Post on 01-Mar-2019
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE
W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład – 5
Elementy algebry i analizy zespolonej
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 2
ALGEBRA ZESPOLONA
),( yxiyxz
Liczby zespolone pod względem algebraicznym tworzą tzw. ciało algebraiczne. Ciało jest to zbiór elementów, w którym możliwe są następujące działania: • dodawanie • odejmowanie • mnożenie • dzielenie (z wyjątkiem elementu zerowego) Liczby zespolone mają dwie interpretacje: algebraiczną i geometryczną. W interpretacji algebraicznej liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych. Tradycyjny zapis liczb zespolonych wykorzystuje tzw. jednostkę urojoną oznaczaną literą „i”:
Pierwszy element pary – liczba x nazywana jest częścią rzeczywistą, natomiast drugi element – liczba y nazywany jest częścią urojoną. Odpowiednie oznaczenia:
Re( ) Im( ) (0,1)x z y z i
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 3
ALGEBRA ZESPOLONA – INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
W interpretacji geometrycznej liczby zespolone traktowane są jako punkty na płaszczyźnie z prostokątnym kartezjańskim układem współrzędnych.
x=Re(z)
y=Im(z)
z=(x,y)=x+iy
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 4
ALGEBRA ZESPOLONA - DZIAŁANIA
),(),(),( 2121221121 yyxxyxyxzz
),(),(),( 12212121221121 yxyxyyxxyxyxzz
)0,1()1010,1100()1,0()1,0(
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych polega na dodawaniu i odejmowaniu odpowiednich elementów tych liczb:
Mnożenie liczb zespolonych jest bardziej złożone i wyraża się wzorem:
Obliczmy zgodnie z tą definicją kwadrat jednostki urojonej czyli liczby i=(0,1):
Jeżeli liczby zespolone, których część urojona jest równa zero utożsamimy z liczbami rzeczywistymi (z=x+i∙0=x) to możemy napisać:
11)1,0()1,0( 2 ii
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 5
ALGEBRA ZESPOLONA - DZIAŁANIA
),()(
)()(
1221212112212121
21122121221121
yxyxyyxxyxyxiyyxx
yyyixyixxxiyxiyxzz
)0,0(23213
2
1 zzzzzz
z
Własność powyższa pozwala na mnożenie liczb zespolonych zapisanych w tradycyjnej formie jako dwumianów algebraicznych:
Dzielenie liczb zespolonych jest działaniem odwrotnym do mnożenia tzn:
Jeżeli dzielnik jest liczbą rzeczywistą (jego część urojona jest równa zero) to dzielenie jest proste i sprowadza się do zwykłego dzielenia obydwu części przez dzielnik:
2
1
2
1
2
11
2
1 ,)0,(
),(
x
y
x
x
x
yx
z
z
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 6
ALGEBRA ZESPOLONA - DZIAŁANIA
iyxziyxz
W przypadku gdy dzielnik nie jest liczbą rzeczywistą należy albo wykorzystać definicję dzielenia i rozwiązać odpowiedni układ równań liniowych albo też wykorzystać pojęcie tzw. liczby sprzężonej: Liczbą sprzężoną nazywamy liczbę zespoloną mającą taką samą część rzeczywistą oraz część urojoną przeciwnego znaku czyli:
Można zauważyć, że iloczyn danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej zawsze jest liczbą rzeczywistą gdyż:
2222 )())(( yxiyxiyxiyx
Dzielenie liczb zespolonych za pomocą liczb sprzężonych polega na pomnożeniu dzielnej i dzielnika przez liczbę sprzężoną do dzielnika. W taki sposób dzielnik staje się liczbą rzeczywistą a dzielenie jest dalej proste.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 7
ALGEBRA ZESPOLONA – TRYGONOMETRYCZNY ZAPIS LICZB
ZESPOLONYCH – MODUŁ I ARGUMENT Geometryczna interpretacja liczb zespolonych umożliwia zupełnie inny sposób zapisu liczb zespolonych. Podstawowymi narzędziami tego zapisu są pojęcia modułu i argumentu. Modułem danej liczby zespolonej z nazywamy odległość punktu reprezentującego tą liczbę od początku układu współrzędnych. Argumentem danej liczby zespolonej nazywamy kąt między dodatnią osią x a prostą łączącą dany punkt z początkiem układu.
z=x+iy x
y
O
A
r φ
2 2r z x y z z
( )Arg z
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 8
TRYGONOMETRYCZNY ZAPIS LICZB ZESPOLONYCH – MODUŁ I ARGUMENT
Moduł liczby zespolonej jest zawsze liczbą nieujemną. Jedyną liczbą, której moduł wynosi 0 jest liczba (0,0). Argument liczby zespolonej jako kąt jest wyrażany w mierze łukowej (w radianach) i mieści się w zakresie: [0,2π). Ścisłe wyznaczenie argumentu wymaga uwzględnienia
w której ćwiartce leży punkt reprezentujący daną liczbę zespoloną. Podstawowe
zależności trygonometryczne prowadzą do wzoru:
0
0 0, 0 ( .)
0 ( .)
2 0, 0 ( .)
dla x y I ćw
dla x II i III ćw
dla y x IV ćw
0( ) arctany
Arg zx
gdzie:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 9
ALGEBRA ZESPOLONA – TRYGONOMETRYCZNY ZAPIS LICZB
ZESPOLONYCH
Uwzględniając podstawowe zależności trygonometryczne między modułem, argumentem i składowymi liczby zespolonej możemy napisać:
cos sin
cos sin
cos sin (cos sin )
(cos sin )
x y
r r
x r y r
z x iy r ir r i
z r i
Zapis ten nazywamy trygonometryczną postacią liczb zespolonych. Postać ta bardzo ułatwia mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie w dziedzinie liczb zespolonych.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 10
ALGEBRA ZESPOLONA – MNOŻENIE
Trygonometryczna postać liczb zespolonych pozwala na stosunkowo prostą interpretację mnożenia i dzielenia liczb zespolonych. Niech z1 i z2 oznaczają dwie dowolne liczby zespolone:
1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
(cos sin ) (cos sin )
(cos sin ) (cos sin )
cos cos sin sin (cos sin cos sin
z r i z r i
z z r i r i
r r i
Mnożenie liczb zespolonych jest jednoznaczne z mnożeniem modułów i dodawaniem argumentów.
1 2 1 2 1 2 1 2cos( ) sin( )z z rr i
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 11
ALGEBRA ZESPOLONA – DZIELENIE
W podobny sposób można wyprowadzić odpowiedni wzór określający dzielenie liczb zespolonych:
1 11 2 1 2
2 2
cos( ) sin( )z r
iz r
Zgodnie z tym wzorem dzielenie jest równoznaczne z dzieleniem modułów i odejmowaniem argumentów.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 12
ALGEBRA ZESPOLONA - POTĘGOWANIE
[cos( ) sin( )]n nz r n i n
Stosując własność określającą mnożenie do tego samego elementu n razy otrzymujemy tzw. wzór de Moivre’a pozwalający potęgować liczby zespolone:
Potęgowanie liczb zespolonych jest równoznaczne z potęgowaniem modułu i mnożeniem argumentu przez potęgę n. Wzór ten obowiązuje dla całkowitych wartości n.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 13
ALGEBRA ZESPOLONA - PIERWIASTKOWANIE
W przypadku pierwiastkowania stopnia n otrzymuje się n różnych pierwiastków dla których wzór de Moivre’a ma postać:
1,...,2,1,0
2sin
2cos
nk
n
ki
n
krz nn
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 14
ANALIZA ZESPOLONA – Ciągi i szeregi
,...,...,,}{ 21 nn zzzz
1
21 ......n
nn zzzz
Podobnie jak w zbiorze liczb rzeczywistych , w zbiorze liczb zespolonych możemy rozpatrywać pojęcia ciągu oraz szeregu. Ciągiem zespolonym nazywamy nieskończony uporządkowany układ liczb zespolonych:
Szeregiem zespolonym nazywamy nieskończoną uporządkowaną sumę liczb zespolonych:
Ciąg zespolony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżne są odpowiednie ciągi rzeczywiste części rzeczywistych i części urojonych tzn.:
.}{}{.}{}{ zbieżsąyixzbieżjestiyxz nnnnn
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 15
ANALIZA ZESPOLONA – Ciągi i szeregi
n
i
i
n nn zz
11lim
Mówimy że dany szereg liczb zespolonych jest zbieżny jeżeli zbieżny jest ciąg jego sum częściowych:
Jeżeli dany szereg zespolony jest zbieżny to zbieżne są również odpowiednie szeregi rzeczywiste składowych i ważny jest wzór:
1 1 1n n n
nnn yixz
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 16
ANALIZA ZESPOLONA – Funkcje
YD
CYCD
zf
)(
Yzf )(Dz
Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy literą C. Niech D i Y będą podzbiorami C. Funkcją zespoloną zmiennej zespolonej nazywamy jednoznaczne przyporządkowanie elementów zbioru Y elementom zbioru D.
)(zf
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 17
ANALIZA ZESPOLONA – Funkcje
),()()(
),()()(
)()()()(
yxfiyxfzf
yxfiyxfzf
zfizfiyxfzf
yyy
xxx
yx
Zbiór D nazywamy dziedziną funkcji, natomiast zbiór Y jest to zbiór wartości funkcji. Zbiory D i Y mogą być rozłączne, mogą się pokrywać częściowo lub całkowicie, mogą też pokrywać się ze zbiorem C. Elementy zbiory Y czyli wartości funkcji są oczywiście liczbami zespolonymi tzn. można je zapisać za pomocą części rzeczywistej i urojonej:
Funkcje rzeczywiste fx i fy nazywamy częścią rzeczywistą i urojoną danej funkcji f(z). Z powyższego zapisu wynika, że każda funkcja zespolona jest równoznaczna z układem dwu funkcji rzeczywistych dwu zmiennych.
)},(),,({)( yxfyxfzf yx
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 18
ANALIZA ZESPOLONA – Sposoby definiowania funkcji zespolonych
Mamy 3 zasadnicze sposoby definiowania funkcji zespolonych: 1. Bezpośrednio za pomocą działań algebraicznych tzn. dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, potęgowania i pierwiastkowania. W przypadku użycia pierwiastków konieczne jest zapewnienie jednoznaczności przez wybór jednego z wyników pierwiastka. Przykłady:
32
3
2
)(
)(
5)(
)(
izizzf
izzz
izzf
zzf
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 19
ANALIZA ZESPOLONA – Sposoby definiowania funkcji zespolonych
),(),()( yxfiyxfzf yx
2. Za pomocą jawnych postaci części rzeczywistej i urojonej.
Przykłady:
0),(,),()(
),(,),()()(
),(,),()(
),(,),()()()(
2222
3232
yxfyxyxfyxzzf
yyxfxyxfyixzzf
yx
yyxf
yx
xyxf
yx
yi
yx
xzf
yxyxfyxyxfyxiyxzf
yx
yx
yx
yx
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Sposoby definiowania funkcji zespolonych
0
( ) [ ( )] n
n
n
f z a z z
3. Za pomocą szeregów potęgowych. Wiele ciekawych funkcji można zdefiniować przy użyciu zbieżnych szeregów potęgowych. Funkcja taka ma postać:
Warunkiem prawidłowej definicji jest tzw. zbieżność jednostajna powyższego szeregu. Współczynniki szeregu an(z) są w ogólnym przypadku funkcjami zespolonymi zdefiniowanymi w inny sposób. W praktyce najczęściej są to stałe liczby rzeczywiste (zależne od n).
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 21
ANALIZA ZESPOLONA – Sposoby definiowania funkcji zespolonych
Rozważmy prosty ale ważny przykład tzw. funkcji ekspotencjalnej. Niech:
0
32
!
1...
!
1...
!3
1
!2
11)(
!
1
n
nn
n zn
zn
zzzzfn
a
Jeżeli zmienna z ograniczymy tylko do części rzeczywistej tzn. przyjmiemy, że część urojona z jest równa zero, wtedy z=x, szereg powyższy pokrywa się z szeregiem rzeczywistym określającym zwykłą funkcję ekspotencjalną ex.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy analizy zespolonej cd.
Różniczkowanie i całkowanie
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Funkcja ekspotencjalna
0 !
)(n
ndefz
n
zezf
W związku z tym funkcję zespoloną określoną za pomocą tego szeregu również nazywamy funkcją ekspotencjalną i oznaczamy ją jako ez.
Ponieważ szereg jest zbieżny jednostajnie dla dowolnej liczby zespolonej, zatem dziedziną funkcji ekspotencjalnej jest cały zbiór liczb zespolonych.
Metodami analizy matematycznej można wykazać, że szereg powyżej zdefiniowany jest jednostajnie zbieżny dla dowolnej liczby zespolonej z.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Funkcja ekspotencjalna
Rozważmy teraz funkcję ez dla osi urojonej tzn. przyjmijmy z=iy. W celu zbadania funkcji obliczmy kolejne potęgi z=iy:
0 0 1 1 2 2 2
3 3 3 4 4 4 5 5 5
6 6 6
( ) 1 ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
z iy z iy iy z iy y
z iy iy z iy y z iy iy
z iy y
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Funkcja ekspotencjalna
...!5!3
...!6!4!2
1
...!6!5!4!3!2
1
53642
65432
yyyi
yyy
yiyyiyyiyeiy
Podstawiając otrzymane wyrażenia do szeregu otrzymujemy:
Po rozłożeniu szeregu na część rzeczywistą i urojoną stwierdzamy, że części te są równoznaczne z szeregowym zapisem prostych funkcji trygonometrycznych kosinus i sinus:
yyy
y
yyyy
sin...!5!3
cos...!6!4!2
1
53
642
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Funkcja ekspotencjalna
yiyeiy sincos
2121 zzzzeee
Podstawiając otrzymane zapisy do wyrażenia na funkcję ekspotencjalną osi
urojonej otrzymujemy słynny wzór Eulera wiążący funkcję ekspotencjalną
z funkcjami trygonometrycznymi:
Można wykazać, że funkcja ekspotencjalna zmiennej zespolonej spełnia większość własności funkcji ex a w szczególności że:
W związku z tym:
)sin(cos yiyee
eeee
xz
iyxiyxz
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Funkcja ekspotencjalna
[(cos ) (sin )] cos sin
( )
z z
z z x
e e
z x z
e e i e y i y
e e Arg e y
Jeżeli otrzymany wzór porównamy z tzw. trygonometryczną postacią liczb zespolonych to otrzymamy pewne własności zespolonej funkcji ekspotencjalnej:
Oraz:
yeyxfe
yeyxfe
x
y
z
x
x
z
sin),()Im(
cos),()Re(
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Funkcja ekspotencjalna
0 0
0 0
0 0 0 0 0
(2 )
0 0
0 0
(2 ) (2 ) ( 2 ) 0, 1, 2,...
[cos 2 sin 2 ]
[cos sin ]
z i k xz
x z
z z i k x iy i k x i y k k
e e e y k i y k
e y i y e
Niech:
00 )2( zikzee
Funkcja ez jest funkcją okresową (!!!) o okresie 2πi.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Funkcje trygonometryczne
Za pomocą szeregów potęgowych można oprócz funkcji ekspotencjalnej definiować również funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej. Odpowiednie definicje są uogólnieniem wzorów określających rozwinięcia szeregowe funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej:
z
zz
z
zz
n
zzzzz
n
zzzzzz
n
nn
n
nn
sin
coscot
cos
sintan
)!2()1(...
!6!4!21cos
)!12()1(...
!7!5!3sin
0
2642
0
12753
Funkcje sin(z) i cos(z) są określone dla dowolnych liczb zespolonych. Z zapisu szeregowego wynika, że funkcja sin(z) jest nieparzysta natomiast cos(z) jest parzysta.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Funkcje trygonometryczne
zizeiz sincos
Można wykazać, że funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są ściśle związane z funkcją ekspotencjalną za pomocą ogólnego wzoru Eulera:
Napiszmy powyższy wzór dla z oraz –z.
zizzize
zize
iz
iz
sincos)sin()cos(
sincos
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Funkcje trygonometryczne
2cos
cos2
iz iz
iz iz
e e z
e ez
Dodając i odejmując stronami otrzymane równania dostajemy wzory wiążące funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej z funkcją ekspotencjalną:
2 sin
sin2
iz iz
iz iz
e e i z
e ez
i
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
r
z0
ANALIZA ZESPOLONA – Otoczenie punktu zespolonego
Otoczeniem punktu z0=x0+iy0 o promieniu r nazywamy zbiór wszystkich liczb zespolonych spełniających nierówność:
00 rrzz
x
y
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Pochodna funkcji zespolonej
Jeżeli dla danego punktu z0 i danej funkcji zespolonej f(z) istnieje otoczenie tego punktu o promieniu r>0 takie, ze dla dowolnego ciągu zn−>z0 zawartego w tym otoczeniu istnieje granica:
)(')()(
0
0
0
lim0
zfzz
zfzf
n
n
zzn
to mówimy że funkcja jest różniczkowalna w z0 a liczbę f’(z) nazywamy pochodną funkcji z. Ponieważ z jest zmienną więc otrzymana w wyniku różniczkowania pochodna również jest nową funkcją zespoloną. Funkcje zespolone, które są różniczkowalne nazywamy funkcjami analitycznymi. Różniczkowanie za pomocą powyższej definicji jest bardzo uciążliwe i w praktyce nie stosowane.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Różniczkowanie funkcji zespolonych W praktyce technika różniczkowania zespolonego zależy od sposobu zdefiniowania funkcji. Dla funkcji zdefiniowanych za pomocą wzorów zawierających operatory algebraiczne i proste funkcje elementarne stosuje się wszystkie metody analogiczne do różniczkowania funkcji rzeczywistych. Prawie wszystkie stosowane tam twierdzenia (o różniczkowaniu sumy, iloczynu, ilorazu itd.) można przenieść bezpośrednio na różniczkowanie zespolone. W szczególności wielomiany zespolone oraz zespolone funkcje wymierne różniczkuje się tak samo jak funkcje rzeczywiste. Proste funkcje zespolone zdefiniowane za pomocą szeregów takie jak funkcja ekspotencjalna i funkcje trygonometryczne różniczkuje się identycznie jak odpowiednie funkcje rzeczywiste. Mamy więc:
zzzzee zz sin)'(coscos)'(sin)'(
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Różniczkowanie funkcji zespolonych
oyx iyxzyxfiyxfzfNiech 00),(),()(
Istotna różnica między różniczkowaniem zespolonym a rzeczywistym zachodzi dla funkcji zdefiniowanych za pomocą części rzeczywistej i urojonej. Dla tego przypadku obowiązuje tzw. twierdzenie Cauchy – Riemanna:
1. Jeżeli funkcja f(z) jest różniczkowalna w z0 to istnieją pochodne cząstkowe funkcji fx i fy oraz spełniają one tzw. równania Cauchy – Riemanna:
x
f
y
f
y
f
x
f yxyx
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Różniczkowanie funkcji zespolonych 2. Jeżeli funkcje fx(x,y) oraz fy(x,y) określające daną funkcję zespoloną spełniają powyższe równania Cauchy – Riemanna a wszystkie pochodne cząstkowe występujące w tych równaniach są ciągłe w punkcie (x0,y0) to funkcja zespolona f(z)=fx(x,y)+ify(x,y) jest różniczkowalna a jej pochodna wyraża się wzorem:
y
fi
y
f
x
fi
x
fzf xyyx
)('
Technika różniczkowania za pomocą twierdzenia Cauchy – Riemanna polega na znajdowaniu odpowiednich pochodnych cząstkowych funkcji składowych.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Różniczkowanie funkcji zespolonych Przykład:
( ) ( ) cos( ) sin( )x xf z f x iy e y i e y
Mamy zatem: ( , ) cos( ) ( , ) sin( )x x
x yf x y e y f x y e y
W celu zróżniczkowania tej funkcji należy najpierw sprawdzić jej różniczkowalność za pomocą równań Cauchy – Riemanna. Musimy zatem wyznaczyć 4 pochodne cząstkowe:
( , )( , )cos( ) cos( )
( , )( , )sin( ) sin( )
yx xx
yx xx
f x yf x ye y e y
x y
f x yf x ye y e y
y x
Widzimy że równania Cauchy – Riemanna są spełnione.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Różniczkowanie funkcji zespolonych
Zatem zgodne ze wzorem Cauchy – Riemanna możemy wyznaczyć pochodną:
'( ) cos( ) sin( ) ( ) !!!y x xx
fff z i e y i e y f z
x x
( , )( , )cos( ) cos( )
( , )( , )sin( ) sin( )
yx xx
yx xx
f x yf x ye y e y
x y
f x yf x ye y e y
y x
Czyli pochodna tej funkcji jest tożsama z tą funkcją. Ale można sprawdzić, że funkcja ta jest równoznaczna z funkcją ekspotencjalną więc własność ta jest oczywista.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Różniczkowanie funkcji zespolonych W przypadku funkcji zdefiniowanych za pomocą szeregu, możemy skorzystać z jednostajnej zbieżności tego szeregu i różniczkować szereg wyraz po wyrazie. Przykładowo zróżniczkujmy funkcję ekspotencjalną zdefiniowaną za pomocą szeregu:
2 3
0
1 1 1 1( ) 1 ... ...
! 2! 3! !
n n
n
f z z z z z zn n
1 2 1
0
2 1
1 2 3'( ) 0 1 ... ...
! 2! 3! !
1 11 .... ....
2! ( 1)!
n n
n
n z
n nf z z z z z
n n
z z z en
Otrzymaliśmy oczywistą postać pochodnej funkcji ekspotencjalnej.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
zn-1
z2
z1
ANALIZA ZESPOLONA – Całkowanie funkcji zespolonych
W przypadku funkcji zespolonych podstawową operacją odwrotną do różniczkowania jest tzw. całkowanie krzywoliniowe. Teraz zdefiniujemy pojęcie całki funkcji zespolonej po pewnej linii leżącej w płaszczyźnie zespolonej. Niech f(z) będzie daną funkcją zespoloną a K pewną linią regularną (gładką) leżącą w dziedzinie funkcji zaczynającą się w punkcie zp i kończącą się w zk.
x
y
zp=z0
zk=zn
K
Podzielmy linię K na skończoną liczbę n części za pomocą punktów:
kniip zzzzzzzz ,...,,,...,,, 1210
zi-1 zi
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Całkowanie funkcji zespolonych
],[ 1 iii zz
1 iii zzz
Z każdej części wybierzmy dowolny punkt
Dla każdej części możemy obliczyć różnicę
Utwórzmy teraz sumę
ni
i
iin zfS1
)(
Jeżeli teraz będziemy zwiększać liczbę n i dla każdego nowego podziału linii będziemy powtarzać powyższą operację to otrzymamy ciąg liczb zespolonych Sn. Jeżeli ciąg ten ma granicę to funkcja jest całkowalna a granicę nazywamy całką krzywoliniową funkcji f(z) po krzywej K i oznaczamy wzorem:
zn-1
z2
z1
x
y
zp=z0
zk=zn
K zi-1
zi
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA – Całkowanie funkcji zespolonych
0
( ) ( )limi
nn K
z
S f z dz
Z pojęciem całki krzywoliniowej związane jest pojęcie funkcji pierwotnej. Mówimy, że funkcja F(z) jest funkcją pierwotną do funkcji f(z) w obszarze D jeżeli w każdym punkcie tego obszaru zachodzi równość F’(z)=f(z). Funkcję pierwotną oraz całkę krzywoliniową łączy następujące twierdzenie: Jeżeli funkcja f(z) jest ciągła w obszarze D i ma w tym obszarze funkcję pierwotną F(z) to całka krzywoliniowa po dowolnej linii regularnej zawartej w D o początku zp i końcu zk wyraża się prostym wzorem:
)()()( pk
K
zFzFdzzf
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Na tym kończymy dzisiejszy wykład. Dziękuję bardzo Państwu za uwagę.