Model Lee i Cartera a wysokośćświadczeń dożywotnich...

Model Lee i Cartera a wysokość świadczeń dożywotnich

– wyniki dla Polski

Barbara WięckowskaKatedra Ubezpieczenia Społecznego Szkoła Główna Handlowa w Warszawie

Jakub BijakŚrodkowoeuropejskie Forum BadańMigracyjnych i Ludnościowych, Warszawa

Praca powstała w ramach badania przeprowadzanego na zlecenie Polskiej Izby Ubezpieczeń (PIU), koordynowanego przez Prof. Tadeusza Szumlicza

Ogólnopolska Konferencja Naukowa „Zagadnienia Aktuarialne – Teoria i praktyka”

Warszawa, 9 – 11 czerwca 2008 r.

Jakub Bijak, Barbara Więckowska2

Plan prezentacji

Wprowadzenie

Estymacja parametrów modelu Lee i Cartera

Ilustracja: prognoza umieralności dla Polski do 2050 roku

Błędy szacunku i prosta analiza wrażliwości wyników

Ubezpieczeniowe implikacje wyników prognozy

Podsumowanie i wnioski


Wprowadzenie

MotywacjaDo określenia wysokości świadczeń emerytalnych w systemie o zdefiniowanej składce wymagane jest określenie długości wypłat

ProblemPrzekrojowe tablice trwania życia przeszacowująrzeczywistą umieralność poszczególnych kohort (grup urodzonych w tym samym roku)

Cele pracyPrzedstawienie metody prognozowania trwania życia w oparciu o zmodyfikowany model Lee i CarteraIlustracja dla Polski - prognoza na lata 2006–2050Wybrane implikacje ubezpieczeniowe wyników


Model

Zmodyfikowana wersja modelu Lee i Cartera:liczba zgonów - zmienna losowa o rozkładzie Poissona

Taki model dopuszcza heteroskedastyczność reszt między oszacowaną a zaobserwowaną liczbą zgonów

txx batx κµ ⋅+=),(ln

)),(),((Poisson~),( txtxEtxD µ⋅

Brouhns, N., M. Denuit, J. Vermunt (2002). A Poisson log-linear regression approach to the construction of projected life tables. Insurance: Math. Econ. 31 (3): 373–393.

ttt c εκκ ++= −1


Model

Metody estymacji:Lee i Carter zaproponowali metodę rozkładu wartości osobliwych (SVD), odpowiadającą KMNK Krytyka: metoda nieodpowiednia w przypadku heteroskedastycznych resztProponowane alternatywy: ważona MNK lub MNW

Źródła niepewności prognozy z modelu L-C:1. Losowa liczba zgonów Dx (rozkład Poissona)2. Niepewność oszacowań parametrów ax, bx i κt3. Ekstrapolacja komponentu κt

Alho, J. (2000). Discussion of Lee (2000). North American Actuarial Journal, 4 (1): 91-93.

Keilman, N., D.Q. Pham (2006), Prediction intervals for Lee-Carter-based mortalityforecasts. Referat na European Population Conference 2006, Liverpool, 21–24.06.2006.


Estymacja współczynników

Założenia (podejście kohortowe):Spełnione są równania bilansowe ludności (rysunek)Natężenie umieralności jest przedziałami stałeMigracje równomiernie rozłożone w ciągu roku

Wiek

x+1

x

x–1

…

1

0 1.01. t–1 1.01. t 1.01. t+1 Rok

B (t)

– D (x, t) + I (x, t)

–D (0, t)+I (0, t)

1.01. t–1 1.01. t 1.01. t+1 Rok

P (xmax, t+1)

P (xmax–1, t)

P (xmax, t)

Wiek

ω

xmax

xmax–1

…

–D (xmax, t) +I (xmax, t)

P (0, t+1)

P (x–1, t)

P (x, t+1)

… … … … … …

P – liczba ludności B – urodzenia I – saldo migracji D – zgony


Ilustracja: prognoza dla Polski

Dane wyjściowe (GUS)- jednoroczne grupy wieku, w latach osiągniętych- zgony według wieku i kohort (D), lata 1961–2005 - liczba ludności na początku roku (P), 1961–2006- liczba urodzeń w ciągu roku (B), 1961–2005- dane oczyszczone; próba ograniczona do 1990–2005

ObliczeniaEstymacja parametrów: MNW dla rozkładu PoissonaNiepewność estymacji: metoda bootstrap (100 prób) xNiepewność ekstrapolacji κt: Monte Carlo (1000 prób)Oprogramowanie: własny kod w R (www.r-project.org)Procedura dość czasochłonna (55 h)



Obserwowane i prognozowane ln[µ(x,t)] dla obu płci Polska, 1961-2050 (obserwacje do 2005 roku)



Wzorce ln[µ(x,t)] według wieku dla obu płciPolska, 1961, 1990, 2005 i 2050 (prognoza)


Przeciętne dalsze trwanie życia

Przekrojowe e(0) dla obu płci, Polska, 1961-205080% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

87.5

84.9

82.0



Przekrojowe e(0) dla kobiet, Polska, 1961-205080% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

91.8

88.3

85.0



Przekrojowe e(0) dla mężczyzn, Polska, 1961-205080% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

83.0

80.3

77.4



Przekrojowe i kohortowe e(60) dla Polski 1961-2010, M + K80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

21.821.4

20.5

26.4

25.0

23.2



Przekrojowe i kohortowe e(60) dla Polski 1961-2010, kobiety80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

24.523.8

22.8

30.3

28.0

25.8



Przekrojowe i kohortowe e(60) dla Polski 1961-2010, mężczyźni80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

19.018.5

17.5

22.3

21.0

19.5



Przekrojowe i kohortowe e(65) dla Polski, 1990, 2005, 2015;80% przedziały predykcyjne dla różnych źródeł niepewności

22.720.517.119.017.214.326.223.519.490%

21.419.716.917.816.514.223.922.019.0Średnia

19.618.416.616.315.413.921.720.518.510%

Wskaźniki kohortowe, ec(65, t)

19.0..16.4..21.3..90%

18.517.014.815.814.612.820.518.916.4Średnia

17.4..14.8..19.2..10%

Wskaźniki przekrojowe, ep(65, t)

201520051990201520051990201520051990

RazemMężczyźniKobietyWariant


Błędy szacunku

Reszty dla µ(x,t): przekrój przez lata kalendarzowe


Błędy szacunku

Reszty dla µ(x,t): przekrój przez grupy wieku


Analiza wrażliwości wyników

Przekrojowe e(0) dla obu płci, Polska 1961-2050: prognozy punktowe dla prób o różnej długości

84.9

82.2

79.878.5


Analiza wrażliwości wyników

Przekrojowe e(0) dla obu płci, Polska 1961-2050: porównanie wyników estymacji MNW i SVD

88.487.5

84.9

83.082.0


Warunki brzegowe

kapitał emerytalny - 500.000zł,płeć – kobieta, mężczyzna, bez rozróżniania okres gwarantowany – brak <0,10>techniczna stopa zwrotu - 4% <0%, 5%>,wiek emerytalny - 60/65 <60, 70>,narzuty związane z działalnością zakładu ubezpieczeń (emerytalnego) - 7% wartości świadczenia miesięcznie zastosowano kohortowe tablice trwania życia


Wpływ czynników na wysokość świadczeń

płeć

Kobiety Mężczyźni Razem Wariant

10% średnia 90% 10% średnia 90% 10% średnia 90% wiek przejścia na emeryturę 60 2 414,80 2 494,47 2 599,93 2 955,07 3 051,96 3 193,61 2 649,69 2 714,57 2 825,79 65 2 741,79 2 836,64 2 980,87 3 409,87 3 521,27 3 709,43 3 019,50 3 092,44 3 241,55

Rozróżnianie płci:

znaczne różnice pomiędzy świadczeniami mężczyzn i kobiet – 18,3% (dla 60-latków) i 19,4% (dla 65-latków)

Bez rozróżniania płci:mężczyźni „tracą” 11% (10,3% vs. 12,6%)kobiety „zyskują” 8% (8% vs. 9%)



wiekKobiety Razem

Wariant 10% Średnia 90% 10% Średnia 90%

wiek przejścia na emeryturę 60 2 414,80 2 494,47 2 599,93 2 649,69 2 714,57 2 825,79 61 2 469,62 2 552,56 2 664,29 2 713,35 2 779,98 2 896,92 62 2 529,41 2 614,94 2 734,13 2 782,35 2 849,20 2 974,07 63 2 594,90 2 683,11 2 810,10 2 855,97 2 924,20 3 057,32 64 2 665,35 2 755,78 2 892,23 2 934,99 3 004,61 3 146,06 65 2 741,79 2 836,64 2 980,87 3 019,50 3 092,44 3 241,55

Rozróżniając płeć:przesunięcie decyzji emerytalnych o 1 rok (ceteris paribus) -zwiększenie świadczenia o 2,6% (2,57% vs. 2,77%)łącznie w ciągu 5 lat – wzrost o 13,7% (13,5% vs. 14,7%)

Bez rozróżniania płci:przyrost 2,64% (2,65% vs. 2,78%) roczniełącznie w ciągu 5 lat – wzrost o 13,9% (13,96% vs. 14,7%)



wiekMężczyźni Razem


wiek przejścia na emeryturę 65 3 409,87 3 521,27 3 709,43 3 019,50 3 092,44 3 241,55 66 3 519,97 3 635,15 3 835,35 3 111,20 3 186,48 3 343,83 67 3 639,07 3 755,39 3 969,61 3 208,92 3 286,81 3 452,46 68 3 765,31 3 885,45 4 111,81 3 313,29 3 395,47 3 568,48 69 3 898,52 4 020,75 4 262,01 3 426,61 3 512,29 3 695,76 70 4 041,61 4 172,02 4 423,79 3 550,89 3 641,15 3 833,01 Rozróżniając płeć:

przesunięcie decyzji emerytalnych o 1 rok (ceteris paribus) -zwiększenie świadczenia o 3,5% (3,45% vs. 3,59%)łącznie w ciągu 5 lat – wzrost o 18,48% (18,5% vs. 19,26%)

Bez rozróżniania płci:przyrost 3,32% (3,30% vs. 3,41%) roczniełącznie w ciągu 5 lat – wzrost o 17,74% (17,60% vs. 18,25%)



Kobiety Mężczyźni Razem Okres składkowy 10 lat 35 lat 40 lat 10 lat 35 lat 40 lat 10 lat 35 lat 40 lat wiek przejścia na emeryturę

60 4,87% 25,59% 31,82% 5,96% 31,31% 38,93% 5,11% 26,87% 33,40%

65 5,54% 29,11% 36,18% 6,88% 36,13% 44,91% 5,71% 29,98% 37,27%

wysokość zebranego kapitałuanaliza dotyczy zebranego kapitału w OFEwzrost funduszu płac – 4%stopa zwrotu z OFE – 7% okres składkowy – 10 lat, 35 lat, 40 latbadana jest stopa zastąpienia w zależności od horyzontu inwestycyjnego

analiza dynamiczna: kobieta przesuwając decyzjęemerytalną o 5 lat zyskuje świadczenie wyższe o ponad 41% (7% średniorocznie)



okres gwarantowanyKobiety (60 lat) Mężczyźni (65 lat)


długość okresu gwarantowanego 0 2 414,80 2 494,47 2 599,93 3 409,87 3 521,27 3 709,43 2 2 413,07 2 492,43 2 597,54 3 396,37 3 506,00 3 690,98 4 2 407,97 2 486,26 2 590,35 3 357,00 3 461,28 3 636,92 6 2 399,79 2 476,39 2 578,65 3 295,75 3 392,31 3 553,32 8 2 388,79 2 463,22 2 562,68 3 217,57 3 305,03 3 448,02 10 2 375,20 2 447,00 2 542,79 3 127,45 3 204,83 3 328,07

Kobiety:10-letni okres gwarantowany kosztuje 1,90% (1,64% vs. 2,20%)

Mężczyźni:10-letni okres gwarantowany kosztuje 9,0% (8,28% vs. 10,28%)

Bez rozróżniania płci:osoba w wieku 60 lat – koszt 3,54% (3,25% vs. 4,01%)osoba w wieku 65 lat – koszt 5,5% (5,20% vs. 6,46%)


Wpływ czynników na wysokość świadczeńtechniczna stopa zwrotu

Kobiety (60 lat) Mężczyźni (65 lat) Wariant

10% Średnia 90% 10% Średnia 90% techniczna stopa procentowa 0 1 404,72 1 486,42 1 594,19 2 315,87 2 428,66 2 616,05 3 2 141,68 2 223,01 2 330,49 3 124,55 3 236,97 3 425,97 4 2 414,80 2 494,47 2 599,93 3 409,87 3 521,27 3 709,43 5 2 698,54 2 776,06 2 878,83 3 701,10 3 811,19 3 998,02

Kobiety:wprowadzenie stopy na poziomie 3% – wzrost o 49,6% (52,5% vs. 46,2%)podwyższanie stopy o 1 punkt – wzrost o 11,75% (12,25% vs. 11,14%)

Mężczyźni:wprowadzenie stopy na poziomie 3% – wzrost o 33,3% (34,9% vs. 31,0%)podwyższanie stopy o 1 punkt – wzrost świadczenia o 8,51% (8,84% vs. 8,03%)



Metodologia tworzenia tablic trwania życia Kobiety Mężczyźni Razem

Wariant 10% Średnia 90% 10% Średnia 90% 10% Średnia 90%

tablice kohortowe 60 2 414,80 2 494,47 2 599,93 2 955,07 3 051,96 3 193,61 2 649,69 2 714,57 2 825,79 65 2 741,79 2 836,64 2 980,87 3 409,87 3 521,27 3 709,43 3 019,50 3 092,44 3 241,55

tablice przekrojowe 60 2 628,10 2 663,59 2 734,76 3 168,02 3 221,73 3 330,28 2 862,25 2 891,78 2 974,36

65 2 982,55 3 024,81 3 129,91 3 636,51 3 699,18 3 851,58 3 252,71 3 285,82 3 403,74

rozróżniając płeć:największe różnice pomiędzy wysokościami świadczeń dochodząnawet do 8% (kobiety dolne granice przedziałów)najmniejsze różnice pomiędzy wysokościami świadczeń to 3,69%(dla 65-letnich mężczyzn)

bez rozróżniania płci: różnica w wysokości świadczeń – ok.6%deficyt funduszu średnio na beneficjenta w wieku 60 lat – 1,46 rocznych wypłat, w wieku 65 lat – 1,2 rocznych wypłat


Podsumowanie i wnioski: metodologia

Dwa podstawowe wnioski metodologiczne:

1. Prognozowanie natężenia umieralności w oparciu o odpowiednie dane pozwala obliczyć„prawdziwe” (kohortowe) dalsze trwanie życia

2. Zmodyfikowany model Lee i Cartera pozwala na formalną analizę różnych źródeł niepewności, co może pomóc ocenić antyselekcję ryzyka

Optymistyczny akcent na zakończenie:

Najprawdopodobniej będziemy żyć dłużej, niżwynika z prognozy przekrojowych wartości e(x)


Podsumowanie i wnioski: ubezpieczenia

Wnioski ubezpieczeniowe1. Zastosowanie tablic Unisex wpływa na istotne obniżenie

wysokości świadczeń u mężczyzn, jednocześnie powoduje zmniejszenie kosztu okresu gwarantowanego

2. Ze względu na znaczną wrażliwość świadczeń na wysokość technicznej stopy zwrotu należałoby odrzucićmożliwość wypłacania świadczeń w formule = kapitał/ przeciętne dalsze trwanie życia (wprowadzenie do analiz stopy procentowej na poziomie 3% wpływa na 50% zwiększenie świadczeń u kobiet)

3. Stosowanie tablic przekrojowych wiąże się z deficytem funduszu emerytalnego na poziomie średnio na beneficjenta w wieku 60 lat – 1,46 rocznych wypłat, w wieku 65 lat – 1,2 rocznych wypłat


Model Lee i Cartera a wysokość świadczeń dożywotnich – wyniki dla Polski

Dziękujemy za uwagę!

Model Lee i Cartera a wysokośćświadczeń dożywotnich...

Documents

Transcript of Model Lee i Cartera a wysokośćświadczeń dożywotnich...