Model Lee i Cartera a wysokość świadczeń dożywotnich

– wyniki dla Polski

Barbara WięckowskaKatedra Ubezpieczenia Społecznego Szkoła Główna Handlowa w Warszawie

Jakub BijakŚrodkowoeuropejskie Forum BadańMigracyjnych i Ludnościowych, Warszawa

Praca powstała w ramach badania przeprowadzanego na zlecenie Polskiej Izby Ubezpieczeń (PIU), koordynowanego przez Prof. Tadeusza Szumlicza

Ogólnopolska Konferencja Naukowa „Zagadnienia Aktuarialne – Teoria i praktyka”

Warszawa, 9 – 11 czerwca 2008 r.

Jakub Bijak, Barbara Więckowska2

Plan prezentacji

Wprowadzenie

Estymacja parametrów modelu Lee i Cartera

Ilustracja: prognoza umieralności dla Polski do 2050 roku

Błędy szacunku i prosta analiza wrażliwości wyników

Ubezpieczeniowe implikacje wyników prognozy

Podsumowanie i wnioski

Jakub Bijak, Barbara Więckowska3

Wprowadzenie

MotywacjaDo określenia wysokości świadczeń emerytalnych w systemie o zdefiniowanej składce wymagane jest określenie długości wypłat

ProblemPrzekrojowe tablice trwania życia przeszacowująrzeczywistą umieralność poszczególnych kohort (grup urodzonych w tym samym roku)

Cele pracyPrzedstawienie metody prognozowania trwania życia w oparciu o zmodyfikowany model Lee i CarteraIlustracja dla Polski - prognoza na lata 2006–2050Wybrane implikacje ubezpieczeniowe wyników

Jakub Bijak, Barbara Więckowska4

Model

Zmodyfikowana wersja modelu Lee i Cartera:liczba zgonów - zmienna losowa o rozkładzie Poissona

Taki model dopuszcza heteroskedastyczność reszt między oszacowaną a zaobserwowaną liczbą zgonów

txx batx κµ ⋅+=),(ln

)),(),((Poisson~),( txtxEtxD µ⋅

Brouhns, N., M. Denuit, J. Vermunt (2002). A Poisson log-linear regression approach to the construction of projected life tables. Insurance: Math. Econ. 31 (3): 373–393.

ttt c εκκ ++= −1

Jakub Bijak, Barbara Więckowska5

Model

Metody estymacji:Lee i Carter zaproponowali metodę rozkładu wartości osobliwych (SVD), odpowiadającą KMNK Krytyka: metoda nieodpowiednia w przypadku heteroskedastycznych resztProponowane alternatywy: ważona MNK lub MNW

Źródła niepewności prognozy z modelu L-C:1. Losowa liczba zgonów Dx (rozkład Poissona)2. Niepewność oszacowań parametrów ax, bx i κt3. Ekstrapolacja komponentu κt

Alho, J. (2000). Discussion of Lee (2000). North American Actuarial Journal, 4 (1): 91-93.

Keilman, N., D.Q. Pham (2006), Prediction intervals for Lee-Carter-based mortalityforecasts. Referat na European Population Conference 2006, Liverpool, 21–24.06.2006.

Jakub Bijak, Barbara Więckowska6

Estymacja współczynników

Założenia (podejście kohortowe):Spełnione są równania bilansowe ludności (rysunek)Natężenie umieralności jest przedziałami stałeMigracje równomiernie rozłożone w ciągu roku

Wiek

x+1

x

x–1

…

1

0 1.01. t–1 1.01. t 1.01. t+1 Rok

B (t)

– D (x, t) + I (x, t)

–D (0, t)+I (0, t)

1.01. t–1 1.01. t 1.01. t+1 Rok

P (xmax, t+1)

P (xmax–1, t)

P (xmax, t)

Wiek

ω

xmax

xmax–1

…

–D (xmax, t) +I (xmax, t)

P (0, t+1)

P (x–1, t)

P (x, t+1)

… … … … … …

P – liczba ludności B – urodzenia I – saldo migracji D – zgony

Jakub Bijak, Barbara Więckowska7

Ilustracja: prognoza dla Polski

Dane wyjściowe (GUS)- jednoroczne grupy wieku, w latach osiągniętych- zgony według wieku i kohort (D), lata 1961–2005 - liczba ludności na początku roku (P), 1961–2006- liczba urodzeń w ciągu roku (B), 1961–2005- dane oczyszczone; próba ograniczona do 1990–2005

ObliczeniaEstymacja parametrów: MNW dla rozkładu PoissonaNiepewność estymacji: metoda bootstrap (100 prób) xNiepewność ekstrapolacji κt: Monte Carlo (1000 prób)Oprogramowanie: własny kod w R (www.r-project.org)Procedura dość czasochłonna (55 h)

Jakub Bijak, Barbara Więckowska8

Ilustracja: prognoza dla Polski

Obserwowane i prognozowane ln[µ(x,t)] dla obu płci Polska, 1961-2050 (obserwacje do 2005 roku)

Jakub Bijak, Barbara Więckowska9

Ilustracja: prognoza dla Polski

Wzorce ln[µ(x,t)] według wieku dla obu płciPolska, 1961, 1990, 2005 i 2050 (prognoza)

Jakub Bijak, Barbara Więckowska10

Przeciętne dalsze trwanie życia

Przekrojowe e(0) dla obu płci, Polska, 1961-205080% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

87.5

84.9

82.0

Jakub Bijak, Barbara Więckowska11

Przeciętne dalsze trwanie życia

Przekrojowe e(0) dla kobiet, Polska, 1961-205080% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

91.8

88.3

85.0

Jakub Bijak, Barbara Więckowska12

Przeciętne dalsze trwanie życia

Przekrojowe e(0) dla mężczyzn, Polska, 1961-205080% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

83.0

80.3

77.4

Jakub Bijak, Barbara Więckowska13

Przeciętne dalsze trwanie życia

Przekrojowe i kohortowe e(60) dla Polski 1961-2010, M + K80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

21.821.4

20.5

26.4

25.0

23.2

Jakub Bijak, Barbara Więckowska14

Przeciętne dalsze trwanie życia

Przekrojowe i kohortowe e(60) dla Polski 1961-2010, kobiety80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

24.523.8

22.8

30.3

28.0

25.8

Jakub Bijak, Barbara Więckowska15

Przeciętne dalsze trwanie życia

Przekrojowe i kohortowe e(60) dla Polski 1961-2010, mężczyźni80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

19.018.5

17.5

22.3

21.0

19.5

Jakub Bijak, Barbara Więckowska16

Przeciętne dalsze trwanie życia

Przekrojowe i kohortowe e(65) dla Polski, 1990, 2005, 2015;80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

22.720.517.119.017.214.326.223.519.490%

21.419.716.917.816.514.223.922.019.0Średnia

19.618.416.616.315.413.921.720.518.510%

Wskaźniki kohortowe, ec(65, t)

19.0..16.4..21.3..90%

18.517.014.815.814.612.820.518.916.4Średnia

17.4..14.8..19.2..10%

Wskaźniki przekrojowe, ep(65, t)

201520051990201520051990201520051990

RazemMężczyźniKobietyWariant

Jakub Bijak, Barbara Więckowska17

Błędy szacunku

Reszty dla µ(x,t): przekrój przez lata kalendarzowe

Jakub Bijak, Barbara Więckowska18

Błędy szacunku

Reszty dla µ(x,t): przekrój przez grupy wieku

Jakub Bijak, Barbara Więckowska19

Analiza wrażliwości wyników

Przekrojowe e(0) dla obu płci, Polska 1961-2050: prognozy punktowe dla prób o różnej długości

84.9

82.2

79.878.5

Jakub Bijak, Barbara Więckowska20

Analiza wrażliwości wyników

Przekrojowe e(0) dla obu płci, Polska 1961-2050: porównanie wyników estymacji MNW i SVD

88.487.5

84.9

83.082.0

Jakub Bijak, Barbara Więckowska21

Warunki brzegowe

kapitał emerytalny - 500.000zł,płeć – kobieta, mężczyzna, bez rozróżniania okres gwarantowany – brak <0,10>techniczna stopa zwrotu - 4% <0%, 5%>,wiek emerytalny - 60/65 <60, 70>,narzuty związane z działalnością zakładu ubezpieczeń (emerytalnego) - 7% wartości świadczenia miesięcznie zastosowano kohortowe tablice trwania życia

Jakub Bijak, Barbara Więckowska22

Wpływ czynników na wysokość świadczeń

płeć

Kobiety Mężczyźni Razem Wariant

10% średnia 90% 10% średnia 90% 10% średnia 90% wiek przejścia na emeryturę 60 2 414,80 2 494,47 2 599,93 2 955,07 3 051,96 3 193,61 2 649,69 2 714,57 2 825,79 65 2 741,79 2 836,64 2 980,87 3 409,87 3 521,27 3 709,43 3 019,50 3 092,44 3 241,55

Rozróżnianie płci:

znaczne różnice pomiędzy świadczeniami mężczyzn i kobiet – 18,3% (dla 60-latków) i 19,4% (dla 65-latków)

Bez rozróżniania płci:mężczyźni „tracą” 11% (10,3% vs. 12,6%)kobiety „zyskują” 8% (8% vs. 9%)

Jakub Bijak, Barbara Więckowska23

Wpływ czynników na wysokość świadczeń

wiekKobiety Razem

Wariant 10% Średnia 90% 10% Średnia 90%

wiek przejścia na emeryturę 60 2 414,80 2 494,47 2 599,93 2 649,69 2 714,57 2 825,79 61 2 469,62 2 552,56 2 664,29 2 713,35 2 779,98 2 896,92 62 2 529,41 2 614,94 2 734,13 2 782,35 2 849,20 2 974,07 63 2 594,90 2 683,11 2 810,10 2 855,97 2 924,20 3 057,32 64 2 665,35 2 755,78 2 892,23 2 934,99 3 004,61 3 146,06 65 2 741,79 2 836,64 2 980,87 3 019,50 3 092,44 3 241,55

Rozróżniając płeć:przesunięcie decyzji emerytalnych o 1 rok (ceteris paribus) -zwiększenie świadczenia o 2,6% (2,57% vs. 2,77%)łącznie w ciągu 5 lat – wzrost o 13,7% (13,5% vs. 14,7%)

Bez rozróżniania płci:przyrost 2,64% (2,65% vs. 2,78%) roczniełącznie w ciągu 5 lat – wzrost o 13,9% (13,96% vs. 14,7%)

Jakub Bijak, Barbara Więckowska24

Wpływ czynników na wysokość świadczeń

wiekMężczyźni Razem

Wariant 10% Średnia 90% 10% Średnia 90%

wiek przejścia na emeryturę 65 3 409,87 3 521,27 3 709,43 3 019,50 3 092,44 3 241,55 66 3 519,97 3 635,15 3 835,35 3 111,20 3 186,48 3 343,83 67 3 639,07 3 755,39 3 969,61 3 208,92 3 286,81 3 452,46 68 3 765,31 3 885,45 4 111,81 3 313,29 3 395,47 3 568,48 69 3 898,52 4 020,75 4 262,01 3 426,61 3 512,29 3 695,76 70 4 041,61 4 172,02 4 423,79 3 550,89 3 641,15 3 833,01 Rozróżniając płeć:

przesunięcie decyzji emerytalnych o 1 rok (ceteris paribus) -zwiększenie świadczenia o 3,5% (3,45% vs. 3,59%)łącznie w ciągu 5 lat – wzrost o 18,48% (18,5% vs. 19,26%)

Bez rozróżniania płci:przyrost 3,32% (3,30% vs. 3,41%) roczniełącznie w ciągu 5 lat – wzrost o 17,74% (17,60% vs. 18,25%)

Jakub Bijak, Barbara Więckowska25

Wpływ czynników na wysokość świadczeń

Kobiety Mężczyźni Razem Okres składkowy 10 lat 35 lat 40 lat 10 lat 35 lat 40 lat 10 lat 35 lat 40 lat wiek przejścia na emeryturę

60 4,87% 25,59% 31,82% 5,96% 31,31% 38,93% 5,11% 26,87% 33,40%

65 5,54% 29,11% 36,18% 6,88% 36,13% 44,91% 5,71% 29,98% 37,27%

wysokość zebranego kapitałuanaliza dotyczy zebranego kapitału w OFEwzrost funduszu płac – 4%stopa zwrotu z OFE – 7% okres składkowy – 10 lat, 35 lat, 40 latbadana jest stopa zastąpienia w zależności od horyzontu inwestycyjnego

analiza dynamiczna: kobieta przesuwając decyzjęemerytalną o 5 lat zyskuje świadczenie wyższe o ponad 41% (7% średniorocznie)

Jakub Bijak, Barbara Więckowska26

Wpływ czynników na wysokość świadczeń

okres gwarantowanyKobiety (60 lat) Mężczyźni (65 lat)

Wariant 10% Średnia 90% 10% Średnia 90%

długość okresu gwarantowanego 0 2 414,80 2 494,47 2 599,93 3 409,87 3 521,27 3 709,43 2 2 413,07 2 492,43 2 597,54 3 396,37 3 506,00 3 690,98 4 2 407,97 2 486,26 2 590,35 3 357,00 3 461,28 3 636,92 6 2 399,79 2 476,39 2 578,65 3 295,75 3 392,31 3 553,32 8 2 388,79 2 463,22 2 562,68 3 217,57 3 305,03 3 448,02 10 2 375,20 2 447,00 2 542,79 3 127,45 3 204,83 3 328,07

Kobiety:10-letni okres gwarantowany kosztuje 1,90% (1,64% vs. 2,20%)

Mężczyźni:10-letni okres gwarantowany kosztuje 9,0% (8,28% vs. 10,28%)

Bez rozróżniania płci:osoba w wieku 60 lat – koszt 3,54% (3,25% vs. 4,01%)osoba w wieku 65 lat – koszt 5,5% (5,20% vs. 6,46%)

Jakub Bijak, Barbara Więckowska27

Wpływ czynników na wysokość świadczeńtechniczna stopa zwrotu

Kobiety (60 lat) Mężczyźni (65 lat) Wariant

10% Średnia 90% 10% Średnia 90% techniczna stopa procentowa 0 1 404,72 1 486,42 1 594,19 2 315,87 2 428,66 2 616,05 3 2 141,68 2 223,01 2 330,49 3 124,55 3 236,97 3 425,97 4 2 414,80 2 494,47 2 599,93 3 409,87 3 521,27 3 709,43 5 2 698,54 2 776,06 2 878,83 3 701,10 3 811,19 3 998,02

Kobiety:wprowadzenie stopy na poziomie 3% – wzrost o 49,6% (52,5% vs. 46,2%)podwyższanie stopy o 1 punkt – wzrost o 11,75% (12,25% vs. 11,14%)

Mężczyźni:wprowadzenie stopy na poziomie 3% – wzrost o 33,3% (34,9% vs. 31,0%)podwyższanie stopy o 1 punkt – wzrost świadczenia o 8,51% (8,84% vs. 8,03%)

Jakub Bijak, Barbara Więckowska28

Wpływ czynników na wysokość świadczeń

Metodologia tworzenia tablic trwania życia Kobiety Mężczyźni Razem

Wariant 10% Średnia 90% 10% Średnia 90% 10% Średnia 90%

tablice kohortowe 60 2 414,80 2 494,47 2 599,93 2 955,07 3 051,96 3 193,61 2 649,69 2 714,57 2 825,79 65 2 741,79 2 836,64 2 980,87 3 409,87 3 521,27 3 709,43 3 019,50 3 092,44 3 241,55

tablice przekrojowe 60 2 628,10 2 663,59 2 734,76 3 168,02 3 221,73 3 330,28 2 862,25 2 891,78 2 974,36

65 2 982,55 3 024,81 3 129,91 3 636,51 3 699,18 3 851,58 3 252,71 3 285,82 3 403,74

rozróżniając płeć:największe różnice pomiędzy wysokościami świadczeń dochodząnawet do 8% (kobiety dolne granice przedziałów)najmniejsze różnice pomiędzy wysokościami świadczeń to 3,69%(dla 65-letnich mężczyzn)

bez rozróżniania płci: różnica w wysokości świadczeń – ok.6%deficyt funduszu średnio na beneficjenta w wieku 60 lat – 1,46 rocznych wypłat, w wieku 65 lat – 1,2 rocznych wypłat

Jakub Bijak, Barbara Więckowska29

Podsumowanie i wnioski: metodologia

Dwa podstawowe wnioski metodologiczne:

1. Prognozowanie natężenia umieralności w oparciu o odpowiednie dane pozwala obliczyć„prawdziwe” (kohortowe) dalsze trwanie życia

2. Zmodyfikowany model Lee i Cartera pozwala na formalną analizę różnych źródeł niepewności, co może pomóc ocenić antyselekcję ryzyka

Optymistyczny akcent na zakończenie:

Najprawdopodobniej będziemy żyć dłużej, niżwynika z prognozy przekrojowych wartości e(x)

Jakub Bijak, Barbara Więckowska30

Podsumowanie i wnioski: ubezpieczenia

Wnioski ubezpieczeniowe1. Zastosowanie tablic Unisex wpływa na istotne obniżenie

wysokości świadczeń u mężczyzn, jednocześnie powoduje zmniejszenie kosztu okresu gwarantowanego

2. Ze względu na znaczną wrażliwość świadczeń na wysokość technicznej stopy zwrotu należałoby odrzucićmożliwość wypłacania świadczeń w formule = kapitał/ przeciętne dalsze trwanie życia (wprowadzenie do analiz stopy procentowej na poziomie 3% wpływa na 50% zwiększenie świadczeń u kobiet)

3. Stosowanie tablic przekrojowych wiąże się z deficytem funduszu emerytalnego na poziomie średnio na beneficjenta w wieku 60 lat – 1,46 rocznych wypłat, w wieku 65 lat – 1,2 rocznych wypłat

Jakub Bijak, Barbara Więckowska31

Model Lee i Cartera a wysokość świadczeń dożywotnich – wyniki dla Polski

Dziękujemy za uwagę!