli

miedzy zmiennymi objaśniającymi a zmienną objaśnianą nie ma

rzeczywistego związku

70

- wynika to z faktu, iż rozkład statystki t w przypadku, gdy zmienne w modelu

są niestacjonarne, nie jest rozkładem t-studenta

- problem regresji pozornej może doprowadzid do budowy modelu, w którym

zależności miedzy zmiennymi są całkowicie pozorne

- gdy zmienna objaśniająca i zmienne objaśniające są I(1)

nie da się przeprowadzid wnioskowania przy użyciu standardowych

statystyk testowych, jednak estymator MNK jest nadal estymatorem

zgodnym

71

przekształcenie modelu na model na pierwszych różnicach zmiennych

prostym rozwiązaniem

problemu regresji pozornej

72

- przykład:

1 1 1

odejmując stronami uzyskujemy:

y

gdzie

t t t

t t t

t t t

t t

y x u

y x u

x

u

73

-

- model na pierwszych różnicach jest modelem stacjonarnym

- i można w nim przeprowadzid standardowe wnioskowanie statystyczne za pomocą standardowych statystyk testowych

jeśli (1), (1) to y (0), (0)t t t ty I x I I x I ~ ~ ~ ~

74

1. Wyjaśnid co to znaczy, że w danych występuje sezonowośd. Podad sposoby uwzględnienia sezonowości w procesie modelowania.

2. Podad definicje zmiennej stacjonarnej i trendostacjonarnej.

3. Podad definicje zmiennej I(0) i I (1).

4. Opisad procedurę testowania stacjonarności za pomocą testu Dickey-Fullera.

5. Wyjaśnid, na czym polega zjawisko regresji pozornej.

75

Dziękuję za uwagę

76