Matematyka 2

Metoda operatorowa

Transformata Laplace’a

Literatura

M.Gewert, Z.Skoczylas; Równania różniczkowe zwyczajne; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 1999

D.Mozyrska, E.Pawłuszewicz, R.Stasiewicz; Równania różniczkowe zwyczajne; Dział Wydawnictw i Poligrafii PB, Białystok, 2001

W.Żakowski, W.Leksiński; Matematyka cz IV; WNT, Warszawa, 1984

W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla studiów esperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981

W.Stankiewicz, J.Wojtowicz; Zadanie z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz II; PWN, Warszawa, 1983

Oryginał

Definicja 1. Oryginałem nazywamy funkcję

zespoloną f zmiennej rzeczywistej t taką, że: 1)f(t) 0 dla dowolnego t < 0, 2)W każdym skonczonym przedziale [0, T]

funkcja f ma co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym są to punkty nieciągłości I-go rodzaju,

3)Istnieją stałe M>0 i ≥0 takie, że dla każdego tR spełniona jest nierówność |f(t)|≤Met.

Oryginał

Przykład. Czy jest oryginałem funkcja:

f(t) = c

c – stała niezerowa.

Oryginał

Przykład. Czy jest oryginałem funkcja:

0gdy1

0gdy0)(

t

tt1

Oryginał

Przykład. Czy jest oryginałem funkcja:

f(t) = 1(t)(sint+cost)

Oryginał

Przykład. Narysować wykres funkcji:

f(t) = 1(t-c)

Oryginał

Przykład. Narysować wykres funkcji:

f(t) = t·1(t-c)

Oryginał

Przykład. Narysować wykres funkcji:

f(t) = et-1·1(t-1)

Oryginał

Przykład. Narysować wykres funkcji:

f(t) = 1(t)-1(t-c)

Oryginał

Definicja 2. Transformatą Laplace’a funkcji f

zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcję F(s) zmiennej zespolonej s określoną w następujący sposób:

0

dtetfsF st

Oryginał

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

Heaviside’a.

Własności transformaty Laplace’a

Transformata Laplace’a jest funkcją liniową,

tzn. jeśli a i b są dowolnymi stałymi, to:

L[af(t)+bg(t)] = a L[f(t)] + b L[g(t)]

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

f(t) = t2 + 3t + 5

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

f(t) = cosht

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

f(t) = sint

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

f(t) = sin2ωt

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

f(t) = cosht·sint

Własności transformaty Laplace’a

Twierdzenie 1. (o podobieństwie) Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz aR+, to

L[f(at)] = 1/a F(s/a)

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

f(t) = cos3t

Własności transformaty Laplace’a

Twierdzenie 2. (o przesunięciu w argumencie

oryginału; o przesunięciu rzeczywistym) Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz t0R+, to

L[f(t-t0) 1(t-t0)] = e-t0s F(s)

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

f(t) = et-1 1(t-1)

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

f(t) = cos3(t-2) 1(t-2)

Własności transformaty Laplace’a

Twierdzenie 3. (o przesunięciu w argumencie

obrazu; o przesunięciu zespolonym) Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz jest

liczbą zespoloną, to

L[e-t f(t)] = F(s+)

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

f(t) = e-2t cos3t

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

f(t) = e-t sin2t

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

f(t) = cosht·sint

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

danej na rysunku

t t

b

0 2a

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

danej na rysunku

t t

b-a

0 2a 2b a+b

Własności transformaty Laplace’a

Twierdzenie 4. (o transformacie funkcji okresowej)

Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz istnieje

liczba T>0, taka że dla każdego t>0 spełniona jest równość f(t)=f(t+T), to

gdzie

sT

T

e

sFsF

1)(

T stT dtstfsF

0

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

danej na rysunku

t

b

0 /2 3/2 2

Własności transformaty Laplace’a

Przykład. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

danej na rysunku

t

b

3 2

Własności transformaty Laplace’a

Twierdzenie 5. Jeżeli L[f(t)]=F(s), to

Jeżeli istnieje , to

)()( limlim0

sFstfst

)(lim tft

)()( limlim0

sFstfst

Własności transformaty Laplace’a

Twierdzenie 6. Jeżeli F jest transformatą oryginału, to

0)(lim)Re(

sFs

Własności transformaty Laplace’a

Twierdzenie 6. Jeżeli F jest transformatą oryginału, to Transformata oryginału nie może być:

F(s) = s5 + s2 + 1

0)(lim)Re(

sFs

Metoda operatorowa Transformata Laplace’a

KONIEC