Metoda simpleks

Gliwice

Sprowadzenie modeludo postaci bazowej

Gliwice

Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

Przykład 4

Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej.

( )1 2 1 2, 6 5 MAXZ x x x x= + →FC:

O:1 2

1 2

1 2

9 7 638

3 2 6

x xx xx x

+ ≤+ ≤+ ≥

1

2

3

1 20, 0x x≥ ≥WB:

Gliwice3

1 29 7 63x x+ ≤

Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

Ograniczenie 1

Aby otrzymać ograniczenie w postaci równania wprowadzamy dodatkową zmienną do ograniczenia:

1 2 39 7 63x x x+ + =

x3 – zmienna bilansująca

Zmienna bilansująca x3 określa ilość środka S1 jaki nie zostanie wykorzystany w procesie produkcji.

Gliwice4

1 2 39 7 63x x x+ + =

Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

3 1 263 9 7x x x= − −

Gdyby przyjąć: x1 = 0 i x2 = 0:

3 63 0x = ≥

Zmienna bilansująca x3 spełnia postulat nieujemności.

Gliwice5

1 2 8x x+ ≤

Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

Ograniczenie 2

Aby otrzymać ograniczenie w postaci równania wprowadzamy dodatkową zmienną do ograniczenia (analogicznie jak dla pierwszego ograniczenia):

1 2 4 8x x x+ + =

x4 – zmienna bilansująca

Zmienna bilansująca x4 określa ilość środka S2 jaki nie zostanie wykorzystany w procesie produkcji.

Dla x1 = 0 i x2 = 0: x4 = 8 ≥ 0

Gliwice6

1 23 2 6x x+ ≥

Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

Ograniczenie 3

Aby otrzymać ograniczenie w postaci równania wprowadzamy dodatkową zmienną do ograniczenia:

1 2 53 2 6x x x+ − =

x5 – zmienna bilansująca

Dla x1 = 0 i x2 = 0: x5 = −6 < 0

Gliwice7

Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

W postaci bazowej, w każdym ograniczeniu musi znajdowaćsię jedna zmienna, która po wyzerowaniu wszystkich pozostałych zmiennych w ograniczeniu jest nieujemna.

Wprowadzamy kolejną zmienną:

1 2 5 63 2 6x x x x+ − + =

x6 – zmienna sztuczna

Dla x1 = 0, x2 = 0 oraz x5 = 0: x6 = 6 ≥ 0

Gliwice8

Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

Rozwiązanie zadania po wprowadzeniu zmiennej sztucznej nie jest równoważne z rozwiązaniem zadania początkowego.

Byłoby równoważne tylko wtedy, gdyby w rozwiązaniu optymalnym zmienna sztuczna miała wartość zero.

Gliwice9

Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

Aby zapewnić x6 = 0 w rozwiązaniu optymalnym, każdązmienną sztuczną wprowadza się do funkcji celu.

Współczynnik przy zmiennej sztucznej w funkcji celu dobiera się tak, aby niezerowa wartość tej zmiennej mocno pogarszała wartość funkcji celu.

( )1 2 6 1 2 6, , 6 5 MAXZ x x x x x Mx= + + →FC:

1000M = −

Gliwice10

Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

Czy zmienne bilansujące należy uwzględnić w funkcji celu?

Tak.

Z jakimi współczynnikami?

Wszystkie współczynniki przy zmiennych bilansujących w funkcji celu mają wartość równą zero.

( )1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6, , , , , 6 5 0 0 0 1000 MAXZ x x x x x x x x x x x x= + + + + − →

Gliwice11

Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

Postać bazowa zadania z Przykładu 1:

FC:

( )1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6, , , , , 6 5 0 0 0 1000 MAXZ x x x x x x x x x x x x= + + + + − →

O:

1 2 3

1 2 4

1 2 5 6

9 7 638

3 2 6

x x xx x xx x x x

+ + =+ + =+ − + =

1

2

3

WB:

1 2 3 4 5 60, 0, 0, 0, 0, 0x x x x x x≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

Gliwice12

Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

Sprowadzenie do postaci bazowej ograniczenia typu:

1 22 4x x+ =

Wprowadzamy zmienną sztuczną:

1 2 32 4x x x+ + =

Zmienną sztuczną x3 należy uwzględnić w funkcji celu w podany poprzednio sposób, czyli tak, aby jej niezerowa wartość mocno pogarszała wartość funkcji celu.

Gliwice13

Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

Postać bazowa:

Wszystkie ograniczenia w postaci równań

W każdym ograniczeniu znajduje się zmienna, która po wyzerowaniu pozostałych zmiennych ma wartość nieujemną

Współczynnik przy zmiennej sztucznej ma wartość 1

Wprowadzone zmienne bilansujące wprowadza się do funkcji celu z zerowymi współczynnikami

Wprowadzone zmienne sztuczne uwzględnia się w funkcji celu ze współczynnikami mocno pogarszającymi jej wartość

Gliwice14

Metoda simpleks

Gliwice

Metoda simpleks

Przykład 5

Rozwiązać zadanie z Przykładu 1 metodą simpleks.

FC:

( )1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6, , , , , 6 5 0 0 0 1000 MAXZ x x x x x x x x x x x x= + + + + − →

O:

1 2 3

1 2 4

1 2 5 6

9 7 638

3 2 6

x x xx x xx x x x

+ + =+ + =+ − + =

1

2

3

WB:

1 2 3 4 5 60, 0, 0, 0, 0, 0x x x x x x≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

Gliwice16

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAXbi

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

Gliwice17

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

bi6 5 0 0 0 -1000

9 7 1 0 0 0 63

1 1 0 1 0 0 8

3 2 0 0 -1 1 6

Gliwice18

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

9 7 1 0 0 0 63

1 1 0 1 0 0 8

3 2 0 0 -1 1 6

bi

Gliwice19

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

9 7 1 0 0 0 63

1 1 0 1 0 0 8

3 2 0 0 -1 1 6

bi

x3 0

x4 0

x6 -1000

Gliwice20

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

bi

zj -3000

( )1 0 9 0 1 1000 3 3000z = ⋅ + ⋅ + − ⋅ = −

Gliwice21

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000

bi

( )2 0 7 0 1 1000 2 2000z = ⋅ + ⋅ + − ⋅ = −

Gliwice22

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000 0

bi

( )3 0 1 0 0 1000 0 0z = ⋅ + ⋅ + − ⋅ =

Gliwice23

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000 0 0

bi

( )4 0 0 0 1 1000 0 0z = ⋅ + ⋅ + − ⋅ =

Gliwice24

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000 0 0 1000

bi

( ) ( )5 0 0 0 0 1000 1 1000z = ⋅ + ⋅ + − ⋅ − =

Gliwice25

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000

bi

( )6 0 0 0 0 1000 1 1000z = ⋅ + ⋅ + − ⋅ = −

Gliwice26

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000

bi

cj – zj -3006

( )1 1 6 3000 3006c z− = − − =

Gliwice27

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000

cj – zj 3006 2005

bi

( )2 2 5 2000 2005c z− = − − =

Gliwice28

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000

cj – zj 3006 2005 0

bi

3 3 0 0 0c z− = − =

Gliwice29

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000

cj – zj 3006 2005 0 0

bi

4 4 0 0 0c z− = − =

Gliwice30

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000

cj – zj 3006 2005 0 0 -1000

bi

5 5 0 1000 1000c z− = − = −

Gliwice31

Metoda simpleks

Tablica simpleks:

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000

cj – zj 3006 2005 0 0 -1000 0

bi

( )6 6 1000 1000 0c z− = − − − =

Gliwice32

Metoda simpleks

cj – zj wskaźniki optymalności

Dla zmiennych bazowych wskaźniki optymalności zawsze są równe 0.

Gliwice33

Metoda simpleks

Kryterium optymalności

Rozwiązanie jest optymalne, jeżeli wartości wszystkich wskaźników optymalności są niedodatnie.

Rozwiązanie w bazie [x3, x4, x6] nie jest rozwiązaniem optymalnym.

Należy przejść do następnej bazy

Gliwice34

Metoda simpleks

Kryterium wejścia do bazy

Do bazy wchodzi zmienna, która ma największą wartośćwskaźnika optymalności.

Jeżeli największa wartość wskaźnika optymalności odpowiada więcej niż jednej zmiennej, wybieramy zmiennąo niższym indeksie.

W przykładzie kryterium wejścia spełnia zmienna x1.

Gliwice35

Metoda simpleks

Kryterium wyjścia z bazy

Obliczamy ilorazy wyrazów wolnych (kolumna bi) przez elementy (tylko dodatnie) kolumny zmiennej wchodzącej do bazy.

Bazę opuszcza ta zmienna, dla której obliczony iloraz jest najmniejszy.

Jeżeli najmniejsza wartość ilorazu występuje dla więcej niżjednej zmiennej, to jako zmienną opuszczającą bazę można wybrać dowolną z nich.

Gliwice36

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000

cj – zj 3006 2005 0 0 -1000 0

bi

Metoda simpleks

3 : 63/9 7x = 4 : 8 /1 8x = 6 : 6 /3 2x =

W przykładzie kryterium wyjścia spełnia zmienna x6.

Gliwice37

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6

zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000

cj – zj 3006 2005 0 0 -1000 0

bi

Metoda simpleks

Gliwice38

Metoda simpleks

Metoda zamiany zmiennych

Elementy wiersza usuwanego i kolumny wchodzącej wyróżniono szarym tłem.Element centralny wyróżniono ramką.

Gliwice39

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x1 6 3 2 0 0 -1 1 6

bi

Metoda simpleks

Gliwice40

Metoda simpleks

Metoda zamiany zmiennych

Elementy nowej tablicy simpleksowej wyznaczamy stosując regułęprostokąta, nie uwzględniając elementów w wierszu usuwanym oraz kolumnie wchodzącej.

Elementy kolumny wchodzącej, poza elementem centralnym, sąrówne zero.

Elementy w wierszu odpowiadającemu usuwanej zmiennej dzielimy przez element centralny.

Gliwice41

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x1 6 3 2 0 0 -1 1 6

bi

Metoda simpleks

element centralny

11 3212 12

31

9 27 13

a aa aa⋅ ⋅

= − = − =

Gliwice42

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 9 7 1 0 0 0 63

x4 0 1 1 0 1 0 0 8

x1 6 3 2 0 0 -1 1 6

bi

Metoda simpleks

2 2

13 2 3

1 4 2 4

15 2 5

16 2 6

1 2 113 3

9 0 1 01 1 0 03 3

9 0 1 00 0 1 13 3

9 ( 1) 1 ( 1) 10 3 03 3 3

9 1 1 1 10 3 03 3 3

a

a a

a a

a a

a a

⋅= − =

⋅ ⋅= − = = − =

⋅ ⋅= − = = − =

⋅ − ⋅ −= − = = − =

⋅ ⋅= − = − = − = −

1

2

9 663 453

1 68 63

b

b

⋅= − =

⋅= − =

Gliwice43

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 0 1 1 0 3 -3 45

x4 0 0 1/3 0 1 1/3 -1/3 6

x1 6 1 2/3 0 0 -1/3 1/3 2

zj

cj – zj

bi

Metoda simpleks

1 6-10023 / 3

Gliwice44

Metoda simpleks

Współczynniki oraz wskaźniki optymalności obliczamy tak, jak w przypadku 1-szej tablicy simpleksowej

jz ( )j jc z−

Gliwice45

Metoda simpleks

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 0 0 1 1 0 3 -3 45

x4 0 0 1/3 0 1 1/3 -1/3 6

x1 6 1 2/3 0 0 -1/3 1/3 2

zj 6 4 0 0 -2 2

cj – zj 0 1 0 0 2 -1002

bi

Rozwiązanie w bazie [x3, x4, x1] nie jest rozwiązaniem optymalnym.

Gliwice46

Metoda simpleks

Do bazy wchodzi zmienna: x5

Ilorazy:

( )3

4

1

: 45 / 3 15: 6 / 1/ 3 18:

xxx

==

− ujemny współczynnik – nie liczymy ilorazu

Z bazy wychodzi zmienna: x3

Gliwice47

Metoda simpleks

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x5 0 0 1/3 1/3 0 1 -1 15

x4 0 0 2/9 -1/9 1 0 0 1

x1 6 1 7/9 1/9 0 0 0 7

zj 6 14/3 2/3 0 0 0

cj – zj 0 1/3 -2/3 0 0 -1000

bi

Rozwiązanie w bazie [x5, x4, x1] nie jest rozwiązaniem optymalnym.

Gliwice48

Metoda simpleks

Do bazy wchodzi zmienna: x2

Ilorazy:

( )( )( )

5

4

1

: 15 / 1/ 3 45: 1/ 2 / 9 4.5: 7 / 7 / 9 9

xxx

===

Z bazy wychodzi zmienna: x4

Gliwice49

Metoda simpleks

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x5 0 0 0 1/2 -3/2 1 -1 27/2

x2 5 0 1 -1/2 9/2 0 0 9/2

x1 6 1 0 1/2 -7/2 0 0 7/2

zj 6 5 1/2 3/2 0 0

cj – zj 0 0 -1/2 -3/2 0 -1000

bi

Rozwiązanie w bazie [x5, x2, x1] jest rozwiązaniem optymalnym.

Gliwice50

cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000

x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6

x5 0 0 0 1/2 -3/2 1 -1 27/2

x2 5 0 1 -1/2 9/2 0 0 9/2

x1 6 1 0 1/2 -7/2 0 0 7/2

zj 6 5 1/2 3/2 0 0

cj – zj 0 0 -1/2 -3/2 0 -1000

bi

Metoda simpleks

Zmienne bazowe: x5 = 27/2 x2 = 9/2 x1 = 7/2

Zmienne niebazowe: x3 = 0 x4 = 0 x6 = 0

Gliwice51

Metoda simpleks

Rozwiązanie:

1 2 3 4 5 63.5 4.5 0 0 13.5 0x x x x x x= = = = = =

Funkcja celu:

( )1 2 3 4 5 6, , , , , 43.5Z x x x x x x =

Gliwice52

Różnice w algorytmiemetody simpleks na

MAX i MIN

Gliwice

Różnice w algorytmie metody simpleks na MAX i MIN

Kryterium wejścia do bazy

Zmienna z największą wartością wskaźnika optymalności.MAX:

Zmienna z najmniejszą wartością wskaźnika optymalności.MIN:

Gliwice54

Różnice w algorytmie metody simpleks na MAX i MIN

Kryterium wyjścia z bazy

Zmienna, dla której iloraz elementu z wektora wyrazów wolnych przez współczynnik z kolumny zmiennej wchodzącej do bazy ma najmniejszą wartość.

MAX:

Identycznie jak w zadaniu na MAX.MIN:

Gliwice55

Różnice w algorytmie metody simpleks na MAX i MIN

Rozwiązanie optymalne

Wszystkie wskaźniki optymalności muszą być niedodatnie.MAX:

Wszystkie wskaźniki optymalności muszą być nieujemne.MIN:

Gliwice56

Zmienne nie spełniają warunków nieujemności!!!

I co dalej???

Gliwice

Metoda simpleks a zadanie dualne

( )1 2 3 1 2 3, , 6 5 4 MAXZ x x x x x x= + − →FC:

O:1 2 3

1 2 3

1 2 3

9 7 4 53 6 8 8

3 2 4 6

x x xx x xx x x

+ − ≥ −− + − ≤

+ + =

1

2

3

1 2 30, , 0x x R x≥ ∈ ≤WB:

Gliwice58

2x R∈

Metoda simpleks a zadanie dualne

Zmienną x2 zastępujemy różnicą dwóch zmiennych nieujemnych:

* ** * **2 2 2 2 2, 0, 0x x x x x= − ≥ ≥

Gliwice59

3 0x ≤

Metoda simpleks a zadanie dualne

Zmienną x3 zastępujemy różnicą dwóch zmiennych nieujemnych:

* ** * **3 3 3 3 3, 0, 0x x x x x= − ≥ ≥

Gliwice60

Metoda simpleks a zadanie dualne

( ) ( ) ( )* ** * ** * ** * **1 2 2 3 3 1 2 2 3 3, , , , 6 5 4 MAXZ x x x x x x x x x x= + − − − →FC:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

* ** * **1 2 2 3 3

* ** * **1 2 2 3 3

* ** * **1 2 2 3 3

9 7 4 5

3 6 8 8

3 2 4 6

x x x x x

x x x x x

x x x x x

+ − − − ≥ −

− + − − − ≤

+ − + − =

O: 1

2

3

* ** * **1 2 2 3 30, 0, 0, 0, 0x x x x x≥ ≥ ≥ ≥ ≥WB:

Gliwice61

Metoda simpleks a zadanie dualne

Zmieniamy numery zmiennych:

( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , 6 5 5 4 4 MAXZ x x x x x x x x x x= + − − + →FC:

O:1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ9 7 7 4 4 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 6 6 8 8 8

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 2 4 4 6

x x x x xx x x x xx x x x x

+ − − + ≥ −− + − − + ≤

+ − + − =

1

2

3

ˆ 0, 1,2,...,5jx j≥ =WB:

Gliwice62

Metoda simpleks a zadanie dualne

Ograniczenia, w których wyraz wolny jest liczbą ujemnąmnożymy przez –1 (tutaj ograniczenie 1):

( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , 6 5 5 4 4 MAXZ x x x x x x x x x x= + − − + →FC:

O:1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ9 7 7 4 4 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 6 6 8 8 8

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 2 4 4 6

x x x x xx x x x xx x x x x

− − + + − ≤− + − − + ≤

+ − + − =

1

2

3

ˆ 0, 1,2,...,5jx j≥ =WB:

Gliwice63

Metoda simpleks a zadanie dualne

Dalsze postępowanie jest identyczne jak przy rozwiązywaniu zadania metodą simpleks.

Gliwice64

Szczególne przypadki rozwiązań

Gliwice

Szczególne przypadki rozwiązań

Zadanie sprzeczne

( )1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

, 6 5 MAXx 8

3 2 6, 0

Z x x x xx

x xx x

= + →+ ≥+ ≤

≥

1

2

W postaci bazowej:

1

2

( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 5

1 2 3 4 5

, , , , 6 5 0 1000 0 MAXx 83 2 6

, , , , 0

Z x x x x x x x x x xx x x

x x xx x x x x

= + + − + →+ − + =+ + =

≥

Gliwice66

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1

x2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

2

Szczególne przypadki rozwiązań

Gliwice67

Szczególne przypadki rozwiązań

Zadanie sprzeczne:

Nie ma rozwiązań dopuszczalnych

Objawy w metodzie simpleks:

W rozwiązaniu optymalnym, zmienna sztuczna (w tym przykładzie zmienna x4) będzie miała wartość niezerową (czyli będzie w bazie).

Gliwice68

Szczególne przypadki rozwiązań

Alternatywne rozwiązania optymalne

( )1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

, 2 2 MAXx 8

3 2 6, 0

Z x x x xx

x xx x

= + →+ ≤+ ≥

≥

1

2

W postaci bazowej:

1

2

( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 2 3

1 2 4 5

1 2 3 4 5

, , , , 2 2 0 0 1000 MAXx 8

3 2 6, , , , 0

Z x x x x x x x x x xx x

x x x xx x x x x

= + + + − →+ + =

+ − + =≥

Gliwice69

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1

x2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

2

C (0, 8): Z(0, 8) = 16D (8, 0): Z(8, 0) = 16

A

B

C

D

Szczególne przypadki rozwiązań

Gliwice70

Szczególne przypadki rozwiązań

Alternatywne rozwiązania optymalne:

Każdy punkt odcinka CD jest rozwiązaniem optymalnym − odpowiada alternatywnemu, optymalnemu rozwiązaniuMoże się zdarzyć, że zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych

Objawy w metodzie simpleks:

W rozwiązaniu optymalnym, zerowe wartości wskaźników optymalności dla zmiennych niebazowych.

Rozwiązania optymalne można zidentyfikować przechodząc do kolejnych baz.

Gliwice71

Szczególne przypadki rozwiązań

Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych

( )1 2 1 2

1 2

1

1 2

, 2 3 MAX3x 2 6

7, 0

Z x x x xx

xx x

= + →+ ≥≤≥

1

2

W postaci bazowej:

1

2

( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 5

1 2 3 4 5

, , , , 2 3 0 1000 0 MAX3x 3 6

7, , , , 0

Z x x x x x x x x x xx x xx x

x x x x x

= + + − + →+ − + =

+ =≥

Gliwice72

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1

x2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

1 A

B

C

Szczególne przypadki rozwiązań

Gliwice73

Szczególne przypadki rozwiązań

W tym zadaniu:

Zbiór rozwiązań jest nieograniczonyFunkcja celu jest nieograniczona z góry

Objawy w metodzie simpleks:

W tablicy simpleks kolumna zmiennej wchodzącej do bazy ma wszystkie elementy niedodatnie.

Gliwice74

Szczególne przypadki rozwiązań

Czy funkcja celu może być nieograniczona od dołu?

Nie, ponieważ wymagana jest nieujemność zmiennych.

Czy pomimo tego, że zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest nieograniczony może istnieć „dokładne” rozwiązanie optymalne?

Może, gdy zadanie jest zadaniem na MIN.

Gliwice75

( )1 2 1 2

1 2

1

1 2

, 2 3 MIN3x 2 6

7, 0

Z x x x xx

xx x

= + →+ ≥≤≥

1

2

3

Szczególne przypadki rozwiązań

Z poprzedniego rysunku:

A (2, 0): Z(2, 0) = 4 → MINB (0, 3): Z(0, 3) = 9C (7, 0): Z(7, 0) = 14

Gliwice76