Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową

Modele analityczne

Modele tendencji rozwojowej stosujemy do prognozowania na podstawie szeregów czasowych, w których występują tendencja rozwojowa oraz wahania przypadkowe.

Rolę zmiennej objaśniającej odgrywa zmienna czasowa. Nie jest ona bezpośrednią przyczyną zmian zachodzących w wartościach zmiennej prognozowanej, ale syntetyzuje wpływ bliżej nie znanych czynników, stwarza możliwość opisu tych zmian w sposób ilościowy.

Zapis modelu zatem będzie następujący: 

yt = f(t) + t, t = 1,........,n (1)

lub

yt = f(t) t, (2)

Gdzie:

f(t) - funkcja czasu, charakteryzująca tendencję rozwojową szeregu, nazywana funkcją trendu,

t - zmienna losowa, charakteryzująca efekty oddziaływania wahań przypadkowych na zmienną prognozowaną, o wartości oczekiwanej równej 0 dla (1) lub 1 dla modelu (2) i skończonej wariancji.

Model zapisany równaniem pierwszym odpowiada sytuacji, gdy szereg czasowy stanowi

sumę trendu i wahań przypadkowych (model addytywny), a model drugi – sytuacji, gdy szereg

czasowy jest iloczynem trendu i wahań przypadkowych (model multiplikatywny) .

Modele analityczne

Określenie funkcji trendu metodą analityczną polega na znalezieniu funkcji f(t), optymalnie, w świetle przyjętych kryteriów oceny, pasującej do wyrazów szeregu czasowego zmiennej prognozowanej. Do oceny dopasowania modelu do danych empirycznych używa się na ogół współczynnika determinacji R2.

Najczęściej spotykaną postacią funkcji trendu jest funkcja liniowa

tyt

Reprezentuje ona stały kierunek rozwoju danego zjawiska, wyznaczony przez współczynnik kierunkowy prostej . Parametr ten jest współczynnikiem stałego przyrostu wartości zmiennej prognozowanej w ciągu jednostki czasu.

(3)

W wielu przypadkach stosowanie liniowych funkcji trendu jest nieuzasadnione.

Są sytuacje, w których należy zastosować funkcje o rosnących przyrostach:

a) funkcja wykładnicza:0

~ ,

~

tt ey

lub 1 , tty

Której właściwością są stałe stopy wzrostu wynoszące:

(4)

(5)

~ dla modelu (4) lub dla modelu (5) ln

b) wielomian stopnia drugiego (parabola):

0 , 22

210 ttyt

którego zaletą jest duża elastyczność, wynikająca z posiadania trzech parametrów, dzięki czemu może on lepiej odzwierciedlać różne nieliniowe tendencje rozwojowe;

c) funkcja potęgowa:

1 , tyt

która jest odpowiednia do opisu tendencji rozwojowych, które w układzie współrzędnych logarytmicznych wykazują przebieg liniowy.

W sytuacjach, w których wzrost wartości zmiennej prognozowanej przebiega coraz wolniej i zdąża do pewnego poziomu, zastosowanie mogą znaleźć funkcje o malejących przyrostach:

a) logarytmiczna:

0 ,ln tyt

b) potęgowa:

10 , tyt

c) wielomian stopnia drugiego (parabola)

0 , 22

210 ttyt

Najczęściej spotykana metoda estymacji parametrów wymienionych funkcji to metoda najmniejszych kwadratów. W celu oszacowania nie znanych ocen wartości parametrów modeli liniowych używamy wzorów:

n

t

n

tt

tt

yttb

1

2

1tbya

gdzie:

n

ttyn

y1

1

n

t

tn

t1

1

Po wyborze postaci funkcji trendu oraz wyznaczeniu ocen jej parametrów dokonuje się oceny jakości otrzymanego modelu.

Żeby użyć modelu do budowy prognoz trzeba założyć:

a) stabilność relacji strukturalnych w czasie,oznaczającą, że zarówno postać analityczna modelu, jak i wartość ocen jego parametrów nie ulegną zmianie w przedziale czasu, dla którego wyznacza się prognozę,

b) stabilność rozkładu składnika losowego, umożliwiającą ocenę błędu ex ante prognozy.

Przyszłą wartość zmiennej uzyskuje się przez ekstrapolację funkcji trendu, tj. przez podstawienie do modelu w miejsce zmiennej czasowej numeru momentu lub okresu - T, na który wyznacza się prognozę:

nTTfyT ,*

Jest to prognoza punktowa. Do oceny jej jakości używa się błędu prognozy ex ante, który w przypadku liniowej funkcji trendu jest dany wzorem:

sntt

tTv n

t

T

5,0

1

2

2

11

)(

)(

gdzie s - odchylenie standardowe reszt dane wzorem:

5,0

1

2)ˆ(1

1

n

ttt yy

mns

gdzie:yt - rzeczywista wartość zmiennej Y w momencie lub okresie t;

- teoretyczna wartość zmiennej Y wynikająca z modelu w momencie lub okresie t;

- średnia wartość zmiennej Y w szeregu czasowym o długości n;

n - liczba obserwacji

m - liczba zmiennych objaśniających

ty

y

Do oceny dopasowania modelu do wartości rzeczywistych zmiennej prognozowanej można się posłużyć:

a) współczynnik determinacji

n

tt

n

tt

yy

yyR

1

2

1

2

2ˆ

1,02 R

b) standardowy błąd oceny modelu

5,0

1

2)ˆ(1

1

n

ttt yy

mns

Często oprócz wyznaczenia prognozy punktowej konstruuje się przedział prognozy (prognozę przedziałową), tj. przedział liczbowy, do którego ze z góry zadanym prawdopodobieństwem (p), zwanym wiarygodnością prognozy, należeć będzie przyszła wartość prognozowanej zmiennej.

puvyyuvyP TTTTT **

Gdzie:

u - współczynnik związany z wiarygodnością prognozy, rozkładem zmiennej prognozowanej oraz długością szeregu czasowego (u>0),

p - wiarygodność prognozy.

Jeżeli w procesie weryfikacji hipoteza o normalnym rozkładzie reszt modelu nie została odrzucona, to wartość współczynnika u odczytuje się z tablic rozkładu normalnego (dla n>30) lub z tablic rozkładu t-Studenta dla n-2 stopni swobody i prawdopodobieństwa 1-p.

Jeżeli hipoteza ta została odrzucona lub nie była weryfikowana, to wartość współczynnika u może być wyznaczona z nierówności Czebyszewa:

2

11)(u

uYEYP

Gdzie:

)(YE - wartość oczekiwana zmiennej prognozowanej Y,

- odchylenie standardowe zmiennej prognozowanej Y.

pu

11

Przykład 1Wielkość sprzedaży wędzisk spinningowych (w szt.) u jedynego przedstawiciela firmy Shimano na Podlasie w poszczególnych półroczach lat 2000-2005 w województwie podlaskim kształtowała się następująco:

105 115 118 129 128 130 139 141 146 156 160 164

Przyjmując, że w latach 2006-2007 czynniki i ich oddziaływanie kształtujące wielkość sprzedaży nie ulegną zmianie, należy wyznaczyć prognozy punktowe i przedziałowe sprzedaży wędzisk na trzy kolejne półrocza. Przedstawiciel firmy Shimano postawił warunki:

- prognoza może być obarczona błędem względnym co najwyżej 4%

- wiarygodność prognozy przedziałowej ma wynosić 95%.

Oszacowana funkcja trendu ma postać:

tyt 1,59,102ˆ

98,02 R ][8,2 sztukis

W latach 2000-2005 sprzedaż wędzisk spiningowych wzrastała przeciętnie z półrocza na półrocze o 5,1 sztuk.

Dopasowanie linii trendu do danych empirycznych było bardzo dobre, oszacowany model w 98% wyjaśniał zmienność wielkości sprzedaży.

Przeciętne odchylenie wartości empirycznych od linii trendu wynosiło 2,8 sztuk.

Błędy ex ante obliczonych prognoz wynoszą:

][28,31

12

1

143

5,6138,2

2

13 sztukiv

][39,31

12

1

143

5,6148,2

2

14 sztukiv

][53,31

12

1

143

5,6158,2

2

15 sztukiv

Konstrukcja prognozy punktowej:

][169131,59,102*13 sztukiy

][174141,59,102*14 sztukiy

][179151,59,102*15 sztukiy

Względne błędy ex ante wynoszą:

%94,1100169

28,3100

*13

1313

y

v

%95,1100174

39,3100

*14

1414

y

v

%97,1100179

53,3100

*15

1515

y

v

Wszystkie otrzymane błędy względne są mniejsze od z góry zakładanego (4%), tak więc wszystkie prognozy są dopuszczalne i w świetle postawionych warunków powinny zostać zaakceptowane przez zleceniodawcę.

Prognoza przedziałowa:

Sytuacja A

Hipoteza o normalnym rozkładzie reszt nie była weryfikowana lub hipoteza ta została odrzucona, wówczas wartość współczynnika u obliczamy ze wzoru:

puvyyuvyP TTTTT **

pu

1

1

W naszym przykładzie wiarygodność prognozy została ustalona na p=0,95, zatem

47,495,01

1

u

Prognoza przedziałowa dla T=13 ma postać:

28,347,4169;28,347,4169

184;154

Oznacza to, że z prawdopodobieństwem 95% liczba sprzedanych wędzisk Shimano w województwie podlaskim w I półroczu 2001 roku będzie zawierać się w przedziale od 154 do 184 sztuk.Odbiorca stwierdził, ze podany przedział jest za szeroki, a więc mało precyzyjnie określa przyszłą sprzedaż. W związku z tym przetestowano hipotezę o normalności rozkładu reszt modelu i nie było podstaw do jej odrzucenia.

Sytuacja B

Rozkład reszt jest normalny. Wartość współczynnika u odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta dla n-2 stopni swobody i . W naszym przypadku mamy:p1

102122 n stopni swobody oraz

05,095,011 p a więc 228,210;05,0 tu

Prognoza przedziałowa dla T=13 ma postać:

28,3228,2169;28,3228,2169 176;162

Odbiorca uznał prognozę, że w 13 okresie z prawdopodobieństwem 0,95 sprzeda od 162 do 176 sztuk wędzisk, za przydatną.

W analogiczny sposób obliczono prognozy przedziałowe dla T=14 oraz T=15. Wartość współczynnika u nie zmienia się. Wartość bezwzględnego błędu ex ante z okresu na okres jest wyższa:

T=14 39,3228,2174;39,3228,2174

182;166

T=15 53,3228,2179;53,3228,2179

187;171

Przykład 2

W styczniu 2006 roku pojawił się nowy dystrybutor sprzętu firmy Shimano w Białymstoku. Czy można wykorzystać model z przykładu 1 do budowy prognozy na następny okres, tj. na II półrocze 2007 r.

Zebrano informacje o wartościach rzeczywistych zmiennej z przykładu 1 w obu półroczach roku 2006 i I półroczu roku 2007. Wynosiły one odpowiednio: 142, 145 i 151 sztuk.

Pojawienie się nowego konkurenta powoduje, że nie można wykorzystać modelu do konstrukcji prognozy na następny okres, a przynajmniej nie można tego uczynić bezpośrednio, tzn. stosując prognozy nieobciążonej.

Prognozy wyznaczone na okresy 13, 14 i 15 były nietrafne, mimo iż spełniały wymagania dopuszczalności. Przy konstrukcji prognoz przyjęto niezmienność charakteru zmian prognozowanej zmiennej. Pojawienie się nowego konkurenta stanowiło zmianę jakościową, która naruszyła ten dotychczasowy charakter zmian.

Względne błędy prognoz ex post wyniosły:

%0,19100142

16914213

%0,20100145

17414513

%5,18100151

17915113

Średni względny błąd tych prognoz wyniósł:

%2,193

1151413

Zakładając, że przyczyny powodujące odchylenia ostatnich danych rzeczywistych od prognoz utrzymają się (konkurent utrzyma się na rynku), a wpływ pozostałych czynników pozostanie niezmienny, do budowy prognozy na II półrocze 2007 r. można wykorzystać model oszacowany w przykładzie 1, ale otrzymaną prognozę należy potraktować jedynie jako wstępną i skorygować o pewną wartość - poprawkę. Należy zatem skorzystać z reguły podstawowej z poprawką.

Wyznaczone w przykładzie 1 prognozy były wyższe niż zaobserwowane wartości rzeczywiste i różniły się od nich w okresach 13,14 i 15 odpowiednio o: 27, 29 i 28 sztuk. Poprawkę p szacujemy w następujący sposób:

T

nttt yy

nTp

1

*

1

1

W naszym przykładzie:

][28)282927(3

1sztukip

Otrzymana poprawka informuje o tym, że pojawienie się konkurenta na rynku spowodowało odchylenie się wartości zmiennej prognozowanej od dotychczasowej tendencji w badanym okresie średnio o 28 sztuk.

Konstrukcja prognozy

Prognoza wstępna - wyznaczana z ekstrapolacji funkcji trendu:

][184161,59,102)*(16 sztukiy w

Prognoza ostateczna - po uwzględnieniu poprawki:

][15628184)*(16

*16 sztukipyy w