• Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z

Równania rekurencyjne i ich zastosowania

• Stabilność: ciągi monotoniczne i okresowe, układy dynamiczne

• Rola stabilności: metoda Newtona, macierze Markowa, fraktale

• Chaos na odcinku

Część pisemna (obowiązkowa)Egzamin

• teoria wraz z zagadnieniami z ćwiczeń• autorskie propozycje studentów

Część ustna (opcjonalna) - możliwość podniesienia oceny z części ustnej

• zadania rachunkowe• zagadnienia i twierdzenia z wykładu (wraz z dowodami)• samodzielne dowodzenie prostych twierdzeń

(L-systems)

Glon arabaena catenula

komórki nie

podlegające podziałom

komórkiulegające podziałom

duże małe

Systemy Lindenmayera

Systemy Lindenmayera

P - duża komórka powodująca rozrost w prawoL - duża komórka powodująca rozrost w lewop - mała komórka powodująca rozrost w prawol - mała komórka powodująca rozrost w lewo

P L p p L p

L l P l l P

regułypodziału

Systemy Lindenmayera

L | p

L | p

L | p L | p l | P

l | P

l | P

Systemy Lindenmayera

- alfabet

: Formalizacja

p,l,P,L

lPLplPLp8 - słowo (długości 8)

lPLpLplP - konkatenacja słów

1n

n- zbiór słów

Systemy Lindenmayera

Reguły podziału komórek (liter)determinują

: Formalizacja

:f

)l(flP)L(f

)p(fLp)P(f

podziały organizmów (słów) wg wzoru

)v(f)u(f)vu(f

Np. LplP)p(f)L(f)Lp(f

Systemy Lindenmayera

Pytania:

PLp)L(f 1000

?

?

Lpl)L(f 1000

LP)L(f 1000 ?

Gra »Life« Conwaya: Zasady

Stan przedzmianą

Stan pozmianie

Opis,,socjologiczny”

Liczba sąsiadów

pełna 0-1

pełna

pusta pełna

pusta

pusta4-8

3

śmierć z samotności

śmierć z przeludnienia

narodziny

narodziny

,,rodzice” umierają

z samotności

Gra »Life« Conwaya: Zasady

Stan przedzmianą

Stan pozmianie

Opis,,socjologiczny”

Liczba sąsiadów

pełna 0-1

pełna

pusta pełna

pusta

pusta4-8

3

śmierć z samotności

śmierć z przeludnienia

narodziny

śmierć z przeludnienia

,,rodzą” się 2 nowe tracąc

2 ,,rodziców”

łódka stoi w miejscu

Gra »Life« Conwaya

,,skok”

,,lądowanie”

Żaba

lot Dakoty-4

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4

poprzednio teraz

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4

poprzednio teraz

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4

poprzednio teraz

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4

poprzednio teraz

Gra »Life« Conwaya

lot Dakoty-4

stage 0

Gra »Life« Conwaya

lot Dakoty-4

stage 1

Gra »Life« Conwaya

lot Dakoty-4

stage 2

Gra »Life« Conwaya

lot Dakoty-4

stage 3

Gra »Life« Conwaya

lot Dakoty-4

stage 4

Gra »Life« Conwaya

lot Dakoty-4

stage 5

Gra »Life« Conwaya

lot Dakoty-4

stage 6

Gra »Life« Conwaya

lot Dakoty-4

stage 7

Gra »Life« Conwaya

lot Dakoty-4

stage 8

Właściwą scenerię dla A stanowi torus

a nie płaszczyzna

nmodA

11

12

= liczba pikseli w pionie/w poziomien

Automorfizm Arnolda (Arnold’s cat map)

Rn,,,,n,,,,R:A 2222 12101210

To ja w roli

kota Arnolda

Po 1-krotnym

działaniu A Po 2-krotnym

działaniu A

A2 A5A

Kot Arnolda

Po 5-krotnym

działaniu A

Przekształcenie Arnolda zachowuje się chaotycznie.

Nowy rodzaj kryptografii -

kryptografia chaotyczna?

A5

Kot Arnolda

Frakcje polityczne: (1), (2) i (3).

Macierze Markowa

p ij - prawdopodobieństwo zmiany poparcia z i na j

214141

313131

414121

M

0100 z,y,x%,zyx nnnnnn

z

y

x

M

z

y

x

n

n

n

n

n

n

1

1

1

- rozkład poparcia w n-tych wyborach

Macierze Markowa

Mariaż powyższego z teorią gier i systemów głosowaniapozwala wyjaśnić dlaczego w większości rozwiniętych parlamentów

istnieją tylko dwie partie (np. Anglia, Stany Zjednoczone)

,,Twierdzenie ergodyczne”

Po dostatecznie długim czasie będziemy mieli w przybliżeniu stały rozkład poparcia

%,%,,%,,,,z,y,x nnnn 9279342374312

4315

4316

niezależnie od rozkładu początkowego z,y,x 000

Praktycznie stałe już przy n=8 wyborach

Wzrost wykładniczy

Model kapitalizacji (procent składany); inflacja

Rozpad połowiczny; datowanie C-14

xx nn 1

Prawo Malthusa; bakterie

- kapitał po n latachxn , - oprocentowaniep1

2

1

p

- masa materiału promieniotwórczego po czasie nT

- wielkość populacji w n-tym pokoleniu

xn

T - czas półrozpadu

xn - współczynnik narodzin

Wzrost wykładniczy

Króliki Leonarda z Pizy

- liczba par królików w n-tym miesiącu xn

xxx nnn 12110 xx

miesięczne - niezdolne do rozrodu

nowo narodzone

hodowlę zaczynamy od 1 pary

2

51n

nxwzór asymptotyczny

Ograniczona oscylacja

Żniwowanie (harvesting); rozsądne połowy

- masa złapanych homarów w n-tym roku xn

x1996 x1997

221

1xx

xnn

n

Np. dla Maine = 16 435 ton = 20 871 ton

rekord!

x2005Odszukać wartość i porównać z modelem

lobster - homar

Zależność logistyczna

Model Verhulsta

- gęstość populacji

Generator liczb pseudolosowychchaotyczne!

x, n10

xxrx nnn 11

- współczynnik przyrostu r, 40Przeludnieniehamuje rozwój

xxx nnn 141