Post on 03-Feb-2018
Matematyka 2
dr inż. Rajmund Stasiewicz
Skala ocen
Punkty Ocena
0 – 50 2,0
51 – 60 3,0
61 – 70 3,5
71 – 80 4,0
81 – 90 4,5
91 - 5,0 Zwolnienie z egzaminu
Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5
Warunki zaliczenia
6 x kolokwium ok. 15 pkt.
6 x kartkówka 2-3 pkt.
Razem – 100-110 pkt.
Dodatkowe punkty:
- odpowiedzi i przygotowanie do zajęć
(min 50 pkt. za kolokwia i kartkówki)
Kontakt i wyniki
Wyniki i materiały:
katmat.pb.bialystok.pl/~raj/energetyka
Login: imie.nazwisko
Hasło: dowolne (podawane przy rejestracji)
E-mail:
r.stasiewicz@pb.edu.pl
Matematyka 2
Szeregi Fouriera
Literatura
W.Żakowski, M.Kołodziej; Matematyka cz II; WNT, Warszawa, 1984
W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla studiów esperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981
M.Gewert, Z.Skoczylas; Analiza matematyczna 2; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2006
W.Stankiewicz; Zadanie z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz I; PWN, Warszawa, 1980
Funkcje okresowe
Definicja:
Funkcję f: R R nazywamy okresową,
jeżeli istnieje liczba T>0 taka, że dla
wszystkich xT
f(x+T) = f(x)
Szeregi trygonometryczne - definicja
Szeregiem trygonometrycznym na przedziale <-l; l> nazywamy szereg postaci
gdzie a0R, an , bnR dla nN, l jest pewną liczbą dodatnią.
1
0 sincos2 n
nnl
xnb
l
xna
a
Szereg trygonometryczny Fouriera - definicja
Niech funkcja f(x) będzie całkowalna na przedziale <-l, l>.
Szeregiem trygonometrycznym Fouriera nazywamy szereg trygonometryczny
gdzie
1
0 sincos2 n
nnl
xnb
l
xna
a
l
l
n ndxl
xnxf
la ...,2,1,0,cos)(
1
l
l
n ndxl
xnxf
lb ...,2,1,sin)(
1
Szereg trygonometryczny Fouriera - definicja
Piszemy symbolicznie
1
0 sincos2
)( ~n
nnl
xnb
l
xna
axf
Nieciągłość pierwszego rodzaju
Punkt x0 jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju funkcji f(x), jeżeli istnieją granice lewo- i prawostronne funkcji f(x) w tym punkcie oraz są one skończone.
Funkcja przedziałami monotoniczna
Funkcję f, ograniczoną w przedziale (a, b), nazywamy przedziałami monotoniczną w tym przedziale, jeżeli przedział (a, b) można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów wewnątrz których funkcja f jest monotoniczna.
Warunki Dirichleta
Mówimy, że funkcja f(x) spełnia na przedziale <a, b>
warunki Dirichleta, jeżeli:
1) f(x) jest przedziałami monotoniczna w przedziale (a, b),
2) f(x) jest ciągła w przedziale (a, b), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju x0, takich że
3) w końcach przedziału (a, b) spełnione są równości
)()(2
1limlim
00
0 xfxfxfxxxx
)()(2
1limlim xfxfbfaf
axbx
Twierdzenie Dirichleta
Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale <-l, l> warunki Dirichleta, to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera
dla każdego x<-l, l >. Jeżeli ponadto funkcja f(x) jest okresowa i ma okres 2l, to powyższa równość jest prawdziwa dla każdego x z dziedziny tej funkcji.
1
0 sincos2
)(n
nnl
xnb
l
xna
axf
Przykład
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
f(x)=sgn(x) dla x<-; >
Twierdzenie Dirichleta – uwagi praktyczne
Jeżeli funkcja f(x) jest parzysta, to
oraz
a rozwinięcie w szereg Fouriera przyjmuje postać
l
n
l
ndxl
xnxf
ladxxf
la
00
0 ...,2,1,cos)(2
,)(2
...,2,1,0 nbn
1
0 cos2
)(n
nl
xna
axf
Twierdzenie Dirichleta – uwagi praktyczne
Jeżeli funkcja f(x) jest nieparzysta, to
oraz
a rozwinięcie w szereg Fouriera przyjmuje postać
...,2,1,0,0 nan
l
n ndxl
xnxf
lb
0
...,2,1,sin)(2
1
sin)(n
nl
xnbxf
Przykład
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
f(x)=|x| dla x<-; >
Szereg Fouriera – sinusów i kosinusów
Rozważmy funkcję f, która jest określona i spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w przedziale otwartym (0,l).
Funkcję tę można przedstawić w przedziale (0,l) w postaci szeregu trygonometrycznego Fouriera składającego się z samych sinusów, albo samych kosinusów.
Szereg Fouriera – sinusów i kosinusów
Rozpatrzmy funkcję pomocniczą f*, określoną na przedziale <-l,l> nazywaną przedłużeniem funkcji f.
Aby otrzymać rozwinięcie funkcji f(x) w szereg sinusów należy przedłużyć funkcję f(x) w sposób nieparzysty.
lx
lxxf
x
xlxf
lx
f
dla0
0dla)(
0dla0
0dla)(
dla0
*
Szereg Fouriera – sinusów i kosinusów
Aby otrzymać rozwinięcie funkcji f(x) w szereg cosinusów należy przedłużyć funkcję f(x) w sposób parzysty.
lxxf
lxxf
xxf
xlxf
lxxf
f
lx
x
lx
dla)(lim
0dla)(
0dla)(lim
0dla)(
dla)(lim
*0
Przykład
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
xx
x
x-π
xf
0dla
dla2
0dla
)(
Szereg tryg. Fouriera – postać zespolona
Niech funkcja f(x) będzie całkowalna na przedziale <-l, l>.
Szeregiem trygonometrycznym Fouriera nazywamy szereg trygonometryczny
Postać zespolona szeregu trygonometrycznego Fouriera
1
0 sincos2 n
nnl
xnb
l
xna
a
10
n
l
xnj
nl
xnj
n ececc
nnnnnn jbacjbaca
c 2
1,
2
1,
2
00
Szereg tryg. Fouriera – postać zespolona
Krócej
10
n
l
xnj
nl
xnj
n ececc
l
xnj
nec
Szereg tryg. Fouriera – postać zespolona
Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale <-l, l> warunki
Dirichleta, to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg zespolony Fouriera
dla każdego x<-l, l >. Przy czym
dla
l
xnj
necxf
l
l
l
xnj
n
l
l
dxexfl
cdxxfl
c
2
1,
2
10
,,2,1,0 n
Szereg tryg. Fouriera – postać zespolona
Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale <-l, l> warunki
Dirichleta, to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg zespolony Fouriera
dla każdego x<-l, l >. Przy czym
l
xnj
necxf
l
l
l
xnj
n
l
l
dxexfl
cdxxfl
c
2
1,
2
10
l
l
xnj
n dxexfl
c2
02
1
Sz. zespolony Fouriera – widmo amplitudowe
Ciąg liczb gdzie
nazywamy widmem amplitudowym funkcji okresowej
Litera oznacza pulsację funkcji okresowej, czyli
gdzie T jest okresem tej funkcji.
,,2,1,0, nAn
nn cA
tjnnecxf
T
2
Sz. zespolony Fouriera – widmo fazowe
Ciąg liczb gdzie
nazywamy widmem fazowym funkcji okresowej.
,,2,1,0, nn
0gdysgn
0gdy0
0Imgdyarg
n
n
nn
n
cn
c
cc
Szeregi trygonometryczne
KONIEC